1、2020 届广东高三第二次联考试题 文科数学 一、选择题:本题 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。 1设全集U是实数集R, 2 =log1 ,13MxxNxx,则(CUM)N ( ) A23xx B3x x C12xx D2x x 2复数z满足23ii z(其中i是虚数单位),则z的虚部为 ( ) A2 B3 C3 D2 3在ABC中,3AB ,1AC ,30B,则A ( ) A60 B 9030 或 C60120 或 D 90 4设平面向量2,1a ,,2b,若a与b的夹角为锐角,则的取值范围是( ) A, 44,1 B 1 ,22, 2 C 1, D ,1 5若0a ,0b ,则“
2、8ab”是“16ab”的 ( ). A必要不充分条件 B充分不必要条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 6设 3 log 0.4a , 2 log 3b ,则 ( ) A0ab且0ab B0ab 且0ab C0ab且0ab D0ab 且0ab 7已知函数 2 10 10 xx f x x , , ,若423f xfx,则实数x的取值范围 是 ( ) A1, B1 , C14 , D1, 8设等差数列 n a前n项和为 n S,若 45 2aS, 7 14S ,则 10 a ( ) A18 B16 C14 D12 9 某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为 ( ) A 7 6 B
3、 4 3 C2 D13 6 10函数 2 ( )1 sin 1 x f xx e 图象的大致形状是 ( ) A B C D 11己知点A是抛物线 2 4xy的对称轴与准线的交点,点B为抛物线的焦点,P在抛物线上且满 足PAm PB,当m取最大值时,点P恰好在以BA、为焦点的双曲线上,则双曲线的离心率为 ( ) A 21 B 21 2 C 51 2 D51 12若存在唯一的正整数 0 x,使得不等式 2 0 x x axa e 恒成立,则实数a的取值范围是 ( ) A 2 4 0, 3e B 2 41 , 3ee C 1 0, e D 2 41 , 3ee 二、填空题,本题 4 个小题,每小题
4、5 分,共 20 分。 13a为单位向量, 0b ,若ab且 3 2 ab,则b _. 14若tan2 4 ,则tan2_ 15若 32 111 1 322 fxfxxx,则曲线 yf x在点 (1,)1f处的切线方程是 _ 16已知三棱锥PABC的四个顶点均在同一个球面上,底面ABC满足6BABC, 2 ABC ,若该三棱锥体积的最大值为 3,则其外接球的体积为_ 三、解答题:共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17 至 21 题为 必做题,每小题 12 分;第 22、23 题为选做题,每小题 10 分,请考生在第 22、23 题中 任选一题作答,如果多做,则按所做的第一
5、题计分。 (一)必做部分(一)必做部分 17(本小题 12 分)已知函数 2 ( )( 3cossin )2 3sin2f xxxx (1)求函数 ( )f x的最小值,并写出( )f x取得最小值时自变量x的取值集合; (2)若 2 2 x ,求函数( )f x的单调减区间 来源:学&科&网 Z&X&X&K 18(本小题 12 分)数列 n a的前 n 项和记为 n S, 1 9a , 1 29 nn aS , * nN, 1 1b , 13 log nnn bba (1)求 n a的通项公式; (2)求证:对 * nN,总有 12 111 12 n bbb 19(本小题 12 分)如图,在
6、四棱锥PABCD中,平面ABCD平面PAD,/ /ADBC, 1 2 ABBCAPAD,30ADP 90BAD. (1)证明:PDPB; 来源:Z_xx_k.Com (2)设点M在线段PC上,且 1 3 PMPC,若MBC的面积 为 2 7 3 ,求四棱锥PABCD的体积 20(本小题 12 分)在直角坐标系xoy中,动点P与定点(1,0)F的距离和它到定直线4x 的距 离之比是 1 2 ,设动点P的轨迹为E (1)求动点P的轨迹E的方程; (2) 设过F的直线交轨迹E的弦为AB, 过原点的直线交轨迹E的弦为CD, 若/ /CDAB, 求证: 2 | | CD AB 为定值 21(本小题 12
7、 分)已知函数 ln1f xxx, 2 2g xxx (1)求函数 yf xg x的极值; (2)若实数m为整数,且对任意的0x 时,都有 0f xmg x恒成立,求实数m的最小值 (二)选做部分(二选一,本小题(二)选做部分(二选一,本小题 1010 分)分) 22.在平面直角坐标系xoy中,曲线c的参数方程为 3cos sin x y (为参数),在以原点为极点, 轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线l的极坐标方程为sin2 4 (1)求曲线c的普通方程和直线l的倾斜角; (2)设点(0,2)P,直线l和曲线c交于AB、 两点,求|+|PAPB 23已知 2 221f xxxa (1)当3a
8、时,求不等式 2 f xxx的解集; (2)若不等式 0f x 的解集为实数集R,求实数a的取值范围 2020 届高三第二次联考 文科数学参考答案 一、选择题 CDBAB BCCAD AD 二、填空题 13、 5 2 14、 3 4 15、3310xy 16、 3 32 三、解答题 17、解:(1) 22 ( )3cossin2 3sin cos2 3sin2f xxxxxx 2 2cos13sin2xx cos23sin22xx 2cos(2)2 3 x 4 分 当22 3 xk ,即() 3 xkkZ 时,函数( )f x有最小值为 0。 6 分 (2)由222 3 kxk ,得:, 63
9、 kxkkZ 8 分 因为 2 2 x ,所以,0, 6 3 kx , 即 2 2 x ,函数( )f x的单调减区间为 6 3 ,。 12 分 18、解:(1)由 1 29(1) nn aSn 可得 1 29(2) nn aSn , 两式相减得 1 2 nnn aaa , 1 3 nn aa , 又 21 2927aS, 21 3aa 故 n a是首项为 9,公比为 3 的等比数列, 1* 3, n n an N。 5 分 (2) 1 13 log 31 n nn bbn 当2n 时, 112211 (1) ()()()(21)1 2 nnnnn n n bbbbbbbbn 又1n 符合上式
10、, * (1) , 2 n n n bn N 8 分 * 12 , (1) n n bn n N 则 12 111111111 2(1)2(1) 22311 n bbbnnn 10 分 1 2(1)2 1n , 11 2(1) 2(1)1 12n 12 111 12 n bbb 12 分 19、解:(1) 平面ABCD平面PAD BAD=90, AB平面PAD,ABPD, 在PAD中, 1 APAD 2 ,ADP30, 由正弦定理可得: APD AD ADP AP sinsin , APD90,PAPD ,又AABPA PD 平面PAB,PDPB. 5 分 (2)取AD的中点F,连结PFCF、
11、,设aAD2,则aAPBCAB,aPD3,则 PBPC2a ,PBC为等腰三角形,且底边 BC 上的高为 7 a 2 , 1 PMPC 3 ,MBC的面积为 2 7 3 . PBC的面积为7, 17 aa7 22 解得:a2, 四梭锥PABCD的体积为 11 24232 3 32 . 12 分 20、解:(1)设点,P x y,由题意得 22 (1)1 |4|2 xy x ,将两边平方,并简化得 22 1 43 xy , 故轨迹 1 C的方程是 22 1 43 xy 4 分 (2)证明:当直线AB的斜率不存在时,易求| 3AB ,| 2 3CD , 则 2 | 4 | CD AB 5 分 当直
12、线AB的斜率存在时,设直线AB的斜率为k,依题意0k , 则直线AB的方程为 (1)yk x ,直线CD的方程为y kx 来源:163文库 ZXXK 设 11 ,A x y, 22 ,B xy, 33 ,C x y, 44 ,D xy, 由 22 1 43 (1) xy yk x 得 2222 3484120kxk xk 则 2 12 2 8 34 k xx k , 2 1 2 2 412 34 k x x k , 7 分 2 12 |1ABkxx 2 22 2 22 8412 14 3434 kk k kk 2 2 12 1 34 k k 8 分 由 22 1 43 xy ykx 整理得 2
13、 2 12 34 x k ,则 34 2 4 3 34 xx k 2 2 34 2 3 1 |14 34 k CDkxx k 10 分 2 22 22 48 1 |34 4 |3412 1 k CDk ABkk 综合知: 2 | 4 | CD AB 为定值 12 分 21、解:(1)设 2 ln1xf xg xxxx, 2111 21 xx xx xx , 2 分 令 0x,则 1 0 2 x; 0x,则 1 2 x ; x在 1 0, 2 上单调递增, 1 , 2 上单调递减, 11 =ln2 24 x 极大 ,无极小值. 4 分 (2)由 0f xmg x,即 2 ln120xxm xx
14、在0,上恒成立, 2 ln1 2 xx m xx 在0,上恒成立, 5 分 设 2 ln1 2 xx h x xx ,则 2 2 12ln 2 xxx h x xx , 6 分 显然10x , 2 2 20xx 设 2lnt xxx ,则 2 10tx x ,故 t x在0,上单调递减 由 110t , 1111 2ln2ln20 2222 t , 由零点定理得 0 1 ,1 2 x ,使得 0 0t x,即 00 2ln0xx 且 0 0,xx时, 0t x ,则 0h x, 0, xx时, 0t x . 则 0h x h x在 0 0,x上单调递增,在 0, x 上单调递减 00 0 2m
15、ax 00 ln1 2 xx h xh x xx , 又由 00 2ln0xx, 0 1 ,1 2 x ,则 00 0 2 000 ln111 ,1 222 xx h x xxx 由 mh x恒成立,且m为整数,可得m的最小值为 1. . 12 分 22、解:(1) 3cos , sin, x y 消去参数得 2 2 1 9 x y, 即c的普通方程为 2 2 1 9 x y. . 2 分 由sin2 4 ,得sincos2,(*) 将 cos sin x y ,代入(*),化简得+2yx, 所以直线l的倾斜角为 4 . 5 分 (2)由(1),知点(0,2)P在直线l上,可设直线l的参数方程
16、为 cos 4 2sin 4 xt yt (t为参数),即 2 2 2 2 2 xt yt (t为参数), 代入 2 2 1 9 x y并化简,得 2 518 2270tt , 2 (18 2)4 5 271080 , 设A,B两点对应的参数分别为 1 t, 2 t,则 12 18 2 0 5 tt , 1 2 27 0 5 t t , 来源:Z.xx.k.Com 所以 1 0t , 2 0t ,所以 1212 18 2 | 5 PAPBtttt . 10 分 23、解:(1)当3a 时, 2 2213f xxx , 当0x时,由 2 f xxx,得 2 20xx,解得:1x,或2x ,所以1
17、x. 当 1 0 2 x时 ,由 2 f xxx得 2 320xx, 解得: 317 2 x ,或 317 2 x . 所以x , 当 1 2 x 时,由 2 f xxx , 得 2 40xx , 解得: 117 2 x ,或 117 2 x .所以 117 2 x 综上 当3 时, 2 f xxx的解集为. 2 171 1|xxx或 5 分 来源:163文库 (2) 0f x 的解集为实数集 2 221Raxx , 当 1 2 x 时, 22 221221xxxx 2 131 2 222 x , 当 1 2 x 时, 22 221221xxxx 2 111 2 222 x , 2 226xx的最大值为 1 2 . 实数a的取值范围为 1 , 2 . 10 分