1、 前面讲过前面讲过,牛顿第二定律只适用于惯性系牛顿第二定律只适用于惯性系.如果在非惯性系内建立动如果在非惯性系内建立动力学方程力学方程,则质量与非惯性系下的加速度乘积的度量则质量与非惯性系下的加速度乘积的度量,除了与真实力除了与真实力有关有关,还与非惯性系下产生的各种惯性力有关还与非惯性系下产生的各种惯性力有关.由牛顿第二定律和运动学的加速度合成公式由牛顿第二定律和运动学的加速度合成公式,有有:CerCreaamamFamFFaaamam :.)(上上式式可可写写成成力力质质点点或或平平动动刚刚体体上上的的合合在在这这里里应应理理解解为为作作用用在在)178P.(rdtrdFFFdtrdm:F
2、FFamamFamF22gCge22gCgerCgCege参参见见六六版版上上册册的的相相对对导导数数称称为为相相对对矢矢径径写写成成微微分分方方程程的的形形式式有有即即有有科科氏氏惯惯性性力力牵牵连连惯惯性性力力我我们们定定义义：1 1 非惯性系中质点动力学的基非惯性系中质点动力学的基 本方程本方程例一例一.(书上书上P2 例例11)单摆的摆长为单摆的摆长为L,小球的质量为小球的质量为m,其悬挂点其悬挂点O以加速度以加速度 ao 向上运动向上运动.求此单摆的微振动周期求此单摆的微振动周期.lgmgeFOF l0aononnooogeraglTlaglaglagmamgmlFgmFamO 22
3、00)(sin,sin)(sinsin:,):(:22 由由微微振振动动将将其其沿沿切切向向投投影影动动力力学学方方程程为为为为原原点点的的平平动动参参考考系系的的小小球球相相对对以以取取小小球球分分析析动动方方程程求求运运动动周周期期就就要要先先求求运运分分析析解解例二例二.(参见书上参见书上 习习 1 4)质点质点M其质量为其质量为m,被限制在旋转面容器被限制在旋转面容器内光滑的经线内光滑的经线AOB运动运动.旋转面容器绕其几何轴旋转面容器绕其几何轴Oz 以匀角速度以匀角速度 转转动动.求求:M点相对静止处曲线的切线斜率与回转半径点相对静止处曲线的切线斜率与回转半径r 的关系的关系.如果如
4、果r为任意值时为任意值时M点都静止点都静止,求旋转面经线求旋转面经线AOB的形状的形状.OyxzMrmgNFngeFAB)(202:.22222线为抛物线线为抛物线知知由图示坐标系的选择可由图示坐标系的选择可于是有于是有为任意值即是变量为任意值即是变量若若AOBygzCCygzygdydztgyr grtgmgrmmgFgmFFgegeN22sincossincos000 即即沿沿切切向向投投影影将将则则r ra a 若若小小球球相相对对静静止止,:解解习习 1 5.图示一离心分离机的鼓室图示一离心分离机的鼓室,鼓室的半径为鼓室的半径为R,高为高为H.以匀以匀角速度角速度 绕绕 Oy轴转动轴转
5、动.当鼓室无盖时当鼓室无盖时,为使被分离的液体不致溢为使被分离的液体不致溢出出.试求试求:(1)鼓室旋转时鼓室旋转时,在平面内液面所形成的曲线形状在平面内液面所形成的曲线形状.(2)注入液体的最大高度注入液体的最大高度H.yngeFoyxhHoRmgFH h 222,)()1(:xgymxfy 线线方方程程为为由由上上一一题题的的解解答答可可知知曲曲进进行行受受力力分分析析意意点点对对曲曲线线上上相相对对静静止止的的任任设设曲曲线线方方程程为为解解yngeFoyxhHoRmgFH h 22222242224230024244,42)2(RgHyhHHRghgRyRgvyRyRxzRgdxxgx
6、ydxvvxzooooRR 由曲线方程可知由曲线方程可知由题意得由题意得面以上的液体体积为面以上的液体体积为静止时静止时面以上的液体体积为面以上的液体体积为设旋转抛物面下设旋转抛物面下 在非惯性系下的力学系统在非惯性系下的力学系统,无论处于什么状态无论处于什么状态,(静止、运动静止、运动)必存必存在着惯性力在着惯性力.这些惯性力所产生的力学效应这些惯性力所产生的力学效应,可以通过相关的仪器测可以通过相关的仪器测出出,或可以通过人的感官感觉到或可以通过人的感官感觉到.公共汽车在转弯的时候对车上的物体作用有离心惯性力公共汽车在转弯的时候对车上的物体作用有离心惯性力,这已是这已是常识常识.还有一些感
7、觉是一般人体会不到的还有一些感觉是一般人体会不到的.飞机加速上升飞机加速上升,使人身上的血往下流使人身上的血往下流,脑中失血脑中失血,眼睛失明眼睛失明 这就是这就是飞行中的飞行中的 黑晕黑晕 现象现象.飞机加速下降飞机加速下降,使人身上的血往上流使人身上的血往上流,脑中充血脑中充血,眼睛红视眼睛红视 这就是这就是飞行中的飞行中的 红视红视 现象现象.地球本身就是一非惯性系地球本身就是一非惯性系,而且是一有转动的非惯性系而且是一有转动的非惯性系.所以所以,严严格地讲格地讲,以地球作为参照系的上的力学现象中以地球作为参照系的上的力学现象中,应有牵连惯性力和科应有牵连惯性力和科氏惯性力的效应氏惯性力
8、的效应.如果考察地球上局部空间内的力学现象如果考察地球上局部空间内的力学现象,把地球的这一部分运动空把地球的这一部分运动空间视为间视为 匀速直线平动匀速直线平动,则许多力学现象的分析与计算结果是可则许多力学现象的分析与计算结果是可用的用的.但是但是,对于一些精确的力学问题对于一些精确的力学问题,以及大尺度的力学问题以及大尺度的力学问题,必须考虑必须考虑相应的惯性力相应的惯性力.对于地球上的许多大尺寸的运动学问题对于地球上的许多大尺寸的运动学问题,科氏惯性力的影响不容忽科氏惯性力的影响不容忽视视.下面下面,我们来研究地球上物体的运动与科氏惯性力我们来研究地球上物体的运动与科氏惯性力.建立地面坐标
9、系如图示建立地面坐标系如图示质点相对于地球的运动微分方程为质点相对于地球的运动微分方程为CgFgmrm rmkmgrm 2即为即为:Irkgr 2 kyjzxiyzyxkjir coscossin2sin2sin0cos22 Rxyzo i j k 090 3cos22cos2sin21sin2 ygzzxyyx (I)式的投影方程为式的投影方程为:3cos22cos2sin21sin2 ygzzxyyx 自由落体偏东自由落体偏东设运动初始条件设运动初始条件:0.,0000000 zyxhzyx将将(1)、(3)式分别积分式分别积分:Ayx sin2Bygtz cos2由初始条件可得由初始条件
10、可得:A=0,B=0 sin2 yx cos2 ygtz 代入代入(2)式整理可得式整理可得:cos222tgyy 其解为其解为:2cos2sin2cosgttDtCy 2cos2cos22sin2gtDtCy Rxyzo i j k 090 2cos2sin2cosgttDtCy 2cos2cos22sin2gtDtCy 2004cos000 gDCyy可得可得由由 52cos2sin4cos2tgtgy sin2 yx cos2 ygtz 代入代入可得可得tgtgx22sin2sin42sin Etgtgx 2242sin2cos82sin:积分得积分得:00得得由由 x282sin gE
11、 442sin12cos82sin22tgtgx 同理可得同理可得:61cos2112cos4cos2222hgttgz Rxyzo i j k 090 442sin12cos82sin22tgtgx 61cos2112cos4cos2222hgttgz 52cos2sin4cos2tgtgy 这就是考虑科氏惯性力影响的自由落这就是考虑科氏惯性力影响的自由落体公式体公式.srad/1029.75 这里这里,地球的自转的角速度地球的自转的角速度借助于幂级数借助于幂级数,我们来分析上面的方程我们来分析上面的方程.44223332212cos3422sintttttt 取取代入代入(4)、(5)、(
12、6)式式 可得可得:4222342cos6121cos312sin121tggthztgytgx Rxyzo i j k 0904222342cos6121cos312sin121tggthztgytgx :2上上式式变变为为项项如如果果略略去去 2321cos310gthztgyx 如果不考虑地球的角速度如果不考虑地球的角速度,即是略去即是略去、项项,则有则有:22100gthzyx 从这几组方程可明确得知从这几组方程可明确得知:自由落体运动自由落体运动,在考虑地球在考虑地球的自转效应时的自转效应时,落到地面后落到地面后位置偏东位置偏东,若在精确一点讲若在精确一点讲,还有一点偏南还有一点偏南
13、(北半球北半球)或偏或偏北北(南半球南半球).(只有两极处无此现象只有两极处无此现象)Rxyzo i j k 090 竖直上抛物体落点偏西竖直上抛物体落点偏西 3cos22cos2sin21sin2 ygzzxyyx 由初始条件由初始条件:000000000vzyxzyx 重复前面的解题过程可得重复前面的解题过程可得:2200t42sing1t2cos82singt22sinvt2sin42sinvx tgtgtvy 2cos2sin4cos12cos2cos20 12cos4cos2sin2cos21sin2220202 tgtvgttvz44223332212cos3422sinttttt
14、t 取取代入代入 上上 式式 可得可得:Rxyzo i j k 090 24223202043032042320cos61cos3221cos31cos31cos2sin342sin31tgtvgttvztvtgtvytgtvx若去掉若去掉 以上的项则有以上的项则有:2032021cos31cos0gttvztgtvyx gvtz020 时时设设(物体返回地面物体返回地面)cos4cos831cos42303302200gvgvggvvy(落地偏西落地偏西)Rxyzo i j k 0901 2 非惯性系中的动能定理非惯性系中的动能定理前面我们使用的动能定理是在惯性参考系下成立的前面我们使用的动
15、能定理是在惯性参考系下成立的,它只适合于惯它只适合于惯性系性系.对于在非惯性系下运动的物体对于在非惯性系下运动的物体,质点在此参考系下的动能的变质点在此参考系下的动能的变化化,除与真实力的功有关除与真实力的功有关,还与惯性力的功有关还与惯性力的功有关.质点的相对运动的动力学方程可以写为质点的相对运动的动力学方程可以写为:AFFFdtVdmCeggr 注意注意:rdVdr,表示相对矢量在动系表示相对矢量在动系(这里指非惯性参考系这里指非惯性参考系)内的改内的改变量变量.(这种记法诣在与第八章的记法一致这种记法诣在与第八章的记法一致,想必不难想必不难理解理解.)rd 显然显然,就是质点的相对位移就
16、是质点的相对位移.将将(A)式两端同乘式两端同乘rd dtrdVr BrdFrdFrdFrddtVdmCeggr 注意注意:rgVFC 0 rdFrdFCCgg CrdFrdFVdVmegrr 41212 CgFrWWmVd两端积分可得两端积分可得:5121212212 egFrrWWmVmV质点在非惯性系中的动能的微分质点在非惯性系中的动能的微分,等于作用于质点上的真实力与牵等于作用于质点上的真实力与牵连惯性力在相对运动中的元功之和连惯性力在相对运动中的元功之和.质点在非惯性系中的相对动能的改变量质点在非惯性系中的相对动能的改变量,等于作用于质点上的真实等于作用于质点上的真实力与牵连惯性力在
17、相对运动的路程上所作的功之和力与牵连惯性力在相对运动的路程上所作的功之和.例例14 14 一平板与水面成一平板与水面成 角角,板上有一质量为板上有一质量为 m m 的小球的小球,如图示如图示.若不计摩擦等阻力若不计摩擦等阻力,问平板以多大的加速度向右平移时问平板以多大的加速度向右平移时,小球能保小球能保持相对静止持相对静止?若平板又以这个速度的两倍向右平移时若平板又以这个速度的两倍向右平移时,小球沿板向小球沿板向上运动上运动.问小球沿板走了问小球沿板走了l l 距离后距离后,小球的相对速度是多少小球的相对速度是多少?xyo xyo?ae NFegFgm解解:(1)令板向右平移令板向右平移,则无
18、科氏惯则无科氏惯 性力性力.若相对静止若相对静止,则受力如图则受力如图由几何法可得由几何法可得:tgmgFeg tggatgmgmaee(2)若板的平移加速度若板的平移加速度 tggae2而小球沿板走了而小球沿板走了l 距离距离 xyo?eaNFegF gml则牵连惯性力则牵连惯性力 tgmgFeg2由相对运动的动能定理由相对运动的动能定理:sin2cossin0212glVlFlmgmVrgre例例 1 5 半径为半径为 R 的环形管的环形管,绕铅垂轴绕铅垂轴 z 以匀角速度以匀角速度 转动转动.管内有管内有一质量为一质量为 m 的小球的小球,原在最低处平衡原在最低处平衡.小球受微小干扰而沿
19、圆管上小球受微小干扰而沿圆管上升升,忽略管壁的摩擦忽略管壁的摩擦,求小球能达到的最大偏角求小球能达到的最大偏角.解解:设小球能达到的最大偏角为设小球能达到的最大偏角为max R 由相对运动的动能定理由相对运动的动能定理 sinsincos10sincos100maxmax02max0maxRdRmmgRRdFmgReg小球受力如图示小球受力如图示:gmegF sin2RmFeg其中其中,maxmax222cos1sin21 mgRmR max2max2cos12sin Rg max2max2cos12cos1 Rg 0cos12cos1cos1max2maxmax RgNF R gmegF 0cos12cos1cos1max2maxmax Rg 02cos1cos12maxmax Rg 12cos01cos21max01max21Rg从实际意义分析从实际意义分析,0 90 1cosmax 即即gRRg 2212当当gR 2小球总在最低处小球总在最低处.NF
