1、 解一元二次方程解一元二次方程 学习目标：学习目标：1会用直接开平方法解一元二次方程，理解配方的会用直接开平方法解一元二次方程，理解配方的 基本过程，会用配方法解一元二次方程基本过程，会用配方法解一元二次方程；2会用公式法解一元二次方程，理解会用公式法解一元二次方程，理解用用根的判别式根的判别式 判别根的情况判别根的情况；3会选择合适的方法进行因式分解，并解一元会选择合适的方法进行因式分解，并解一元二次方程；二次方程；学习重点：学习重点：解一元二次方程解一元二次方程问题问题1在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全
2、上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感按此比例，如果雕身）的高度比，可以增加视觉美感按此比例，如果雕像的高为像的高为 2 m，那么它的下部应设计为多高？，那么它的下部应设计为多高？解：设雕像的下部高为解：设雕像的下部高为 x m，据题意，列方程得据题意，列方程得整理得整理得x 2+2x-4=0ACB1创设情境，导入新知创设情境，导入新知x 2=2 2-x ，（）你会解哪些方程，如何解的？你会解哪些方程，如何解的？二元、三元二元、三元一次方程组一次方程组一元一次方程一元一次方程一元二次方程一元二次方程消元消元降次降次思考：如何解一元二次方程思考：如何解一元
3、二次方程1创设情境，导入新知创设情境，导入新知问题问题2解方程解方程 x 2=25，依据是什么？，依据是什么？解得解得x 1=5，x 2=-5平方根的意义平方根的意义请解下列方程：请解下列方程：x 2=3，2x 2-8=0，x 2=0，x 2=-2这些方程有什么共同的特征？这些方程有什么共同的特征？结构特征：方程可化成结构特征：方程可化成x 2=p的形式，的形式，平方根平方根的意义的意义降次降次（当（当 p0 时）时）px问题问题3解方程：解方程：（x+3）=522推导求根公式推导求根公式问题问题4怎样解方程怎样解方程 x 2+6x+4=0？x 2+6x+9=5（x+3）=522推导求根公式推
4、导求根公式试一试：试一试：与方程与方程 x2+6x+9=5 比较，比较，怎样解方程怎样解方程x2+6x+4=0？怎样把方怎样把方程程化成方程化成方程的形式呢？的形式呢？怎样保证怎样保证变形的正确性变形的正确性呢？呢？即即由此可得由此可得解：解：左边写成平方形式左边写成平方形式 移项移项x2+6x=-4 两边加两边加 9 =-4+9 x2+6x+92推导求根公式推导求根公式（x+3）=52回顾解方程回顾解方程过程：过程：两边加两边加 9，左边，左边配成完全平方式配成完全平方式 移项移项左边写成完全左边写成完全平方形式平方形式 降次降次解一次方程解一次方程x2+6x+4=0 x2+6x=-4x2+
5、6x+9=-4+953x，或，或53 x53x，531x532x2推导求根公式推导求根公式（x+3）=52想一想：想一想：以上解法中，为什么在方程以上解法中，为什么在方程两边加两边加 9？加其他数可以吗？如果不可以，说明理由加其他数可以吗？如果不可以，说明理由两边加两边加 9 一般地，当二次项系数为一般地，当二次项系数为 1 时，二次式加上一次项时，二次式加上一次项系数一半的平方，二次式就可以写成完全平方的形式系数一半的平方，二次式就可以写成完全平方的形式x2+6x=-4 x2+6x+9=-4+92推导求根公式推导求根公式（x+3）=52269，即，即 2=3 2=9（）议一议：议一议：结合方
6、程的解答过程，说出解一般二次结合方程的解答过程，说出解一般二次项系数为项系数为 1 的一元二次方程的基本思路是什么？具体步的一元二次方程的基本思路是什么？具体步骤是什么？骤是什么？配成完全平方形式配成完全平方形式通过通过 来解一元二次方程的方法，来解一元二次方程的方法，叫做叫做配方法配方法配方配方具体步骤：具体步骤：（1）移项；）移项；（2）在方程两边都加上一次项系数一半的平方）在方程两边都加上一次项系数一半的平方2推导求根公式推导求根公式平方根平方根的意义的意义降次降次（当（当 p0 时）时）pnx问题问题5通过解方程通过解方程 x 2+6x+4=0，请归纳这类方程，请归纳这类方程是怎样解的
7、？是怎样解的？3归纳配方法解方程的步骤归纳配方法解方程的步骤结构特征：方程可化成结构特征：方程可化成 的形式，的形式，（x+n）=p2（2）配方法解一元二次方程的）配方法解一元二次方程的一般步骤一般步骤有哪些有哪些?3归纳配方法解方程的步骤归纳配方法解方程的步骤（1）用配方法解一元二次方程的）用配方法解一元二次方程的基本思路基本思路是什么？是什么？把方程把方程配方配方为的形式，运用开平方法，为的形式，运用开平方法，降次降次求解求解（x+n）=p2解一元二解一元二次方程的一般次方程的一般步骤：步骤：两边加两边加 9，左边，左边配成完全平方式配成完全平方式 移项移项左边写成完全左边写成完全平方形式
8、平方形式 降次降次x2+6x+4=0 x2+6x=-4x2+6x+9=-4+953x，或，或53 x53x3归纳配方法解方程的步骤归纳配方法解方程的步骤（x+3）=52解一次方程解一次方程，531x532x4归纳小结归纳小结（2）配方法解一元二次方程的）配方法解一元二次方程的一般步骤一般步骤有哪些有哪些?（3）在配方法解一元二次方程的过程中应该）在配方法解一元二次方程的过程中应该注意注意哪些问题哪些问题?（1）用配方法解一元二次方程的）用配方法解一元二次方程的基本思路基本思路是什么？是什么？把方程把方程配方配方为的形式，运用开平方法，为的形式，运用开平方法，降次降次求解求解（x+n）=p21复
9、习配方法，引入公式法复习配方法，引入公式法问题问题1什么叫什么叫配方法配方法？配方法的基本步骤是什么？配方法的基本步骤是什么？（1）将方程二次项系数化成）将方程二次项系数化成 1；（2）移项；）移项；（3）配方；）配方；（4）化为）化为（x+n）=p（n，p 是常数，是常数，p0）的形）的形式；式；（5）用直接开平方法求得方程的解）用直接开平方法求得方程的解2问题问题2能否用公式法解决一元二次方程的求根问能否用公式法解决一元二次方程的求根问题呢？题呢？问题问题3我们知道，任意一个一元二次方程都我们知道，任意一个一元二次方程都可以可以转化为一般形式转化为一般形式ax 2+bx+c=0（a0）你能
10、用配方法得出它的解吗？你能用配方法得出它的解吗？2推导求根公式推导求根公式此时可以用开平方法求解吗？此时可以用开平方法求解吗？2推导求根公式推导求根公式222442aacbabx）（22442aacbabxaacbabx2422aacbbaacbabx2424222一般地，一元二次方程一般地，一元二次方程 ax 2+bx+c=0（a0）的根的根由方程的系数由方程的系数 a，b，c 确定确定将将 a，b，c 代入式子就得代入式子就得到方程的根到方程的根：利用它解一元二次方程的方法叫做利用它解一元二次方程的方法叫做公式法公式法2推导求根公式推导求根公式aacbbx242你能总结一下推导求根公式的基
11、本步骤吗？推导过你能总结一下推导求根公式的基本步骤吗？推导过程中要注意那些问题？程中要注意那些问题？当当 时，方程有时，方程有两个不相等两个不相等的实根；的实根；当当 时，方程有时，方程有两个相等两个相等的实根；的实根；当当 时，方程时，方程没有没有实根实根.2推导求根公式推导求根公式b 2-4ac0b 2-4ac=0b 2-4ac0例例1用公式法解下列方程：用公式法解下列方程：（1）x 2-4x-7=0；（2）；（3）5x 2-3x=x+1；（4）x 2+17=8x3归纳公式法解方程的步骤归纳公式法解方程的步骤012222xx问题问题4：你能总结用公式法解一元二次方程的：你能总结用公式法解一
12、元二次方程的步骤步骤吗？应用公式时要注意什么问题？吗？应用公式时要注意什么问题？3归纳公式法解方程的步骤归纳公式法解方程的步骤回到本章引言中的问题，雕像下部高度回到本章引言中的问题，雕像下部高度 x（m）满满足方程足方程 x 2+2x-4=0 用公式法解这个方程：用公式法解这个方程：4练习巩固公式法练习巩固公式法（1）如果雕像的高度设计为如果雕像的高度设计为 3 m，那雕像的下部那雕像的下部应是多少应是多少？4 m 呢呢？（2）进而把问题一般化进而把问题一般化，这个高度比是多少这个高度比是多少？问题问题5：请大家思考并回答以下问题：请大家思考并回答以下问题：（1）本节课学了哪些内容？）本节课学
13、了哪些内容？（2）我们是用什么方法推导求根公式的？）我们是用什么方法推导求根公式的？（3）你认为判别式有哪些作用？）你认为判别式有哪些作用？（4）应用公式法解一元二次方程的步骤是什么？）应用公式法解一元二次方程的步骤是什么？5归纳小结归纳小结问题问题1根据物理学规律，如果把一个物体从地面根据物理学规律，如果把一个物体从地面以以 10 m/s 的速度竖直上抛，那么经过的速度竖直上抛，那么经过 x s 物体离地面的物体离地面的高度（单位：高度（单位：m）为）为10 x-x 2 你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗（精确到（精确到 s）？）？1探究
14、因式分解法探究因式分解法你认为该如何解决这个问题？你想用哪种方法解这你认为该如何解决这个问题？你想用哪种方法解这个方程？个方程？配方法配方法公式法公式法降次降次？1探究因式分解法探究因式分解法10 x-x 2=0 x 1=0，x 2=49100问题问题3观察方程观察方程 10 x-x 2=0，它有什么特点？，它有什么特点？你能根据它的特点找到更简便的方法吗？你能根据它的特点找到更简便的方法吗？两个因式的积等于零两个因式的积等于零至少有一个因式为零至少有一个因式为零1探究因式分解法探究因式分解法10 x-x 2=0 x 1=0，x 2=49100 x=0或或10-x=0 x 10-4.9x =0
15、（）例例解下列方程：解下列方程：（1）（2）2应用举例应用举例归纳因式分解法解一元二次方程的步骤：归纳因式分解法解一元二次方程的步骤：（1）化方程为一般形式；）化方程为一般形式；（2）将方程左边因式分解；）将方程左边因式分解；（3）至少有一个因式为零，得到两个一元）至少有一个因式为零，得到两个一元一一次方次方程；程；（4）两个一元一次方程的解就是原方程的解）两个一元一次方程的解就是原方程的解432412522xxxxx x-2 +x-2=0（）问题问题4请回答以下问题：请回答以下问题：（1）因式分解法的依据是什么？解题步骤是什么？）因式分解法的依据是什么？解题步骤是什么？（2）回顾配方法、公式法和因式分解法，你能说）回顾配方法、公式法和因式分解法，你能说出它们各自的特点吗？出它们各自的特点吗？4归纳小结归纳小结教科书习题教科书习题 5布置作业布置作业
