1、 2022 年北京市海淀区高三数学期中考试 本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题），满分 150 分，考试时长 120分钟。考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题：共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合 题目要求的一项。1.已知全集0Ux x=，集合23Axx=，则UC A=A.(0,23,)+U B.(0,2)(3,)+U C.(,23,)+U D.(,2)(3,)+U 2.在同一个坐标系中，函数logayx=与xya=(01)aa且的图像可能是 A
2、B C D 3.已知向量,a b在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1，则=a b A.4 B.4 2 C.4 D.4 2 4.若等差数列 na和等比数列 nb满足11ab=，222ab=，48a=，则 nb的公比为 A.2 B.2 C.4 D.4 5.已知实数,a b满足ab，则下列不等式中正确的是 A.|ab B.|ab C.2aab D.2abb 6.在平面直角坐标系xOy中，角与角均已Ox为始边，它们的终边关于直线yx=对称.若3sin5=，则cos=A.45 B.45 C.35 D.35 7.已知函数()f x.甲同学将()f x的图像向上平移1个单位长度，得
3、到图像1C；乙同学将()f x的图像上所有点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变），得到图像2C.若1C与2C恰好重合，则下列给出的()f x中符合题意的是 A.12()logf xx=B.2()logf xx=C.()2xf x=D.1()()2xf x=8.已知函数()eexxf xab=+(0)ab，则“0ab+=”是“()f x为奇函数”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 9.若P是ABC内部或边上的一个动点，且APxAByAC=+uuu ruuu ruuu r，则xy的最大值是 A.14 B.12 C.1 D.2 10.我们可以用
4、下面的方法在线段上构造出一个特殊的点集：如图，取一条长度为1的线段，第1次操作，将该线段三等分，去掉中间一段，留下两段；第2次操作，将留下的两段分别三等分，各去掉中间一段，留下四段；按照这种规律一直操作下去.若经过n次这样的操作后，去掉的所有线段的长度总和大于99100，则n的最小值为（参考数据：lg20.301，lg30.477）A.9 B.10 C.11 D.12 第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。11.若复数12iz=，则|z=_.12.函数1()ln1f xxx=+的定义域是_.13.已知向量(1,1)=a，(,2)x tx=+b
5、.若存在实数x，使得a与b的方向相同，则t的一个取值为_.14.若函数()sin()6f xx=+(0)和22()cos()sin()g xxx=+的图像的对称中心完全重合，则=_；()6g=_.15.已知函数21,1(),1xaxxf xaxx+=.当1a=时，()f x的极值点个数为_；若()f x恰有两个极值点，则a的取值范围是_.三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16.（本小题 13 分）已知等差数列 na的前n项和为nS(1,2,)n=，且23a=，525S=.（）求 na的通项公式；（）等比数列 nb的首项为1，公比为q，在下列三个条件中
6、选择一个，使得 nb的每一项都是 na中的项.若kmba=*(,)k mN，求m.（用含k的式子表示）条件：1q=；条件：2q=；条件：3q=.注：如果选择的条件不符合要求，第（）问得0分.17.（本小题 14 分）已知函数2()2sin cos2cos1f xxxx=+.（）求()4f 的值；（）求()f x的最小正周期；（）求()f x在区间0,2上的最大值和最小值.18.（本小题 14 分）已知函数321()3f xxx=.（）求()f x的单调区间；（）若()f x在区间(1,m上的取值范围是4,03，求m的取值范围.19.（本小题 14 分）某自然保护区为研究动物种群的生活习性，设立
7、了两个相距12km的观测站A和B，观测人员分别在,A B处观测该动物种群.如图，某一时刻，该动物种群出现在点C处，观测人员从两个观测站分别测得30BAC=，60ABC=，经过一段时间后，该动物种群出现在点D处，观测人员从两个观测站分别测得75BAC=，45ABD=.（注：点,A B C D在同一平面内）（）求ABD的面积；（）求点,C D之间的距离.20.（本小题 15 分）已知函数()esinxf xax=.（）当2a=时，求曲线()yf x=在点(0,(0)f处的切线方程；（）当1a=时，证明：函数()2yf x=在区间(0,)上有且仅有一个零点；（）若对任意0,x，不等式()2cosf
8、xx恒成立，求a的取值范围.21.（本小题 15 分）对于一个m行n列的数表m nA(2,3)mn，用,i ja表示数表中第i行第j列的数，,0,1i ja(1,2,;1,2,)im jn=.对于给定的正整数t，若数表m nA满足以下两个条件，则称数表m nA具有性质()p t：1,1,0jm jaa=(1,2,)jn=；,11,1,21,2,1,|iiiii ninaaaaaat+=(1,2,1)im=.（）以下给出数表1和数表2.数表 1 数表 2（）数表 1 是否具有性质(2)p？说明理由；（）是否存在正整数t，使得数表 2 具有性质()p t？若存在，直接写出t的值，若不存在，说明理由
9、；（）是否存在数表2023mA具有性质(6)p？若存在，求出m的最小值，若不存在，说明理由；（）给定偶数n(3)n，对每一个2,3,1tn，将集合()m nm Ap t具有性质中的最小元素记为()f t.求()f t的最大值.1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 高三年级（数学）参考答案 第1页（共6页）海淀区20222023学年第一学期期中练习 高三数学参考答案 一、选择题 题目 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A C B A D B C A D 二、填空题（11）5 （12）(0,1)(1,)
10、+（13）答案不唯一，小于 1 的实数均可（14）2；1或 1 （15）2；(0,2)三、解答题（16）（本小题 13 分）解：（）设等差数列na的公差为d，因为253,25aS=,所以113,54525.2adad+=+=解得11,2.ad=所以21nan=.（）选择条件.因为11,3bq=，所以13nnb=.因为mkab=,即1213km=.得1312km+=.因为*kN,13k为奇数，131k+为偶数，高三年级（数学）参考答案 第2页（共6页）所以*mN.可得1312km+=.（17）（本小题 14 分）解：（）2()2sin()cos()2cos()14444f=+22222()2()
11、1222=+1=.（）()sin2cos22sin(2)4f xxxx=+=+.所以()f x的最小正周期为22T=.（）因为0,2x 所以52,444x+当242x+=，即8x=时，()f x取得最大值，所以()f x在区间0,2上的最大值为()28f=；当5244x+=，即2x=时，()f x取得最小值，所以()f x在区间0,2上的最小值为()12f=.（18）（本小题 14 分）解：（）()f x的定义域为 R.2()2fxxx=，令()0fx=，120,2xx=.x(,0)0(0,2)2(2,)+()fx+0 0+()f x 极大值 极小值 由表可得，()f x的单调递增区间为(,0
12、),(2,)+；单调递减区间为(0,2).（）由函数解析式及（）可知44(1),(0)0,(2),(3)033ffff=.当(1,2)m 时，4(1,()3xmf x ，不符合题意；当2,3m时，()f x在区间 1,m上的取值范围是4,03，符合题意；当3m时，由()f x在区间(2,)+上单调递增可知()(3)0f mf=，不符合题意.综合上述，2,3m（19）（本小题 14 分）解：（）在ABD中，75BAD=，45ABD=,所以60ADB=.由正弦定理：sinsinADABABDADB=，得sin45sin60ADAB=，高三年级（数学）参考答案 第3页（共6页）所以，2sin4521
13、24 6sin6032ADAB=(km).23162sinsin75sin(4530)()2224BAD+=+=+=,所以ABD的面积为 1162sin124 63612 3224ABDSAB ADBAD+=+(2km).（）由30BAC=，60ABC=,得45CAD=,6 3AC=.在ACD中由余弦定理，得 22222cos36316626 34 6602CDACADAC ADCAD=+=+=.所以，2 15CD=(km).即点 C,D 之间的距离为2 15 km.（20）（本小题 15 分）解：（）当2a=时，()e2sinxf xx=，则(0)1f=.()e2cosxfxx=，则(0)1
14、f=.曲线()f x在(0,(0)f处的切线方程为1yx=+.（）当1a=时，记()()2esin2xg xf xx=，则()ecosxg xx=.当(0,x)时，0ee1,cos1xx=,所以()(0)0g xg=.所以()g x在(0,)上单调递增.因为(0)10,()e20gg=,所以函数()2yf x=在区间(0,)上有且仅有一个零点.（）设()()cos2h xf xx=+esincos2xaxx=+.则()ecossinxh xaxx=.设()ecossinxs xaxx=.则()ecossinxs xxax=+.高三年级（数学）参考答案 第4页（共6页）因为当0,x时，0ee1,
15、cos1,sin0 xxx=,所以当0a 时，0,x时，()0s x，所以()h x在区间0,上单调递增()*.（1）当1a 时，(0)10ha=，()e0ha=+,且()h x在区间0,上单调递增，所以存在唯一0(0,)x，使得0()0h x=.当0(0,)xx时，()0h x，所以()h x在区间0(0,)x上单调递减.可得0()(0)0h xh=，所以与题意不符.（2）当1a=时,()esincos2xh xxx=+.()ecossinxh xxx=由()*可知：()h x在区间0,上单调递增,所以当0,x时，()(0)0h xh=.所以()h x在区间0,上单调递增.所以()(0)0h
16、 xh=区间0,上恒成立.符合题意.（3）当1a 时,()esincos2esincos2xxh xaxxxx=+.由（2）可知，此时()0h x 在区间0,上恒成立.综上所述，实数a的取值范围是(,1.（21）（本小题 15 分）解：（）（）数表 1 不具有性质(2)p.理由：2,13,12,23,22,33,3|12aaaaaa+=.（）存在.3t=时，数表 2 具有性质()p t.（）不存在数表2023mA具有性质(6)p.假设存在m使得数表2023mA具有性质(6)p，则,11,1,21,2,1,|6(1,2,1)iiiii ninaaaaaaim+=.即在这两行中，有 6 列的数不同
17、，设其中有k列是第i行的数为 1，第1i+行的数为 0，则有6k列是第i行的数为 0，第1i+行的数为 1.所以，从第i行到第1i+行，一共增加了62k个 1，1 的个数的奇偶性不变.7 分 所以，任意两行中，1 的个数的奇偶性相同.高三年级（数学）参考答案 第5页（共6页）与数表2023mA第一行有 2023 个 1，最后一行有 0 个 1 矛盾.所以，不存在具有性质(6)p的数表2023mA.（）()f t的最大值的为1n+.定义1m行n列的数表(1)mnB：其第i行第j列为,1,|1,2,1(1,2,)i ji jijbaaimjn+=，.则,0,1i jb，且,0i jb=表示,1,i
18、 jijaa+两数相同，,1i jb=表示,1,i jijaa+两数不同.因为数表m nA的第 1 行确定，所以给定数表(1)mnB 后，数表m nA唯一确定.先证()1f tn+.我们按照如下方式，构造数表n nB：对于第21s行和第2s行，1,2,2ns=，令21,2121,21,0ssssbb=，2,212,20,1ssssbb=，且在这两行其余的2n列中，任选相同的1t 列都为 1，其他列都为 0.于是可得到具有性质()p t的数表(1)nnA+如下：第 1 列 第 2 列 第 3 列 第 4 列 第 n-1 列 第 n 列 第 1 行 1 1 1 1 1 1 第 3 行 0 0 1
19、1 1 1 第 5 行 0 0 0 0 1 1 第 n+1 行 0 0 0 0 0 0 即对于每个2,3,1tn，当1mn=+时，都存在数表m nA具有性质()p t.所以()1f tn+.再证1tn=时，()1f tn+.记,1,2,.(1,2,)iiii nSaaaim=+=.因为1tn=是奇数，高三年级（数学）参考答案 第6页（共6页）所以iS与+1iS的奇偶性不相同(1,2,1im=).因为10mSnS=，所以m是奇数.我们考虑(1)mnB 的第i行和1i+行，因为1tn=，所以这两行中都有1n列为 1，1 列为 0.若这两行相同，则数表m nA的第i行和第2i+行相同，2iiSS+=.若这两行不同，设其分别在第,p q列为 0()pq，则数表m nA的第i行和第2i+行只在第,p q列上不同，其他列都相同，2|2iiSS+.因为1,0mSn S=，其中n是偶数.所以1224311|22mmmmmmnSSSSSSSS=+.所以1mn+，即(1)1f nn+.结合，(1)1f nn=+.综上所述，()f t的最大值的为1n+.
