1、 汉中市汉中市 20202020 届高三第六次质量检测试题届高三第六次质量检测试题 文科数学文科数学 本试卷分为第本试卷分为第卷（选择题）和第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分卷（非选择题）两部分，满分 150150 分分. .考试时间考试时间 120120 分钟分钟. . 第第卷（选择题卷（选择题 共共 6060 分）分） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. . 1.已知平面向量1, 2a r ，
2、2,bm r ，且 / /ab，则m （ ） A. 4 B. 1 C. -1 D. -4 【答案】D 【分析】利用平面向量共线定理即可得出 【详解】解：1, 2a r ，2,bm r ，且 / /ab， 40m，解得4m 故选：D 【点睛】本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 2.已知集合| 1 3Axx ， 2 |40BxZ xx，则AB （ ） A. |03xx B. 1,2,3 C. 1,2 D. 2,3,4 【答案】C 【分析】解不等式求出集合A、B，再求AB 【详解】解： 2 |40BxZ xx 1,2,3B | 13Axx 1,2AB 故选：C 【点睛】本题
3、考查了解不等式与交集的运算问题，属于基础题 3.设 34 43 i z i ， 2 1f xxx，则 f z （ ） A. i B. i C. 1i D. 1 i 【答案】A 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，代入函数解析式求解 【详解】解： 34 43 i z i 344334 434343 iii zi iii 2 1f xxx 2 1f ziii 故选：A 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题 4.下列四个命题中，正确命题的个数是（ ）个 若平面平面， 且平面平面， 则/ /； 若平面/ /平面， 直线/ /m平面， 则/ /m； 平面平面，且l，点A，若直线AB
4、l，则AB；直线m、n为异面直线， 且m平面，n 平面，若mn，则. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【分析】利用空间中线线、线面、面面间位置关系求解 【详解】解： 若平面平面，且平面平面，则与相交或平行，故错误； 若平面/ /平面，直线/ /m平面，则/ /m或m，故错误； 当点B不在平面内，满足ABl时，但AB与不垂直，故错误； 直线m、n为异面直线，且m平面，n 平面， 由面面垂直的性质得，故正确 故选：A 【点睛】本题主要考查了面面平行的性质，以及空间中直线与平面之间的位置关系，同时考查了空间想象 能力，属于基础题 5.下列说法错误的是( ) A. “若2x ，则
5、2 560xx ”的逆否命题是“若 2 560xx ，则2x ” B. “3x ”是“ 2 560xx”的充分不必要条件 C. “ 2 xR,560xx ”的否定是“ 2 000 ,560xR xx” D. 命题：“在锐角ABC中，sincosAB”为真命题 【答案】D 【解析】 依题意，根据逆否命题的定义可知选项A正确；由 2 560xx得3x 或 2,x “ 3x ”是 “ 2 560xx ”的充分不必要条件，故B正确；因为全称命题命题的否是特称命题，所以C正确；锐角 ABC中，0 222 ABAB ，sincos 2 AsinBB ，D错误，故选 D. 6.若tan sin2fxx，则1
6、f 的值为（ ） A. sin2 B. -1 C. 1 2 D. 1 【答案】B 【分析】 令tan1x ，利用二倍角公式和同角的三角函数的基本关系式可得sin2x的值. 【详解】令tan1x ，则 222 2sin cos2tan sin22sin cos sincostan1 xxx xxx xxx ， 故sin21x . 故选 B. 【点睛】三角函数的化简求值问题，可以从四个角度去分析： （1）看函数名的差异； （2）看结构的差异； （3） 看角的差异； （4）看次数的差异对应的方法是：弦切互化法、辅助角公式（或公式的逆用） 、角的分拆与 整合（用已知的角表示未知的角） 、升幂降幂法 7
7、.若函数 f(x)与 g(x)2 x 的图象关于直线 yx 对称，则 f(4x2)的单调递增区间是( ) A. (2,2 B. 0，) C. 0,2) D. (，0 【答案】C 【详解】由已知得： 1 2 ( )logf xx ，则 2 1 2 2 ()log (44)xxf 1 2 ( )logf xx 在0,上单调递减， 2 4yx ，当0y 时，在0,2)上单调递减，于是 f(4x2)的单调 递增区间是0,2) 8.在正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 O 为线段 BD的中点，设点 P 在直线 CC1上，直线 OP与 B1D1所成的角 为，则sin为（ ） A. 1 B. 3 2 C
8、. 1 2 D. 变化的值 【答案】A 【分析】证明 11 B D 平面 11 AAC C得到 11 OPB D，计算得到答案. 【详解】易知： 11111 ,B DAC BDAA， 1111 A AACA，故 11 B D 平面 11 AAC C， OP 平面 11 AAC C，故 11 OPB D，故,sin1 2 . 故选：A. 【点睛】本题考查了异面直线夹角，证明 11 B D 平面 11 AAC C是解题的关键. 9.已知 f x是R上的偶函数，若将 f x的图象向右平移一个单位，则得到一个奇函数的图象，若 21f ，则 1232019ffff（ ） A. 2019 B. 1 C.
9、-1 D. -2019 【答案】C 【分析】 由题意 ( )f x是R上的偶函数，(1)f x 是R上的奇函数，由此可以得出函数的周期为 4，再由 21f 求 出( 2)1f ，由奇函数的性质得出 ( 1)0f ，从而可得 10f，求出一个周期上的四个函数的和，即 可求出 1232019ffff的值 【详解】解：由题意 ( )f x是R上的偶函数，(1)f x 是R上的奇函数， ()( )fxf x，(1)(1)fxf x ， (1)(1)fxf x ， 由得(1)(1)f xf x 恒成立， (1)(3)f xf x 由得(1)(3)f xf x恒成立， 函数的周期是 4，下研究函数一个周期
10、上的函数的值 由于 ( )f x的图象向右平移一个单位后，则得到一个奇函数的图象即(0 1)0f ，即 ( 1)0f ，由偶函数知 10f，由周期性知 30f 由 21f 得( 2)1f ，由(1)(1)f xf x ，知(0)1f，故 41f故有 12340ffff 12320191230101fffffff 故选：C 【点睛】本题考查函数奇偶性的运用，求解本题的关键是根据函数的性质求出函数的周期以及一个周期中 函数值的和，然后根据周期性求出函数值的和 10.设曲线 * cosf xmx mR上任一点, x y处切线斜率为 g x， 则函数 2 yx g x 的部分图象 可以为 A. B.
11、C. D. 【答案】D 【解析】 ( )cos ()f xmx mR上任一点, x y处切线斜率为 g x ( )( )sing xfxmx 函数 222 ( )()sinsinyx g xxmxmxx ，则该函数为奇函数，且当0x 时， 0y . 故选 D. 点睛： （1） 运用函数性质研究函数图像时， 先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向； （2） 在运用函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系， 结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现 去f“ ”，即将函数值的大小转化自变
12、量大小关系. 11.已知数列 n a的前n项和为 n S，且满足1 nn aS，则 3912 1239 SSSS aaaa （ ） A. 1013 B. 1035 C. 2037 D. 2059 【答案】A 【分析】 根据 1 1 1 2 n nn Sn a SSn 求出数列 n a，求出前n项和为 n S，即可得到21 n n n S a ，再用分组求和求 得其前9项和. 【详解】解：1 nn aS 当1n 时 11 1aS得 1 1 2 a 当2n时 11 1 nn aS 11 0 nnnn aSaS 1 1 2 nn aa 数列 n a是以 1 1 2 a 为首项， 1 2 q 为公比的
13、等比数列. 1 2 n n a 1 1 2 n n S 21 n n n S a 2910 3912 1239 22292111013 SSSS aaaa 故选：A 【点睛】本题考查利用 n S求 n a，以及等比数列的前n项和为 n S，属于基础题. 12.已知抛物线 2 2ymx与椭圆 22 22 10 xy ab ab 有相同焦点F，P是两曲线的公共点，若 5 6 m PF ，则椭圆的离心率为（ ） A. 3 2 B. 33 2 C. 22 2 D. 1 2 【答案】D 【分析】 根据两个曲线的焦点相同,可得 2 m c .由抛物线定义可得 2 2 2 3 m y .结合两式即可用c表示
14、出P点坐标.代入 椭圆方程,化简后根据齐次式形式即可求得离心率. 【详解】抛物线 2 2ymx与椭圆 22 22 10 xy ab ab 有相同的焦点F,P是两曲线的公共点, 所以,0 2 m F ,即椭圆中的 2 m c 设 2 , 2 y Py m ,由抛物线定义可知 2 22 ym PF m 由题意 5 6 m PF ,即 2 5 226 ymm m 化简可得 2 2 2 3 m y 将 2 m c 变形为2mc代入等式可得 2 2 8 3 c y 则P的坐标可化为 22 6 , 33 cc P 由点P在椭圆上,代入可得 22 22 222 48 93 1 cc ab bac ,化简可得
15、 42 24 43790ca ca 除以 4 a可化为 42 43790ee即 22 4190ee 解得 2 1 4 e 或 2 9e 因为0,1e 所以 1 2 e 故选:D 【点睛】本题考查了抛物线与椭圆标准方程及性质的综合应用,共焦点下两个方程的关系,齐次式下离心率的 求法,属于中档题. 第第卷（非选择题卷（非选择题 共共 90 分）分） 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分. .将答案填将答案填写在题中的横线上写在题中的横线上. . 13.抛物线 2 2xy 的准线方程是_ 【答案】 1 8 x = 【分析】
16、先将抛物线方程化为标准方程，即可求解. 【详解】由 2 2xy ，所以 2 1 2 yx ，故准线方程为 1 8 x . 【点睛】本题主要考查抛物线的简单性质，属于基础题型. 14.若x yzR、 、，且226xyz，则 222 xyz的最小值为_. 【答案】4 【分析】 由条件利用柯西不等式可得 222222 (212 )() (22)36xyzxy ，由此求得 222 xyz 的最小值 【详解】解：由于 222222 (212 )() (22)36xyzxy ， 即 222 9() 36xyz， 222 4xyz，即 222 xyz 的最小值为 4， 故答案为：4 【点睛】本题主要考查柯西
17、不等式的应用，属于基础题 15.已知函数 f x， g x分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且 2xf xg xx，则 2 log 3f_. 【答案】 5 3 【分析】 根据函数奇偶性定义,并令x x 代入即可解方程组求得 f x.将 2 log 3代入解析式即可求解. 【详解】函数 f x, g x分别是定义在R上的偶函数和奇函数 则 f xfx, g xgx 因为 2xf xg xx 则2 x fxgxx ,即 2 x f xg xx 则 22 2 xx f x 所以 22 log 3log 3 2 1 3 225 3 223 log 3f 故答案为: 5 3 【点睛】本题考查了函数奇偶性
18、定义及性质应用,函数解析式的求法,属于基础题. 16.定义在区间0,2上的函数 2 1f xxxt 恰有 1 个零点，则实数t的取值范围是_ 【答案】11t 或 5 4 t 【分析】 分为函数 f x有一个点零点和两个零点分类讨论，若 f x一个点零点则0 ，若 f x有两个零点， 再分为三种情况求解. 【详解】 （1）若函数 f x只有一个零点，则1 4(1)0t ，即 5 4 t ， 此时 2 2 11 42 f xxxx ，函数只有一个零点 1 2 ，符合题意； （2）若函数 f x有两个零点，且在区间0,2恰有 1 个零点， 则 020ff或 00 20 f f 或 00 20 f f
19、 ， 由 020ff得1 10tt，解得11t ， 由 00 20 f f 得 10 10 t t ，解得1t ， 由 00 20 f f 得 10 10 t t ，无解. 所以，当11t 时，函数 f x有两个零点，且在区间0,2恰有 1 个零点. 综上所述，实数t的取值范围是11t 或 5 4 t . 【点睛】本题考查函数零点所在区间.方法：1、根据二次函数的性质按零点个数分类讨论；2、分离参数t转 化为两个函数的交点问题求解. 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分. .解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出必要的文字说明、证明
20、过程或演算步骤. . 17.设函数 2 2 cos2cos1 32 x fxx ，xR. （1）求 f x的值域； （2）记ABC的内角A、B、C的对边长分别为, ,a b c ab，若 0f B ，1b ，3c ，求a的 值. 【答案】 （1） 1,1 ； （2）2. 【分析】 （1）利用二倍角公式及两角和的余弦公式将 2 2 cos2cos1 32 x f xx 化简，变形后可以用三角 函数的有界性求值域 （2）由 0f B 求出B，利用余弦定理建立关于a的方程求出a 【详解】解： （1） 22 cos cossin sincos 33 f xxxx cos 3 x ， xR，1cos1
21、3 x ， f x值域为 1,1. （2）由 0f B 得：cos0 3 B .在ABC中，0 B，故 6 B . 在ABC中，由余弦定理得： 222 2cos 6 bacac ， 2 320aa-+= ，1ab，解得：2a . 【点睛】考查利用三角函数的有界性求值域与利用余弦定理解三角形，属于基础题， 18.某厂商调查甲乙两种不同型号汽车在 10个不同地区卖场的销售量（单位：台） ，并根据这 10个卖场的销 售情况，得到如图所示的茎叶图，为了鼓励卖场，在同型号汽车的销售中，该厂商将销售量高于数据平均 数的卖场命名为该型号的“星级卖场”. （）求在这 10个卖场中，甲型号汽车的“星级卖场”的个
22、数； （）若在这 10个卖场中，乙型号汽车销售量的平均数为 26.7，求ab的概率； （）若1a ，记乙型号汽车销售量的方差为 2 s，根据茎叶图推断b为何值时， 2 s达到最小值（只写出结 论）. 注：方差 222 2 12 1 n Sxxxxxx n ，其中x是 1 x， 2 x， n x的平均数. 【答案】 （1）5 （2） 4 9 P A （3）0b 分析】 （）根据茎叶图,代入即可求得甲型号汽车的平均值,即可求得“星级卖场”的个数; （）根据乙组数据的平均值,可代入求得8ab.由古典概型概率,列举出所有可能,即可求得符合ab的 概率. （）当1a 时,由方差公式可知,当b的值越小,其
23、方差值越小,即0b 时方差 2 s取得最小值. 【详解】 （1）根据茎叶图得到甲组数据的平均值： 1 10 10 18 142225273041 4324 10 x 甲 . 该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号的“星级卖场”, 在这 10个卖场中,甲型号汽车的“星级卖场”的个数为 5 个. （2）记事件A为“ab”,乙组数据的平均值： 1 10 1820222331 32303043 10 xab 乙 26.7, 8ab, 和取值共 9 种,分别为：0,8,1,7,2,6,3,5,4,4,5,3,6,2,7,1,8,0,其ab的有 4 种, ab的概率 4 9 P A . （3）由题
24、意可知当b的值越小,其方差值越小 所以0b 时, 2 S达到最小值. 【点睛】本题考查了茎叶图的简单应用,古典概型概率的求法,方差的性质应用,属于基础题. 19.已知抛物线： 2 4yx的焦点为F，直线l：20yk xk与抛物线交于A，B两点，AF，BF 的延长线与抛物线交于C，D两点. （1）若AFB的面积等于 3，求k的值； （2）记直线CD的斜率为 CD k，证明： CD k k 为定值，并求出该定值. 【答案】 （1）2； （2）证明见解析，2. 分析】 （1）设出抛物线上两点A、B的坐标，由 2 4 (2) yx yk x 消去x，根据AFB的面积和根与系数的关系即 可求出k的值；
25、（2）设出抛物线上点C、D，利用向量法和三点共线的知识，求出点C与D的坐标表示，再计算CD的 斜率，即可证明 CD k k 为定值 【详解】解： （1）设 2 1 1 , 4 y Ay ， 2 2 2 , 4 y By ， 由 2 4 2 yx yk x 得 2 480kyyk， 2 16320k ， 12 4 yy k ， 12 8y y ， 2 121212 11 14 22 AFB yyyyy yS 2 1 223 k ，解得2k . （2）设 2 3 3 , 4 y Cy ，则 2 1 1 1, 4 y yFA ， 2 3 3 1, 4 y yFC ， 因为A，F，C共线，所以 22
26、31 31 110 44 yy yy 即 2 313 1 4 40yyy y ， 解得： 31 yy（舍）或 3 1 4 y y ，所以 2 11 44 ,C yy ，同理 2 22 44 ,D yy ， 1212 12 22 12 44 2 44 CD yyy y kk yy yy ，故2 CD k k （定值）. 【点睛】本题考查了直线与双曲线、直线与抛物线的应用问题，也考查了弦长公式以及根与系数的应用问 题，属于中档题 20.如图所示，在四棱锥PABCD中，PD 平面 ,/ABCD AB DC，已知 228,24 5BDADPDABDC （1）设M是PC上一点，证明：平面MBD 平面PA
27、D； （2）若M是PC的中点，求三棱锥PDMB的体积 【答案】 （1）证明见解析； （2）16 3 【解析】 （ 1 ） 由 勾 股 定 理 可 得ADBD， 又PD 平 面,ABCD BD 平 面ABCDPDBD， 又 PDADDBD 平面PAD平面MBD 平面PAD； （2）由M是PC的中点可得 P DMBC DMBMBCD VVV 又点M到平面ABCD的距离等于 1 2 4 PD ， 可求得 116 8 2 33 MBCD V ， 即三棱锥PDMB的体积为16 3 试题解析： （1）在ABD中， 222 4,8,4 5,ADBDABABBDAB，ADBD 又PD 平面,ABCD BD 平
28、面ABCDPDBD， 又PDADDBD 平面PAD 又BD 平面MBD，平面MBD 平面PAD， （2）因为M是PC的中点，所以 P DMBC DMBMBCD VVV 在四边形ABCD中，由已知可求得8 BCD S，又点M到平面ABCD的距离等于 1 2 4 PD ， 所以 116 8 2 33 MBCD V ，即三棱锥PDMB的体积为16 3 考点：1、线面垂直；2、面面垂直；3、锥体的体积 21.已知函数 2 ( )lnf xxax在1x 处的切线与直线10xy 垂直. （1）求函数( )( )yf xxfx（( )fx为 ( )f x的导函数）的单调递增区间； （2） 记函数 2 3 (
29、 )( )(1) 2 g xf xxb x， 设 1 x， 212 ()x xx是函数( )g x的两个极值点， 若 2 1 1 e b e ， 证明： 2 xe. 【答案】 （1） 6 (0,) 6 ； （2）见解析. 【解析】 （1）由题意求得 ( ) fx ，根据 11 f ，求得1a ，进而利用 ( ) 0fx ，即可求解函数的单调递增区 间； （2）由 g x，求得 gx ，根据 12 ,x x是 g x的两个极值点，转化为方程的两个根，得出 121 2 ,xx x x， 得到 2 2 11 1xbe xe ，令 1 ( )h xx x ，即可证明结论. 试题解析 （1）由题意可得：
30、 1 2f xax x ， 11 21fa ，可得：1a ； 又 2 31yf xxf xlnxx，所以 2 11 6 6 x yx xx ( 0)x ； 当 6 0, 6 x 时，0y ，y单调递增； 当时 6 , 6 x ，0y ，y单调递减；故函数的单调增区间为 6 0, 6 x . （2） 2 1 1 2 g xlnxxb x， 1 1g xxb x 2 11xb x x ， 因为 1 x， 2 x是 g x的两个极值点，故 1 x， 2 x是方程 2 110xb x 的两个根，由韦达定理可知： 12 12 1 1 xxb x x ， 12 xx，可知 2 1x ，又 2 2 11 1
31、xbe xe ， 令 1 h xx x ，可证 h x在1,递增，由 2 h xh e，从而可证 2 xe. 考点：导数在函数中的应用. 点睛：本题主要考查了导数在函数中的应用，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性，利用导数研 究函数的极值，以及函数的单调性的应用的综合应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，本题 的解答中把 12 ,x x是 g x的两个极值点，转化为方程的两个根，创设函数，利用函数的单调性求解是解答的 关键. 请考生在请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. . 22.在直角坐标系
32、xOy中，曲线 1 C： 27 cos 7sin x y （为参数）.以O为极点，x轴的正半轴为极轴建 立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为8cos，直线l的极坐标方程为() 3 R. （）求曲线 1 C的极坐标方程与直线l的直角坐标方程； （）若直线l与 1 C， 2 C在第一象限分别交于A，B两点，P为 2 C上的动点.求 PAB面积的最大值. 【答案】（） 2 4 cos30，3yx；（）23 【分析】 ()先求出曲线 1 C的普通方程,再把普通方程化为极坐标方程.再写出直线的直角坐标方程.( )先求出 21 1AB,再求出以AB为底边的 PAB的高的最大值为42 3, 再求PAB面积
33、的最大值. 【详解】()依题意得,曲线 1 C的普通方程为 2 2 27xy, 曲线 1 C的极坐标方程为 2 4 cos30, 直线l的直角坐标方程为3yx ()曲线 2 C的直角坐标方程为 2 2 416xy,设 1, 3 A , 2, 3 B , 则 2 11 4cos30 3 ,即 2 11 230 ,得 1 3或 1 1 (舍), 2 8cos4 3 ,则 21 1AB, 2 4,0C到l的距离为 4 3 2 3 4 d ,以AB为底边的 PAB的高的最大值为42 3, 则PAB的面积的最大值为 1 142 323 2 【点睛】(1)本题主要考查参数方程、极坐标方程和直角坐标方程的互
34、化，考查直线和圆的位置关系，考查 面积的最值的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.（2）本题的解题的关键是求出 21 1AB. 23.已知函数( ) 21f xxaxaR. （1）当1a 时，求( )2f x 的解集； （2）若( )121f xx的解集包含集合 1 ,1 2 ，求实数a的取值范围. 【答案】 （1） 4 |0 3 xx ； （2） 5 1, 2 . 【分析】 （1）当1a 时， 121f xxx ，分类去绝对值讨论即可； （2）由 21f xx的解集包含集合 1 ,1 2 ，得当 1 ,1 2 x 时，不等式 21f xx恒成立，然后去绝对值参变分离转化为函
35、数的最值问题 即可. 【详解】解： （1）当1a 时， 121f xxx ， 21212f xxx ， 上述不等式可化为 1 2 11 22 x xx ，或 1 1 2 1212 x xx 或 1 1 212 x xx ， 解得 1 2 0 x x ，或 1 1 2 2 x x ，或 1 4 3 x x ， 1 0 2 x或 1 1 2 x或 4 1 3 x，原不等式解集为 4 |0 3 xx . （2） 21f xx的解集包含集合 1 ,1 2 ， 当 1 ,1 2 x 时，不等式 21f xx恒成立， 即2121xaxx在 1 ,1 2 x 上恒成立， 2121xaxx ，即2xa，22xa ， 22xax在 1 ,1 2 x 上恒成立， maxmin 22xax， 5 1 2 a ， a的取值范围是 5 1, 2 . 【点睛】本题考查了分类讨论解绝对值不等式，不等式的恒成立问题，参变分离法是解决恒成立有关问题 的好方法.
