1、1第三讲第三讲 线性空间线性空间2目录 下页 返回 结束 设设V是一个非空集合，是一个非空集合，P是一个数域，在集合是一个数域，在集合V中中定义了一种代数运算，叫做定义了一种代数运算，叫做加法加法：即：即对，对，,V 在在V中都存在唯一的一个元素与它们对应，称为中都存在唯一的一个元素与它们对应，称为 的的和和，记为，记为 ；在；在P与与V的元素之间还的元素之间还与定义了一种运算，叫做定义了一种运算，叫做数量乘法数量乘法：即：即,VkP 在在V中都存在唯一的一个元素中都存在唯一的一个元素与它们对应，称与它们对应，称为为 的的数量乘积数量乘积，记为，记为 如果加法和数量乘如果加法和数量乘k与.k法
2、还满足下述规则，则称法还满足下述规则，则称V为数域为数域P上的上的线性空间线性空间.3加法满足下列四条规则：加法满足下列四条规则：(1)(1)（具有这个性质的元素（具有这个性质的元素0称为称为V的的零元素零元素）(2)(2)()(),V (4)(4)对对 都有都有V中的一个元素中的一个元素，使得，使得,V（称为称为 的的负元素负元素）0 (3)(3)在在V中有一个元素中有一个元素0，对，对,0V有有41 (5)(5)(6)(6)()()k lkl 数量乘法与加法满足下列两条规则：数量乘法与加法满足下列两条规则：(7)(7)()klkl 数量乘法满足下列两条规则数量乘法满足下列两条规则:(8)(
3、8)()kkk5欧氏几何的公理欧氏几何的公理公理公理1：任两点必可用直线相连：任两点必可用直线相连.公理公理2：直线可以任意延长：直线可以任意延长.公理公理3：可以以任意一点为圆心：可以以任意一点为圆心,任意长度为半径画圆任意长度为半径画圆.公理公理4：所有直角都相同：所有直角都相同.公里公里5：过线外一点：过线外一点,恰有一条直线与已知直线平行恰有一条直线与已知直线平行.63线性空间的判定：线性空间的判定：1 凡满足以上八条规则的加法及数量乘法也称为凡满足以上八条规则的加法及数量乘法也称为2线性空间的元素也称为线性空间的元素也称为向量向量，线性空间也称，线性空间也称向量空间向量空间但这里的向
4、量不一定是有序数组但这里的向量不一定是有序数组线性运算线性运算就不能构成线性空间就不能构成线性空间 运算封闭但不满足八条规则中的任一条，则此集合运算封闭但不满足八条规则中的任一条，则此集合若集合对于定义的加法和数乘运算不封闭，或者若集合对于定义的加法和数乘运算不封闭，或者7例例1 1Pn,Px 均为数域均为数域 P上的线性空间上的线性空间例例2 2数域数域 P上的次数小于上的次数小于 n 的多项式的全体，再添的多项式的全体，再添法构成数域法构成数域 P上的一个线性空间，常用上的一个线性空间，常用 Pxn表示表示上零多项式作成的集合，按多项式的加法和数量乘上零多项式作成的集合，按多项式的加法和数
5、量乘1110110 (),nnnnP xf xaxa xaaa aP 8即线性空间的构造如何？即线性空间的构造如何？怎样才能便于运算？怎样才能便于运算？问题问题如何把线性空间的全体元素表示出来？如何把线性空间的全体元素表示出来？这些元素之间的关系又如何呢？这些元素之间的关系又如何呢？（基的问题）（基的问题）问题问题线性空间是抽象的，如何使其元素与具体的东西线性空间是抽象的，如何使其元素与具体的东西数发生联系数发生联系,使其能用比较具体的数学式子来表达？使其能用比较具体的数学式子来表达？（坐标问题）（坐标问题）9设设V 是数域是数域 P 上的一个线性空间，上的一个线性空间，（1）1212,(1)
6、,rrV rk kkP 和式和式 1122rrkkk的一个的一个线性组合线性组合称为向量组称为向量组12,r（2），若存在，若存在 12,rV 12,rk kkP则称向量则称向量 可经向量组可经向量组 线性表出线性表出；12,r 1122rrkkk使使10若向量组若向量组 中每一向量皆可经向量组中每一向量皆可经向量组 12,s 12,r 线性表出，则称向量组线性表出，则称向量组12,s 可经向量组可经向量组 线性表出线性表出；12,r 若两向量组可以互相线性表出，则称这两个向量组若两向量组可以互相线性表出，则称这两个向量组为为等价等价(equivalent)(equivalent)的的 11（
7、4）如果向量组如果向量组 不是线性相关不是线性相关的，即的，即12,r 11220rrkkk只有在时才成立，只有在时才成立，120rkkk则称则称 为为线性无关（线性无关（independent）12,r则称向量组为则称向量组为线性相关线性相关（dependent）；12,r 11220rrkkk12,rk kkP，使得，使得（3）12,rV，若存在不全为零的数，若存在不全为零的数 12（1）单个向量单个向量 线性相关线性相关 0.单个向量单个向量 线性无关线性无关 0向量组向量组 线性相关线性相关 12,r 12,r 中有一个向量可经其余向量中有一个向量可经其余向量线性表出线性表出 13（2
8、）若向量组线性无关，且可被若向量组线性无关，且可被12,r 向量组向量组 线性表出，则线性表出，则 12,s;rs若若 与与 为两线性无关的为两线性无关的12,r 12,s等价向量组，则等价向量组，则.rs（3）若向量组线性无关，但向量组若向量组线性无关，但向量组 12,r 12,r线性相关，则线性相关，则 可被向量组可被向量组 线性表出，且表法是唯一的线性表出，且表法是唯一的12,r 14例例3 3 设向量组 线性无关，而向量组 线性相关，证明：若向量组 与 不等价，则 与 中有且仅有一个可由向量组 线性表示。m,.,2112,.,m 12,.,m 12,.,m 12,.,m 15因为对任意
9、的正整数因为对任意的正整数 n，都有，都有 n 个线性无关的个线性无关的若线性空间若线性空间 V 中可以找到任意多个线性无关的向量，中可以找到任意多个线性无关的向量，则称则称 V 是是无限维（无限维（infinite dimension）线性空间）线性空间例例1 1 所有实系数多项式所成的线性空间所有实系数多项式所成的线性空间 Rx 是无限是无限维的维的.1，x，x2，xn116 n 维线性空间维线性空间；常记作；常记作 dimV n.若在线性空间若在线性空间 V 中有中有 n 个线性无关的向量，但是个线性无关的向量，但是任意任意 n1 个向量都是线性相关的，则称个向量都是线性相关的，则称 V
10、 是一个是一个 零空间的维数定义为零空间的维数定义为0.17在在 n 维线性空间维线性空间 V 中，中，n 个线性无关的向量个线性无关的向量 12,n ，称为，称为 V 的一组的一组基（基（basis）；下的下的坐标（坐标（coordinatecoordinate），记为，记为 设设 为线性空间为线性空间 V 的一组基，的一组基，12,n,V则数组，就称为则数组，就称为 在基在基 12,n12,na aa112212,nnnaaaa aaP若若).,(21naaa18有时也形式地记作有时也形式地记作 1212(,)nnaaa 向量向量 的坐标的坐标 12(,)na aa是被向量是被向量 和基和
11、基 12,n唯一确定的即向量唯一确定的即向量 在基下的坐标唯一的在基下的坐标唯一的.12,n 但是，在不同基下的坐标一般是但是，在不同基下的坐标一般是不同的不同的 19若线性空间若线性空间V中的向量组中的向量组 满足满足 12,n ()()线性无关；线性无关；12,n ()()可经可经 线性表出线性表出,V12,n 则则V为为n 维线性空间，维线性空间，为为V的一组基的一组基 12,n 证：证：V的维数的维数至少为至少为 n 线性无关，线性无关，n ,2120任取任取V中中 n1个向量个向量 ，121,nn 由由)，向量组，向量组 若是线性无关的，则若是线性无关的，则n1n，矛盾，矛盾 121
12、,nn 线性表出线性表出.V中任意中任意n n1 1个向量是线性相关的个向量是线性相关的 121,nn 故，故，V是是n 维的，维的，就是就是V的一组基的一组基 12,n n ,21可用向量组可用向量组121,nn 21例例2 23 维几何空间维几何空间R3(,),x y z x y zR123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)是是R3的一组基；的一组基；123(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)也是也是R3的一组基的一组基一般地，向量空间一般地，向量空间12(,),1,2,nniPa aaaP in为为n维的，维的，12(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)n就
13、是就是 Pn 的一组基称为的一组基称为Pn的的标准基标准基.221.1.n 维线性空间维线性空间 V 的基不是唯一的，的基不是唯一的，V中任意中任意 n个个2.2.任意两组基向量是等价的任意两组基向量是等价的 线性无关的向量都是线性无关的向量都是V的一组基的一组基 23例例3 3（1）证明：线性空间）证明：线性空间Pxn是是n 维的，且维的，且1，x，x2，xn1 为为 Pxn 的一组基的一组基 证证:首先，首先，1，x，x2，xn1是线性无关的是线性无关的 其次，其次，1011()nnnf xaa xaxP x可经可经 1，x，x2，xn1线性表出线性表出()f x 1，x，x2，xn1为为
14、Pxn的一组基，的一组基，从而，从而，Pxn是是n维的维的.24011(,)na aa在基在基1，x，x2，xn1下的坐标就是下的坐标就是此时，此时，1011()nnf xaa xax25（2）证明：）证明：1，xa，(xa)2，(xa)n1也为也为Pxn的一组基的一组基1，xa，(xa)2，(xa)n1是线性无关的是线性无关的 证证:又对又对()nf xP x，按泰勒展开公式有，按泰勒展开公式有(1)1()()()()()()(1)!nnfaf xf afa xaxan即即,f(x)可经可经1，xa，(xa)2，(xa)n1线性表出线性表出.1，xa，(xa)2，(xa)n1为为Pxn的一组的一组基基 26在基在基1，xa，(xa)2，(xa)n1下的坐标是下的坐标是(1)()(),(),)(1)!nfaf afan此时，此时，1011()nnf xaa xax
