1、第八章第二课时：第八章第二课时：直线和圆的位置关系直线和圆的位置关系 要点、考点聚焦要点、考点聚焦 课前热身课前热身 典型例题解析典型例题解析 课时训练课时训练 要点、考点聚焦要点、考点聚焦1.本课时重点是直线和圆的位置关系的性质和判定本课时重点是直线和圆的位置关系的性质和判定.2.2.直线和圆的位置关系直线和圆的位置关系.设设O O的半径为的半径为r r，圆心圆心O O到直线到直线l l的距离为的距离为d d，那那么么(1)(1)直线直线l l和和O O相交相交 d dr r(2)(2)直线直线l l和和O O相切相切 d=rd=r(3)(3)直线直线l l和和O O相离相离 d dr r
2、3 3、切线的判定和性质定理及推论、切线的判定和性质定理及推论.(1)(1)切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线条半径的直线是圆的切线.(2)(2)切线的性质定理及其推论切线的性质定理及其推论.定理：圆的切线垂直于经过切点的半径定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.推论推论1 1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.推论推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.4.切线长及弦切角的定义切线长及弦切角的定义.(1)(1)切线长：过圆外一点引圆的两切
3、线长：过圆外一点引圆的两条切线，这点与切点之间的线段条切线，这点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长如图的长叫做这点到圆的切线长如图中的中的PAPA、PB.PB.(2)(2)弦切角：顶点在圆上，一边和弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边与圆相切的角圆相交，另一边与圆相切的角 要点、考点聚焦要点、考点聚焦5.5.切线长定理及弦切角定理切线长定理及弦切角定理.(1)(1)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的 切线长相等，圆心和这一点的连线平切线长相等，圆心和这一点的连线平 分两条切线的夹角分两条切线的夹角.(2)弦切角定理：弦切角等于它所
4、夹的弧所对的圆周角弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.6.6.三角形的内切圆和四边形的内切圆三角形的内切圆和四边形的内切圆.(1)三角形的内切圆：和三角形各边都相切的圆三角形的内切圆：和三角形各边都相切的圆.(2)(2)三角形内心：内切圆的圆心三角形内心：内切圆的圆心.(3)(3)三角形内切圆的性质：三角形内切圆的性质：到三角形三边的距离相等，到三角形三边的距离相等，圆心和三角形各顶点的连线平分这个角圆心和三角形各顶点的连线平分这个角.要点、考点聚焦要点、考点聚焦(4)四边形的内切圆的性质：四边形的内切圆的性质：圆外切四边形的对边和相等圆外切四边形的对边和相等.7.7.中考热点中考热
5、点.直线和圆的位置关系是中考的热点，直线和圆的位置关系是中考的热点，特别是切线长定理、弦切角定理特别是切线长定理、弦切角定理.考题多以填空、选择、证明、综合题为主考题多以填空、选择、证明、综合题为主.要点、考点聚焦要点、考点聚焦 课前热身课前热身(2003年年北京市北京市)如图，如图，CACA是是O O的切线，切点为的切线，切点为A A，点点B B在在O O上，如果上，如果CAB=55CAB=55，那么那么AOBAOB等于等于 ()A.55 A.55 B.90 B.90 C.110 C.110 D.120 D.120C2.2.(2003年年重庆市重庆市)如图所示，延长如图所示，延长O O的直径
6、的直径ABAB至至C C，CDCD切切O O于于D D，BDCBDC2525,E,E是是ADAD上的一点，那么上的一点，那么AED=AED=()A.155 A.155 B.145 B.145 C.135 C.135 D.115 D.115 D 课前热身课前热身3.3.下列命题中，正确的命题有下列命题中，正确的命题有()圆的切线垂直于半径圆的切线垂直于半径垂直于切线的直径必过圆心垂直于切线的直径必过圆心经过圆心且垂直于切线的直线过切点经过圆心且垂直于切线的直线过切点如果圆的两条切线平行，那么过两切点的直线如果圆的两条切线平行，那么过两切点的直线 必过圆心必过圆心三角形的内心不一定在三角形的内部三
7、角形的内心不一定在三角形的内部多边形的内切圆圆心到各边的距离相等多边形的内切圆圆心到各边的距离相等 A.2 A.2个个 B.3B.3个个 C.4 C.4个个 D.5D.5个个B 课前热身课前热身4.4.(2003年年武汉市武汉市)已知圆的半径为已知圆的半径为65 65 cmcm，如果一如果一条直线和圆心的距离为条直线和圆心的距离为9 9cmcm，那么这条直线和这个那么这条直线和这个圆的位置关系是圆的位置关系是 ()A.A.相交相交 B.B.相切相切C.C.相离相离 D.D.相交或相离相交或相离C5.5.等腰梯形外切于等腰梯形外切于O O，OO的直径为的直径为6 6 cmcm，等腰等腰梯形的腰长
8、为梯形的腰长为8 8 cmcm，则梯形的面积为则梯形的面积为()A.24 cmA.24 cm2 2 B.48 cmB.48 cm2 2C.36 cmC.36 cm 2 2 D.D.无法计算无法计算B 课前热身课前热身 典型例题解析典型例题解析【例【例1 1】(2004年年北京海淀北京海淀)如图如图(1)(1)，A A、K K为为O O上的两上的两点，直线点，直线FNMA,FNMA,垂足为垂足为N N，FNFN与与O O相切于点相切于点F F，AOK=2AOK=2MAK.(1)MAK.(1)求证：求证：MNMN是是OO的切线；（的切线；（2 2）若点）若点B B为为O O上一动点，上一动点，BO
9、BO的延长线交的延长线交O O于于C C，交，交NFNF于点于点D D，连接连接ACAC并延长交并延长交NFNF于点于点E E，当，当FD=2EDFD=2ED时，求时，求AENAEN的余的余切值。切值。【解析解析】(1)O+2KAO=180O+2KAO=1802MAK+2KAO=180MAK+2KAO=180MAK+KAO=90MAK+KAO=90即即OAMNOAMNMN是是 O的切线的切线【解析】解析】(2)此题分两种情况。如图（此题分两种情况。如图（2）和图（）和图（3）。）。如图如图(2)(2)，连接，连接ABAB、OFOF，可先证明，可先证明22AEN CD=DEAEN CD=DE。设
10、设O O的半径为的半径为r r，EDEDx x，根据切，根据切割线定量有割线定量有DFDF2 2=DCDB =DCDB （2x2x）2 2=x(x+2r)=x(x+2r)cotAEN=cotAEN=r32x 3rr3ANNE 31rr31ANNEAEN cotcot如图如图(3),同样同样r32x 图（图（2）图（图（3）【例例2 2】如图，在】如图，在ABCABC中，中，AC=BCAC=BC，E E是内心，是内心，AEAE的延长线交的延长线交ABCABC的外接圆于的外接圆于D D，求证：求证：(1)(1)BE=AEBE=AE(2)AB/AC=AE/DE(2)AB/AC=AE/DE 典型例题解
11、析典型例题解析【解析】【解析】(1)(1)要证要证BE=AEBE=AE，则需证则需证1=21=2，由由AC=BCAC=BCCAB=CBACAB=CBA，想到想到AEAE、BEBE必是角平线，而必是角平线，而E E是内心，是内心，所以所以AEAE、BEBE分别平分分别平分CABCAB、CBA.CBA.CAB1221DEBDC(2)(2)要证比例式，应该先想到这几条线段在哪两个要证比例式，应该先想到这几条线段在哪两个三角形中，再证相似，这是证明比例式三角形中，再证相似，这是证明比例式(或等积式或等积式)的首选数学思路的首选数学思路.但此题的四条线段不在两个三角但此题的四条线段不在两个三角形中，下面
12、考虑的思路有两条：形中，下面考虑的思路有两条：一是等线段代换，一是等线段代换，二是中间比二是中间比.此题中若将此题中若将AEAE换成换成BEBE，则只要证则只要证ABCABCBED.BED.ABCABCBEDBED【例【例3 3】在】在ABCABC中，如图，中，如图，BC=9BC=9，AC=12AC=12，AB=15AB=15，ABCABC的平分线的平分线BDBD交交ACAC于点于点D D，DEDBDEDB交交ABAB于点于点E.E.(1)(1)求证：求证：ABCABC是直角三角形是直角三角形.(2)(2)设设O O是是BDEBDE的外接圆，求证：的外接圆，求证：ACAC是是O O的切线的切线
13、.(3)(3)设设O O交交BCBC于点于点F F，连结连结EFEF，求求AEAE的长和的长和EFACEFAC的值的值.(2003(2003年年广西广西)典型例题解析典型例题解析【解析】【解析】(1)(1)根据勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理，很容易证得很容易证得.【解析】【解析】(2)(2)要证切线，若这条直线上有一点在圆上，通常要证切线，若这条直线上有一点在圆上，通常是过这一点作半径，证明半径垂直于这条直线即可，是过这一点作半径，证明半径垂直于这条直线即可，因此此题须连结因此此题须连结ODOD，证证ODAC.ODAC.BDE=90BDE=90BEBE是是O O的直径的直径OB=OD
14、OB=OD ODAC ODAC ACBCBCOD322131/(3)(3)通过平行或相似求解通过平行或相似求解ODBCODBC由由BFE=90BFE=90 EFAC EFAC415845215AE845OD15OD159ODABAOBCOD 43158452ABBEACEF 【例【例4 4】直线】直线l l切切O O于点于点C C，ADAD为为O O的任一条直径，的任一条直径，点点B B在直线在直线l l上，且上，且BAC=CAD(ABBAC=CAD(AB与与ADAD不在一条直不在一条直线上线上)画出图形，试判断四边形画出图形，试判断四边形ABCOABCO是怎样的特殊四是怎样的特殊四边形边形?
15、并证明你所得到的结论并证明你所得到的结论.【解析】本题可根据题意画出【解析】本题可根据题意画出O O与它的切线与它的切线l l，再画再画直径直径ADAD，最后根据最后根据BAC=CADBAC=CAD，来确定来确定B B的位置的位置.在在探索四边形探索四边形ABCOABCO形状时，可转动直径形状时，可转动直径ADAD，画出几个不画出几个不同位置的图形进行观察，猜想，发现在一般情形下同位置的图形进行观察，猜想，发现在一般情形下(即即ADAD与与l l不行平时不行平时)四边形四边形ABCOABCO可能是直角梯形，而可能是直角梯形，而当当ADlADl时，四边形时，四边形ABCOABCO变成了正方形，所
16、以在解题变成了正方形，所以在解题时需分两种情况进行分类、讨论、证明，如下时需分两种情况进行分类、讨论、证明，如下(1)(1)，(2)(2)两图两图.典型例题解析典型例题解析ADAD不平行于不平行于l l图图(1)(1)ADl图图(2)OC/AB233121lOC ,根根据据切切线线的的性性质质知知若若ADAD不平行于不平行于l l，则则OCBAOCBA为直角梯形为直角梯形.ADlADl若若 OCABOCABOCBCOCBC OA=OCOA=OC 四边形四边形ABCO是正方形是正方形1.1.若证切线，有两条思路：若证切线，有两条思路：是直线上的点不知是否在圆上的，则过圆心作该是直线上的点不知是否
17、在圆上的，则过圆心作该直线的垂线，根据定义证；直线的垂线，根据定义证；是已知直线上的点在圆上，则连结圆心和这一点，是已知直线上的点在圆上，则连结圆心和这一点，根据切线的判定定理证明根据切线的判定定理证明.2.2.有切线，则常连结过切点的半径；若不知切有切线，则常连结过切点的半径；若不知切点，则过圆心作切线的垂线，则垂足为切点点，则过圆心作切线的垂线，则垂足为切点.有切线，常利用弦切角计算或证明有切线，常利用弦切角计算或证明.课时训练课时训练1.1.已知圆的直径为已知圆的直径为13 13 cmcm，圆心到直线圆心到直线l l的距离为的距离为6 6cmcm，那么直线那么直线l l和这个圆的公共点个
18、数是和这个圆的公共点个数是()A.0 A.0个个 B.1B.1个个 C.2 C.2个个 D.D.无法确定无法确定2.2.(2003年年山西省山西省)如图，如图，ABAB、ACAC是是O O的两条切线，的两条切线，B B、C C是切点，是切点，A=50A=50，点点P P是圆上异于是圆上异于B B、C C的一动的一动点，则点，则BPCBPC的度数是的度数是()A.65A.65 B.115 B.115C.65或或115 D.130或或50CC3.3.如图中，如图中，ABAB、ACAC为为O O的切线，的切线，B B和和C C是切点，延长是切点，延长OBOB到到D D，使使BD=OBBD=OB，连结
19、连结ADAD，如果如果DAC=78DAC=78，那么那么ADOADO等于等于 ()A.70 A.70 B.64 B.64 C.62 C.62 D.51 D.51B 课时训练课时训练4.4.如图，如图，BCBC为半圆的直径，为半圆的直径，CACA为切线，为切线，ABAB交半圆于交半圆于E E，EFBCEFBC于于F F，连结连结ECEC，则图中与则图中与EFCEFC相似的三角形共相似的三角形共有有 ()A.1 A.1个个 B.2B.2个个 C.3 C.3个个 D.4D.4个个D 课时训练课时训练5.5.如图，如图，PAPA，PBPB分别切分别切O O于于A A、B B，OPOP交交O O于于C
20、C，下下列结论中错误的是列结论中错误的是 ()A.1=2 B.PA=PBA.1=2 B.PA=PBC.ABOP D.PAC.ABOP D.PA王王2=2=PCPBPCPBD 课时训练课时训练6.6.如图，如图，AOB=30AOB=30，OA=10OA=10，那么以那么以A A为圆心，为圆心，6 6为半为半径的径的A A与射线与射线OBOB的关系是的关系是 ()A.A.相交相交 B.B.相切相切 C.C.相离相离 D.D.不能确定不能确定A 课时训练课时训练只要我们坚持了，就没有克服不了的困难。或许，为了将来，为了自己的发展，我们会把一件事情想得非常透彻，对自己越来越严，要求越来越高，对任何机会
21、都不曾错过，其目的也只不过是不让自己随时陷入逆境与失去那种面对困难不曾屈服的精神。但有时，“千里之行，始于足下。”我们更需要用时间持久的用心去做一件事情，让自己其中那小小的浅浅的进步，来击破打破突破自己那本以为可以高枕无忧十分舒适的区域，强迫逼迫自己一刻不停的马不停蹄的一直向前走，向前看，向前进。所有的未来，都是靠脚步去丈量。没有走，怎么知道，不可能；没有去努力，又怎么知道不能实现？幸福都是奋斗出来的。那不如，生活中、工作中，就让这“幸福都是奋斗出来的”完完全全彻彻底底的渗入我们的心灵，着心、心平气和的去体验、去察觉这一种灵魂深处的安详，侧耳聆听这仅属于我们自己生命最原始最动人的节奏。但，这种
22、聆听，它绝不是仅限于、执着于“我”，而是观察一种生命状态能够扩展和超脱到什么程度，也就是那“幸福都是奋斗出来的”深处又会是如何？生命不止，奋斗不息！又或者，对于很多优秀的人来说，我们奋斗了一辈子，拼搏了一辈子，也只是人家的起点。可是，这微不足道的进步，对于我们来说，却是幸福的，也是知足的，因为我们清清楚楚的知道自己需要的是什么，隐隐约约的感觉到自己的人生正把握在自己手中，并且这一切还是通过我们自己勤勤恳恳努力，去积极争取的!“宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。”当我们坦然接受这人生的终局，或许，这无所皈依的心灵就有了归宿，这生命中觅寻处那真正的幸福、真正的清香也就从此真正的灿烂了我们的人生。一生
23、有多少属于我们的时光？陌上的花，落了又开了，开了又落了。无数个岁月就这样在悄无声息的时光里静静的流逝。童年的玩伴，曾经的天真，只能在梦里回味，每回梦醒时分，总是多了很多伤感。不知不觉中，走过了青春年少，走过了人世间风风雨雨。爱过了，恨过了，哭过了，笑过了，才渐渐明白，酸甜苦辣咸才是人生的真味！生老病死是自然规律。所以，面对生活中经历的一切顺境和逆境都学会了坦然承受，面对突然而至的灾难多了一份从容和冷静。这世上没有什么不能承受的，只要你有足够的坚强！这世上没有什么不能放下的，只要你有足够的胸襟！一生有多少属于我们的时光？当你为今天的落日而感伤流泪的时候，你也将错过了明日的旭日东升；当你为过去的遗
24、憾郁郁寡欢，患得患失的时候，你也将忽略了沿途美丽的风景，淡漠了对未来美好生活的憧憬。没有十全十美的生活，没有一帆风顺的旅途。波平浪静的人生太乏味，抑郁忧伤的人生少欢乐，风雨过后的彩虹最绚丽，历经磨砺的生命才丰盈而深刻。见过了各样的人生：有的轻浮，有的踏实；有的喧哗，有的落寞；有的激扬，有的低回。肉体凡胎的我们之所以苦恼或喜悦，大都是缘于生活里的际遇沉浮，走不出个人心里的藩篱。也许我们能挺得过物质生活的匮乏，却不能抵挡住内心的种种纠结。其实幸福和欢乐大多时候是对人对事对生活的一种态度，一花一世界，一树一菩提，就是一粒小小的沙子，也有自己精彩的乾坤。如果想到我们终有一天会灰飞烟灭，一切象风一样无影
25、亦无踪，还去争个什么？还去抱怨什么？还要烦恼什么？未曾生我谁是我？生我之时我是谁？长大成人方是我，合眼朦胧又是谁？一生真的没有多少时光，何必要和生活过不去，和自己过不去呢。你在与不在，太阳每天都会照常升起；你愁与不愁，生活都将要继续。时光不会因你而停留，你却会随着光阴而老去。有些事情注定会发生，有的结局早已就预见，那么就改变你可以改变的，适应你必须去适应的。面对幸与不幸，换一个角度，改变一种思维，也许心空就不再布满阴霾，头上就是一片蔚蓝的天。一生能有多少属于我们的时光，很多事情，很多人已经渐渐模糊。而能随着岁月积淀下来，在心中无法忘却的，一定是触动心灵，甚至是刻骨铭心的，无论是伤痛是欢愉。人生
26、无论是得意还是失意，都不要错过了清早的晨曦，正午的骄阳，夕阳的绚烂，暮色中的朦胧。经历过很多世态炎凉之后，你终于能懂得：谁会在乎你？你又何必要别人去在乎？生于斯世，赤条条的来，也将身无长物的离开，你在世上得到的，失去的，最终都会化作尘埃。原本就不曾带来什么，所以也谈不到失去什么，因此，对自己经历的幸与不幸都应怀有一颗平常心有一颗平常心，面对人生小小的不如意或是飞来横祸就能坦然接受，知道人有旦夕祸福，这和命运没什么关系；有一颗平常心，面对台下的鲜花掌声和头上的光环，身上的浮名都能清醒看待。花不常开，人不常在。再热闹华美的舞台也有谢幕的时候；再奢华的宴席，悠扬的乐曲，总有曲终人散的时刻。春去秋来，
27、我们无法让季节停留；同样如同季节一样无法挽留的还有我们匆匆的人生。谁会在乎你？生养我们的父母。纵使我们有千般不是，纵使我们变成了穷光蛋，唯有父母会依然在乎！为你愁，为你笑，为你牵挂，为你满足。这风云变幻的世界，除了父母，不敢在断言还会有谁会永远的在乎你！看惯太多海誓山盟的感情最后星流云散；看过太多翻云覆雨的友情灰飞烟灭。你春风得意时前呼后拥的都来锦上添花；你落寞孤寂时，曾见几人焦急赶来为你雪中送炭。其实，谁会在乎你？除了父母，只有你自己。父母待你再好，总要有离开的时日；再恩爱夫妻，有时也会劳燕分飞，孩子之于你，就如同你和父母；管鲍贫交，俞伯牙和钟子期，这样的肝胆相照，从古至今有几人？不是把世界
28、想的太悲观，世事白云苍狗，要在纷纷扰扰的生活中，懂得爱惜自己。不羡慕如昙花一现的的流星，虽然灿烂，却是惊鸿一瞥；宁愿做一颗小小的暗淡的星子，即使不能同日月争辉，也有自己无可取代的位置其实，也不该让每个人都来在乎自己，每个人的人生都是单行道，世上绝没有两片完全相同的树叶。大家生活得都不容易，都有自己方向。相识就是缘分吧，在一起的时候，要多想着能为身边的人做点什么，而不是想着去得到和索取。与人为善，以直报怨，我们就会内心多一份宁静，生活多一份和谐没有谁会在乎你的时候，要学会每时每刻的在乎自己。在不知不觉间，已经走到了人生的分水岭，回望过去生活的点滴，路也茫茫，心也茫茫。少不更事的年龄，做出了一件件
29、现在想来啼笑皆非的事情：斜阳芳草里，故作深沉地独对晚风夕照；风萧萧兮，渴望成为一代侠客；一遍遍地唱着罗大佑的童年，期待着做那个高年级的师兄；一天天地幻想，生活能轰轰烈烈。没有刀光剑影，没有死去活来，青春就在浑浑噩噩、懵懵懂懂中悄然滑过。等到发觉逝去的美好，年华的可贵，已经被无可奈何地推到了滚滚红尘。从此，青春就一去不回头。没有了幻想和冲动，日子就像白开水一样平淡，寂寞地走过一天天，一年年。涉世之初，还有几分棱角，有几许豪情。在碰了壁，折了腰之后，终于明白，生活不是童话，世上本没有白雪公主和青蛙王子，原本是一张白纸似的人生，开始被染上了光怪陆离的色彩。你情愿也罢，被情愿也罢，生存，就要适应身不由己，言不由衷的生活。人到中年，突然明白了许多：人生路漫漫，那是说给还不知道什么叫人生的人说的，人生其实很短暂，百年一瞬间；世事难预料，是至理名言，这一辈子，你遇见了谁，擦肩而过了谁，谁会是你真心的良朋益友，谁会和你牵手相伴一生，
