1、 - 1 - 天津市部分区 20192020 学年度第一学期期中练习 高三数学 第 I 卷(共 45 分) 一、选择题：本大题共 9 道小题，每小题 5 分，共 45 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1.已知全集 U1，2，3，4，5，6，7，8，集合 A2，3，5.6，B1，3，4，6，7，则 A( U B) A.2，5 B.3，6 C.2.5，6 D.2，3，5，6，8 2.i 是虚数单位，复数 7 34 i i A.1i B.1i C. 1731 2525 i D. 1725 77 i 3.(x2 3 2 x )，展开式中的常数项是 A.80 B.80 C.4
2、0 D.40 4.设 xR，则“|x1|0，y0，且 21 1 xy ， 若 x2ym22m 恒成立， 则实数 m 的取值范围 。 三、解答题：本大题共 5 道小题，共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.(本小题满分 14 分) 已知函数 1 ( )lnf xx x 。 (I)求 f(x)的单调区间； (II)若 f(a2)f(a2)(aR)，求 a 的取值范围。 17.(本小题满分 14 分) 在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c。8csinAatanC。 (I)求 cosC； (II)若 5 2 CA CB，且 ab9，求 c。 18.(本小题
3、满分 15 分) 己知甲盒内有大小相同的 1 个红球和 2 个黑球，乙盒内有大小相同的 2 个红球和 3 个黑球。 现从甲、乙两个盒内各任取 2 个球。 (I)求取出的 4 个球中恰有 1 个红球的概率； (II)设 为取出的 4 个球中红球的个数，求 的分布列和数学期望。 19.(本小题满分 16 分) - 3 - 如图，已知四棱锥 PABCD，底面 ABCD 为菱形，PA平面 ABCD，ABC60 ，E，F 分别是 BC，PC 的中点。 (I)证明：AEPD； (II)设 ABPA2， 求异面直线 PB 与 AD 所成角的正弦值； 求二面角 EAFC 的余弦值。 20.(本小题满分 16
4、分) 已知等差数列an的公差为 2，前 n 项和为 Sn，且 S1，S2，S4成等比数列。 (I)求an的通项公式； (II)令 1* 1 4 ( 1)() n n nn n bnN a a ，求数列bn的前 n 项和 Tn。 - 4 - 天津市部分区 20192020 学年度第一学期期中练习 高三数学参考答案 一选择题： 题号题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案答案 D A C B B D D C A 二填空题： 10( )ln x fxaa 11 3 10 10 1230 1330 1424 15 4,2 三解答题： 16解： （解： （）)(xf 定义域为定义域为 ), 0 （
5、 .1 分分 ) 11 ( 11 )( 22 xxxx xf 4 分分 0x且 上恒成立在), 0(0)(xf 即即)(xf 单调递减区间为单调递减区间为 ), 0 （ 7 分分 （） )()2( 2 afaf等价于等价于 2 2 2 0 02 aa a a ， 11 分分 解不等式组得解不等式组得20, 01aa或 . 14 分 分 17解： （解： （）由正弦定理得）由正弦定理得 C C AAC cos sin sinsinsin8， 3 分分 化简得化简得 8 1 cosC 5 分分 （） 5 2 CB CA， 5 cos 2 abC， 20ab 7 分分 又又9ab 22 281aab
6、b - 5 - 22 41ab 10 分分 222 2cos36cababC 6c .14 分分 18解： （解： （）设）设“取出的取出的 4 个球中恰有个球中恰有 1 个红球个红球”为事件为事件A， 5 2 )( 2 5 2 3 1 3 1 2 2 2 2 3 1 2 1 1 CC CCCCCC AP 5 分分 （）解：）解：可能的取值为可能的取值为012 3， ， ， 6 分分 10 1 )0( 2 5 2 3 2 3 2 2 CC CC P， .8 分分 由（由（） 5 2 ) 1(P， 30 13 )2( 2 5 2 3 2 2 2 2 1 3 1 2 1 2 1 1 CC CCCC
7、CC P， 10 分分 15 1 ) 3( 2 5 2 3 2 2 1 2 1 1 CC CCC P. 12 分 分 的分布列为的分布列为 0 1 2 3 P 10 1 5 2 30 13 15 1 13 分分 的数学期望的数学期望 15 22 15 1 3 30 13 2 5 2 1 10 1 0E. 15 分 分 19解： （解： （）证明：由四边形）证明：由四边形ABCD为菱形，为菱形，60ABC， 可得可得ABC为正三角形为正三角形. 因为因为E为为BC的中点，所以的中点，所以BCAE . 又又 ADBC/，因此，因此ADAE . 因为因为ABCDPA平面，ABCDAE平面， 所以所以
8、AEPA . 2 分分 - 6 - 而而PADPA平面，PADAD平面且且AADPA， 所以所以PADAE平面，又，又PADPD平面. 所以所以PDAE . 5 分分 （）由（）由（）知）知APADAE,两两垂直，以两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角为坐标原点，建立如图所示的空间直角 坐标系，又坐标系，又FE,分别为分别为PCBC,的中点，所以的中点，所以)0 , 0 , 0(A，)0 , 1, 3(B，)0 , 1 , 3(C， )0 , 2 , 0(D，)2 , 0 , 0(P，)0 , 0 , 3(E，) 1 , 2 1 , 2 3 (F， )0 , 2 , 0(),2 ,
9、 1 , 3(ADBP,. 6 分 分 4 2 222 022103 | | ,cos ADBP ADBP ADBP,9 分 分 设异面直线设异面直线PB与与AD所成角为所成角为， 4 14 sin 10 分分 3 1 ( 3,0,0),(,1). 22 AEAF 设平面设平面AEF的一法向量为的一法向量为 111 ( ,),mx y z 则则 0 0 AFm AEm 因此因此 1 111 30, 31 0. 22 x xyz 取取 1 1,(0,2, 1),zm 则 .12 分分 因为因为ACBD，PABD ，AACPA， 所以所以 AFCBD平面， 故故 BD为平面为平面AFC的一法向量的
10、一法向量. .13 分 分 又又 BD=（-3,3,0） ，） ， 所以所以 BDm,cos= |BDm BDm 2 315 . 5| |512 m BD mBD 15 分分 - 7 - 因为二面角因为二面角CAFE为锐角，所以所求二面角的余弦值为为锐角，所以所求二面角的余弦值为 15 . 5 .16 分分 20解： （解： （）,64,2, 2 141211 daSdaSaSd 41 2 2421 ,SSSSSS成等比 4 分分 解得解得12, 1 1 naa n . 6 分分 （）) 12 1 12 1 () 1( 4 ) 1( 1 1 1 nnaa n b n nn n n ，10 分 分 当当n为偶数时为偶数时 11111 (1)()() 33557 n T 1111 ()() 23212121nnnn 12 2 12 1 1 n n n Tn 12 分分 11111 (1)()() 33557 n nT 当 为奇数时， 1111 ()() 23212121nnnn 12 22 12 1 1 n n n Tn 14 分分 为奇数 为偶数 n n n n n n Tn , 12 22 , 12 2 16 分分
