1、二次函数y=ax+bx+c的图象和性质第二课时知识回顾问题探究课堂小结（1）二次函数表达式常见的三种形式是：一般式：y=ax+bx+c2ya xhk（）顶点式：交点式：12ya xxxx（）（）（2）抛物线 的顶点坐标是：2ya xhk（）（h，k）知识回顾问题探究课堂小结活动1探究一：利用一般式求二次函数解析式。回顾旧知，引出新知。重点、难点知识问题1：一次函数y=kx+b（k0）有几个待定系数？通常需要已知几个点的坐标求出它的解析式？2个问题2：求一次函数解析式的方法是什么？它的一般步骤是什么？待定系数法：（1）设：（表达式）；（2）代：（坐标代入）；（3）解：方程（组）；（4）还原：（写
2、解析式）问题3：二次函数y=ax+bx+c（a0）有几个待定系数？通常需要已知几个点的坐标求出它的解析式？3个知识回顾问题探究课堂小结活动2探究一：利用一般式求二次函数解析式。重点、难点知识已知二次函数图象经过点（-3，0），（-1，0），（0，-3），试求出这个二次函数的解析式。解析：设一般式yax2bxc，再把已知三点坐标代入得到关于a、b、c的方程组，然后解方程组求出a、b、c即可。解：设这个二次函数的表达式是yax2bxc，把（-3，0），（-1，0），（0，-3）代入yax2bxc得30039ccbacba解得341cba所求的二次函数的表达式是y-x2-4x-3。问题：已知抛物线上
3、三个点如何确定二次函数解析式？知识回顾问题探究课堂小结活动2探究一：利用一般式求二次函数解析式。重点、难点知识一般式法求二次函数解析式的方法：这种已知三点求二次函数解析式的方法叫做一般式法。其步骤是：设函数解析式为yax2bxc；代入后得到一个三元一次方程组；解方程组得到a，b，c的值；把待定系数用数字换掉，写出函数解析式。若题目给出了二次函数图象上三个点的坐标，则可采用一般式求解。知识回顾问题探究课堂小结活动探究二：利用顶点式求二次函数解析式。重点、难点知识问题：已知顶点坐标及图象上另一点坐标，能否求出二次函数解析式？如何进行？已知抛物线的顶点坐标为M（1，2），且经过点N（2，3），求此二
4、次函数的解析式。解析：因为抛物线的顶点坐标为M（1，2），所以设此二次函数的解析式为ya（x1）22，把点N（2，3）代入解析式解答。解：已知抛物线的顶点坐标为M（1，2），设此二次函数的解析式为ya（x1）22，把点N（2，3）代入解析式，得a23，即a5，此函数的解析式为y5（x1）22。知识回顾问题探究课堂小结活动探究二：利用顶点式求二次函数解析式。重点、难点知识顶点式法求二次函数解析式的方法：这种知道抛物线的顶点坐标，求解析式的方法叫做顶点式法。设函数解析式是y=a（x-h）2+k；先代入顶点坐标，得到关于a的一元一次方程；将另一点的坐标代入原方程求出a值；a用数值换掉，写出函数解析式
5、。若题目给出了二次函数的顶点坐标，则采用顶点式求解简单。知识回顾问题探究课堂小结活动探究三：利用交点式求二次函数解析式。重点、难点知识问题：已知抛物线与x轴两交点坐标或一交点坐标和对称轴如何确定二次函数解析式？已知抛物线经过两点A（1，0），B（0，3），且对称轴是直线x2，求此二次函数的解析式。解析：可设交点式ya（x1）（x3），然后把B点坐标代入求出a即可；解：对称轴是直线x2，抛物线与x轴另一个交点坐标为（3，0）。设抛物线解析式为ya（x1）（x3），把B（0，3）代入得a（1）（3）3，解得a1，抛物线解析式为y（x1）（x3）x24x3。知识回顾问题探究课堂小结活动探究三：利用交
6、点式求二次函数解析式。重点、难点知识交点式法求二次函数解析式的步骤：这种知道抛物线与x轴的交点坐标，求解析式的方法叫做交点式法。设函数解析式是12()()ya xxxx；先把两交点的横坐标x1，x2代入到解析式中，得到关于a的一元一次方程；将另一点的坐标代入原方程求出a值；a用数值换掉，写出函数解析式。已知抛物线与x轴两交点或一交点和对称轴，则采用交点式求解简单。知识回顾问题探究课堂小结活动1探究四：用待定系数法求二次函数解析式的训练。重点、难点知识基础型例题例1已知二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为1，且经过点（2，5）和（-2，13），求这个二次函数的表达式。【解题过程】解：因为二次函数图
7、象与y轴交点的纵坐标为1，所以c=1。设二次函数的表达式为yax2bx1，将点（2，5）和（-2，13）代入yax2bx1，得5=42113421abab解得=22ab 所以所求二次函数的表达式为y2x2-2x1。【思路点拨】已知二次函数图象经过任意三点，可直接设表达式为一般式，代入可得三元一次方程组，解之即可求出待定系数。知识回顾问题探究课堂小结活动1探究四：用待定系数法求二次函数解析式的训练。重点、难点知识 练习：已知二次函数的图象经过点A（3，0），B（2，-3），C（0，-3），求函数的表达式和对称轴。【解题过程】解：设函数表达式为y=ax2+bx+c，因为二次函数的图象经过点A（3，
8、0），B（2，-3），C（0，-3），则有9304233abcabcc ，。解得123abc ，。函数的表达式为y=x2-2x-3，其对称轴为直线x=1。基础型例题知识回顾问题探究课堂小结活动1探究四：用待定系数法求二次函数解析式的训练。重点、难点知识 例2.已知抛物线的顶点是（1，2）且过点（2，3），求这个二次函数的表达式。【解题过程】解：已知顶点坐标设顶点式y=a（x-h）2+k，顶点是（1，2），设y=a（x-1）2+2，又过点（2，3），a（2-1）2+2=3，a=1y=（x-1）2+2，即y=x2-2x+3。【思路点拨】此题只告诉了两个点的坐标，但其中一点为顶点坐标，所以表达式可设
9、顶点式：y=a（x-h）2+k，即可得到一个关于字母a的一元一次方程，再把另一点代入即可求出待定系数。在设表达式时注意h的符号。基础型例题知识回顾问题探究课堂小结活动1探究四：用待定系数法求二次函数解析式的训练重点、难点知识【解题过程】练习：已知一个二次函数的图象的顶点是（-1，2），且过点（0，），求这个二次函数的表达式及与x轴交点的坐标。32解：已知顶点坐标设顶点式y=a（x-h）2+k，顶点是（-1，2）设y=a（x+1）2+2，又过点（0，），3232,2a12a，21(1)22yx ，21322yxx 即。令y=0，213022xx即，解得1231xx，。与x轴交点坐标为（-3，0）
10、、（1，0）。基础型例题知识回顾问题探究课堂小结活动2探究四：用待定系数法求二次函数解析式的训练。重点、难点知识提升型例题例3：已知抛物线经过三点（-3，0），（-1，0），（0，-3），试求出这个二次函数的表达式。【解题过程】解：（-3，0）（-1，0）是抛物线yax2bxc与x轴的交点。所以可设这个二次函数的表达式是12()()ya xxxx（其中x1，x2为交点的横坐标）因此得y=a（x+3）（x+1）。再把点（0，-3）代入上式得a（0+3）（0+1）=-3，解得a=-1，所求的二次函数的表达式是y=-（x+3）（x+1），即y-x2-4x-3。【思路点拨】因为已知点为抛物线与x轴的交
11、点，表达式可设为交点式，再把第三点代入可得一元一次方程，较一般式所得的三元一次方程组简单，而顶点可根据顶点公式求出。知识回顾问题探究课堂小结活动2探究四：用待定系数法求二次函数解析式的训练。重点、难点知识练习：已知一抛物线经过三点A（-2，0）、B（1，0）、C（2，8）。试求该抛物线的表达式及顶点坐标。【解题过程】解：A（-2，0）、B（1，0）是抛物线与x轴两交点，设表达式为y=a（x+2）（x-1），把C（2，8）代入上式，则有a（2+2）（2-1）=8，a=2。此函数的表达式为y=2x2+2x-4。提升型例题19()22，。其顶点坐标为知识回顾问题探究课堂小结活动2探究四：用待定系数法
12、求二次函数解析式的训练。重点、难点知识例4：如图，已知二次函数的图象过A、C、B三点，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y轴正半轴上，且AB=OC。（1）求点C的坐标；（2）求二次函数的解析式，并化成一般形式。【解题过程】解：（1）点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（4，0），OC=AB=5，点C的坐标为（0，5）；（2）设二次函数解析式为：y=ax2+bx+5，把A（1，0）、B（4，0）代入原函数解析式得出：51544ab，。所以这个二次函数的解析式为：2515544yxx 。提升型例题知识回顾问题探究课堂小结活动2探究四：用待定系数法求二次函数解析式的训练。重点、难
13、点知识【思路点拨】（1）根据题目所给的信息可以知道OC=AB=5，点C在y轴上可以写出点C的坐标；（2）二次函数图象经过点A、B、C；这三个点的坐标已知，根据三点法确定这个二次函数解析式。提升型例题例4：如图，已知二次函数的图象过A、C、B三点，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y轴正半轴上，且AB=OC。（1）求点C的坐标；（2）求二次函数的解析式，并化成一般形式。知识回顾问题探究课堂小结活动2探究四：用待定系数法求二次函数解析式的训练。重点、难点知识练习：已知在直角坐标平面内，抛物线y=x2+bx+6经过x轴上两点A，B，点B的坐标为（3，0），与y轴相交于点C。【解题
14、过程】解：（1）把点B的坐标（3，0）代入抛物线y=x2+bx+6，得0=9+3b+6，解得b=5，所以抛物线的表达式y=x25x+6；（2）抛物线的表达式y=x25x+6；A（2，0），B（3，0），C（0，6），11 632ABCS。提升型例题（1）求抛物线的表达式；（2）求 的面积。ABC知识回顾问题探究课堂小结活动3探究四：用待定系数法求二次函数解析式的训练。重点、难点知识探究型例题例5：一个二次函数的图象经过点A（0，1），B（1，2），C（2，1），你能确定这个二次函数的表达式吗？你有几种方法？【解题过程】解法1：二次函数图象与y轴的交点的纵坐标为1，c=1。设二次函数的表达式为y
15、=ax2+bx+1，将点（1，2）和（2，1）分别代入y=ax2+bx+1，得211=421abab，12ab，解得。二次函数的表达式为y=-x2+2x+1。知识回顾问题探究课堂小结活动3探究四：用待定系数法求二次函数解析式的训练。重点、难点知识由A（0，1），B（1，2），C（2，1）三个点的特征以及二次函数图象的对称性，可得点B（1，2）是函数图象的顶点坐标。二次函数的表达式为y=a（x-1）2+2，将点（0，1）代入y=a（x-1）2+2，得a=-1。二次函数的表达式为y=-（x-1）2+2，即y=-x2+2x+1。探究型例题例5：一个二次函数的图象经过点A（0，1），B（1，2），C（
16、2，1），你能确定这个二次函数的表达式吗？你有几种方法？【解题过程】解法2：知识回顾问题探究课堂小结活动3探究四：用待定系数法求二次函数解析式的训练。重点、难点知识设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c，将点（0，1），（1，2）和（2，1）分别代入y=ax2+bx+c，得121 42ca b cab c ，121abc 解得。二次函数的表达式为y=-x2+2x+1。【思路点拨】分别找出用三种方法求解析式的条件，分别求解。探究型例题例5：一个二次函数的图象经过点A（0，1），B（1，2），C（2，1），你能确定这个二次函数的表达式吗？你有几种方法？【解题过程】解法3：知识回顾问题探究课堂小结
17、活动3探究四：用待定系数法求二次函数解析式的训练重点、难点知识练习：如图所示，这是一名学生推铅球时，铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的图象，请求出其表达式。【解题过程】解：（4，3）是抛物线的顶点坐标，设二次函数表达式为y=a（x-4）2+3，把点（10，0）代入y=a（x-4）2+3，解得112a ，因此铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数表达式为21(4)312yx ，21251233yxx 即。【思路点拨】观察图象知，已知抛物线的顶点和另一点坐标，用顶点式求解。探究型例题知识回顾问题探究课堂小结活动3探究四：用待定系数法求二次函数解析式的训练。重点、难点知识例6：如
18、图，已知二次函数 的图象经过点A和点B。24yaxxc（1）求该二次函数的表达式；（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；【解题过程】解：（1）将x=-1，y=-1；x=3，y=-9分别代入24yaxxc得()()acac 221141，934 3。解得ac 1，6。二次函数的表达式为246yxx。（2）对称轴为x=2；顶点坐标为（2，-10）。探究型例题知识回顾问题探究课堂小结活动3探究四：用待定系数法求二次函数解析式的训练。重点、难点知识（3）点P（m，m）与点Q均在该函数图象上（其中m0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q到x轴的距离。（3）将（m，m）代入得246yxx24
19、6mmm，解得1216mm，m0 不合题意，舍去，11m m=6。点P与点Q关于对称轴x=2对称，点Q到x轴的距离为6。探究型例题例6：如图，已知二次函数 的图象经过点A和点B。24yaxxc【解题过程】知识回顾问题探究课堂小结活动3探究四：用待定系数法求二次函数解析式的训练。重点、难点知识（1）求该二次函数的表达式；（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；（3）点P（m，m）与点Q均在该函数图象上（其中m0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q到x轴的距离。【思路点拨】（1）用待定系数法求解析式；（2）用对称轴方程和顶点坐标公式写出，也可用配方法写出；（3）先将P（m，m）代入抛物
20、线解析式求出m值，再求Q点坐标。探究型例题例6：如图，已知二次函数 的图象经过点A和点B。24yaxxc知识回顾问题探究课堂小结活动3探究四：用待定系数法求二次函数解析式的训练。重点、难点知识练习：如图，抛物线y=ax2+2x+c经过点A（0，3），B（1，0），请解答下列问题：（1）求抛物线的解析式；【解题过程】解：（1）抛物线y=ax2+2x+c经过点A（0，3），B（1，0），将A与B坐标代入得：302cac解得：13ac 则抛物线解析式为y=x2+2x+3；探究型例题知识回顾问题探究课堂小结活动3探究四：用待定系数法求二次函数解析式的训练重点、难点知识（2）抛物线的顶点为点D，对称轴与
21、x轴交于点E，连接BD，求BD的长。（2）点D为抛物线顶点，得D（1，4），对称轴与x轴交于点E，DE=4，OE=1，B（1，0），BO=1，BE=2，2222242 5BDBEDE。探究型例题练习：如图，抛物线y=ax2+2x+c经过点A（0，3），B（1，0），请解答下列问题：【解题过程】在Rt 中，根据勾股定理得：BED知识回顾问题探究课堂小结活动3探究四：用待定系数法求二次函数解析式的训练。重点、难点知识探究型例题练习：如图，抛物线y=ax2+2x+c经过点A（0，3），B（1，0），请解答下列问题：（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的顶点为点D，对称轴与x轴交于点E，连接BD，求B
22、D的长。【思路点拨】（1）将A与B代入抛物线解析式求出a与c的值，即可确定出抛物线解析式；（2）利用顶点坐标公式表示出D点坐标，进而确定出E点坐标，得到DE与OE的长，根据B点坐标求出BO的长，进而求出BE的长，在直角三角形BED中，利用勾股定理求出BD的长。知识梳理知识回顾问题探究课堂小结（1）待定系数法求解析式的一般步骤：设：（表达式）；代：（坐标代入）；解：方程（组）；还原：（写解析式）（2）待定系数法求二次函数解析式的一般方法：已知条件所选方法已知三点坐标用一般式法：已知顶点坐标或对称轴或最值用顶点法：已知抛物线与x轴的两个交点用交点法：2yaxbxc2ya xhk12ya xxxx（其中x1，x2为交点的横坐标）重难点归纳知识回顾问题探究课堂小结在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解。一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴或最大（小）值，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解。
