1、一元一次方程知识点及经典例题去括去括 号号先去小括号，再 去中括号，最后去大 括号乘法分配律、去括号法则1.分配律应满足分配到每一项2.注意符号，特别是去掉括号移移 项项把含有未知数的 项移到方程的一边，不含有未知数的项移 到另一边等式性质 11.移项要变号；2.一般把含有未知数的项移到方 程左边，其余项移到右边合并合并 同同 类类 项项把方程中的同类项 分别合并，化成“ax b”的形式（a 0）合并同类项 法则合并同类项时，把同类项的系数 相加，字母与字母的指数不变未 知未 知 数 的数 的 系 数系 数 化成化成“1”方程两边同除以 未知数的系数 a，得x ba等式性质 2分子、分母不能颠
2、倒要点诠释：要点诠释：理解方程 ax=b 在不同条件下解的各种情况，并能进行简单应用:a0 时，方程有唯一解；a=0，b=0 时，方程有无数个解；a=0，b0 时，方程无解。牛刀小试牛刀小试例例 1、解方程、解方程（1）y-5y 2 2 2y 1二、经典例题透析二、经典例题透析类型一：一元一次方程的相关概念类型一：一元一次方程的相关概念1、已知下列各式：2x51；871；xy；xyx2；3xy6；5x3y4z0；8；x0。其中方程的个数是()A、5B、6C、7D、8举一反三：举一反三：变式变式 1判断下列方程是否是一元一次方程：（1）-2x2+3=x（2）3x-1=2y（3）x+=2（4）2x
3、2-1=1-2(2x-x2)变式变式 2已知：(a-3)(2a+5)x+(a-3)y+60 是一元一次方程，求 a 的值。变式变式 3（2011 重庆江津）已知 3 是关于 x 的方程 2xa=1 的解,则 a 的值是()A5B5C7D2类型二：一元一次方程的解法类型二：一元一次方程的解法解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1。如果我们在牢固掌握这一常规解题思路的基础上，根据方程原形和特点，灵活安排解题步 骤，并且巧妙地运用学过的知识，就可以收到化繁为简、事半功倍的效果。1巧凑整数巧凑整数解方程：解方程：2、举一反三：举一反三：变变 式式 解 方 程：4运用
4、拆项法解方程：运用拆项法解方程：5、5巧去分母解方程：巧去分母解方程：6、举一反三：举一反三：变式变式（2011 山东滨州）依据下列解方程的过程，请在前面的括号内填写变形步骤，在后面的括号内填写变形依据。解：原方程可变形为()去分母，得 3（3x+5）=2(2x-1).()去括号，得 9x+15=4x-2.（）(),得 9x-4x=-15-2.()合并，得 5x=-17.(合并同类项)（）,得 x=.（）6.巧组合解方程：巧组合解方程：7、思路点拨思路点拨：按常规解法将方程两边同乘 72 化去分母，但运算较复杂，注意到左边的第 一项和右边的第二项中的分母有公约数 3，左边的第二项和右边的第一项
5、的分母有公约数 4，移项局部通分化简，可简化解题过程。7.巧解含有绝对值的方程：巧解含有绝对值的方程：8、|x2|30思路点拨：思路点拨：解含有绝对值的方程的基本思想是先去掉绝对值符号，转化为一般的一元 一次方程。对于只含一重绝对值符号的方程，依据绝对值的意义，直接去绝对值符号，化 为两个一元一次方程分别解之，即若|x|m，则 xm 或 xm；也可以根据绝对值的几 何意义进行去括号，如解法二。举一反三：举一反三：【变式【变式 1】（2011 福建泉州）已知方程，那么方程的解是.；变式变式 2 5|x|-163|x|-4变式变式 38利用整体思想解方程：利用整体思想解方程：9、思路点拨：思路点拨
6、：因为含有 的项均在“”中，所以我们可以将作为一个整体，先求出整体的值，进而再求 的值。参考答案参考答案例例 1：解：解：是方程的是，共六个，所以选 B总结升华总结升华：根据定义逐个进行判断是解题的基本方法，判断时应注意两点：一是等式；二是含有未知数，体现了对概念的理解与应用能力。举一反三举一反三1.解析解析：判断是否为一元一次方程需要对原方程进行化简后再作判断。答案：（1）（2）（3）不是，（4）是2.解析解析：分两种情况：（1）只含字母 y，则有(a-3)(2a+5)0 且 a-30（2）只含字母 x，则有 a-30 且(a-3)(2a+5)0 不可能综上，a 的值为。3.答案：答案：B整
7、理，得 8x18(215x)2x5，去括号，得 8x18215x2x5 移项，得 8x15x2x5182 合并同类项，得9x21系数化为 1，得 x。例例 4 解：去括号，得去小括号，得去分母，得(3x5)88去括号、移项、合并同类项，得 3x21两边同除以 3，得 x7原方程的解为 x7举一反三举一反三解：依次移项、去分母、去大括号，得依次移项、去分母、去中括号，得依次移项、去分母、去小括号，得，x48两边同除以 120，得 x原方程的解为总结升华总结升华：应用分数性质时要和等式性质相区别。可以化为同分母的，先化为同分母，再去分母较简便。举一反三举一反三【答案】解：原方程可变形为(_分式的基
8、本性质_)去分母，得 3（3x+5）=2(2x-1).(_等式性质 2_)去括号，得 9x+15=4x-2.（去括号法则或乘法分配律_）(移项),得 9x-4x=-15-2.(等式性质 1_)合并，得 5x=-17.(合并同类项)（系数化为 1）,得 x=.（等式性质 2）例例 7 解：移项通分，得化简，得去分母，得 8x1449x99。移项、合并，得 x45。例例 8 解法一：解法一：移项，得|x2|3当 x20 时，原方程可化为 x23，解得 x5当 x20 时，原方程可化为(x2)3，解得 x1。所以方程|x2|30 的解有两个：x5 或 x1。解法二：解法二：移项，得|x2|3。因为绝
9、对值等于 3 的数有两个：3 和3，所以 x23 或 x23。分别解这两个一元一次方程，得解为 x5 或 x1。举一反三举一反三1.【答案】2.解：5|x|-3|x|16-42|x|12|x|6x6 3.解：|3x-1|83x-183x183x9 或 3x-7x3 或例例 9 解：移项通分，得：化简，得：移项，系数化 1 得：总结升华总结升华：解一元一次方程有一般程序化的步骤，我们在解一元一次方程时，既要学 会按部就班(严格按步骤)地解方程，又要能随机应变(灵活打乱步骤)解方程。对于一般解 题步骤与解题技巧来说，前者是基础，后者是机智，只有真正掌握了一般步骤，才能熟能 生巧。三、课堂练习三、课
10、堂练习一、选择题一、选择题1、已知下列方程：（1）x-2=3;(2)0.3x=1;(3)x=5x-1;(4)x 2-4x=3;(5)x=0;(6)x+2y=0.其中x2一元一次方程的个数是（）A2B3C4D52、下列四组变形中，正确的是（）A 由 5x+7=0,得 5x=-7B由 2x-3=0,得 2x-3+3=0D 由 5x=7,得 x=35C 由 x=2,得 x=163B 由 6x=3+5x，得 6x=5x+3A 由 3=5 x，得 5 x=322 x 6；x 2 y 0 其中一元一次方程的个数是）A2B3C4（D513、已知关于 x 的方程a x 5 (2a 1)x 的解是 x 1，则a
11、 的值是（）C-7D8A-5B-614、方程3x 5 2x 1移项后，正确的是）A 3x 2x 5 1C 3x 2x 1 5（B 3x 2x 1 5D 3x 2x 1 515、方程2）（322x 4x 1 3，去分母得A 2 2(2x 4)3 3(x 1)B 12 3(2x 4)18 3(x 1)C12 (2x 4)18 (x 1)D 6 2(2x 4)9 (x 1)16、甲、乙两人骑自行车同时从相距 65 km 的两地相向而行，2 小时相遇，若甲km，则乙的时速是（比乙每小时多骑 25）A125 kmB15 kmC175 kmD20 km17、某商店卖出两件衣服，每件 60 元，其中一件赚
12、25，另一件赔 25，那么这两件衣服售出后商店是（5、若 x y+（y+1）2=0,则 x-y=.6、某商品的进价为 250 元，为了减少库存，决定每件商品按标价打 8 折销售，结果每件商 品仍获利 10 元，那么原来标价为。7、当 x=时，的值是 0.158 2x三、三、一元一次方程应用题（找出等量关系）一元一次方程应用题（找出等量关系）一、列一元一次方程解应用题的一般步骤（1）审题：弄清题意（2）找出等量关系找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系（3）设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，然后利用已找出的 等量关系列出方程（4）解方程：解所列的方程，求出未知数
13、的值（5）检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，检验后写出答案1、数字问题、数字问题要搞清楚数的表示方法：一个三位数的百位数字为 a，十位数字是 b，个位数 字为 c（其中 a、b、c 均为整数，且 1a9，0b9，0c9）则这个三 位数表示为：100a+10b+c。例 1、若三个连续的偶数和为 18，求这三个数。例 2、一个两位数，个位上的数是十位上的数的 2 倍，如果把十位与个位上的数对调，那么所得的两位数比原两位数大 36，求原来的两位数等量关系：原 两位数+36=对调后新两位数例3、有一个三位数，个位数字为百位数字的2倍，十位数字比百位数字大1，若将此数个位
14、 与百位顺序对调（个位变百位）所得的新数比原数的2倍少49，求原数。分析：然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程3、等积变形问题常用等量关系为：形状面积变了，周长没变；原料体积成品体积。例 1、用直径为 4cm 的圆钢，锻造一个重 0.62kg 的零件毛坯，如果这种钢每立 方厘米重 7.8g，应截圆钢多长？例 2.用直径为 90mm 的圆柱形玻璃杯（已装满水）向一个由底面积为125 125mm2 内高为 81mm 的长方体铁盒倒水时，玻璃杯中的水的高度下降多少 mm？（结果保留整数 3.14）4、和、差、倍、分问题：和、差、倍、分问题：倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增
15、加到几倍，增加百分之几，增长率”来体现。多少关系：通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余”来体现。（1）劳力调配问题：这类问题要搞清人数的变化.例 1.某厂一车间有 64 人，二车间有 56 人。现因工作需要，要求第一车间人 数是第二车间人数的一半。问需从第一车间调多少人到第二车间？例例 2.机械厂加工车间有 85 名工人，平均每人每天加工大齿轮 16 个或小齿轮 10 个，已知 2 个大齿轮与 3 个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工 大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？分析：分析：列表法。每人每天人数数量大齿轮16 个x 人16x小齿轮10 个85 x人1085 x等量
16、关系：小齿轮数量的 2 倍大齿轮数量的 3 倍解：解：设分别安排 x 名、85 x名工人加工大、小齿轮3(16x)210(85 x)48x 1700 20 x68x 1700 x 2585 x 60人答：答：略.（3）分配问题：例1.学校分配学生住宿，如果每室住8人，还少12个床位，如果每室住9人，则 空出两个房间。求房间的个数和学生的人数。例2.三个正整数的比为1：2：4，它们的和是84，那么这三个数中最大的数是 几？（比例分配问题常用等量关系：各部分之和总量。）5、工程问题、工程问题工程问题中的三个量及其关系为：工作总量=工作效率工作时间 经常在题目中未给出工作总量时，设工作总量为单位 1
17、。例例 1.一件工程，甲独做需 15 天完成，乙独做需 12 天完成，现先由甲、乙合 作 3 天后，甲有其他任务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全 部工程？分析分析设工程总量为单位 1，等量关系为：甲完成工作量+乙完成工作量=工 作总量。1解：设乙还需 x 天完成全部工程，设工作总量为单位 1，由题意得，(15+1x12)3+12=1，.例 2、在西部大开发中，基础建设优先发展，甲、乙两队共同承包了一段长 6500 米的高速公路工程，两队分别从两端施工相向前进，甲队平均每天可完成480 米，乙队平均每天比甲队多完成 220 米，乙队比甲队晚一天开工，乙队开 工几天后两队完成全部任务
18、？6、打折销售问题打折销售问题1销售问题中常出现的量有：进价、售价、标价、利润等2基本关系式：利润售价进价；售价=标价折数；利润率利润/进价。由可得出利润标价折数进价。由可得出利润率。市场经济问题（1）商品利润商品售价商品成本价（2）商品利润率（5）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打 8 折出售，即按原标价的 80%出售例 1、一件衣服标价是 200 元，现打 7 折销售。问：买这件衣服需要多少钱？若已知这件衣服的成本（进价）是 115 元，那么商家卖出这件衣赚了多少钱？利润是多少？例 2、某商场售货员同时卖出两件上衣，每件都以 135 元售出，若按成本计 算，其中一件赢利
19、 25%，另一件亏损 25%，问这次售货员是赔了还是赚了？7、行程问题。（行程问题可以采用画示意图的辅助手段来帮助理解题意，并注 意两者运动时出发的时间和地点）要掌握行程中的基本关系：路程速度要掌握行程中的基本关系：路程速度 时间。时间。相遇问题（相向而行），这类问题的相等关系是：甲走的路程相遇问题（相向而行），这类问题的相等关系是：甲走的路程+乙 走 的 路 程乙 走 的 路 程=全路全路程程追及问题（同向而行），这类问题的等量关系是：追及问题（同向而行），这类问题的等量关系是：同时不同地：甲的时间同时不同地：甲的时间=乙 的 时 间乙 的 时 间甲 走 的 路 程甲 走 的 路 程-乙走的
20、路程乙走的路程=原 来 甲、乙 相 距 的原 来 甲、乙 相 距 的 路 程路 程同地不同时；甲的时间同地不同时；甲的时间=乙的时间乙的时间-时间差时间差甲的路程甲的路程=乙的路程乙的路程解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，一般情 况下问题就能迎刃而解。并且还常常借助画草图来分析，理解行程问题。例 1.甲、乙两站相距 480 公里，一列慢车从甲站开出，每小时行 90 公里，一列快车从乙站开出，每小时行 140 公里。（1）慢车先开出 1 小时，快车再开。两车相向而行。问快车开出多少小时后两车相遇？2两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距 600 公里？3两车同时开出，
21、慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600 公里？4两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？5慢车开出 1 小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时 追上慢车？此题关键是要理解清楚相向、相背、同向等的含义，弄清行驶过程。故可 结合图形分析。1分析：相遇问题，画图表示为：甲乙等量关系是：慢车走的路程+快车走的路程=480 公里。解：设快车开出 x 小时后两车相遇，由题意得，140 x+90(x+1)=480解这个方程，230 x=390 16 x=123答：略.2分析：相背而行，画图表示为：600甲乙等量关系是：两车所走的路程和+480 公里=6
22、00 公里。解：设 x 小时后两车相距 600 公里，由题意得，(140+90)x+480=600 解这个方程，230 x=120 12 x=23答：略.3分析：等量关系为：快车所走路程慢车所走路程+480 公里=600 公里。解：设 x 小时后两车相距 600 公里，由题意得，(14090)x+480=60050 x=120 x=2.4答：略.（4）分析：追及问题，画图表示为：甲乙等量关系为：快车的路程=慢车走的路程+480 公里。解：设 x 小时后快车追上慢车。由题意得，140 x=90 x+480解这个方程，50 x=480 x=9.6答：略.（5）分析：追及问题，等量关系为：快车的路程
23、=慢车走的路程+480 公里。解：设快车开出 x 小时后追上慢车。由题意得，140 x=90(x+1)+48050 x=570解得，x=11.4 答：略.环形跑道上的相遇和追及问题：同地反向而行的等量关系是两人走的路程环形跑道上的相遇和追及问题：同地反向而行的等量关系是两人走的路程 和和=一 圈 的 路 程；同 地 同 向 而 行 的 等 量 关 系 是 两 人 所 走 的 路 程 差一 圈 的 路 程；同 地 同 向 而 行 的 等 量 关 系 是 两 人 所 走 的 路 程 差=一 圈 的 路 程。一 圈 的 路 程。航行问题：航行问题：顺水（风）速度静水（风）速度水流（风）速度逆水（风）
24、速度静水（风）速度水流（风）速度例：一艘船在两个码头之间航行，水流速度是3千米每小时，顺水航行需要2小时，逆水航行需要3小时，求两码头的之间的距离？抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关 系2、甲、乙两人练习 100 米赛跑，甲每秒跑 7 米，乙每秒跑 6.5 米，如果甲让乙 先跑 1 秒，那么甲经过几秒可以追上乙？3、一架飞机飞行在两个城市之间，顺风要 2 小时 45 分，逆风要 3 小时，已知 风速是 20 千米小时，则两城市间的距离为多少？4、一列火车以每分钟 1 千米的速度通过一座长 400 米的桥，用了半分钟，则火 车本身的长度为多少米？5、火车用 26 秒
25、的时间通过一个长 256 米的隧道（即从车头进入入口到车尾离 开出口），这列火车又以 16 秒的时间通过了长 96 米的隧道，求列车的长度。8、银行储蓄问题。顾客存入银行的钱叫做本金，银行付给顾客的酬金叫利息，本金和利息合称 本息和，存入银行的时间叫做期数，利息与本金的比叫做利率。利息的 20%付 利息税 利息=本金利率期数 本息和=本金+利息利息税=利息税率（20%）息和 252.7 元，求银行半年期的年利率是多少？（不计利息税）分析：等量关系：本息和=本金（1+利率）解：设半年期的实际利率为 x，250（1+x）=252.7，x=0.0108所以年利率为 0.01082=0.02161、张
26、先生于 1998 年 7 月 8 日买入 1998 年中国工商银行发行的 5 年期国库券20000 元，若在 2003 年 7 月 8 日可获得利息数为 2790 元，则这种国库券的年 利率是多少？2、小明的爸爸前年存了年利率为 2.25的二年期定期储蓄，今年到期后，扣 除利息税，所得利息正好为小明买以一只价值 576 元的 CD 机，问小明爸爸前年 存了多少钱？3、教育储蓄年利率为 1.98，免征利息税，某企业发行的债券月利率为2.15，但要征收 20的利息税，为获取更大回报，投资者应悬着哪一种储蓄 呢？某人存入 28000 元，一年到期后可以多收益多少元？4、肖青的妈妈前年买了某公司的二年
27、期债券 4500 元，今年到期，扣除利息税 后，共得本利和约 4700 元，问这种债券的年利率是多少？（精确到 0.01）6、将一批工业最新动态信息输入管理储存网络，甲独做需 6 小时，乙独做需 4小时，甲先做 30 分钟，然后甲、乙一起做，则甲、乙一起做还需多少小时 才能完成工作？7、将一个装满水的内部长、宽、高分别为 300 毫米，300 毫米和 80 毫米的长 方体铁盒中的水，倒入一个内径为 200 毫米的圆柱形水桶中，正好倒满，求 圆柱形水桶的高（精确到 0.1 毫米，3.14）8、某车间有 16 名工人，每人每天可加工甲种零件 5 个或乙种零件 4 个在这16 名工人中，一部分人加工甲种零件，其余的加工乙种零件 已知每加工 一个甲种零件可获利 16 元，每加工一个乙种零件可获利 24 元若此车间一 共获利 1440 元，求这一天有几个工人加工甲种零件9、某地区居民生活用电基本价格为每千瓦时 0.40 元，若每月用电量超过 a 千瓦时，则超过部分按基本电价的 70%收费1某户八月份用电 84 千瓦时，共交电费 30.72 元，求 a2若该用户九月份的平均电费为 0.36 元，则九月份共用电多少千瓦？应交电费是多少元？
