1、广深珠三校 2020 届高三第一次联考 理科数学试题 第 1 页 / 共 4 页 绝密启用前 试卷类型：A 广深珠三校广深珠三校 20202020 届高三第一次联考届高三第一次联考 理科数学理科数学 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分满分 150 分考试时间 120 分钟 第第卷卷(选择题选择题 共共 60 分分) 一、一、选择题：本大题共选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项符合要求有一项符合要求 1已知集合 Axlg(2)yx，B 2 |30x xx，则 AB. A. x
2、0x2 B. x0x2 C. x2x3 D. x2x3 2若复数z的共轭复数满足()11 2i Zi ,则| |Z . A. 2 2 B. 3 2 C. 10 2 D. 1 2 3下列有关命题的说法错误的是. A. 若“p q ”为假命题，则p、q均为假命题； B. 若、是两个不同平面，m ,m，则 ； C. “ 1 sin = 2 x”的必要不充分条件是“= 6 x ”； D. 若命题 p： 2 0 0 ,0xR x，则命题： 2 :,0PxR x ； 4已知某离散型随机变量 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 8 27 4 9 m 1 27 则 X 的数学期望()E X . A 2 3
3、 B1 C 3 2 D2 5已知向量a、b均为非零向量， 则a、b的夹角为. A 6 B 3 C 3 D 6 广深珠三校 2020 届高三第一次联考 理科数学试题 第 2 页 / 共 4 页 6若 1 cos= 86 ，则 3 cos2 4 的值为. A. 17 18 B. 17 18 C. 18 19 D. 18 19 7若直线mn +2=0 m0n0xy、 截得圆 22 31=1xy的弦长为 2，则 13 mn 的最小 值为. A. 4 B. 12 C. 16 D. 6 8设抛物线 C：y2=4x 的焦点为 F，过点（2，0）且斜率为 2 3 的直线与 C 交于 M，N 两点，则FM FN
4、 =. A5 B6 C7 D8 9已知定义在 R 上的偶函数( )3sin()cos()(0, ),0f xxx 对任意xR 都有 ( )0 2 f xfx ，当取最小值时， 6 f 的值为. A.1 B. 3 C. 1 2 D. 3 2 10在如图直二面角 A- BD- C 中，ABD、CBD 均是以 BD 为斜边的等腰直角三角形，取 AD 的中点 E，将ABE 沿 BE 翻折到A1BE，在ABE 的翻折过程中，下列不可能成立的是. ABC 与平面 A1BE 内某直线平行 BCD平面 A1BE CBC 与平面 A1BE 内某直线垂直 DBCA1B 11定义 12n n ppp 为n个正数 1
5、2n ppp、 、 、的“均倒数” ，若已知正整数数列 n a 的前n项的“均倒数”为 1 21n ，又 1 = 4 n n a b ，则 1 22 310 11 111 = bbb bb b . A. 1 11 B. 1 12 C. 10 11 D. 11 12 12已知函数( ) 2 x m f xxemx在(0,)上有两个零点，则m的取值范围是. A. (0, )e B. (0,2 ) e C. ( ,)e D. (2 ,)e 广深珠三校 2020 届高三第一次联考 理科数学试题 第 3 页 / 共 4 页 第第 II 卷卷（非选择题（非选择题 共共 90 分）分） 本卷包括必考题和选考
6、题两部分第本卷包括必考题和选考题两部分第 13-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22-23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答 二、填空题二、填空题:本大题共本大题共 4 小题小题,每小题每小题 5 分分,共共 20 分分 13设, x y满足约束条件 1 2 314 y xy xy ，则4zxy的最大值为 ； 14若 3 ()nx x 的展开式中各项系数之和为 32，则展开式中x的系数为 ； 15 已知点P在双曲线 22 22 =10 xy ab ab 0, 上，PFx轴(其中F为双曲线的右焦点)， 点P到 该双曲线的
7、两条渐近线的距离之比为 1 3 ，则该双曲线的离心率为 ； 16已知三棱锥PABC的所有顶点都在球O的球面上，PAABC 平面，=2AB AC， BAC=120 。 ，若三棱锥P ABC的体积为 2 3 3 ，则球O的表面积为 ； 三、三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17 （本小题满分 12 分） 如图，在ABC中，角、 、ABC所对的边分别为abc、 、，2 sincossin2 sinbCAaAcB； （1）证明：ABC为等腰三角形； （2）若D为BC边上的点，2BDDC，且ADB =2 ACD，3a ，求b的值 18 （本
8、小题满分 12 分） 如图，四棱锥PABCD的底面ABCD为直角梯形，/BC AD，且222,ADABBC 90 ,BADPAD 为等边三角形，平面ABCD 平面PAD；点EM、分别为PD PC、的中点 （1）证明：/CE平面PAB； （2）求直线DM与平面ABM所成角的正弦值 广深珠三校 2020 届高三第一次联考 理科数学试题 第 4 页 / 共 4 页 19. （本小题满分 12 分） 已知椭圆 22 22 :=10 xy Cab ab 的离心率为 3 2 ，且经过点 3 1, 2 （1）求椭圆C的标准方程； （2）过点 3,0作直线l与椭圆C交于不同的AB、两点，试问在x轴上是否存在定
9、点Q，使得直线 QA与直线QB恰好关于x轴对称？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由 20 （本小题满分 12 分） 已知函数( )ln2f xxx （1）求曲线( )yf x在1x 处的切线方程； （2）函数( )f x在区间( ,1)()k kkN上有零点，求k的值； （3）若不等式 ()(1) ( ) xm x f x x 对任意正实数x恒成立，求正整数m的取值集合 21. （本小题满分 12 分） 某景区的各景点从 2009 年取消门票实行免费开放后， 旅游的人数不断地增加， 不仅带动了该市淡季的 旅游， 而且优化了旅游产业的结构， 促进了该市旅游向“观光、 休闲、 会展”三轮驱
10、动的理想结构快速转变 下 表是从 2009 年至 2018 年，该景点的旅游人数y（万人）与年份x的数据： 第x年 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 旅游人数y （万人） 300 283 321 345 372 435 486 527 622 800 该景点为了预测 2021 年的旅游人数，建立了y与x的两个回归模型： 模型：由最小二乘法公式求得y与x的线性回归方程 ； 模型：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线 bx yae的附近 （1）根据表中数据，求模型的回归方程 （a精确到个位，b精确到 001） （2） 根据下列表中的数据， 比较两种模型的相关指数 2 R， 并选择
11、拟合精度更高、 更可靠的模型， 预测 2021 年该景区的旅游人数（单位：万人，精确到个位） 回归方程 50.8169.7yx bx yae 30407 14607 参考公式、参考数据及说明： 广深珠三校 2020 届高三第一次联考 理科数学试题 第 5 页 / 共 4 页 对于一组数据 1122 , nn v wv wv w，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计 分别为, 刻画回归效果的相关指数 参考数据： 5.46 235e， 1.43 4.2e x y u 10 2 1 () i i xx 10 1 ii i xxyy 10 1 ii i xxuu 55 449 605 83 4195
12、 900 表中 10 1 1 ln, 10 iii i uy uu 请考生从第（请考生从第（22） 、 （） 、 （23）两两题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一个题目计分题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一个题目计分 22选修 4- 4：坐标系与参数方程(10 分） 在平面直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 2cos , 2sin , x y （为参数） ，已知点 (4,0)Q ，点P是曲 线 1 C上任意一点，点M为PQ的中点，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求点M的轨迹 2 C的极坐标方程； （2）已知直线l：y kx 与曲线 2 C交于,A B
13、两点，若 3OAAB，求k的值. 23选修 4- 5：不等式选讲(10 分） 已知函数( )121f xaxx （1）当1a 时，求不等式( )3f x 的解集； （2）若02a，且对任意xR， 3 ( ) 2 f x a 恒成立，求a的最小值 广深珠三校 2020 届高三第一次联考 理科数学试题 第 6 页 / 共 4 页 广深珠广深珠三三校校 20202020 届届高三第一次联考高三第一次联考 理科数学理科数学参考答案参考答案 一、一、选择题：本大题共选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只
14、有一项符合要求有一项符合要求 题号题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案答案 B C C B B A D D A D C D 12、已知函数( ) 2 x m f xxemx（e为自然对数的底数）在(0,)上有两个零点，则m的范 围是（ ） A. (0, ) e B. (0,2 ) e C. ( ,)e D. (2 , )e 【详解】 由( )0 2 x m f xxemx得 1 () 22 x m xemxm x， 当 1 2 x 时，方程不成立，即 1 2 x ， 则1 2 x xe m x ， 设 ( ) 1 2 x xe h x x （0x 且 1 2 x ）
15、 ， 则 2 22 111 222 ( ) 11 22 xxx xexxeexx h x xx 2 1 (1)(21) 2 1 2 x exx x ， 0x 且 1 2 x ，由( )0h x 得 1x ， 当1x 时，( )0h x ，函数为增函数， 当01x且 1 2 x 时，( )0h x ，函数为减函数， 则当1x 时函数取得极小值，极小值为(1)2he， 当 1 0 2 x时，( )0h x ，且单调递减，作出函数( )h x的图象如图： 故：要使1 2 x xe m x 有两个不同的根，则2me即可， 广深珠三校 2020 届高三第一次联考 理科数学试题 第 7 页 / 共 4 页
16、 即实数m的取值范围是(2 ,)e . 二、填空题二、填空题:本大题共本大题共 4 小题小题,每小题每小题 5 分分,共共 20 分分 13 19 ； 14 15 ； 15 2 3 3 ； 1620； 三、三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17 （本小题满分 12 分） 如图，在ABC中，角、 、ABC所对的边分别为abc、 、，2 sincossin2 sinbCAaAcB； （1）证明：ABC为等腰三角形； （2）若D为BC边上的点，2BDDC，且2ADBACD ，3a ，求b的值 【详解】（1）2 sin cossin 2
17、sinbCAaAcB，由正弦定理得： 2 2cos2bcAacb 2分 由余弦定理得： 222 2 22 2 bca bcabc bc ； 4 分 化简得： 22 2bcbc , 所以 2 0bc即bc， 5 分 故ABC为等腰三角形 6 分 （2）如图， 由已知得2BD ，1DC ， 2,ADBACDACDDAC ACDDAC， 1ADCD， 8 分 又coscosADBADC， 222222 22 ADBDABADCDAC AD BDAD CD ， 10 分 广深珠三校 2020 届高三第一次联考 理科数学试题 第 8 页 / 共 4 页 即 222222 1211 2 2 12 1 1
18、cb ， 得 22 29bc ，由（1）可知bc，得3b 12 分 18 （本小题满分 12 分） 如图，四棱锥PABCD的底面ABCD为直角梯形，/BC AD，且 222,ADABBC 90 ,BADPAD 为等边三角形， 平面ABCD 平面PAD； 点EM、 分别为PDPC、的中点 （1）证明：/CE平面PAB； （2）求直线DM与平面ABM所成角的正弦值 【详解】 （1）设PA的中点为N，连接,EN BN， E为PD的中点，所以EN为PAD的中位线， 则可得/EN AD，且 1 2 ENAD； 2 分 在梯形ABCD中，/BC AD，且 1 2 BCAD， /,BC EN BCEN， 所
19、以四边形ENBC是平行四边形， 4 分 /CE BN，又BN 平面PAB，CE 平面PAB， /CE平面PAB 6 分 法二：设O为AD的中点，连接,CO OE， E为PD的中点， 广深珠三校 2020 届高三第一次联考 理科数学试题 第 9 页 / 共 4 页 所以OE是ADP的中位线，所以/OE AP， 又OE 平面PAB，AP 平面PAB， /OE平面PAB， 2 分 又在梯形ABCD中，/BC AD，且 1 2 BCAD， 所以四边形BAOC是平行四边形， /BC BA， 又OC 平面PAB，AB平面PAB， /OC平面PAB， 4 分 又OEOCO， 所以平面/OEC平面PAB， 又
20、CE 平面PAB， /CE平面PAB 6 分 （2）设AD的中点为O，又,PAPDPOAD 因平面PAD 平面ABCD，交线为AD，PO平面PAD， PO平面ABCD， 又由/CO BA，90BAD， COAD 即有,OA OC OP两两垂直，如图，以点O为原点，OA为x轴，OP为y轴，OC为z轴建立坐标系 7 分 广深珠三校 2020 届高三第一次联考 理科数学试题 第 10 页 / 共 4 页 已知点 3 13 1 1,0,0 ,1,0,1 ,0,1,0,0 ,0,0,1 ,1, 2222 ABMDABAM ， 8 分 设平面ABM的法向量为：, ,mx y z 则有 0 31 0 22
21、m ABz m AMxyz ，可得平面ABM的一个法向量为 3,2,0m ， 3 1 1, 22 DM ， 10 分 可得： 2 2 2 222 31 3 120 42 22 cos , 7 31 3201 22 m DM m DM mDM ， 11 分 所以直线DM与平面ABM所成角的正弦值为 42 7 12 分 19. （本小题满分 12 分） 已知椭圆 22 22 :=10 xy Cab ab 的离心率为 3 2 ，且经过点 3 1, 2 （1）求椭圆C的标准方程； （2）过点 3,0作直线l与椭圆C交于不同的AB、两点，试问在x轴上是否存在定点Q，使得直 线QA与直线QB恰好关于x轴对
22、称？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由 【详解】 （）由题意可得，又 a2b2c2， 2 分 解得 a24，b21， 所以，椭圆的方程为 4 分 （）存在 x 轴上在定点 Q，使得直线 QA 与直线 QB 恰关于 x 轴对称， 设直线 l 的方程为 x+my0，与椭圆联立可得 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，假设在 x 轴上存在定点 Q（t，0） y1+ y 2，y 1 y 2 6 分 广深珠三校 2020 届高三第一次联考 理科数学试题 第 11 页 / 共 4 页 PN 与 QN 关于 x 轴对称，kAQ+kQB0， 7 分 即y1（x2t）+y2（x1t）0， ， ，
23、 t 9 分 在 x 轴上存在定点 Q（，0） 使得直线 QA 与直线 QB 恰关于 x 轴对称 10 分 特别地，当直线 l 是 x 轴时，点 Q（，0） 也使得直线 QA 与直线 QB 恰关于 x 轴对称 11 分 综上，在 x 轴上存在定点 Q（，0） 使得直线 QA 与直线 QB 恰关于 x 轴对称 12 分 20 （本小题满分 12 分） 已知函数( )ln2f xxx （1）求曲线( )yf x在1x 处的切线方程； （2）函数( )f x在区间( ,1)()k kkN上有零点，求k的值； （3）若不等式 ()(1) ( ) xm x f x x 对任意正实数x恒成立，求正整数m的
24、取值集合 【详解】 （1） 1 ( )1fx x ，所以切线斜率为(1)0 f ， 又(1)1f ，切点为(1, 1)，所以切线方程为1y - - - - - - - - - - - - - 2 分 （2）令 1 ( )10fx x ，得1x ， 当01x时，( )0fx，函数( )f x单调递减； 当1x 时，( )0fx，函数( )f x单调递增， 所以( )f x的极小值为(1)10f ，又 2222 1111 ()ln20 eeee f， 所以( )f x在区间(0,1)上存在一个零点 1 x，此时0k ； 因为(3)3ln321 ln30f ，(4)4ln4222ln22(1 ln2
25、)0f， 所以( )f x在区间(3,4)上存在一个零点 2 x，此时3k 综上，k的值为 0 或 3 - - - - - - - - - - - - - 6 分 （3）当1x 时，不等式为(1)10g 显然恒成立，此时mR； 当01x时，不等式 ()(1) ( ) xm x f x x 可化为 ln 1 xxx m x ， - - - - - - - - - - - - 7 分 令 ln ( ) 1 xxx g x x ，则 22 ln2( ) ( ) (1)(1) xxf x g x xx ， 广深珠三校 2020 届高三第一次联考 理科数学试题 第 12 页 / 共 4 页 由（2）可知
26、，函数( )f x在(0,1)上单调递减，且存在一个零点 1 x， 此时 111 ( )ln20f xxx，即 11 ln2xx 所以当 1 0xx时，( )0f x ，即( )0g x，函数( )g x单调递增； 当 1 1xx时，( )0f x ，即( )0g x，函数( )g x单调递减 所以( )g x有极大值即最大值 111111 11 11 ln(2) () 11 xxxx xx g xx xx ，于是 1 mx - - - - - - - - - - - - 9 分 当1x 时，不等式 ()(1) ( ) xm x f x x 可化为 ln 1 xxx m x ， 由（2）可知，
27、函数( )f x在(3,4)上单调递增，且存在一个零点 2 x，同理可得 2 mx 综上可知 12 xmx 又因为 12 (0,1), (3,4)xx，所以正整数m的取值集合为1,2,3 - - - - - - - - - - - - 12 分 21. （本小题满分 12 分） 某景区的各景点从 2009 年取消门票实行免费开放后， 旅游的人数不断地增加， 不仅带动了该市淡季的 旅游， 而且优化了旅游产业的结构， 促进了该市旅游向“观光、 休闲、 会展”三轮驱动的理想结构快速转变 下 表是从 2009 年至 2018 年，该景点的旅游人数y（万人）与年份x的数据： 第x年 1 2 3 4 5
28、6 7 8 9 10 旅游人数y （万人） 300 283 321 345 372 435 486 527 622 800 该景点为了预测 2021 年的旅游人数，建立了y与x的两个回归模型： 模 型 ： 由 最 小 二 乘 法 公 式 求 得y与x的 线 性 回 归 方 程 50.8169.7yx； 模型：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线 bx yae的附近 （1）根据表中数据，求模型的回归方程 bx yae （a精确到个位，b精确到 001） （2） 根据下列表中的数据， 比较两种模型的相关指数 2 R， 并选择拟合精度更高、 更可靠的模型， 预测 2021 年该景区的旅游人
29、数（单位：万人，精确到个位） 回归方程 50.8169.7yx bx yae 10 2 1 () ii i yy 30407 14607 参考公式、参考数据及说明： 对于一组数据 1122 , nn v wv wv w，其回归直线wv的斜率和截距的最小二乘法估计 分别为 1 2 1 ()() , () n ii i n i i ww vv wv vv 广深珠三校 2020 届高三第一次联考 理科数学试题 第 13 页 / 共 4 页 刻画回归效果的相关指数 2 2 1 2 1 () 1 () n ii i n i i yy R yy 参考数据： 5.46 235e， 1.43 4.2e x y
30、 u 10 2 1 () i i xx 10 1 ii i xxyy 10 1 ii i xxuu 55 449 605 83 4195 900 表中 10 1 1 ln, 10 iii i uy uu 解： （1）对 bx yae取对数，得lnlnybxa， 1 分 设lnuy，lnca，先建立u关于x的线性回归方程。 10 1 10 2 1 9.00 0.108 83 ii i i i xxuu b xx ， 3 分 6.050.108 5.55.4565.46cubx 5 分 5.46 235 c aee6 分 模型的回归方程为 0.11 235 x ye。 7 分 （2）由表格中的数据
31、，有 3040714607，即 1010 22 11 3040714607 ()() ii ii yyyy ， 9 分 即 1010 22 11 3040714607 11 ()() ii ii yyyy ， 22 12 RR 10 分 模型的相关指数 2 1 R小于模型的 2 2 R，说明回归模型的拟合效果更好。 11 分 2021 年时，13x ，预测旅游人数为 0.11 131.43 235235235 4.2987yee （万人） 12 分 请考生从第（请考生从第（22） 、 （） 、 （23）两两题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一个题目计分题中任选一题作答如果多做，则按所做的第
32、一个题目计分 22选修 4- 4：坐标系与参数方程(10 分） 在平面直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 2cos , 2sin , x y （为参数） ，已知点 (4,0)Q ，点P是曲 线 1 C上任意一点，点M为PQ的中点，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系. 广深珠三校 2020 届高三第一次联考 理科数学试题 第 14 页 / 共 4 页 （1）求点M的轨迹 2 C的极坐标方程； （2）已知直线l：y kx 与曲线 2 C交于,A B两点，若 3OAAB，求k的值. 【详解】 （1）设2cos ,2sinP，,M x y .且点 4,0Q，由点M为PQ的中点，
33、所以 2cos4 2, 2 2sin , 2 xcos ysin 3分 整理得 2 2 21xy .即 22 430xyx ， 化为极坐标方程为 2 4 cos30 . 5 分 （2）设直线l：y kx 的极坐标方程为 .设 1, A ， 2, B ， 因为3OAAB，所以43OAOB，即 12 43. 6 分 联立 2 430, , cos 整理得 2 4cos30 . 7 分 则 12 12 12 4, 3, 43, cos 解得 7 cos 8 . 9 分 所以 22 2 115 tan1 cos49 k ，则 15 7 k . 10 分 23选修 4- 5：不等式选讲(10 分） 已知
34、函数( )121f xaxx （1）当1a 时，求不等式( )3f x 的解集； （2）若02a，且对任意xR， 3 ( ) 2 f x a 恒成立，求a的最小值 【详解】 （1）当1a 时， 121f xxx ，即 3 ,1 1 2, 1 2 1 3 , 2 x x f xxx x x ， 3 分 解法一：作函数 121f xxx 的图象，它与直线3y 的交点为1,3 ,1,3AB， 广深珠三校 2020 届高三第一次联考 理科数学试题 第 15 页 / 共 4 页 4 分 所以， 3f x 的解集的解集为, 11, 5 分 解法 2：原不等式 3f x 等价于 1 33 x x 或 1 1
35、 2 23 x x 或 1 2 33 x x ， 3 分 解得：1x或无解或1x ， 所以， 3f x 的解集为, 11, 5 分 （2） 11 02,2 0,20 2 aaa a 6 分 则 1 2, 11 12122, 2 1 2, 2 ax x a f xaxxaxx a ax x 7 分 所以函数 f x在 1 , a 上单调递减，在 1 1 , 2a 上单调递减，在 1 , 2 上单调递增 所以当 1 2 x 时， f x取得最小值， min 1 1 22 a f xf 8 分 因为对xR ， 3 2 f x a 恒成立， 所以 min 3 1 22 a f x a 9 分 又因0a ， 所以 2 230aa ，解得1a （3a不合题意） 所以a的最小值为 1 10 分
