1、4.多项式的分解域多项式的分解域 我们都知道 所谓代数基本定理是什么。这个定理告诉我们，复数域C上一元多项式环 的每一个n次多项式在C里有n个根，换一句话说，的每一个多项式在 里都能分解为一次因子的乘积。C x C x C x 若是一个域E上的一元多项式环 的每一个多项式在 里都能分解为一次因子的乘积，那么E显然不再有真正的代数扩域。这样的一个域叫做代数闭域代数闭域。E x E x 我们有以下事实：对于每一个域F都存在F的代数扩域E，而E是代数闭域。这一事实的证明也超出本书范围。但分裂的理论可以在一定意义下离补这一个缺陷。定义定义 域F的一个扩域E叫做 的n次多项式多项式 在在F上的一个分裂域
2、上的一个分裂域（或根域根域），假如（）在 里（有时简称在E里）可以分解为一次因子的积：（）在一个小于E的中间域 里，不能这样地分解。F x f x E x f x 12nnif xaxxxEI FIE f x 按这个定义，E是一个使得 能够分解为一次因子的F的最小扩域。我们先看一看，一个多项式的分裂域应该有什么性质。f x 定理定理 1 令E是域F上多项式 的一个分裂域：（1）那么 f x 12nnif xaxxxE12,nEF 证明证明 我们有 并且在 中，已经能够分解成（1）的形式。因此根据多项式的分裂域的定义，12,nFFE 12,nF f x12,nEF 根据这个定理，如果有F上的多项
3、式 的分裂域E存在，那么E刚好是把 的根添加于F所得的扩域。因此我们也把多项式的分裂叫做它的跟域。现在我们证明多项式的分裂域的存在。f x f x 定理定理 2 给了域F上一元多项式环 的一个n次多项式 ，一定存在 在F的分裂域E。F x f x f x 证明证明 假定在 里，这里 最高系数为1的不可约多项式。那么存在一个域 而 在F上的极小多项式是 在 里 ，所以 因此在 里 F x 11f xfx gx 1fx11EF1 1fx1E 10f 1|xf x1E 122f xxfx gx 这里 是 里最高系数为1的不可约多项式。这样存在一个域 而 在 上的极小多项式是 在 是 是 的最高系数为
4、1的不可约多项式。这样我们又可以利用 来得到域 ，使得在 里 这样一步一步地我们可以得到域 使得在 里 证完 2fx 1E x2121212,EEFF 21E 2fx 2Ex 1233f xxxfx gx 3fx 2Ex 3fx3123,EF 3Ex 12344f xxxxfx gx123,EF E x 12nnf xaxxx 域F上一个多项式 当然可能有不同的在F上的分裂域。但是这些域都同构。要证明这一点，我们需要两个引理。f x 引理引理 1 令 和 是两个同构的域。那么多项式环 和 也同构。LL L x L x 证明证明 令 是 与 间的同构映射，我们规定一个 到 的映射 显然是 与 间
5、的一一映射。我们看 的两个元 和 ：aaLL L x L x:iiiia xa x L x L x L x f x g x iiiiiiiif xa xa xfxg xb xb xg x iiiiiiiiikkkiiiiiikij kkij kkij kab xab xab xf xg xfxg xabcab xa b xf x g xfx g x 那么 所以是同构映射。证完。在上述同构映射 这下，的一个不可约多项式的象显然是 的一个不可约的多项式。L x L x 引理引理 2 令 与 是同构的域，是 的一个最高系数为1的不可约多项式，是与 对应的 的不可约多项式。又假定 与各 是 与 的单扩
6、域，满足条件 和 。那么存在 与 尖的一个同构映射，并且这个同构映射能够保持原来的 与 间的同构映射。LL p x L x p x p x L x L LLL 0p 0p L LLL 证明证明 假定 的次数是n，那么 的次数也是n。这样，若 是 与 间的同构映射，那么 是一个 与 间的一一映射，看 的两个元 由于 有 p x p xaaLL:1100nniiiiiiaa L L L 1100,nniiiiiifagb111000nnniiiiiiiiiiiiababab f xg xfg我们知道，这里 由引理1得 因此 这样，是 与 间的同构映射。至于 能够保持原来 与 间同构映射，显然。证完
7、。fgr f x g xq x p xr x fx g xq x p xr xfgr fgrrfg L LLL现在我们证明一个多项式的分裂域的唯一性。我们证明更一般小下述 定理定理 3 令 与 是同构的域，的 与 的 是在引理1的意义下相对应的n次多项式。又假定 是 在 上的一个分裂域，是 在 上的一个分裂域，那么在 与 间存在一个同构映射 ，能够保持 与 间的同构映射，并且可以分别换掉 还的次序，使在 之下 。FF F x f x F x fx12,nEF f xF12,nEF fxFEEFFii和ii 证明证明 我们已经知道：。假定对于 ，我们能够分别掉换 的次序，使得 这个同构映射保持
8、与 间的同构映射，并且在这个同构映射之下，设在 里 这里 是 的一个最高系数为1的不可约多项式。由引理1，在 里 而 是 的一个最高系数为1的不可约多项式。FFknii和1212,kkLFFL FF1,2,iiik L x 12kkkf xxxxpx gx kpx L x L x 12kkkf xxxxpx gx kpx L x 在 和 里，因子 进一步分别分解为 和 。分别掉换 和 的次序，不妨假定 于是由引理2，这个同构映射保持 与 间的同构映射，并且在这个同构映射下 证完12,nF 12,nF kkkkpx gxpx gx和1knxx1knxx1,kn1,kn110,0kkkkpp112
9、11211,kkkkLFFL FF1,2,1iiik 我们知道，一个n次多项式在一个域最多有n个根（），6，推论1）。分裂域的存在定理告诉我们，域 上多项式 在 的某一个扩域里一定有n个根。分裂域的唯一存在定理告诉我们，用不同方法找到的 的两组根，抽象地来看，没有什么区别这样，给了任何一个域 和 上一个n次多项式 ，我们总可以谈论 的n个根。因此，分裂域的理论在一定意义下可以代替所谓代数基本定理。F f xF f xFF f x f x 在域 上一个多项式 在分裂域里，并不是只有 可以分解成一次因子的乘积。我们有以下重要的F f x f x 定理定理 4 令E是多项式 在域 上的分裂域，而 是
10、E的一个任意元。那么 在 上的极小多项式在E里分解为一次因子的乘积。f xFF证明证明 令 在域 上的分裂域是 假定 在 上的极小多项式 不能在 里分解为一次因子的乘积。那么在 里 而 是 中最高系数为1的不可约多项式，且 的次数m大于1。做单扩域 f xF12,nEF F g x E x E x 1g xxp x gx p x E x p x12,nEEF 使得 我们看一看 由于 根据，2，定理4，有 因而由引理1，有 而且在这个同构映射这下 这样，由定理3，在 上的分裂域与 在 上的分裂同构。但 是 在 上的一个分裂域而 是 在 上的一个分裂域。0p F 10gpg FF FxFx f xf x f xF f x F1,nF f xF1,nF f x F因此 但是我们显然有 由于 ，这是一个矛盾。证完。在下两节中我们要用到分裂的理论来讨论两种特殊类型的域11,nnFE 11,:,:nnFFEF 1,:nFFEEE Fm E F 1,:nFFE F 1m
