1、章-经典傅里叶变换讲解 傅里叶傅里叶17681768年生于法国年生于法国,1807,1807年提年提出出“任何周期信号都可用正弦函数任何周期信号都可用正弦函数级数表示级数表示”,1822”,1822年在年在“热的分析热的分析理论理论”一书中再次提出。一书中再次提出。18291829年狄年狄里赫利给出傅里叶变换收敛条件。里赫利给出傅里叶变换收敛条件。傅里叶变换得到大规模的应用，则傅里叶变换得到大规模的应用，则是到了上世纪是到了上世纪6060年代之后。年代之后。3.1 傅里叶变换的产生傅里叶变换的产生傅里叶的两个最主要的贡献：傅里叶的两个最主要的贡献：（1）“周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的
2、周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和加权和”;（2）“非周期信号都可用正弦信号的加权积分表非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示示”.1,cos,sin,cos2,sin2,cos,sin,ttttktkt21*()()d1tiitf t ftt 21*()()d0tijtf t fttij，三角函数三角函数就是一个标准的两两正交的函数空间。它满足下列完就是一个标准的两两正交的函数空间。它满足下列完备正交函数的三个条件：备正交函数的三个条件：3.2 周期信号的傅里叶分析周期信号的傅里叶分析1.归一化：归一化：2.归一正交化：归一正交化：3.归一化完备性：可以用其线性组合表示任意信号归一
3、化完备性：可以用其线性组合表示任意信号周期的终点周期的终点 1111111,cos,sin,cos2,sin2,cos,sin,ttttktkt12122Ttt 设三角函数的完备函数集为设三角函数的完备函数集为：其中其中三角函数集也可表示为：三角函数集也可表示为：11cos(),sin()0,1,2,ntntn3.2.1 傅里叶级数的三角形式傅里叶级数的三角形式基频基频 周期周期 周期的起点周期的起点 2111cos()sin()d0ttntmtt21211111cos()cos()d0,sin()sin()d0ttttntmttmnntmtt2211222111cos()dsin()d22t
4、tttttTnttntt21211dtttTtt0n 时，有时，有（2 2）“单位单位”常数性，即当常数性，即当 满足满足：（1）正交性：函数集中的任意函数两两相正交，有正交性：函数集中的任意函数两两相正交，有 可以将可以将“任意任意”周期函数周期函数 在这个正交函数集中展开为在这个正交函数集中展开为()f t0111()(cossin)nnnf taantbnt22112211112121212()cos()d,0()cos()d1cos()d()d,0ttttnttttf tnttnf tnttttanttf ttntt221211112211()sin()d2()sin()dsin()d
5、tttntttf tnttbf tnttttntt系系数数称为傅里叶级数称为傅里叶级数 011()cos()2nnnaf tcnt0111 ()(cossin)2nnnaf tantbnt或211212()cos()dtntaf tntttt 同上式同上式 傅里叶级数的傅里叶级数的三角展开式三角展开式 另一种形式另一种形式 t 直流分量直流分量 n=1n1基波分量基波分量 n次谐波分量次谐波分量 可展开为傅里叶级数的条件：可展开为傅里叶级数的条件：()f t（2 2）在区间内有有限个间断点；在区间内有有限个间断点；()f t（1 1）绝对可积，即：绝对可积，即：()f t21()dttf tt
6、 （3 3）在区间内有有限个极值点。在区间内有有限个极值点。()f tDirechlet条件条件傅里叶级数存傅里叶级数存在的充要条件在的充要条件22OppositeHypotenusennncabarctannnnba式中，式中，为为n次谐波振幅。次谐波振幅。为为n次谐波初始相位。次谐波初始相位。！并非任意周期信号都能进行傅里叶级数展开并非任意周期信号都能进行傅里叶级数展开！1.从三角函数形式的傅里叶级数推导从三角函数形式的傅里叶级数推导3.2.2 傅里叶级数的复指数形式傅里叶级数的复指数形式11j()j()1eecos()2nnntntnnt 利用欧拉公式利用欧拉公式:11j()j()11(
7、)ee22nntntnnnnf tcA式中式中j22e(cosjsin)nnnnnnnAcab 22nnncabarctan()nnnba幅度幅度 相位相位 复指数复指数 幅度幅度 22112211111j1122j()cos()dj()sin()d22 ()cos()jsin()d()edttnnnttttntttAabf tnttf tnttTTf tntnttf ttTT nA的具体求法如下：的具体求法如下：1j()()entnnf tF2.直接从复变正交函数集推导直接从复变正交函数集推导1j()e1,2,ntn中展开，有中展开，有()f t在复变正交函数空间在复变正交函数空间将原函数将
8、原函数2121121111j*jjj*()(e)d1()ed(e)(e)dtntttntnttntnttf ttFf ttTtje2nnnnAFF式中式中例例00()()TkttkT求求 的指数傅里叶级数和三角傅里叶级数。的指数傅里叶级数和三角傅里叶级数。0()Tt已知冲激序列已知冲激序列-T0 O T0 2T0 t0()Tt0()tT()t00j01()entTntT0010012()cosTntntTT0()Tt的三角傅里叶级数为：的三角傅里叶级数为：001aT002000222()cosdTTnatnt tTT0nb 又又解解000j200211()edTntTnFttTT100()()
9、()()Af tAtu tu tTT100000()()()()(1)nnAf tf t nTAt nTu t nTu tnTT求下图中三角波求下图中三角波的三角傅里叶级数。的三角傅里叶级数。1()f t()f t则则为为的周期延拓，即的周期延拓，即 将将()f tAC()ft去除直流分量，则仅剩交流分量去除直流分量，则仅剩交流分量()f t00,tT在在内的函数记为内的函数记为（1）将周期函数）将周期函数例例解解A()f t-T0 O T0 2T0 tAC00000000001100000()()()(1)()()(1)122()(cos)cosnnnnnAftf tu tnTu tnTTA
10、AtnTtnTtnTTAAAAtnTAntntTTTTT 0AC0110sin2()cosdtnnntAAftnTn D/2fA01sin()2nntAAf tn 故000001d2TAAat tTT0na 000002sindnTAAbtnt tTTn（2 2）利用直接法求解）利用直接法求解故故 01sin()2nntAAf tn111j011()ecos()sin()NNNntnnnnNnnf tFaantbnt常称为常称为f(t)的截断傅里叶级数表示式。的截断傅里叶级数表示式。用MATLAB的符号积分函数int()可表示上式。格式为：（1）intf=int(f,v)；给出符号表达式给出符
11、号表达式f对指定变量对指定变量v的的（不带积分常数）不定积分；（不带积分常数）不定积分；（2）intf=int(f,v,a,b)；给出符号表达式给出符号表达式f对指定变量对指定变量v的定积分。的定积分。3.2.3 傅里叶级数的傅里叶级数的MATLAB仿真实现仿真实现3.3 周期信号的对称性周期信号的对称性 1纵轴对称性纵轴对称性 （1）如果原函数是偶函数，则其傅里叶级数中只有）如果原函数是偶函数，则其傅里叶级数中只有直流和余弦分量（即偶函数之和仍然是偶函数）。直流和余弦分量（即偶函数之和仍然是偶函数）。（2）如果原函数是奇函数，则其傅里叶级数中只有）如果原函数是奇函数，则其傅里叶级数中只有正弦
12、分量（即奇函数之和仍然是奇函数）。正弦分量（即奇函数之和仍然是奇函数）。满足满足 的周期为的周期为T 的的函数；即平移半个周期后的信号与原函数；即平移半个周期后的信号与原信号关于横轴对称。信号关于横轴对称。(/2)()f tTf t 定义：定义：l 奇谐函数奇谐函数l 偶谐函数偶谐函数满足满足 的周期为的周期为T 的的函数；即函数；即平移半个周期后信号与原信号重合。(/2)()f tTf t2横轴对称性横轴对称性（2）偶谐函数的傅里叶级数中只有偶次谐波分量。）偶谐函数的傅里叶级数中只有偶次谐波分量。（1）奇谐函数的傅里叶级数中只有奇次谐波分量）奇谐函数的傅里叶级数中只有奇次谐波分量。如果原信号
13、既不是奇谐函数也不是偶谐函数，如果原信号既不是奇谐函数也不是偶谐函数，那么其傅里叶级数展开式中就会既包含有奇次谐那么其傅里叶级数展开式中就会既包含有奇次谐波分量也包含有偶次谐波分量。波分量也包含有偶次谐波分量。！利用奇谐函数、偶谐函数性质的时候，最好将利用奇谐函数、偶谐函数性质的时候，最好将其直流分量去掉，以免发生误判。其直流分量去掉，以免发生误判。已知奇谐函数：已知奇谐函数：例例解解t()f to12T 12T2E 2E1cost 11cos()2Tt t()f to12T 12T2E 2E1sint 11sin()2Tt t()f to12T 12T2E 2E()f t1()2Tf t t
14、()f to12T 12T2E 2E1sin2t t()f to12T 12T2E 2E1cos2t 3.4 常见周期信号的频谱常见周期信号的频谱3.4.1 频谱的概念频谱的概念频频谱谱图图表示信号含有的各个频率分量表示信号含有的各个频率分量的幅度值。其横坐标为频率的幅度值。其横坐标为频率 （单位为赫兹），纵坐标对应（单位为赫兹），纵坐标对应各频率分量的幅度值各频率分量的幅度值 。nFl 振幅频谱振幅频谱（幅频特性图）（幅频特性图）表示信号含有的各个频率分量表示信号含有的各个频率分量的相位。其横坐标为频率；纵的相位。其横坐标为频率；纵坐标对应各频率分量的相位坐标对应各频率分量的相位 （单位常用
15、度或弧度）。（单位常用度或弧度）。nl 相位频谱相位频谱（相频特性图）（相频特性图）1,()220,kTtkTf t其它例例，求频谱，求频谱解解（1 1）单边频谱：）单边频谱：1114sin(),022Sa()22,0nnnnnTATnT ()f tT2t2oT1（2）双边频谱：）双边频谱：11111/2j2/2j2/211/2212sin11 e24edj2sin (),0,1,2,2nntntnnnbbacFtTTnTnanSanTT 包络线包络线 频谱图随参数的变化规律：频谱图随参数的变化规律：1）周期）周期T不变，脉冲宽度不变，脉冲宽度 变化变化2Sa()0 2 2 2T nF 2O
16、141,()()444nTnnFSaSaTT情况情况1 1：第一个过零点为第一个过零点为n=4。在在 有值（谱线）有值（谱线）nF12/4()f tT2t2oT11,()()888nTnnFSaSaTT情况情况2 2：()f tT2t2oT1nF2 o182T 1,()()161616nTnnFSaSaTT情况情况3 3：()f tT2t2oT1示意图示意图 2T nF1162o 由大变小，由大变小，Fn 第一过零点频率增大，即第一过零点频率增大，即 所以所以 称为信号的带宽，称为信号的带宽，确定了带宽。确定了带宽。由大变小，频谱的幅度变小。由大变小，频谱的幅度变小。由于由于 T 不变，谱线间
17、隔不变，即不变，谱线间隔不变，即 不变。不变。结结 论论2/T 1/f2/第一个过零点第一个过零点情况情况 1：4T2/(2)T2/时，谱线间隔时，谱线间隔2）脉冲宽度）脉冲宽度 不变不变,周期周期T变化变化()f tT2t2oT1示意图示意图 22T nF142041)0(0SaTF第一个过零点第一个过零点情况情况 2：8T24T2时，谱线间隔时，谱线间隔()f t2t2oT1示意图示意图 TnF4120TnF182o第一个过零点第一个过零点 情况情况 3：16T28T2时，谱线间隔时，谱线间隔T()f t2t2o1T2T2T示意图示意图 nF8120nF1162 0 不不变，变，F Fn
18、n 的第一个过零点频率不变，的第一个过零点频率不变，即即 带宽不变。带宽不变。T T 由小变大，谐波频率成分丰富，且频谱幅度变小由小变大，谐波频率成分丰富，且频谱幅度变小。T T 时时，谱线间隔，谱线间隔 0 0，这时：，这时：周期信号周期信号 非周期信号；离散频谱非周期信号；离散频谱 连续频谱连续频谱1f2结结 论论典型周期信号的频谱分析，可利用傅里叶级数或典型周期信号的频谱分析，可利用傅里叶级数或傅里叶变换。典型周期信号如下：傅里叶变换。典型周期信号如下：1.1.周期矩形脉冲信号周期矩形脉冲信号 2 2.周期对称方波信号周期对称方波信号 3 3.周期锯齿脉冲信号周期锯齿脉冲信号 4 4.周
19、期三角脉冲信号周期三角脉冲信号 5 5.周期半波余弦信号周期半波余弦信号 6 6.周期全波余弦信号周期全波余弦信号3.4.2 常见周期信号的频谱常见周期信号的频谱1.周期矩形脉冲信号周期矩形脉冲信号 (1)(1)周期矩形脉冲信号的傅里叶级数求解周期矩形脉冲信号的傅里叶级数求解设周期矩形脉冲：脉宽为设周期矩形脉冲：脉宽为，脉冲幅度为，脉冲幅度为E，周期为，周期为T111()()(),2222TTf tE u tu tt o/2/2E1Tt()f t1T110111,()20,0,01()22nnnnnnnnEnEcacSaTccnEFFaSaT 1j1111111()()cos()()22ent
20、nnEnnEEf tSantSaTT三角指数1101 (),0,()2nnf tEnEabaSaT是偶函数1,20 21(,)fnBBB周期矩形脉冲信号的幅度频谱中收敛规律为主要能量集中在第一个零点以内，即称为其频带宽度（2 2）周期矩形脉冲信号的幅度、相位谱）周期矩形脉冲信号的幅度、相位谱相位谱相位谱On2411ETnC1nO1224幅度谱幅度谱复数频复数频11ETnFO2122 4实数频谱实数频谱幅度谱与相位谱合并幅度谱与相位谱合并10cnCO1224 周期对称方波信号是周期矩形信号的一种特殊情况，周期对称方波信号是周期矩形信号的一种特殊情况，对称方波信号有两个特点：对称方波信号有两个特点
21、：(1)(1)是正负交替的信号，其直流分量是正负交替的信号，其直流分量a0等于零；等于零；(2)(2)它的脉宽恰等于周期的一半，即它的脉宽恰等于周期的一半，即t =T1/2/2。2.2.周期对称方波信号的傅里叶级数周期对称方波信号的傅里叶级数O2E1/4T1/4T1Tt()f t2E1T00 (),1,3,5.20,01,(),0222nnnnnnnnnccaESancEnFFcSac，111j21()sin()cos()21sin(),1,3.2enntnEnf tntnEnnn 三角指数0 002(),1,3,5.2nnabnEaESann 偶函数且，奇谐函数1n周期对称方波信号的幅度频谱
22、中 收敛规律na1O12131415幅度谱幅度谱1na15O121314相位谱相位谱On11315173.3.周期锯齿脉冲信号的傅里叶级数求解周期锯齿脉冲信号的傅里叶级数求解周期锯齿脉冲信号，是奇函数故周期锯齿脉冲信号，是奇函数故 ，可求出傅里叶级数系数可求出傅里叶级数系数bn。如何求如何求bn留作思考！留作思考！0na t()f t2EO12T12T2E11111111()sin()sin(2)sin(3)231(1)sin()nnEf ttttEntn其傅里叶级数表达式为：其傅里叶级数表达式为：此信号的频谱只包含正弦分量，谐波的幅此信号的频谱只包含正弦分量，谐波的幅度以度以1/n的规律收敛
23、。的规律收敛。4.4.周期三角脉冲信号的傅里叶级数求解周期三角脉冲信号的傅里叶级数求解t()f tEO12T12T0nb 周期三角脉冲信号，是偶函数，故周期三角脉冲信号，是偶函数，故 ，可求出傅里叶级数系数可求出傅里叶级数系数a0、an。如何求如何求bn留作思考！留作思考！此信号的频谱只包含直流、基波及奇次谐此信号的频谱只包含直流、基波及奇次谐波分量，谐波的幅度以波分量，谐波的幅度以1/n2 2的规律收敛。的规律收敛。111221221411()cos()cos(3)cos(5)292541 sin()cos()22nEEf ttttEEnn tn其傅里叶级数表达式为：其傅里叶级数表达式为：5
24、.5.周期半波余弦信号的傅里叶级数求解周期半波余弦信号的傅里叶级数求解0nb 周期半波余弦信号，是偶函数，故周期半波余弦信号，是偶函数，故 ，可求出傅里叶级数系数可求出傅里叶级数系数a0、an。如何求如何求bn留作思考！留作思考！t()f tEo12T12T1T1T此信号的频谱只包含直流、基波及偶次谐此信号的频谱只包含直流、基波及偶次谐波分量，谐波的幅度以波分量，谐波的幅度以1/n2 2的规律收敛。的规律收敛。1111121144()cos()cos(2)cos(4)2315212cos()cos()(1)2nEEf ttttEEnn tnT，其傅里叶级数表达式为其傅里叶级数表达式为：6.6.
25、周期全波余弦信号的傅里叶级数求解周期全波余弦信号的傅里叶级数求解周期全波余弦信号，是偶函数。周期全波余弦信号，是偶函数。令余弦信号为令余弦信号为10002()cos(),f tEtTt()f tEo12T12T1T1T则，全波余弦信号为：则，全波余弦信号为：10()()cos()f tf tEt此信号的频谱只包含直流、基波及偶次谐此信号的频谱只包含直流、基波及偶次谐波分量，谐波的幅度以波分量，谐波的幅度以1/n2的规律收敛。的规律收敛。111102124111()cos(2)cos(4)cos(6)31535241(1)cos(2)41nnEEf ttttEEntn其傅里叶级数表达式为：其傅里
26、叶级数表达式为：如果用有限如果用有限傅里叶级数代替无穷傅里叶级数表示信傅里叶级数代替无穷傅里叶级数表示信号，必然引进一个误差。如果完全逼近，则号，必然引进一个误差。如果完全逼近，则 n=.实际中，实际中，n=N,N是有限整数。是有限整数。如果如果 N愈接近愈接近 n，则，则 其均方误差愈小其均方误差愈小若用若用2N1项逼近，则项逼近，则0111()(cossin)NNnnnStaatbt3.4.3 吉布斯效应吉布斯效应误差函数和均方误差误差函数和均方误差 误差函数误差函数 均方误差均方误差()()()NNtf tS t2222201()()()2NNnnEtftaab对称方波对称方波,是偶函数
27、且奇谐函数。是偶函数且奇谐函数。所以其只有奇次谐波的余弦项。所以其只有奇次谐波的余弦项。2sin2nEnan21111135()(coscos3cos5)Ef tttt例例-E/2T1/4-T1/4tE/2o对称方波有限项的傅里叶级数对称方波有限项的傅里叶级数 （N=1N=1、2 2、3 3时的逼近波形）时的逼近波形）（3）N=3:210.05EE21121(coscos 3),3EStt220.02EE212(cos),ESt311121(coscos331 cos5),5ESttt230.01EE（1）N=1:（2）N=2:-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.4
28、0.5-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81有限项的有限项的N越大，误差越小例如越大，误差越小例如:N=9911112111(coscos3cos5cos11)3511EStttt-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81 N越大，越接近方波越大，越接近方波 快变信号，高频分量，主要影响跳变沿；快变信号，高频分量，主要影响跳变沿；慢变信号，低频分量，主要影响顶部；慢变信号，低频分量，主要影响顶部；任一分量的幅度或相位发生相对变化时，任一分量的幅度或相位发生相对变化时，波形将会
29、失真；波形将会失真；有吉伯斯现象发生。有吉伯斯现象发生。lim()NNSf t 结论结论以周期矩形脉冲以周期矩形脉冲为例：为例：只需修改上面程序只需修改上面程序(3.2.3节节)中函数中函数CTFShchsym.m的内容，需注意：因周期信号频谱是离散的，故在的内容，需注意：因周期信号频谱是离散的，故在绘制频谱时采用绘制频谱时采用stem而非而非plot命令。命令。谐波阶数取谐波阶数取还需用到还需用到MATLAB的反褶函数的反褶函数fliplr来实现频谱的来实现频谱的反褶。反褶。上机练习！上机练习！()(),nf tG tnT(1,5)T60Nf 3.4.4 周期信号的周期信号的MATLAB仿真
30、实现仿真实现112Sa()nnEncaTT 对周期矩形脉冲信号，有对周期矩形脉冲信号，有t()f t2212T12T1T1TE1T t()f t22E3.5 非周期性信号的频谱非周期性信号的频谱3.5.1 从傅里叶级数到傅里叶变换从傅里叶级数到傅里叶变换1T 112T谱线间隔谱线间隔1T 1120T谱线间隔谱线间隔0 从物理概念考虑：信号的能量存在，其频谱从物理概念考虑：信号的能量存在，其频谱分布的规律就存在。分布的规律就存在。由于由于1,T 111j2121()ed0TntTnFf ttT1从周期信号到非周期信号从周期信号到非周期信号 从傅里叶级数到傅里叶变换从傅里叶级数到傅里叶变换信号的频
31、谱分布是不会随着信号的周信号的频谱分布是不会随着信号的周期的无限增大而消失的。期的无限增大而消失的。T 时，时，信号的频谱分布仍然存在。信号的频谱分布仍然存在。结论结论无限多个无穷小量之和仍可等于一个有限量。无限多个无穷小量之和仍可等于一个有限量。11jj1()ee2ntntnnnnf tFC 从数学角度来看：从数学角度来看：所以，傅里叶级数展开为：所以，傅里叶级数展开为：1j1()()entnf tF n111j21121()()edTntTF nf ttT111111111j1211012,0,2()lim()limlim()edTntTTTTTF nT F nf tt 两两边边同同乘乘以
32、以取取极极限限:为频谱密度函数。为频谱密度函数。11111j12122()()limlim()edTntTTTF nFf tt 定义定义周期信号：周期信号：频谱是离散的，且各频率分量频谱是离散的，且各频率分量的复振幅的复振幅 为有限值。为有限值。nF非周期信号：非周期信号：频谱是连续的，且各频率分量的频谱是连续的，且各频率分量的复振幅复振幅 为无限小量。为无限小量。()d2F 所以，对非周期信号来说，仅仅去所以，对非周期信号来说，仅仅去研究那无限小量是没有意义的，其频研究那无限小量是没有意义的，其频谱不能直接引用复振幅的概念。谱不能直接引用复振幅的概念。！(j)F()f t2傅里叶逆变换傅里叶
33、逆变换怎样用怎样用计算计算1111jj1jj10(j)()limelime11lim(j)e(j)ed22ntntnTTnnnttnFnf tFTFnF jj()jj()1()(j)ed211(j)eed(j)ed221(j)cos()jsin()d21j(j)cos()d(j)sin()d221(j)cos()d2tttf tFFFFttFtFtFt 3.正、逆傅里叶变换正、逆傅里叶变换j()()edtFf tt 反变换反变换正变换正变换j1()()ed2tf tF !傅里叶变换对的形式并不唯一傅里叶变换对的形式并不唯一傅里叶变换存在的充分条件傅里叶变换存在的充分条件:()dftt 用广义函
34、数的概念，允许奇异函数也能满足上述条件，用广义函数的概念，允许奇异函数也能满足上述条件，因而象阶跃、冲激一类函数也存在傅里叶变换。因而象阶跃、冲激一类函数也存在傅里叶变换。4傅傅里叶变换的另外几种形式里叶变换的另外几种形式j2(j2)()edf tFff tt j2j21()(j2)ed(2)2 (j2)edf tf tf tFffFff j2()()edftFff tt j2()()edf tf tF ff j(j)()2()edtFF f tf tt 1j()(j)(j)edtf tFFF j1(j)()()ed2tFFf tf tt 1j1()(j)(j)ed2tf tFFF 本节主要介
35、绍以下几种典型的非周期信号的频谱。本节主要介绍以下几种典型的非周期信号的频谱。1.1.单边指数信号单边指数信号 6 6.符号函数符号函数2 2.双边指数信号双边指数信号 7 7.冲激函数傅里叶变换对冲激函数傅里叶变换对 3 3.奇双边指数信号奇双边指数信号 8 8.冲激偶的傅里叶变换冲激偶的傅里叶变换 4 4.矩形脉冲信号矩形脉冲信号 9.阶跃信号的傅里叶变换阶跃信号的傅里叶变换5 5.钟形脉冲信号钟形脉冲信号 10 10.复正弦信号复正弦信号 3.5.2 常见信号的傅里叶变换常见信号的傅里叶变换1.单边指数信号的傅里叶变换单边指数信号的傅里叶变换 ()()(0)eatf tu ta单边指数：
36、（复函数）221()1(),j()arctanFaFaa （）其傅里叶变换为：其傅里叶变换为：利用傅里叶变换定义公式利用傅里叶变换定义公式jj0(j)(j)00()()ed (0)eed11ede(j)jtattatatFf ttattaa()()(0)eatf tu taO1t时域波形221()FaO1a12a3a单边指数信号的频谱如下：单边指数信号的频谱如下：O2()arctan()a 2频域频谱()(0)ea tf ta偶双边指数：2.双边指数信号的傅里叶变换双边指数信号的傅里叶变换 22222()2()()0aFaaFa 其傅里叶变换为：其傅里叶变换为：（正实函数）（正实函数）利用傅里
37、叶变换定义公式利用傅里叶变换定义公式求解过程求解过程jj0jj00(j)(j)022()()edeed e edeed11 ee(j)(j)112 ,(0)jjatttattattatatFf tttttaaaaaaa ()(0)ea tf taO1t时时域域波波形形双边指数信号的频谱如下：双边指数信号的频谱如下：频频域域频频谱谱222()aFaO2a1a3a相位相位()0()(0)e,0e,0atf taattt奇双边指数：22222()2j(),02(),02FaFa（纯虚函数）3.3.奇双边指数信号的傅里叶变换奇双边指数信号的傅里叶变换频域频谱频域频谱O202()02 2O1aa222(
38、)FaaO1t时域波形时域波形()(0)e0e0atf tatatt，频谱如下：频谱如下：()()()22f tE u tu t矩形脉冲：()2(),20,()0(),()0FE SaFE SaFF 4.矩形脉冲信号的傅里叶变换矩形脉冲信号的傅里叶变换实函数实函数21,21fBf 时域有限的矩形脉冲信时域有限的矩形脉冲信号，在频域上是无限分号，在频域上是无限分布。常认为信号占有频布。常认为信号占有频率范围（率范围（频带频带B）为）为()()()22f tEu tu tOt()2FE Sa（）O226E-2()etf tE（）钟形脉冲：5.5.钟形脉冲信号的傅里叶变换钟形脉冲信号的傅里叶变换 （
39、高斯脉冲）（高斯脉冲）22()eFE（）其傅里叶变换为：其傅里叶变换为：（正实函数）（正实函数）22()()0eFE（）22()eFE（）OE2eE因为钟形脉冲信号是因为钟形脉冲信号是一正实函数，所以其一正实函数，所以其相位频谱为零相位频谱为零。2()etf tE（）OtEeE时域波形时域波形频域频谱频域频谱010e,0sgn()00lime,010atatattf ttttt，()=，6.符号函数的傅里叶变换符号函数的傅里叶变换2()jF；其傅里叶变换为：其傅里叶变换为：2(),02(),02F（纯虚数函数）（纯虚数函数）sgn()tOt11O()22 符号函数不满足绝对可积符号函数不满足绝
40、对可积条件，但它却存在傅里叶变换。条件，但它却存在傅里叶变换。采用符号函数与双边指数采用符号函数与双边指数衰减函数相乘，求出奇双边指衰减函数相乘，求出奇双边指数的频谱，再取极限，从而求数的频谱，再取极限，从而求得符号函数的频谱。得符号函数的频谱。O()F7.冲激函数傅里叶变换对冲激函数傅里叶变换对直流信号的傅里叶变换是冲激函数直流信号的傅里叶变换是冲激函数)(21F)(2EEF1de)()()(jtttFFt21de)(21)(j1Ft！()()f tt均匀谱或白色谱均匀谱或白色谱1O)(Ft)(to1)(tf1Ot)(2O8.冲激偶的傅里叶变换冲激偶的傅里叶变换()()f ttj1()ed2
41、ttjd()1(j)edd2tttd()()jdFFTtt记为d()jdFTtt d()(j)dnnnFTttd()2(j)()dnnnnFT t 同理，有同理，有9.阶跃信号的傅里叶变换阶跃信号的傅里叶变换 11()()sgn()22f tu tt11()sgn()221 ()jFFTFTt 2221()()F幅频特性幅频特性 0,0()/2,0/2,0 相频特性相频特性 u(t)Ot1)(FO10复正弦信号复正弦信号 j()ectf tj1(1)ed()2 tIF Tt jjjedededtxttxjed2()ttjj()(e)ed2()ccttcFTt tctje2()ctc jectc
42、2的傅里叶变换为一位于的傅里叶变换为一位于且强度为且强度为的冲激函数。的冲激函数。结论结论()F 2Oc升余弦脉冲信号的傅里叶变换升余弦脉冲信号的傅里叶变换 补充补充升余弦脉冲信号：升余弦脉冲信号：()1 cos(),(0)2Etf tt其傅里叶变换为：其傅里叶变换为：22sin()Sa()()1()1()EEF（实数）（实数）其频谱由三项构成，均为矩其频谱由三项构成，均为矩形脉冲频谱，只是有两项沿形脉冲频谱，只是有两项沿频率轴左、右平移了频率轴左、右平移了/()f tOtE/2E222()FO2EE34利用傅里叶变换定义公式利用傅里叶变换定义公式jjjj0jjj00()()ed1cos()e
43、d2edeedeed244Sa()Sa()Sa()22tttttttEtFf tttEEEtttEEE化简得：化简得：求解过程求解过程22sin()Sa()()1()1()EEF3.5.3 MATLAB仿真实现仿真实现MATLAB数学工具箱数学工具箱Symbolic Math Toolbox提供提供了能直接求解傅氏变换及逆变换的函数了能直接求解傅氏变换及逆变换的函数fourier()和和ifourier()。（1）傅里叶变换调用格式）傅里叶变换调用格式1）F=fourier(f)2）F=fourier(f,v)3）F=fourier(f,u,v)j(j)()edvtFvf ttj(j)()ed
44、vtFvf ut)(ff（2）傅里叶逆变换调用格式）傅里叶逆变换调用格式1）f=ifourier(F)2）f=ifourier(F,u)3）f=ifourier(F,v,u)在调用在调用fourier()和和ifourier()之前，要用之前，要用syms命令对所用到命令对所用到的变量进行说明，即将这些变量说明成符号变量。对的变量进行说明，即将这些变量说明成符号变量。对fourier()中的函数中的函数f及及ifourier()中的函数中的函数F也要用符号定义也要用符号定义符符syms将将f或或F说明为符号表达式；若说明为符号表达式；若f或或F是是MATLAB中中的通用函数表达式，则不必用的通
45、用函数表达式，则不必用syms加以说明。加以说明。！书中例题可上机练习书中例题可上机练习j1j()()()()()ed1()()()ed2Fttf tFFF f tf ttf tFF tF时间函数时间函数 频谱频谱某种运算某种运算 变化变化 变变 化化 运算运算关系建立对应借助基本性质 3.6 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质1.1.傅里叶变换的唯一性傅里叶变换的唯一性傅里叶变换的唯傅里叶变换的唯一性表明了信号一性表明了信号的时域和频域是的时域和频域是一一对应的关系一一对应的关系。！2.2.对称性（频域、时域呈现的对应关系）对称性（频域、时域呈现的对应关系）若若 ，则，则()()Ff tF()
46、2()FF tfj()()()()()()ed12()ed2()21()()()2()2FtjtFF tffF F tF ttF ttfffF tf 即即证明证明证毕证毕如如冲激和直流函数的频谱的对称性冲激和直流函数的频谱的对称性就就是一例子是一例子：！()f t()2()F tf1()()2F tf若若 为偶函数，为偶函数，则则 或或 即即f(t)为偶函数为偶函数，则时域和频域完全对称，则时域和频域完全对称。F()OOOOF(t)tt2()()t（1）冲激函数冲激函数（2）直流函数直流函数()f t/2t1O/2()F2 2 O()2Sa()F2c2c1O()f t2 ct2cO()22cc
47、tSa2 cattf e)(FTj1)(aF?j1)(1taFTF对称性对称性a fFe2)(2)(1t 换成换成f 换成换成F1换成换成t21:1Ft求222ea taa2211e21112ee12tt例例解解 3.3.线性（叠加性、均匀性）线性（叠加性、均匀性）相加信号频谱各个单独信号的频谱之和相加信号频谱各个单独信号的频谱之和1 122j1 122jj1122()()()()()()ed()ed()edtttFF f tF a f ta f ta f ta f ttaf ttaf tt111 12211221 122112211111221122()()()()()()()()()()(
48、)()a f ta f ta FFa FFF a f ta f ta F f ta F f tFa Fa Fa FFa FF证明证明推论推论()()()()()22f tu tu tu tu t ()(/2)2()FSaSa 求求 f(t)的傅里叶变换的傅里叶变换例例()f t/212t/2解解4.4.奇偶虚实性奇偶虚实性无论无论 f(t)是实函数还是复函数，下面四式均成立是实函数还是复函数，下面四式均成立:*()()FT ftF*()()FT ftF()()FT f tF()()FT ftF时域反摺时域反摺频域也反摺频域也反摺时域共轭频域时域共轭频域共轭并且反摺共轭并且反摺更广泛地讲，函数更
49、广泛地讲，函数f(t)是是t的复数；令的复数；令12()()j()ftftft虚部虚部实部实部()()j()FjRXj12j(j)()()edecosjsinttFf tftttt整理上式得出：整理上式得出：12()()cos()sindRfttfttt21()()sin()cosdXfttfttt jecosjsin.3ttt j1()(j)ed.12tftF(j)(j)j().2FRX把式（把式（2）、（）、（3）代入式（）代入式（1）整理得：）整理得：11()()co s()sin()d2 ftRtXt 21()()sin()cosd2 ftRtXt ()()cosd,Rf tt t()
50、()sindXf tt t 性质性质1 实数函数实数函数 设设f(t)是是t的实函数的实函数,则则 的实部与虚部将的实部与虚部将分别等于分别等于 f2(t)=0，f(t)=f1(t)，则有，则有()F特殊情况讨论：特殊情况讨论：从上式可以得出结论从上式可以得出结论:*()(),()()()()j(),()()j()()()RRXXFRXFRXFF)()()()(*FtfFTFtfFT实信号的频谱具有很重要的特点，正实信号的频谱具有很重要的特点，正负频率部分的频谱是相互共轭的负频率部分的频谱是相互共轭的.特点特点()()cosdj()sindFf tt tf tt t()()RR*()()FF(
