1、考点一二次函数的解析式考点一二次函数的解析式1.(2016滨州,11,3分)在平面直角坐标系中,把一条抛物线先向上平移3个单位长度,然后绕原点旋转180得到抛物线y=x2+5x+6,则原抛物线的解析式为()A.y=-B.y=-C.y=-D.y=-+25x211425x211425x21425x214答案答案A抛物线y=x2+5x+6=-的顶点坐标为,将其绕原点旋转180后,顶点坐标变为,开口方向向下,抛物线的形状没有发生变化,因此对应的函数解析式为y=-+,再将其图象向下平移3个单位长度,得到原抛物线的解析式为y=-.故选择A.252x1451,245 1,2 4252x14252x114思路
2、分析思路分析先将抛物线y=x2+5x+6转化为顶点式,求出顶点坐标,将其绕原点旋转180,则对应的顶点也旋转180,开口方向与原来相反,求出此时的抛物线解析式,再将其向下平移3个单位长度,即可得到原抛物线的解析式.2.(2018泰安,17,3分)如图,在ABC中,AC=6,BC=10,tanC=,点D是AC边上的动点(不与点C重合),过D作DEBC,垂足为E,点F是BD的中点,连接EF,设CD=x,DEF的面积为S,则S与x之间的函数关系式为.34答案答案S=-x2+x32532解析解析在RtCDE中,tanC=,故可设DE=3a,CE=4a,则CD=5a=x,a=,DE=x,CE=x,BE=
3、10-x.点F是BD的中点,DEF的面积为DEB的面积的一半,因此,S=BEDE=x=-x2+x,即S=-x2+x.DECE345x3545451212124105x35123253232532考点二二次函数的图象和性质考点二二次函数的图象和性质1.(2018潍坊,9,3分)已知二次函数y=-(x-h)2(h为常数),当自变量x的值满足2x5时,与其对应的函数值y的最大值为-1,则h的值为()A.3或6B.1或6C.1或3D.4或6答案答案B对于二次函数y=-(x-h)2(h为常数),当x=h时,函数有最大值0,又当自变量x的值满足2x5时,与其对应的函数值y的最大值为-1,故h5.当h5,2
4、x5时,y随x的增大而增大,故当x=5时,y有最大值,此时-(5-h)2=-1,解得h1=6,h2=4(舍去),综上可知h=1或6.故选B.2.(2018滨州,10,3分)如图,若二次函数y=ax2+bx+c(a0)图象的对称轴为直线x=1,与y轴交于点C,与x轴交于点A、点B(-1,0),则二次函数的最大值为a+b+c;a-b+c0;b2-4ac0时,-1x0,故错误;因为点A与点B关于直线x=1对称,所以A(3,0),根据图象可知,当y0时,-1x3,故正确;故选B.3.(2018威海,9,3分)二次函数y=ax2+bx+c图象如图所示,下列结论错误的是()A.abc0B.a+c4acD.
5、2a+b0答案答案D由图象开口可知a0,b0,由抛物线与y轴的交点可知c0,abc0,故A正确;由图象可知当x=-1时,y0,y=a-b+c0,a+c2,a0,4ac-b24ac,故C正确;对称轴x=-1,a0,2a+b0,故D错误;故选D.2ba244acba2ba4.(2017日照,12,4分)已知抛物线y=ax2+bx+c(a0)的对称轴为直线x=2,与x轴的一个交点坐标为(4,0),其部分图象如图所示,下列结论:抛物线过原点;4a+b+c=0;a-b+c0;抛物线的顶点坐标为(2,b);当x0,结论错误;当x=2时,y=ax2+bx+c=4a+2b+c=(4a+b+c)+b=b,抛物线
6、的顶点坐标为(2,b),结论正确;观察函数图象可知:当x0;ab;4ac-b20.其中,正确的结论有()A.1个B.2个C.3个D.4个答案答案C抛物线过原点,c=0,abc=0,因此结论正确;结合图象可知当x=1时,y=a+b+c0,因此结论错误;抛物线的对称轴为直线x=-=-,b=3a,a-b=a-3a=-2a,又抛物线开口向下,a0,因此结论正确;抛物线与x轴有两个交点,b2-4ac0,4ac-b20时,抛物线开口向上,当a0时,图象与y轴交于正半轴(x轴上方),当c=0时,图象过原点,当c0时,抛物线与x轴有两个交点;当b2-4ac=0时,抛物线与x轴有唯一一个交点;当b2-4ac0且
7、x=-时,二次函数有最小值;当a0且x=-时,二次函数有最大值.24,24bacbaa2ba2ba244acba2ba244acba6.(2017莱芜,16,4分)二次函数y=ax2+bx+c(a0)图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为-3,1,与y轴交于点C,下面四个结论:16a-4b+cy2;a=-c;若ABC是等腰三角形,则b=-.其中正确的有.(请将正确结论的序号全部填上)25,2y132 73答案答案解析解析a0,该抛物线开口向下.图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为-3,1,当x=-3或1时,y=0且抛物线的对称轴是直线x=-1.当x=-4时,y=16a-4b+c-1时,y随x的增
8、大而减小.3,y1y2.由此可知错误;对称轴是直线x=-1,-=-1.b=2a.抛物线过点(1,0),a+b+c=0.25,2y522ba把b=2a代入上式,得a+2a+c=0.a=-c.由此可知正确;若ABC是等腰三角形,则有两种情况:AB=AC或BA=BC,因此c的值有两个,b的值也有两个.由此可知错误.137.(2016青岛,12,3分)已知二次函数y=3x2+c与正比例函数y=4x的图象只有一个交点,则c的值为.答案答案43解析解析二次函数y=3x2+c与正比例函数y=4x的图象只有一个交点,一元二次方程3x2+c=4x,即3x2-4x+c=0有两个相等的实数根,则有(-4)2-43c
9、=0,解得c=.43思路分析思路分析已知二次函数y=3x2+c与正比例函数y=4x的图象只有一个交点,故两个函数联立得到的一元二次方程有两个相等的实数根,即根的判别式等于0,由此可求得c的值.方法规律方法规律求两个函数图象的交点坐标时,一般将两个函数的解析式联立成方程组,通过解方程组得到交点坐标.考点三二次函数与一元二次方程及不等式的联系考点三二次函数与一元二次方程及不等式的联系1.(2018莱芜,10,3分)函数y=ax2+2ax+m(a0)的图象过点(2,0),则使函数值y0成立的x的取值范围是()A.x2B.-4x2C.x2D.0 x2答案答案A将(2,0)代入函数y=ax2+2ax+m
10、(a0),得m=-8a,把m=-8a代入函数y=ax2+2ax+m(a0),得y=ax2+2ax-8a=a(x2+2x-8),令y=0,因为a0,得x2+2x-8=0,解得x=2或-4.因为a0,即函数图象开口向下,所以x2.2.(2016滨州,10,3分)抛物线y=2x2-2x+1与坐标轴的交点个数是()A.0B.1C.2D.32答案答案C=b2-4ac=(-2)2-421=0,因此抛物线与x轴有一个交点,c=1,因此抛物线与y轴相交于点(0,1),故抛物线与坐标轴有2个交点,故选择C.2思路分析思路分析先根据判别式判断出抛物线与x轴的交点个数,再加上与y轴的一个交点,从而得出抛物线与坐标轴
11、的交点个数.易错警示易错警示抛物线与坐标轴的交点包括与x轴和y轴的交点两种情况,易错的地方是漏掉一种情况.拓展延伸拓展延伸判断函数图象与坐标轴是否有交点,其实就是看自变量和函数值能不能取0,自变量能取0,就与y轴有交点,函数值能取0,就与x轴有交点.例如,反比例函数y=中,x和y都不能取0,所以与坐标轴无交点,但是函数y=中,当x=0时,y=6,当y=0时,x=6,所以这个函数图象与两坐标轴的交点分别是(0,6)和(6,0).6x61xx3.(2018淄博,16,4分)已知抛物线y=x2+2x-3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),将这条抛物线向右平移m(m0)个单位,平移后的抛物线与x
12、轴交于C,D两点(点C在点D的左侧).若B,C是线段AD的三等分点,则m的值为.答案答案2或8解析解析抛物线y=x2+2x-3=(x+3)(x-1),所以点A的坐标为(-3,0),点B的坐标为(1,0).抛物线平移后,当点C在点B右侧时,由B,C是线段AD的三等分点,知m=8.抛物线平移后,当点C在点B左侧时,由B,C是线段AD的三等分点,知m=2.4.(2016菏泽,14,3分)如图,一段抛物线:y=-x(x-2)(0 x2),记为C1,它与x轴交于两点O、A1;将C1绕点A1旋转180得C2,交x轴于点A2;将C2绕点A2旋转180得C3,交x轴于点A3;如此进行下去,直至得C6.若P(1
13、1,m)在第6段抛物线C6上,则m=.答案答案-1思路分析思路分析由抛物线C1的解析式求得A1点的坐标;根据旋转及抛物线的性质,分别求得A2,A3,A4,A5,A6的坐标;确定抛物线C6的解析式;把P(11,m)代入解析式,求m的值.解析解析令y=0,即-x(x-2)=0,解得x1=0,x2=2,A1(2,0),OA1=2.由题意与旋转的性质,可得A2(4,0),A3(6,0),A4(8,0),A5(10,0),A6(12,0),且抛物线C6开口向上,于是可得抛物线C6的解析式为y=(x-10)(x-12)(10 x12),把P(11,m)代入C6的解析式,得m=(11-10)(11-12)=
14、-1.故答案为-1.考点四二次函数的综合应用考点四二次函数的综合应用1.(2018威海,6,3分)如图,将一个小球从斜坡的点O处抛出,小球的抛出路线可以用二次函数y=4x-x2刻画,斜坡可以用一次函数y=x刻画,下列结论错误的是()A.当小球抛出高度达到7.5m时,小球距O点水平距离为3mB.小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势C.小球落地点距O点水平距离为7米D.斜坡的坡度为1 21212答案答案A根据函数图象可知,当抛出的高度为7.5时,小球距离O点的水平距离有两值(为3m或5m),A结论错误;由y=4x-x2得y=-(x-4)2+8,则对称轴为直线x=4,当x4时,y随x值的增大而减小,
15、B结论正确;联立解得或则抛物线与直线的交点坐标为(0,0)或,C结论正确;由点知坡度为 7=1 2(也可以根据y=x中系数的意义判断坡度为1 2),D结论正确;故选A.1212214,21,2yxxyx0,0 xy7,7,2xy77,277,27212122.(2018青岛,22,10分)某公司投入研发费用80万元(80万元只计入第一年成本),成功研发出一种产品.公司按订单生产(产量=销售量),第一年该产品正式投产后,生产成本为6元/件.此产品年销售量y(万件)与售价x(元/件)之间满足函数关系式y=-x+26.(1)求这种产品第一年的利润W1(万元)与售价x(元/件)满足的函数关系式;(2)
16、该产品第一年的利润为20万元,那么该产品第一年的售价是多少?(3)第二年,该公司将第一年的利润20万元(20万元只计入第二年成本)再次投入研发,使产品的生产成本降为5元/件.为保持市场占有率,公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价,另外受产能限制,销售量无法超过12万件.请计算该公司第二年的利润W2至少为多少万元.解析解析(1)根据题意,得W1=xy-6y-80=(-x+26)x-6(-x+26)-80=-x2+26x+6x-156-80=-x2+32x-236.所以这种产品第一年的利润W1(万元)与售价x(元/件)满足的函数关系式为W1=-x2+32x-236.(2)该产品第一年的利润为2
17、0万元,W1=20,即-x2+32x-236=20,x2-32x+256=0,(x-16)2=0,x1=x2=16.答:该产品第一年的利润为20万元,那么该产品第一年的售价是16元/件.(3)依题意得,W2=yx-5y-20=(-x+26)x-5(-x+26)-20,W2=-x2+31x-150.公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价,x16,受产能限制,销售量无法超过12万件,-x+2612,解得x14,W2=-x2+31x-150(14x16),-10,其图象的对称轴为直线x=,312x=14时,W2有最小值,为88.答:该公司第二年的利润W2至少为88万元.思路分析思路分析(1)分别表
18、示出总销售额和总生产成本,根据“利润=总销售额-总生产成本-研发费用”求解;(2)将W1=20代入(1)中所求解析式,构造方程求解;(3)先列出第二年的利润W2与x的函数关系式,再结合x16及y12求出x的范围,最后求二次函数的最小值.解后反思解后反思用函数探究实际问题中的最值问题,常用方法有两种,一种是列出一次函数解析式,分析自变量的取值范围,得出最值问题的答案;另一种是建立二次函数模型,列出二次函数关系式,整理成顶点式,函数最值应结合自变量取值范围求解,最值不一定是顶点的纵坐标,画出函数在自变量取值范围内的图象,图象上的最高点的纵坐标是函数的最大值,图象上的最低点的纵坐标是函数的最小值.3
19、.(2018济宁,22,11分)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a0)经过点A(3,0)、B(-1,0)、C(0,-3).(1)求该抛物线的解析式;(2)若以点A为圆心的圆与直线BC相切于点M,求切点M的坐标;(3)若点Q在x轴上,点P在抛物线上,是否存在以点B、C、Q、P为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由.解析解析(1)抛物线y=ax2+bx+c(a0)经过点A(3,0)、B(-1,0),y=a(x-3)(x+1).又抛物线y=ax2+bx+c(a0)经过点C(0,-3),-3=a(0-3)(0+1),解得a=1.抛物线的解析式为y=(x-3)(x+
20、1),即y=x2-2x-3.(2)如图所示,过点A作AMBC,垂足为点M,AM交y轴于点N,BAM+ABM=90,在RtBCO中,BCO+ABM=90.BAM=BCO.A(3,0),B(-1,0),C(0,-3),AO=CO=3,OB=1.又BAM=BCO,BOC=AON=90,AON COB,ON=OB=1,N(0,-1).设直线AM的函数解析式为y=kx+b,把A(3,0),N(0,-1)分别代入,得k=,b=-1.直线AM的函数解析式为y=x-1.同理可得直线BC的函数解析式为y=-3x-3.解方程组得切点M的坐标为.03,1,kbb 131311,333,yxyx 3,56.5xy 3
21、6,55(3)设Q(t,0).若BC为对角线,则P(-t-1,-3).点P在抛物线上,-3=(-t-1)2-2(-t-1)-3.此方程无解,即这种情形不存在.若BP为对角线,则P(t-3,-3),点P在抛物线上,-3=(t-3)2-2(t-3)-3.解得t=3或5,其中t=3不符合题意,舍去.P(2,-3).若BQ为对角线,则P(t-1,3).同理可求t=2+或2-.P(1+,3)或(1-,3).综上,点P的坐标为(2,-3)或(1+,3)或(1-,3).777777思路分析思路分析(1)利用“交点式”求抛物线的解析式;(2)由题意可知AMBC.设AM交y轴于点N,证明AON COB,得ON=
22、OB,于是N(0,-1),分别求出直线BC、AM的函数解析式,进而解这两个函数解析式组成的方程组得点M的坐标;(3)设Q(t,0),按BC、BQ、BP分别为对角线分类求解.4.(2017德州,22,10分)随着新农村的建设和旧城的改造,我们的家园越来越美丽.小明家附近广场中央新修了个圆形喷水池,在水池中心竖直安装了一根高为2米的喷水管,它喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1米处达到最高,水柱落地处离池中心3米.(1)请你建立适当的平面直角坐标系,并求出水柱抛物线的函数解析式;(2)求出水柱的最大高度是多少.解析解析(1)如图,以水管与地面交点为原点,原点与水柱落地点所在直线为x轴,水管所
23、在直线为y轴,建立平面直角坐标系.由题意可设抛物线的函数解析式为y=a(x-1)2+h(0 x3).抛物线过点(0,2)和(3,0),代入抛物线解析式可得解得所以抛物线的函数解析式为y=-(x-1)2+(0 x3).化为一般式为y=-x2+x+2(0 x3).40,2.ahah2,38.3ah 23832343(2)由(1)知抛物线的函数解析式为y=-(x-1)2+(0 x3).当x=1时,y=.所以抛物线水柱的最大高度为m.23838383思路分析思路分析(1)建立合适的平面直角坐标系,设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+h,将(0,2)和(3,0)代入抛物线解析式,得到方程组,解方程组即
24、可;(2)将抛物线方程化为顶点式,求出最大高度即可.5.(2017济宁,18,7分)某商店经销一种学生用双肩包,已知这种双肩包的成本价为每个30元.市场调查发现,这种双肩包每天的销售量y(个)与销售单价x(元)有如下关系:y=-x+60(30 x60).设这种双肩包每天的销售利润为w元.(1)求w与x之间的函数关系式;(2)这种双肩包销售单价定为多少元时,每天的销售利润最大?最大销售利润是多少元?(3)如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于42元,该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润,销售单价应定为多少元?解析解析(1)w=(x-30)y=(x-30)(-x+60)=-x2+9
25、0 x-1800.w与x之间的函数关系式为w=-x2+90 x-1800(30 x60).(2)w=-x2+90 x-1800=-(x-45)2+225.-142,x2=50不符合题意,应舍去.答:该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润,销售单价应定为40元.思路分析思路分析(1)每天的销售利润w=每天的销售量每件产品的利润;(2)根据配方法,将一般式化为顶点式即可得答案;(3)根据自变量与函数值的对应关系,列出方程,求解即可.6.(2017临沂,26,13分)如图,抛物线y=ax2+bx-3经过点A(2,-3),与x轴负半轴交于点B,与y轴交于点C,且OC=3OB.(1)求抛物线的
26、解析式;(2)点D在y轴上,且BDO=BAC,求点D的坐标;(3)点M在抛物线上,点N在抛物线的对称轴上,是否存在以点A,B,M,N为顶点的四边形是平行四边形?若存在.求出所有符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.解析解析(1)令x=0,得y=-3,C(0,-3),OC=3.又OC=3OB,OB=1,B(-1,0).把点B(-1,0)和A(2,-3)分别代入y=ax2+bx-3得解得抛物线的解析式为y=x2-2x-3.(2)过点B作BEx轴交AC的延长线于点E.BDO=BAC,BOD=BEA=90,RtBDORtBAE,OD OB=AE BE,OD 1=3 3,OD=1.D点坐标为(0,
27、1)或(0,-1).30,4233,abab 1,2,ab(3)存在,M1(0,-3);M2(4,5);M3(-2,5).如图,设M(m,m2-2m-3),N(1,n).A(2,-3),B(-1,0),当四边形AM1BN1是平行四边形时,m+1=2+(-1),解得m=0,此时M1(0,-3);当四边形ABN2M2是平行四边形时,-1+m=2+1,解得m=4,此时M2(4,5);当四边形ABM3N3是平行四边形时,2+m=-1+1,解得m=-2,此时M3(-2,5).综上所述,符合条件的点M的坐标分别为M1(0,-3);M2(4,5);M3(-2,5).8.(2016枣庄,25,10分)如图,已
28、知抛物线y=ax2+bx+c(a0)的对称轴为直线x=-1,且经过A(1,0),C(0,3)两点,与x轴的另一个交点为B.(1)若直线y=mx+n经过B,C两点,求抛物线和直线BC的解析式;(2)在抛物线的对称轴x=-1上找一点M,使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小,求点M的坐标;(3)设点P为抛物线的对称轴x=-1上的一个动点,求使BPC为直角三角形的点P的坐标.解析解析(1)依题意,得解得抛物线的解析式为y=-x2-2x+3.抛物线的对称轴为x=-1,且经过A(1,0),B(-3,0).把B(-3,0)、C(0,3)分别代入y=mx+n,得解得直线BC的解析式为y=x+3.(2)由题
29、意知MA=MB,MA+MC=MB+MC,使MA+MC最小的点M应为直线BC与抛物线的对称轴x=-1的交点.把x=-1代入直线y=x+3,得y=2.M(-1,2).1,20,3,baabcc 1,2,3.abc 30,3,mnn1,3.mn(3)OB=3,OC=3,BC2=18.设P(-1,t),则PB2=(-1+3)2+t2=4+t2,PC2=(-1)2+(t-3)2=t2-6t+10.若B为直角顶点,则BC2+PB2=PC2,即18+4+t2=t2-6t+10.解之,得t=-2.若C为直角顶点,则BC2+PC2=PB2,即18+t2-6t+10=4+t2.解之,得t=4.若P为直角顶点,则P
30、B2+PC2=BC2,即4+t2+t2-6t+10=18.解之,得t1=,t2=.综上所述,满足条件的点P共有四个,坐标分别为P1(-1,-2),P2(-1,4),P3,P4.317231723171,23171,2知识拓展知识拓展此题第(2)问是“将军饮马问题”的一个典型变式,如图1,在一条可以近似看成直线的河a的同旁,将军牵着马位于点A处,现将军要牵着马到河边给马喂水,然后牵着马回到军营(点B处),设饮马的位置为河边的点M,那么这个点M在何处才能使走的路程最短(换句话说就是使AM+BM最短)?具体的作法:如图2,作点B关于直线a的对称点B,连接AB交直线a于点M,连接BM,则AM+BM最短
31、.B B组组2014201820142018年全国中考题组年全国中考题组考点一二次函数的解析式考点一二次函数的解析式1.(2018湖南岳阳,4,3分)抛物线y=3(x-2)2+5的顶点坐标是()A.(-2,5)B.(-2,-5)C.(2,5)D.(2,-5)答案答案C因为抛物线y=a(x-h)2+k(a0)的顶点坐标为(h,k),所以抛物线y=3(x-2)2+5的顶点坐标是(2,5).故选C.2.(2017黑龙江哈尔滨,4,3分)抛物线y=-3的顶点坐标是()A.B.C.D.35212x1,321,321,321,32答案答案B抛物线y=a(x-h)2+k的顶点坐标为(h,k),抛物线y=-3
32、的顶点坐标为.故选B.35212x1,323.(2017天津,12,3分)已知抛物线y=x2-4x+3与x轴相交于点A,B(点A在点B左侧),顶点为M.平移该抛物线,使点M平移后的对应点M落在x轴上,点B平移后的对应点B落在y轴上.则平移后的抛物线解析式为()A.y=x2+2x+1B.y=x2+2x-1C.y=x2-2x+1D.y=x2-2x-1答案答案A令y=0,则x2-4x+3=0,解得x1=1,x2=3,A(1,0),B(3,0).y=x2-4x+3=(x-2)2-1,点M的坐标为(2,-1),平移该抛物线,使点M平移后的对应点M落在x轴上,点B平移后的对应点B落在y轴上,抛物线向上平移
33、了1个单位长度,向左平移了3个单位长度,平移后的抛物线解析式为y=(x+1)2=x2+2x+1,故选A.解题关键解题关键正确得出平移的方向和距离是解题的关键.4.(2017江苏盐城,6,3分)如图,将函数y=(x-2)2+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象,其中点A(1,m)、B(4、n)平移后的对应点分别为点A、B.若曲线段AB扫过的面积为9(图中的阴影部分),则新图象的函数表达是()A.y=(x-2)2-2B.y=(x-2)2+7C.y=(x-2)2-5D.y=(x-2)2+41212121212答案答案D连接AB、AB,则S阴影=S四边形ABBA.由平移可知,AA=BB,且AAB
34、B,所以四边形ABBA是平行四边形.分别延长AA、BB交x轴于点M、N.因为A(1,m)、B(4,n),所以MN=4-1=3.S平行四形ABBA=AAMN,即9=3AA,解得AA=3,即图象沿y轴向上平移了3个单位,所以新图象的函数表达式为y=(x-2)2+4.125.(2016甘肃兰州,8,4分)二次函数y=x2-2x+4化为y=a(x-h)2+k的形式,下列正确的是()A.y=(x-1)2+2B.y=(x-1)2+3C.y=(x-2)2+2D.y=(x-2)2+4答案答案By=x2-2x+4=(x2-2x)+4=(x2-2x+1-1)+4=(x-1)2-1+4=(x-1)2+3,故选择B.
35、6.(2018新疆乌鲁木齐,13,4分)把抛物线y=2x2-4x+3向左平移1个单位长度,得到的抛物线的解析式为.答案答案y=2x2+1解析解析易知y=2x2-4x+3=2(x-1)2+1,则把原抛物线向左平移1个单位长度后得到的抛物线的解析式为y=2x2+1.考点二二次函数的图象和性质考点二二次函数的图象和性质1.(2018陕西,10,3分)对于抛物线y=ax2+(2a-1)x+a-3,当x=1时,y0,则这条抛物线的顶点一定在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案答案C当x=1时,y=a+2a-1+a-30,解得a1,又根据抛物线顶点坐标公式可得-=-0,=0,所以这条抛
36、物线的顶点一定在第三象限,故选C.2ba212aa244acba24(3)(21)4a aaa814aa2.(2018湖北黄冈,6,3分)当axa+1时,函数y=x2-2x+1的最小值为1,则a的值为()A.-1B.2C.0或2D.-1或2答案答案Dy=x2-2x+1=(x-1)2,当a1时,函数y=x2-2x+1在axa+1内,y随x的增大而增大,其最小值为a2-2a+1,则a2-2a+1=1,解得a=2或a=0(舍去);当a+11,即a0时,函数y=x2-2x+1在axa+1内,y随x的增大而减小,其最小值为(a+1)2-2(a+1)+1=a2,则a2=1,解得a=-1或a=1(舍去).当
37、0a1时,函数y=x2-2x+1在x=1处取得最小值,最小值为0,不合题意.综上,a的值为-1或2,故选D.3.(2018天津,12,3分)已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a0)经过点(-1,0),(0,3),其对称轴在y轴右侧.有下列结论:抛物线经过点(1,0);方程ax2+bx+c=2有两个不相等的实数根;-3a+b0.a0.把点(-1,0),(0,3)分别代入y=ax2+bx+c得a-b=-3,b=a+3,a=b-3.-3a0,0b3.-3a+b3.故正确.故选C.2ba4.(2018四川成都,10,3分)关于二次函数y=2x2+4x-1,下列说法正确的是()A.图象与
38、y轴的交点坐标为(0,1)B.图象的对称轴在y轴的右侧C.当x0时,y的值随x值的增大而减小D.y的最小值为-3答案答案D因为y=2x2+4x-1=2(x+1)2-3,所以,当x=0时,y=-1,选项A错误;该函数图象的对称轴是直线x=-1,选项B错误;当x0;abc0;0,又对称轴在y轴右侧,故b0,则ab0,错误;抛物线与y轴的交点在y轴负半轴,故c0,正确;抛物线与x轴有两个交点,则b2-4ac0,即1,正确.24acb6.(2017四川成都,10,3分)在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,下列说法正确的是()A.abc0B.abc0,b2-4ac0C.
39、abc0,b2-4ac0,b2-4ac0,又对称轴在y轴右侧,所以-0,所以b0,因为抛物线与y轴交于负半轴,所以c0;因为抛物线与x轴有两个交点,所以b2-4ac0,故选B.2ba思路分析思路分析本题考查二次函数的图象与系数的关系,从抛物线的开口方向,对称轴,以及与y轴的交点位置来判断a,b,c的符号,由抛物线与x轴的交点个数判断b2-4ac的符号.7.(2017江苏连云港,7,3分)已知抛物线y=ax2(a0)过A(-2,y1),B(1,y2)两点,则下列关系式一定正确的是()A.y10y2B.y20y1C.y1y20D.y2y10答案答案Cy=ax2(a0)抛物线的开口向上,对称轴为y轴
40、,A(-2,y1)在对称轴的左侧,B(1,y2)在对称轴的右侧,点A距对称轴的距离大于点B距对称轴的距离,y1y20.8.(2017四川眉山,11,3分)若一次函数y=(a+1)x+a的图象过第一、三、四象限,则二次函数y=ax2-ax()A.有最大值B.有最大值-C.有最小值D.有最小值-4a4a4a4a答案答案B因为一次函数y=(a+1)x+a的图象过第一、三、四象限,所以解得-1a0,而y=ax2-ax=a(x-)2-a,所以二次函数有最大值-.10,0,aa 12144a9.(2017湖北荆门,11,3分)在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=ax2+bx+c(a0)的大致图象如图所示
41、,则下列结论正确的是()A.a0,b0B.-=1C.a+b+c0D.关于x的方程ax2+bx+c=-1有两个不相等的实数根2ba答案答案D抛物线的开口向下,a0.b0.抛物线与y轴的负半轴相交,c1.故选项B错误.抛物线经过点(1,0),当x=1时,y=0,即a+b+c=0.故选项C错误.由图象可知,y的最大值是1,直线y=-1与抛物线有两个不同的交点,即关于x的方程ax2+bx+c=-1有两个不相等的实数根.故选项D正确.综上,只有选项D中的结论是正确的,故选D.2ba2ba10.(2017黑龙江齐齐哈尔,10,3分)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a0)的对称轴为直线x=-2,与x轴的一
42、个交点在(-3,0)和(-4,0)之间,其部分图象如图所示,则下列结论:4a-b=0;c0;4a-2bat2+bt(t为实数);点,是该抛物线上的点,则y1y2y3,正确的个数有()A.4个B.3个C.2个D.1个19,2y25,2y31,2y答案答案C物线y=ax2+bx+c(a0)的对称轴为直线x=-2,4a-b=0,故正确;抛物线y=ax2+bx+c(a0)的对称轴为直线x=-2,与x轴的一个交点在(-3,0)和(-4,0)之间,另一个交点位于(-1,0)和(0,0)之间,抛物线与y轴的交点在原点的下方,c0.a0,4a-c4a,-3a+c-3a+4a=a,-3a+c不一定大于0,故错误
43、;4a-b=0,b=4a,at2+bt-(4a-2b)=at2+4at-(4a-24a)=at2+4at+4a=a(t2+4t+4)=a(t+2)2,t为实数,a0,a(t+2)20,at2+bt-(4a-2b)0,at2+bt4a-2b,即4a-2bat2+bt,错误;点,是该抛物线上的点,将它们描在图象上,如图:19,2y25,2y31,2y由图可知y1y3y2y1B.y3y1=y2C.y1y2y3D.y1=y2y3答案答案D当x=-1时,y1=-(-1)2+2(-1)+c=-3+c;当x=3时,y2=-32+23+c=-3+c;当x=5时,y3=-52+25+c=-15+c,易知y1=y
44、2y3,故选择D.考点三二次函数与一元二次方程及不等式的联系考点三二次函数与一元二次方程及不等式的联系1.(2018湖北襄阳,9,3分)已知二次函数y=x2-x+m-1的图象与x轴有交点,则m的取值范围是()A.m5B.m2C.m214答案答案A根据题意,得=b2-4ac0,所以(-1)2-410,解得m5.114m2.(2016湖北荆门,10,3分)若二次函数y=x2+mx的图象的对称轴是x=3,则关于x的方程x2+mx=7的解为()A.x1=0,x2=6B.x1=1,x2=7C.x1=1,x2=-7D.x1=-1,x2=7答案答案D因为二次函数y=x2+mx的图象的对称轴是x=3,所以x=
45、-=3,m=-6,则关于x的方程x2+mx=7为x2-6x-7=0,解得x1=-1,x2=7.故选择D.2m3.(2016广西南宁,12,3分)二次函数y=ax2+bx+c(a0)和正比例函数y=x的图象如图所示,则方程ax2+x+c=0(a0)的两根之和()A.大于0B.等于0C.小于0D.不能确定2323b答案答案A根据题图可知a0,b0.在方程ax2+x+c=0(a0)中,=-4ac=b2-b+-4ac=b2-4ac-b+0,设此方程的两根分别为x1,x2,则x1+x2=-=-+0,故选A.23b223b4349434923baba23a4.(2015天津,12,3分)已知抛物线y=-x
46、2+x+6与x轴交于点A,点B,与y轴交于点C,若D为AB的中点,则CD的长为()A.B.C.D.163215492132152答案答案D由题意知,点D是抛物线的对称轴与x轴的交点,所以点D的坐标为.对于y=-x2+x+6,令x=0,得y=6,所以C(0,6).所以CD=.故选D.9,0216322290(06)222541525.(2017江苏镇江,8,2分)若二次函数y=x2-4x+n的图象与x轴只有一个公共点,则实数n=.答案答案4解析解析因为二次函数y=x2-4x+n的图象与x轴只有一个公共点,所以=b2-4ac=(-4)2-41n=0,解得n=4.6.(2018湖北黄冈,22,8分)
47、已知直线l:y=kx+1与抛物线y=x2-4x.(1)求证:直线l与该抛物线总有两个交点;(2)设直线l与该抛物线两交点为A,B,O为原点,当k=-2时,求OAB的面积.解析解析(1)证明:令x2-4x=kx+1,则x2-(4+k)x-1=0,因为=(4+k)2+40,所以直线l与该抛物线总有两个交点.(2)设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),直线l与y轴的交点为C,则C点的坐标为(0,1),易知x1+x2=4+k=2,x1x2=-1,所以(x1-x2)2=8,所以|x1-x2|=2,所以OAB的面积S=OC|x1-x2|=12=.21212227.(2018云南,20,8分)
48、已知二次函数y=-x2+bx+c的图象经过A(0,3),B两点.(1)求b、c的值;(2)二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴是否有公共点?若有,求公共点的坐标;若没有,请说明理由.31694,2316解析解析(1)二次函数y=-x2+bx+c的图象经过A(0,3)、B两点,解得b=,c=3.(4分)(2)y=-x2+bx+c=-x2+x+3.由-x2+x+3=0得x2-6x-16=0,解得x=-2或x=8.(6分)二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴有两个公共点,公共点的坐标为(-2,0),(8,0).(8分)31694,223,39(4)4,162cbc 9,83.bc989,83
49、,bc3163169831698316思路分析思路分析(1)将A、B的坐标分别代入解析式,列方程组求得b、c.(2)由(1)得二次函数解析式,令y=0,解方程即可.考查内容考查内容本题主要考查二次函数的性质及其与一元二次方程的关系,熟练地解方程(组)是解决本题的关键.考点四二次函数的综合应用考点四二次函数的综合应用1.(2018北京,7,2分)跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一.运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分,运动员起跳后的竖直高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)近似满足函数关系y=ax2+bx+c(a0).下图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据,根据上述函数模型和数据
50、,可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时,水平距离为()A.10mB.15mC.20mD.22.5m答案答案B由题图中给出的点可知,抛物线的最高点的横坐标在0到20之间.若最高点的横坐标为10,由对称性可知,(0,54.0)关于对称轴的对称点为(20,54.0),而54.057.9,所以最高点的横坐标大于10.故选B.2.(2018湖北武汉,15,3分)飞机着陆后滑行的距离y(单位:m)关于滑行时间t(单位:s)的函数解析式是y=60t-t2.在飞机着陆滑行中,最后4s滑行的距离是m.32答案答案24解析解析y=60t-t2=-(t-20)2+600,即t=20时,y取得最大值,即滑行距离达到最
