1、5 平面与空间直线 一.平面的点法式方程：1.平面的法向量：与平面垂直的向量称为的法向量，一个平面的法向量有无穷个。2.点法式方程：设平面过一定点M0(x0,y0,z0)，且具有法向量n=A,B,C，则称A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0为该平面的点法式方程。例例1 已知平面过M0(3,-2,1),且与M0到M1(-2,1,4)的连线垂 直,求其方程。解解：所求平面的一个法向量n=-5,3,3，于是平面方程为 (-5)(x-3)+3(y+2)+3(z-1)=0整理得 5x-3y-3z+18=0 二.平面的一般式方程：1.一般式方程：我们称形为Ax+By+Cz+D=0的方程为平面
2、的一般式方程，其中A,B,C为其法向量n.2.特殊情况：当D=0时，Ax+By+Cz=0过原点；当A=0时，By+Cz+D=0平行于x轴，其他类似；当A=B=0时，Cz+D=0平行于xOy面，其他类似；例例2 求过x轴及点M(1,2,3)的平面方程。解解 因为平面过原点且平行于x轴，易知平面方程形为By+Cz=0将点M的坐标代入得其一组解为B=3,C=-2故所求平面的方程为3y-2z=0 三.平面的截距式方程：称形如1czbyax 的方程为平面的截距式方程。其中a,b,c为平面 在x,y,z轴上的截距。例例3 将x+2y+3z-6=0化为截距式方程。解解：原方程可化为 x+2y+3z=6在上式
3、两边同除以6得 1236zyx 四.空间直线的对称式与参数式方程：1.直线的方向向量：2.对称式方程：任一平行于直线l的非零向量称为L的方向向量，一般记为s，一直线的方向向量有无限个。设已知直线L上一点M0(x0,y0,z0)和它的一个方向向量 s=m,n,p，则该直线的方程为pzznyymxx000称为该直线的对称式方程（或称为点向式、标准式方程）。在上式中，若m=0,则应理解为pzzmyyxx000其余类推。若有两个为0，例m=n=0，应理解为0000yyxx 直线的任一方向向量s的坐标m,n,p称为该直线的一组 方向数，而s的方向余弦称为该直线的方向余弦。3.两点式方程：过两点M1(x1
4、,y1,z1)和M2(x2,y2,z2)的直线的方程为121121121zzzzyyyyxxxx 4.参数式方程：在直线的对称式方程中令比例系数为t，则得如下参 数方程：ptzzntyymtxx000 例例4 求过点(-2,1,0)且垂直于平面3x-13y-9z-2=0的直线 的对称式方程与参数式方程。解解 显然平面的法向量可以取作直线的方向向量，取 s=3,-13,-9,由对称式知直线方程为913132zyx再令上式等于t，便得到直线的参数式方程：tztytx913132 五.空间直线的一般式方程：空间直线可看作两个平面的交线，设有两个平面 1：A1x+B1y+C1z+D1=0 2：A2x+
5、B2y+C2z+D2=0则称如下方程组为直线的一般式方程：0022221111DzCyBxADzCyBxA例 将 直线L 化成对称式方程0220123zyxzyx平面 的法向量0123:1zyx)1,2,3(),(1111CBAn022:2zyx)1,1,2(),(2222CBAn21,nLnLkjikjinns7511212321L的方向量求直线L上一点M0(x0,y0,z0)令x0=1042zyzy得 Y0=4,z0=4745411zyx所求直线L方程为五 导读1.两平面的夹角两平面法向量的夹角,称为两平面的夹角.222222212121212121cosCBACBACCBBAA若两平面互
6、相垂直,则若两平面互相平行,则,21nn0212121CCBBAA1n/2n212121CCBBAA2 两直线间的夹角2222211111,:,:pnmsLpnmsL222222212121212121cospnmpnmppnnmm3 直线与平面之间的夹角当直线L与平面不垂直时,直线与平面的夹角规定为直线与它在平面上的投影直线的夹角.)(2ns)sin()(2cos(cosnsns222222)sin(CBApnmpCnBmAns当 时,直线与平面平行,nspCnBmA0CpBnAm当 时 直线与平面垂直s/n4 点到平面的距离设M0(x0,y0,z0)是平面 Ax+By+Cz+D=0 外一点
7、,下面求M0(x0,y0,z0)到平面Ax+By+Cz+D=0 的距离.:解:设M1(x1,y1,z1)为平面 上任一点,为 的法向量,且过M0点,A,B,Cnn设M0到 的距离为 ,则d)cos(010101MMnnMMMMpijdn222000222000)()()(CBADCzByAxCBAzzCyyBxxA222010101)()cos(CBAMMnnMMnnMM5 平面束方程 两平面决定一条直线L实际上过L的平面有无穷多个，我们称它为平面束用 表示0)(22221111DzCyBxADzCyBxA0022221111DzCyBxADzCyBxA12L上的点一定在 和 上，因而也一定在
8、平面束上，通过L的任意平面（除 外）都包含在平面束内。122例 求直线L：0101zyxzyx01zyx在平面 的投影直线方程解：要求投影直线方程，实际上是求一个与平面0:zyx垂直的平面且过L直线为此，建立平面束方程0)1(1zyxzyx01)1()1()1(zyx0)1()1()1(由于L101zy代入平面束方程得所以投影直线方程为001zyxzy此平面与 的交线即为所求。例 求通过两平面 和04 zx05zyx的交线且与平面 成 角的平面04501284zyx0)4(5zxzyx解 建立过已知两平面交线的平面束方程1,5,1n其法向量为01284zyx而平面 的法向量为8,4,11n64161)1(2)1()1(8201222121021)(45cos)cos(nnnnnn
