1、选自选自2006年广州市普通高中毕业班综合测试年广州市普通高中毕业班综合测试(一)概念清，路子正概念清，路子正方法优，运算准方法优，运算准20222022年年1111月月6 6日星期日日星期日北大附中深圳南山分校北大附中深圳南山分校 高三数学组高三数学组倪倪 杰杰2奋奋斗斗拼拼博博3ABCDEM解法一解法一:()证明证明:取取BE的中点的中点N,连接连接MN，AN，则则MN/CB/DA，故故M，N，A，D四点共面四点共面.2分分NDA平面平面EAB，DAEB.3分分又又EA=AB，ANEB 4分由由MNAN=N，EB平面平面ANMD 6分分 DMEB.7分也可以直接用也可以直接用“三垂线定理三
2、垂线定理”【08深一模深一模】18.(本小题满分本小题满分14分分)如图所示的几何体如图所示的几何体ABCDE中，中，DA平面平面EAB，CB/DA，EA=DA=AB=2CB，EAAB，M是是EC的的中点，中点，()求证：求证：DMEB；()求二面角求二面角M-BD-A的余弦值的余弦值.4P设设CB=a，AC与与BD的交点为的交点为 O，AOD=CAB=，QOABCDENM解解:()取取AC的中点的中点P，连，连MP，则则MP/EA，MP平面平面ABCD，过过P作作PQBD，连连QM，则则 QMBD，MQP是二面角是二面角M-BD-A的平面角的平面角 9分分 则有则有COCB11=CO=ACA
3、OAD23，221115OP=()AC=a+(2a)=a2366，sin=sin(+450)22123 2=(sin+cos)=(+)=22552 52PQ=OPsin=a4又又MP=0.5EA=a，在在RtMPQ中中，MPtan MQP=2 2PQ，即二面角即二面角M-BD-A的余弦值为的余弦值为 14分13 12分？5EDCBAMzyxa2解法二解法二:分别以直线分别以直线AE，AB，AD为为x轴、轴、y轴轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系轴，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，设设CB=a，则，则A(0，0，0)，E(2a，0，0)，B(0，2a，0)，C(0，2a，a)，D(0
4、，0，2a)，所以所以M(a，a，)4分DMEB，即即DMEB 7分()解:设平面设平面MBD的法向量为的法向量为n=(x，y，z)DB=(0，2a，2a)由由nDB，nDM得得DM EB=a(2a)+a 2a+0=0()证证:DM=(a，a，1.5a)，EB=(2a，2a，0)，5分6取取z=2得平面得平面MBD的一非零法向量为的一非零法向量为n=(1，2，2)，又平面又平面BDA的法向量为的法向量为 n1=(1，0，0)，2222221+0+0=1+2+21+0+01.3cos 即二面角即二面角M-BD-A的余的余弦值为弦值为 14分13 11分EDCBAMzyxn DB=2ay2az=0
5、3n DM=ax+ayaz=02 10分y=z3x+yz=02此题用此题用“坐标法坐标法”解简单易行！解简单易行！717.(本小题满分本小题满分14分分)如图，边长为如图，边长为2的线段的线段AB夹在直二面角夹在直二面角-l-的的两个半平面内，两个半平面内，A，B，且，且AB与平面与平面、所所成的角都是成的角都是300，ACl垂足为垂足为C，BDl，垂足为，垂足为D.()直线直线AB与与CD所成的角；所成的角；()求二面角求二面角C-AB-D所成平面角的余弦值所成平面角的余弦值lDCBA如何合理的选择正确的方如何合理的选择正确的方法解法解“立几立几”题？题？通过解题的过程您将有会通过解题的过程
6、您将有会什么样的收获与启发？什么样的收获与启发？本节将以此题为例探索解决本节将以此题为例探索解决立体中有关角的问题的规律立体中有关角的问题的规律.由此我们联想由此我们联想2006广州一模广州一模一道立体几何题一道立体几何题8平移法平移法:即根据定义，以即根据定义，以“运动运动”的观点，用的观点，用“平移转化平移转化”的方法使之成为相交直线所成的角的方法使之成为相交直线所成的角.选择选择“特殊点特殊点”作异面直线的平行线，构作作异面直线的平行线，构作含含异异面直线所成面直线所成(或其补角或其补角)的角的角的三角形，再求之的三角形，再求之.补形法补形法:把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，把空间图
7、形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体等，其目的在于易于发现两如正方体、平行六面体等，其目的在于易于发现两条异面直线的关系条异面直线的关系.向量法向量法:线线角可转化为线线角可转化为两直线的方向向量所成的角两直线的方向向量所成的角.|AB CD|cos=|AB|CD|异面直线所成角的范围是异面直线所成角的范围是:(0，900 求异面直线所成的角求异面直线所成的角常用的方法有：常用的方法有：一、异面直线所成的角一、异面直线所成的角根据异面直线所成角的定义，求异面直线所根据异面直线所成角的定义，求异面直线所成角成角,就是要将其变换成相交直线所成有角就是要将其变换成相交直线所成有角.9直线
8、与平面平行或在平面内直线和平面所成的角直线与平面平行或在平面内直线和平面所成的角0斜线和平面所成的角是：斜线及斜斜线和平面所成的角是：斜线及斜线在平面上的射影所成的角线在平面上的射影所成的角.关键是关键是找准斜线段在平面内的射影；找准斜线段在平面内的射影；直线与平面垂直，直线和平面所成的角是直线与平面垂直，直线和平面所成的角是90；直接法直接法:通常是从斜线上找特殊点，通常是从斜线上找特殊点，作平面的垂线段构作含所求线面角的三角形求之作平面的垂线段构作含所求线面角的三角形求之.公式法：公式法：求斜线与平面所成求斜线与平面所成的角，还可以利用的角，还可以利用三面角的余三面角的余弦公式：弦公式：注
9、注:当余弦值为当余弦值为负值负值时其对应角为时其对应角为钝角钝角，这不符合，这不符合定义，故其补角为所求的角定义，故其补角为所求的角.cos=coscos10nAB向量法向量法|AB n|sin=|AB|n|线面角等于直线的方向向量与平面的法向量所成线面角等于直线的方向向量与平面的法向量所成角的余角角的余角.线面角或等于直线的方向向量与平面的法向量所线面角或等于直线的方向向量与平面的法向量所成角的补角的余角成角的补角的余角.ABCP在在RtPAC中，中，cos=ACAP在在RtABC中，中，cos=ABAC在在RtPAB中，中，cos=ABAPACABABcoscoscosAPACAPcos=
10、coscos112、二面角的平面角的作法：二面角的平面角的作法：定义法：定义法：点点P在棱上在棱上 根据定义作出来根据定义作出来.lP 作垂面：作垂面：点点P在二面角内作与棱垂在二面角内作与棱垂 直的平面与两半平面的交线得到直的平面与两半平面的交线得到.AOBlP 应用三垂线：应用三垂线：点点A在一个半平面上应用三在一个半平面上应用三 垂线定理或其逆定理作出来垂线定理或其逆定理作出来.BAOl:二面角的平面角二面角的平面角)以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面上分别引垂直于棱的两条射线，这两条射线所成上分别引垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做的角
11、叫做二面角的平面角二面角的平面角.二面角范围为二面角范围为00，1800.12一一“作作”二二“证证”三三“计算计算”ABC的边的边BC在平面在平面内，内，A在平面在平面内的射影是内的射影是P，设设ABC的面积为的面积为S，它和，它和平面平面交成二面角交成二面角(0 90)，射影射影PBC的面的面积为积为S1，求证求证:S1=Scos.ABCPD 面积射影面积射影法法:S射射=S原原cos1.顶点在棱上；顶点在棱上；2.两边在两面内；两边在两面内；3.两边垂直于棱两边垂直于棱.注意注意:二面角的平面角必须满足二面角的平面角必须满足:S1=SPBC=BCPD，S2=SABC=BCAD，1212P
12、BCABC1BC PDSPD2cos.1SADBC AD213用此公式就可以求出二面角的平面角用此公式就可以求出二面角的平面角(异面直线上两点的距离公式异面直线上两点的距离公式)公式法公式法：如图，如图，CBF=为二面角的平面角为二面角的平面角 在在CBF中，由余弦定理可求得，中，由余弦定理可求得，22CF=m+n2mncos再由再由RtECF可得可得EF2=d2+m2+n22mncos(0，180)EFmndBClmdO面面角等于两平面的法向面面角等于两平面的法向量所成的角或等于两平面量所成的角或等于两平面的法向量所成角的补角的法向量所成角的补角.技巧技巧:先由直觉判断二面角先由直觉判断二面
13、角为锐角还是为钝角然后取为锐角还是为钝角然后取等角或补角与之相等等角或补角与之相等.mn向量法向量法:n mcos=|n|m|借用公式借用公式14求二面角方法求二面角方法:.应用三垂线（逆）定理法：在二面角应用三垂线（逆）定理法：在二面角-l-的的面面上取一点上取一点A，作，作AB于于B，BCl于于C，则则ACB即为即为-l-的平面角的平面角.作垂面法作垂面法:作棱的垂面，则它和二面角的两个面作棱的垂面，则它和二面角的两个面的交线所成的角就是二面角的平面角的交线所成的角就是二面角的平面角.向量法向量法:利用两平面的利用两平面的法向量的夹角与二面角的法向量的夹角与二面角的平面角的关系求得平面角的
14、关系求得.cos=1ssOADCBHS1S.定义法：以二面角的棱上某一点为端点，在两定义法：以二面角的棱上某一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角即二面角的平面角所成的角即二面角的平面角.公式法公式法:l2=m2+n2+d22mncos.152.学会求简单的二面角问题，求二面角问题的关键学会求简单的二面角问题，求二面角问题的关键在于确定二面角的平面角；在于确定二面角的平面角；体会到联想、类比及逻辑推理的方法在探索新知体会到联想、类比及逻辑推理的方法在探索新知识方面的重要作用识方面的重要作用.1.平几中平几中“角角”联想、类比
15、联想、类比立几中的立几中的“二面角二面角”平面角平面角度量度量定义法、三垂线法、定义法、三垂线法、垂面法、射影法垂面法、射影法找出（或作）找出（或作）找出或作出二面角的平面角找出或作出二面角的平面角;证明其符合定义证明其符合定义;计算，其格式为计算，其格式为:应应先定其位，后算其值先定其位，后算其值，其特点其特点:“夹议夹叙夹议夹叙”.3.求二面角大小的步骤为求二面角大小的步骤为:归纳小结归纳小结16()由于由于 ，且，且ACl，则则AC，建立如图所示，建立如图所示空间直角坐标系空间直角坐标系.故直线故直线AB与与CD所成的角为所成的角为450.AB=(12 1)CD=(020)，2ACl于于
16、C，BDl于于D，则则AC=1，BD=1，AD=，CD=3所以所以A(0，0，1)，B(1，0)，C(0，0，0)，D(0，0)，22AB CD22cos=.2|AB|CD|2 2 ，解法一解法一:向量法向量法lDCBAxyz如图，边长为如图，边长为2的线段的线段AB夹在直二面角夹在直二面角-l-的两个的两个半平面内，半平面内，A，B，且，且AB与平面与平面、所成的所成的角都是角都是300，ACl垂足为垂足为C，BDl，垂足为，垂足为D.()直线直线AB与与CD所成的角；所成的角；17()在平面在平面内过点内过点B作作BEDC且且BE=DC，连结，连结CE，EA，则四边形则四边形BECD是矩形
17、，所以是矩形，所以ABE就是就是直线直线AB与与CD所成的角所成的角.AB=2，ACl，AC ，AC.CE BE，AE BE，ABC=300,AC=1,同理同理BD=1,CE=1,AE=2 ABE=450,故直线故直线AB与与CD所成的角为所成的角为450.在在RtAEB中，sin ABE=AE2.AB2解法二：解法二：平移法平移法解法三解法三:补形法补形法 把空间图形补成熟悉的或完整的几把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，其目的在于易于发现两条异面直线的关系何体，其目的在于易于发现两条异面直线的关系.lDCBAE18B例例1 1、长方体、长方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C
18、1 1D D1 1，ABABAAAA1 1 2 2 cm cm，ADAD 1cm1cm，求异面直线求异面直线A A1 1C C1 1与与BDBD1 1所成的角所成的角.解法一（平移法）：解法一（平移法）：如图，连如图，连B B1 1D D1 1与与A A1 1C C1 1 交于交于O O1 1，取，取BBBB1 1的中点的中点MM，连，连O O1 1MM，则，则O O1 1MM D D1 1B B，O1M于是于是 A A1 1O O1 1MM就是异面直线就是异面直线A A1 1C C1 1与与BDBD1 1所成的角（或其补角），连所成的角（或其补角），连A A1 1MM，在，在 A A1 1O
19、 O1 1MM中中DB1A1D1C1AC221215,A M 22211113212,222OMBD22111521,22AO 由余弦定理得由余弦定理得115cos,5AO M A A1 1C C1 1与与BDBD1 1所成的角为所成的角为5arccos.5解法二（补形法）：如图，补一个与原长方体全等的并解法二（补形法）：如图，补一个与原长方体全等的并与原长方体有公共面与原长方体有公共面 BC1的方体的方体B1F，连结，连结A1E，C1E，则则 A1C1E为为A1C1与与BD1所成的角所成的角(或补角或补角)，1911115,25,3A CA EC E在在 A1C1E中，中，由余弦定理得由余弦
20、定理得115cos5AC E A1C1与与BD1所成的角为所成的角为5arccos.5F1EFE1BDB1A1D1C1AC解法三（向量法）：解法三（向量法）：A1D1C1B1ABCDxyz111(1,0,2)(0,2,2),(0,0,2),12 0ACDB，（，）11111111155|AC DBAC DBACDB 所以cos=，1（）建立如图空间直角坐标系.1 111 111,2|5,|ACDBACDB 因 为（，0），=（1，2，-2），|=35.5111故异面直线A C、D B所成的角为arccos20lDCGFBA（）AC,AC 平面ABC,平面平面BAC平面平面BDC,且交线是且交线
21、是BC.过过D点作点作DF BC，垂足为，垂足为F，则则DF 平面平面BAC.223Rt BDCBCABBD在中，过过F点作点作FG A B，垂足为，垂足为G,连结连结DG，则，则DG AB.所以所以DFG二面角二面角C-AB-D的平面角的平面角212613.3333BD DCBDDFBFBCBC，222Rt ACBDCBCBD在中，03sin30.6Rt BGFFGBF在中，2222633()().362Rt DFGDGDFFG在中，1cos.3FGDGFDG故二面角故二面角C-AB-D所成所成平面角的余弦值为平面角的余弦值为 1.3解法一：解法一：垂线法垂线法广州一模广州一模 17.(本小
22、题满分本小题满分14分）分）如图如图,边长为边长为2的线段的线段AB夹在直二面角夹在直二面角-l-l-的两个半平面内的两个半平面内,A,B，且，且AB与平面与平面、所成的角都是所成的角都是300 ,ACl垂足为垂足为C，BDl，垂足为垂足为D.（)求二面角求二面角C-AB-D所成平面角的余弦值所成平面角的余弦值21 由于由于D在平面在平面ABC内的射影内的射影F在在BC边上，边上，ABF为为 ABD在平面在平面ABC上的射影，上的射影，设所求的二面角为设所求的二面角为,解法二：射影法解法二：射影法lDCFBAcos.ABFABDSS则有33.2ABDS又Rt ABD中，AB=2，BD=1，AD
23、=，3又Rt ABD中，AB=2，BD=1，AD=，13.22ABDSADBD62 323.33又Rt BDC中，BD=1，DC=，BC=,DE=，CE=112 6()(3).22336ABFABCACFSSSACBCACCF1cos.3故故二面角故二面角C-AB-D所成平面角的余弦值为所成平面角的余弦值为1.3广州一模广州一模 17.(本小题满分本小题满分14分）分）如图如图,边长为边长为2的线段的线段AB夹在直二面角夹在直二面角-l-l-的两个半平面内的两个半平面内,A,B，且，且AB与平面与平面、所成的角都是所成的角都是300 ,ACl垂足为垂足为C，BDl，垂足为垂足为D.（)求二面角
24、求二面角C-AB-D所成平面角的余弦值所成平面角的余弦值22lBADCxyz1100CA nCB n 由得0 01002102111111111（，）（x,y,z）z（1，）（x,y,z）xy(2,1,01,).11取ny则 22200210200 0000DA nzDB n 22222222（，）（x,y,z）y由（1，）（x,y,z）x2n(0,1,21,).2取y则 12121211cos,.3|33n nn nn n 故二面角故二面角C-AB-D所成平面角的余弦值为所成平面角的余弦值为1.3解法三：解法三：向量法向量法设平面设平面ABD的一个法向量为的一个法向量为n2=(x2,y2,z
25、2)，()设平面设平面ABC的一个法向量的一个法向量为为n1=(x1,y1,z1)，广州一模广州一模 17.(本小题满分本小题满分14分）分）如图如图,边长为边长为2的线段的线段AB夹在直二面角夹在直二面角-l-l-的两个半平面内的两个半平面内,A,B,且且AB与平面与平面、所成的角都是所成的角都是300 ,ACl垂足为垂足为C，BDl，垂足为垂足为D.（)求二面角求二面角C-AB-D所成平面角的余弦值所成平面角的余弦值23如图，作如图，作CE、DF都垂直于都垂直于所求二面角的棱所求二面角的棱AB，E、F是垂足，设所求二面角是垂足，设所求二面角C-AB-D的平面角大小为的平面角大小为，则，则3
26、CE=DFEF=1CD=2.2，解法四：公式法解法四：公式法lDCFBAE2222CE+DF+EFCDcos=2C3E.DF1=广州一模广州一模 17.(本小题满分本小题满分14分分)如图如图,边长为边长为2的的线段线段AB夹在直二面角夹在直二面角-l-的两个半平面内，的两个半平面内，A，B,且且AB与平面与平面、所成的角都是所成的角都是300 ,ACl垂垂足为足为C，BDl，垂足为，垂足为D.()直线直线AB与与CD所成的角；所成的角；()求二面角求二面角C-AB-D所成平面角的余弦值所成平面角的余弦值24例题例题2 2、如图，在正方体、如图，在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1
27、1C C1 1D D1 1中，求中，求A A1 1B B与平面与平面A A1 1B B1 1CDCD所成的角所成的角ABCDA1B1C1D1Oxyz111A O21O2sin A BO22设正方体的边长为，则RtB 中，B=，DC=，（解法一）（解法一）DC平面平面BCC1B1,BC1 平面平面BCC1B1,BC1 DC,且且BC1 B1C,BC1 DC=C,BA1O为为A A1 1B B与平面与平面A A1 1B B1 1CDCD所成的角所成的角 BC1 平面平面B1CDA1 所以所以BA1O=30=300 0，故，故A A1 1B B与平面与平面A A1 1B B1 1CDCD所成的角为所
28、成的角为30300 0.111OB A B1sinOB,A B,2|OB|A B|111OB(,0,),A B(0,1,1)22 12（解法二）如图建立空间之间坐标系，设正方体的边长（解法二）如图建立空间之间坐标系，设正方体的边长为为1，则，则O(,1,),B（1，1，0），），A1（1，0，1）.12故故A A1 1B B与平面与平面A A1 1B B1 1CDCD所成的角为所成的角为30300 0.25例例3、如图，斜三棱柱如图，斜三棱柱ABCABCA A1 1B B1 1C C1 1的底面为一等腰直角三的底面为一等腰直角三角形，直角边角形，直角边AB=AC=2cmAB=AC=2cm，侧棱
29、与底面成，侧棱与底面成6060角，角，BCBC1 1 ACAC，BCBC1 1=cm,=cm,求求BCBC1 1与底面所成的角与底面所成的角.2 6分析：欲求分析：欲求BC1与底面与底面ABC所成的角，关所成的角，关键在于准确地找到键在于准确地找到BC1在底面上的射影在底面上的射影.A1B1C1BACOx3x解：解：AC AB，AC BC1，AC 平面平面ABC1，于是平面，于是平面ABC1 平面平面ABC，作作C1O 平平面面ABC，则点，则点O在平面在平面ABC1和平面和平面ABC的交线的交线BA上，上，在在 OBC1中中 BCBC1 1=(已知）已知）2 62221xxC 0=x,CO=
30、,Rt AOCA0COAC433令则中在在Rt BOC中，中，2222(24)2 6,x15x2 26(.3xx解得或舍）11110sin,4OCC BOBCBC1与底面所成的角是与底面所成的角是.410arcsin C1BO为所为所求的角求的角.26 A ACB BD DHF解法一解法一(垂线法垂线法):如图如图,由已知可得平面由已知可得平面ABC 平面平面,作作DH BC于于H，则，则DH 平面平面ABC，作，作DF AB于于F，连，连HF，则据三垂线定理的逆定理知则据三垂线定理的逆定理知 DFH为为所求二面角的平面角所求二面角的平面角.于是在于是在 DFH中，由余弦定理，得中，由余弦定理
31、，得3cos3DFH即面即面ABD与面与面ABC所成的二面角为所成的二面角为3arccos336,33DFa HFa DHa又知又知 BAD=45,ABC=30，得得【回顾回顾】已知直二面角已知直二面角 l ,A,B,线段线段AB=2a，AB与与 成成45的角，与的角，与 成成30角，过角，过A、B两点分别作棱两点分别作棱l 的的垂线垂线AC、BD，求面，求面ABD与面与面ABC所成角的大小所成角的大小.27H由于由于D在平面在平面ABC内的射影内的射影H在在BC边上边上ABH为为ABD在平面在平面ABC上的射影上的射影设所求的二面角为设所求的二面角为,则有则有cos=SABH/SABD，3c
32、os.3，代入上式，得，代入上式，得2ABD1S=a22ABH2 3S=a3，由解法一，易求得由解法一，易求得解法二解法二(射影法射影法)：3arccos.3 故故已知直二面角已知直二面角 l，A，B，线段线段AB=2a，AB与与 成成45的角，与的角，与成成30角，过角，过A、B两点分别两点分别作棱作棱l的垂线的垂线AC、BD，求面，求面ABD与面与面ABC所成角所成角的大小的大小.ACBD282222CE+DF+EFCDcos=2CEDFACBDEF如图，作如图，作CE、DF都垂直于所求二面角的棱都垂直于所求二面角的棱AB，E、F是垂足是垂足,设所求二面角设所求二面角C-AB-D的平面角大
33、小为的平面角大小为 易求易求 DF=a，EF=0.5a 应用公式可得应用公式可得3CE=a2，解法三（公式法）解法三（公式法）：已知直二面角已知直二面角 l，A，B，线段线段AB=2a，AB与与 成成45的角，与的角，与成成30角，过角，过A、B两点分别两点分别作棱作棱l的垂线的垂线AC、BD，求面，求面ABD与面与面ABC所成角所成角的大小的大小.胜利属于自强不息的人！胜利属于自强不息的人！22223a(a)+a+()a322=332aa229(2)平移法平移法(3)补形法补形法(1)向量法向量法:|AB CD|cos=|AB|CD|求异面直线所成的角常用的方法有：求异面直线所成的角常用的方法有：常用的方法有常用的方法有:(2)三面角的余弦公式三面角的余弦公式(3)向量法向量法(1)定义法定义法(1)定义法定义法求二面角常用方法有求二面角常用方法有:(2)垂线法垂线法(3)垂面法垂面法(4)射影法射影法(5)向量法向量法(6)公式法公式法求空间角常用的方法小结求空间角常用的方法小结 ,田田 田 拒绝勤奋创新的人，拒绝勤奋创新的人，永远不能体会成功的快乐！永远不能体会成功的快乐！拒绝酸涩的人，拒绝酸涩的人，永远不能体味甜美的甘醇！永远不能体味甜美的甘醇！30 同学们再见！刻苦勤奋
