1、常系数非齐次线性微分方程 第八节型)()(xPexfmxxxPexflxcos)()(型sin)(xxPn一、一、二、二、第七章)(xfyqypy),(为常数qp二阶常系数线性非齐次微分方程:根据解的结构定理,其通解为Yy*y非齐次方程特解齐次方程通解求特解的方法根据 f(x)的特殊形式,*y给出特解的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.待定系数法待定系数法问题问题:如何求方程的一个特解 y*？例如：例如：求非齐次方程xyy5 的通解解：对应的齐次方程为0yy齐次方程的通解为12xxYc ec e通过观察和直接验算可知*5yx是原方程的一个特解。所以方程的通解为：*y Yy 12
2、xxc ec e5 x)(xQex)()2(xQp)()(2xQqp)(xPemx一、一、型)()(xPexfmx 为实数,)(xPm设特解为,)(*xQeyx其中 为待定多项式,)(xQ)()(*xQxQeyx)()(2)(*2xQxQxQeyx 代入方程 ,得)(xQ(1)若 不是特征方程的根,02qp即则取),(xQm从而得到特解形式为.)(*xQeymx)()2(xQp)()(2xQqp)(xPm为 m 次多项式.Q(x)为 m 次待定系数多项式)(xfyqypy(2)若 是特征方程的单根,02qp,02 p)(xQ则为m 次多项式,故特解形式为xmexQxy)(*(3)若 是特征方程
3、的重根,02qp,02 p)(xQ 则是 m 次多项式,故特解形式为xmexQxy)(*2)(xQ)()2(xQp)(xPm)()(2xQqp即即)(xPeqyypymx 型一)()(.xPexfmx其中：是常数，mmmmaxaxaxP110)(对应齐次方程的特征方程：02qprr综上讨论，方程的特解总可设为,)(*xQexymxk是重根是单根不是根2,10kmmmmbxbxbxQ110)(其中：mbbb,10可用待定系数法确定。小结小结是特征方程的重根是特征方程的单根不是特征方程的根xxxeBxBxeBey2,*特别地,)(AxPm上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程)()1(1)(
4、xPeypypymxnnn其中：是常数，mmmmaxaxaxP110)(对应齐次方程的特征方程：011nnnprpr,)(*xQexymxk重根是是单根不是根ssk,10mmmmbxbxbxQ110)(其中：mbbb,10可用待定系数法确定。方程的特解可设为例例1.1332 xyyy求方程的一个特解.解解:本题而特征方程为,0322rr不是特征方程的根.设所求特解为,*10bxby代入方程:13233010 xbbxb比较系数,得330 b13210bb31,110bb于是所求特解为.31*xy0,0 xmxPe)(0,13)(xxPm例例2.xexyyy265 求方程的通解.解解:本题特征方
5、程为,0652 rr其根为对应齐次方程的通解为xxeCeCY3221设非齐次方程特解为xebxbxy210)(*比较系数,得120 b0210bb1,2110bb因此特解为.)1(*221xexxy3,221rr代入方程得xbbxb01022所求通解为xxeCeCy3221.)(2221xexx,2例例3.求解定解问题 0)0()0()0(123yyyyyy解解:本题特征方程为,02323rrr其根为设非齐次方程特解为,*xby代入方程得,12b故,*21xy0321CCC21322CC2,1,0321rrr故对应齐次方程通解为1CY xeC2xeC23原方程通解为x211Cy xeC2xeC
6、23由初始条件得0432CC,0于是所求解为xeeyxx2141432解得)423(412xxeex41 143321CCC224468xyyyxe求微分方程的通解解解特征方程,0442 rr特征根，22,1r对应齐次方程通解,)(221xexccY设 的特解为2644xyyy *1yxeyyy2844 设 的特解为*2y*2y*1*yy 则所求特解为CBxAxy2*1xeDxy22*2（重根）例例4代入方程,得226444482xcBxAxBAxA49,3,23CBA493232*1xxy于是：8488482222DxDxDxDxDxD4Dxexy22*24于是：xexxxy222*4493
7、23故，原方程通解为xxexxxexccy222221449323)(例例5 设函数 连续，且满足)(x xxxdttxdtttex00)()()(求)(x 解解 对积分方程两边求导xxdttex0)()(再求导得xexx)()(初始条件为1)0(,1)0(特征方程为,012r特征根为,ir12()cossinxCxCx由于1,)(xexf不是特征根，,)(*xaex 对应齐次方程的通解：故设特解为,1)(xPm代入原方程并化简得2,xxaee1,2a*1(),2xxe2/sincos)(21xexCxCx再代入初始条件可得)sin(cos21)(xexxx二、二、型xxPxxPxfnlxsi
8、n)(cos)(e)(xmxPxf)i(e)()(xmxP)i(e)(第二步第二步 求出如下两个方程的特解xmxPyqypy)i(e)(yqypy分析思路:第一步第一步将 f(x)转化为第三步第三步 利用叠加原理求出原方程的特解第四步第四步 分析原方程特解的特点xmxP)i(e)(利用欧拉公式将 f(x)变形xxfe)(i2)(2)(xPxPnlx)i(ei2)(2)(xPxPnlx)i(exmxPxf)i(e)()(xmxP)i(e)(xmxP)i(e)(xmxP)i(e)(则令,maxlnm)(xPl2eeiixx)(xPni2eeiixx型xxPxxPxfnlxsin)(cos)(e)(
9、第一步第一步 第二步第二步 求如下两方程的特解 i是特征方程的 k 重根(k =0,1),xmkxQxy)i(1e)()(次多项式为mxQm故xmxPyqypy)i(111e)()()(等式两边取共轭:xmxPyqypy)i(111e)(1y这说明为方程 的特解.xmxPyqypy)i(e)(xmxPyqypy)i(e)(设则 有特解:第三步第三步 求原方程的特解 利用第二步的结果,根据叠加原理,原方程有特解:11*yyy xkxexmxmQQiiee原方程 yqypy xxPxxPnlxsin)(cos)(exkxe)sini(cosxxQm)sini(cosxxQm xkxexRmcosx
10、RmsinmmRR,其中均为 m 次多项式.xmxP)i(e)(xmxP)i(e)(第四步第四步 分析的特点yxRxRxyyymmxksincose11因11yy*yy所以mmRR,因此均为 m 次实多项式.11yyy本质上为实函数,11yy小小 结结:xxPxxPnlxsin)(cos)(e对非齐次方程yqypy),(为常数qpxRxRxymmxksincose*则可设特解:其中 为特征方程的 k 重根(k =0,1),ilnm,max上述结论也可推广到高阶方程的情形.例例6.xxyy2cos 求方程的一个特解.解解:本题 特征方程,2,0故设特解为xdxcxbxay2sin)(2cos)(
11、*不是特征方程的根,ii2代入方程得xxxadxcxcbxa2cos2sin)433(2cos)433(012r,)(xxPl()0,nP x 比较系数,得9431,da.2sin2cos*9431xxxy于是求得一个特解13 a043cb03 c043ad0 cb解解 对应齐方通解12cossin,YCxCx作辅助方程2,ixyyxe,2 不是特征方程的根i,)(2*ixeBAxy设代入辅助方程13034ABAi14,39ABi ，ixeixy2*)9431(（复数法求解）（复数法求解）)2sin2)(cos9431(xixixxxyy2cos 求方程的通解.1441cos2sin2(cos
12、2sin2),3993xxxxxx i 例例6.所求非齐方程特解为14cos2sin2,39yxxx 原方程通解为1214cossincos2sin2.39yCxCxxxx（取实部）注意注意xAexAexxsin,cos.)(的实部和虚部分别是xiAe例例7.xxyy3sin303cos189 求方程的通解.解解:特征方程为,092r其根为对应齐次方程的通解为xCxCY3sin3cos21)3sin3cos(*xbxaxy比较系数,得,5a,3b因此特解为)3sin33cos5(*xxxyi32,1r代入方程:xaxb3sin63cos6所求通解为xCxCy3sin3cos21为特征方程的单根
13、,3i)3sin33cos5(xxxxx3sin303cos18因此设非齐次方程特解为例例8.xyyysin2)1()4(解解:(1)特征方程,01224rr,0)1(22r即有二重根i,r所以设非齐次方程特解为(*2xy)sincosxbxa(2)特征方程,024 rr0)1(22rr即有根i,04,32,1rrxxyyxsin3e)2()4(利用叠加原理,可设非齐次方程特解为)(*2baxxyxce)sincos(xkxdx设下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式:内容小结内容小结xmexPyqypy)(.1 为特征方程的 k(0,1,2)重根,xmkexQxy)(*则设特解为sin)(c
14、os)(.2xxPxxPeyqypynlx 为特征方程的 k(0,1)重根,ixkexy*则设特解为sin)(cos)(xxRxxRmmnlm,max3.上述结论也可推广到高阶方程的情形.思考与练习思考与练习时可设特解为 xxxfcos)()1当xexxxf22cos)()2当xy*xbxacos)(*yxdxcxbxa2sin)(2cos)(xek2)(xfyy 时可设特解为 xxPxxPexfnlxsin)(cos)()(xkexy*lnm,max提示提示:xdcxsin)(1.(填空)设sin)(cos)(xxRxxRmm2.求微分方程xyyye44 的通解 (其中为实数).解解:特征方
15、程,0442rr特征根:221 rr对应齐次方程通解:xxCCY221e)(2时,exAy令代入原方程得,2)2(1A故原方程通解为xxCCy221e)(xe2)2(12时,e2xxBy令代入原方程得,21B故原方程通解为xxCCy221e)(xxe2213.已知二阶常微分方程xecybyay 有特解,)1(2xxexey求微分方程的通解.解解:将特解代入方程得恒等式xxxxecexbaeaeba)1()2()1(比较系数得01baca 201ba0a1b2c故原方程为xeyy2 对应齐次方程通解:xxeCeCY21xxexey原方程通解为xxeCeCy21xex的通解为提示提示:将齐次的两个线性无关的解,xxexe得111(1)010,xyaybyab eab 2222(1)020,xyaybyaab x ea2xyxex 0yayby12,xyCC x e则求非齐次微分方程(0)2,(0)0yy4.已知二阶常微分方程满足条件yaybyx的解2009数学一数学一代入方程最后得 高数A
