1、 第 1 页（共 19 页） 2020 年安徽省马鞍山市高考数学一模试卷（理科）年安徽省马鞍山市高考数学一模试卷（理科） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 个题，每小题个题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分）设全集|5UxN x， 2 |log2AxNx，则( UA ) A0，4，5 B4，5 C5 D |45xx剟 2 （5 分）复数 1 i z i 的虚部为( ) A 1 2 B 1 2 C 1 2 i D 1 2 i 3 （5 分）如图是国家统计局给出的
2、2014 年至 2018 年我国城乡就业人员数量的统计图表， 结合这张图表，以下说法错误的是( ) A2017 年就业人员数量是最多的 B2017 年至 2018 年就业人员数量呈递减状态 C2016 年至 2017 年就业人员数量与前两年比较，增加速度减缓 D2018 年就业人员数量比 2014 年就业人员数量增长超过 400 万人 4 （5 分）数列 n a为等差数列，且 2712 6aaa，则 n a的前 13 项的和为( ) A52 B104 3 C26 D 52 3 5 （5 分）已知向量(1, 2)a ，(4,)bm，且ab，则| (ab ) A5 B5 C7 D25 6 （5 分
3、）已知奇函数 3(0) ( ) ( )(0) x a x f x h x x ，则( 2)h 的值为( ) A 10 9 B 10 9 C8 D8 第 2 页（共 19 页） 7 （5 分）已知点F是抛物线 2 :4C yx的焦点，过点F的直线交抛物线C于点P，交y轴 于点Q，若2FQFP，则点P的坐标为( ) A 1 (2, ) 2 B( 2,1) C(1, 2) D 1 ( ,2) 2 8 （5 分）西湖小学为了丰富学生的课余生活开设课后少年宫活动，其中面向二年级的学生 共开设了三门课外活动课：七巧板、健美操、剪纸203 班有包括奔奔、果果在内的 5 位同 学报名参加了少年宫活动，每位同学
4、只能挑选一门课外活动课，已知每门课都有人选，则奔 奔和果果选择了同一个课外活动课的选课方法种数为( ) A18 B36 C72 D144 9 （5 分）某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为( ) A 2 3 B16 9 C 3 D 2 9 10 （5 分）函数 2 (21) ( ) 2 x x f x x 的图象大致为( ) A B C D 11 （5 分）已知边长为 2 的正ABC所在平面外有一点P，4PB ，当三棱锥PABC的 第 3 页（共 19 页） 体积最大时，三棱锥PABC外接球的表面积为( ) A 32 3 B16 C 64 3 D 256 3 12（5
5、 分） 已知函数( )2sin()(0)f xx 的图象经过点(,2) 2 和( ,0)， 且( )f x在(0,) 4 内不单调，则的最小值为( ) A1 B3 C5 D7 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）曲线: x C yxe在点(1, )Me处的切线方程为 14（5 分） 已知实数x，y满足约束条件 22 0 24 41 0 xy xy xy ， 则目标函数3zxy的最大值为 15 （5 分）定义：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差构成一个等比数列，则 称该数列为 “等差比” 数列 已知 “等差比”
6、 数列 n a的前三项分别为 1 2a ， 2 3a ， 3 5a ， 则数列 n a的前n项和 n S 16 （5 分）已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的焦距为2c，F为右焦点，O为坐标原点， P是双曲线上一点，|POc，POF的面积为 1 2 ab，则该双曲线的离心率为 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答第题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：题为选考题，考生根据要求作答 （一）
7、必考题： 共共 60 分分 17 （12 分）已知ABC为锐角三角形，且sincoscossincosABABC （1）求角B的大小； （2）若2b ，求( 31)2ac的最大值 18 （12 分）某公司新研发了一款手机应用APP，投入市场三个月后，公司对部分用户做了 调研：抽取了 400 位使用者，每人填写一份综合评分表（满分为 100 分） 现从 400 份评分 表中，随机抽取 40 份（其中男、女使用者的评分表各 20 份）作为样本，经统计得到如下的 茎叶图： 第 4 页（共 19 页） 记该样本的中位数为M，按评分情况将使用者对该APP的态度分为三种类型：评分不小于 M的称为“满意型”
8、 ，评分不大于10M 的称为“不满意型” ，其余的都称为“须改进型” （1）求M的值，并估计这 400 名使用者中“须改进型”使用者的个数； （2）为了改进服务，公司对“不满意型”使用者进行了回访，根据回访意见改进后，再从 “不满意型” 使用者中随机抽取 3 人进行第二次调查， 记这 3 人中的女性使用者人数为X， 求X的分布列和数学期望 19 （12 分）如图，四边形ABCD为矩形，1AB ，3BC ，以AC为折痕将ABC折起， 使点B到达点P的位置，且P在平面ACD内的射影O在边AD上 （1）求证：APCD； （2）求二面角PACD的余弦值 20 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0
9、) xy Cab ab 过点 3 (1,) 2 M，且M到两焦点的距离之和为 4 （1）求椭圆C的方程； （2）已知不经过原点O的直线l交椭圆C于A、B两点，线段AB的中点在直线OM上， 求OA OB的取值范围 21 （12 分）已知函数 2 ( )(12 ) xx f xaea ex （1）当0a 时，讨论( )f x的单调性； （2）若( )f x有两个不同零点 1 x， 2 x，证明：1a 且 12 0xx （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的题中任选一题作答如果多做，则按所做的 第 5 页（共 19 页） 第
10、一题计分第一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 32cos ( 12sin x y 为参数） ，在 以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中，点P在射线: 3 l 上，且点P 到极点O的距离为 4 （1）求曲线C的普通方程与点P的直角坐标； （2）求OCP的面积 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23设函数 2 ( )4|3|1|f xxxaa （1）若函数( )f x有零点，求实数a的取值范围； （2）记（1）中实数a的最大值为m，若p，q均为正实数，且满足pqm，求 22 pq的 最小值
11、 第 6 页（共 19 页） 2020 年安徽省马鞍山市高考数学一模试卷（理科）年安徽省马鞍山市高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 个题，每小题个题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分）设全集|5UxN x， 2 |log2AxNx，则( UA ) A0，4，5 B4，5 C5 D |45xx剟 【解答】解： 2 |log21AxNx，2，3，全集|50UxN x，1，2，3，4， 5， 0 UA ，4
12、，5， 故选：A 2 （5 分）复数 1 i z i 的虚部为( ) A 1 2 B 1 2 C 1 2 i D 1 2 i 【解答】解： ( 1)11 1( 1)( 1)22 iii zi iii 复数 1 i z i 的虚部为 1 2 故选：B 3 （5 分）如图是国家统计局给出的 2014 年至 2018 年我国城乡就业人员数量的统计图表， 结合这张图表，以下说法错误的是( ) A2017 年就业人员数量是最多的 B2017 年至 2018 年就业人员数量呈递减状态 C2016 年至 2017 年就业人员数量与前两年比较，增加速度减缓 D2018 年就业人员数量比 2014 年就业人员数
13、量增长超过 400 万人 第 7 页（共 19 页） 【解答】解：根据该统计图表可得 2017 年就业人数最多，故A正确； 2017 年就业人员高度必 2018 年的高，故B正确； 20142015，20152016就业人员增加量大致 200，而20162017增加量 100 不到，故C 正确； 2018 年就业人员数量比 2014 年就业人员数量增长低于 400 万人，故D错 故选：D 4 （5 分）数列 n a为等差数列，且 2712 6aaa，则 n a的前 13 项的和为( ) A52 B104 3 C26 D 52 3 【解答】解：由等差数列的性质可知， 27127 36aaaa，
14、故 7 2a ， 则 n a的前 13 项的和 113 7 13() 1326 2 aa Sa 故选：C 5 （5 分）已知向量(1, 2)a ，(4,)bm，且ab，则| (ab ) A5 B5 C7 D25 【解答】解：根据题意，向量(1, 2)a ，(4,)bm， 若ab，则有420a bm，解可得2m ， 则(4,2)b ， 则()( 3ab ，4)，则 22 |( 3)( 4)5ab ； 故选：A 6 （5 分）已知奇函数 3(0) ( ) ( )(0) x a x f x h x x ，则( 2)h 的值为( ) A 10 9 B 10 9 C8 D8 【解答】解：因为奇函数 3(
15、0) ( ) ( )(0) x a x f x h x x ， 0 (0)301faa ； 第 8 页（共 19 页） 则( 2)( 2)hff （2） 2 (3)8a 故选：D 7 （5 分）已知点F是抛物线 2 :4C yx的焦点，过点F的直线交抛物线C于点P，交y轴 于点Q，若2FQFP，则点P的坐标为( ) A 1 (2, ) 2 B( 2,1) C(1, 2) D 1 ( ,2) 2 【解答】解：由题意，可知：(1,0)F 设过点F的直线l的斜率为k，很明显斜率k存在，且0k 则直线:(1)l yk x， Q点坐标为(0,)k ( 1,)FQk 设点P的坐标为( P x，) P y，
16、则(1 P FPx，) P y 2FQFP， 2(1)1 2 P P x yk ，解得 1 2 2 P P x k y 点P在抛物线上， 2 4 PP yx，即 2 1 ()42 22 k 解得2 2 P k y 点P的坐标为 1 ( 2 ，2) 故选：D 8 （5 分）西湖小学为了丰富学生的课余生活开设课后少年宫活动，其中面向二年级的学生 共开设了三门课外活动课：七巧板、健美操、剪纸203 班有包括奔奔、果果在内的 5 位同 学报名参加了少年宫活动，每位同学只能挑选一门课外活动课，已知每门课都有人选，则奔 奔和果果选择了同一个课外活动课的选课方法种数为( ) A18 B36 C72 D144
17、 【解答】解：五人选三门课每门课都有人选共有两种情况：2、2、1，3、1、1， 对于：先选一门课作为奔奔和果果所选，再从剩下的三人中选一位单独选一门课， 第 9 页（共 19 页） 111 332 18C C C ， 对于： 先选一门课程作为奔奔和果果所选， 剩下的3人在三门课程中任意排列， 13 33 18C A ， 共有181836种， 故选：B 9 （5 分）某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为( ) A 2 3 B16 9 C 3 D 2 9 【解答】解：由三视图可知几何体为圆锥的一部分，圆锥的底面半径为 2，高为 4，圆锥 的体积 2 116 24 33 V
18、 圆锥 几何体的底面扇形圆心角为 12 arccos 23 几何体体积 2 16 3 29 VV 圆锥 故选：B 10 （5 分）函数 2 (21) ( ) 2 x x f x x 的图象大致为( ) A B 第 10 页（共 19 页） C D 【解答】解：根据题意，函数 2 (21)222 ( ) 2 xxx x f x xx ， 有 222 ()()( ) xx fxf x x ，即函数( )f x为奇函数，排除A、B、D， 故选：C 11 （5 分）已知边长为 2 的正ABC所在平面外有一点P，4PB ，当三棱锥PABC的 体积最大时，三棱锥PABC外接球的表面积为( ) A 32 3
19、 B16 C 64 3 D 256 3 【解答】解：由题意当三棱锥PABC的体积最大时是PB 面ABC时，由边长为 2 的正 ABC， 设三角形ABC的外接圆半径为r，则 24 2 3 sin 3 r ， 所以 2 3 r ， 由题意此三棱锥的外接球的球心为过底面圆心做垂直于底面的直线与中截面的交点， 设外接球的半径为R， 则由题意可得： 2222 416 ()2 233 PB Rr， 所以外接球的表面积 2 64 4 3 SR ， 故选：C 第 11 页（共 19 页） 12（5 分） 已知函数( )2sin()(0)f xx 的图象经过点(,2) 2 和( ,0)， 且( )f x在(0,
20、) 4 内不单调，则的最小值为( ) A1 B3 C5 D7 【解答】解：依题意得，2sin()2,2sin()0 2 ， 11 2() 22 kkZ ， 22 ()kkZ， 消去得， 21 (2 ) 22 kk ， 令 21 2()kkn nZ，则21()nnZ，因为0，所以nN， 当1n 时，1，此时 11 2()kkZ， 1 ( )2sin(2)2sinf xxkx，不合题意； 当2n 时，3， 此时 11 2()kkZ，( )2sin3f xx ， 此时( )f x在(0,) 4 内不单调， 满足题意 所以的最小值为 3 故选：B 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题
21、小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）曲线: x C yxe在点(1, )Me处的切线方程为 2yexe 【解答】解：函数的( )f x的导数( )(1) x fxx e， 则曲线在(1, ) e处的切线斜率kf（1）2e， 则对应的切线方程为2 (1)yee x， 即2yexe 故答案为：2yexe 14 （5 分）已知实数x，y满足约束条件 22 0 24 41 0 xy xy xy ，则目标函数3zxy的最大值为 6 【解答】解：画出约束条件 22 0 24 41 0 xy xy xy 表示的平面区域，如图阴影所示； 平移目标函数3zxy知，当目标函数过点C时，z取
22、得最大值； 第 12 页（共 19 页） 由 24 220 xy xy ，求得(2,0)C； 所以z的最大值为3 206 max z 故答案为：6 15 （5 分）定义：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差构成一个等比数列，则 称该数列为 “等差比” 数列 已知 “等差比” 数列 n a的前三项分别为 1 2a ， 2 3a ， 3 5a ， 则数列 n a的前n项和 n S 21 n n 【解答】解： “等差比”数列 n a的前三项分别为 1 2a ， 2 3a ， 3 5a ， 可得 21 321aa， 32 2aa， 2 1 2n nn aa ， 则 1 21 1211 12 ()
23、()2122221 12 n nn nnn aaaaaa ， 数列 n a的前n项和 1 12 (122)21 12 n nn n Snnn 故答案为：21 n n 16 （5 分）已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的焦距为2c，F为右焦点，O为坐标原点， P是双曲线上一点，|POc，POF的面积为 1 2 ab，则该双曲线的离心率为 2 【解答】 解：双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的焦距为2c，F为右焦点， 左焦点为 1( ,0)Fc， O为坐标原点，P是双曲线上一点，|POc， 1 F PF是直角三角形， 1 2PFPFa， 222 1 4PFP
24、Fc，可得 22 1 424cPF PFa 可得 22 444caba，又 222 abc 第 13 页（共 19 页） 可得ab， 即2 c e a 故答案为：2 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答第题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题： 共共 60 分分 17 （12 分）已知ABC为锐角三角形，且sincoscossincosABABC （1）求角B的大小；
25、 （2）若2b ，求( 31)2ac的最大值 【解答】解： （1）sincoscossincosABABC， sin()cossin() 2 ABCC ， 锐角三角形ABC中，( 2 AB ，) 2 ，(0,) 22 C ， 2 ABC ，即 2 ACB ， 又ABC， 由解得 4 B （2）ABC为锐角三角形， 4 B ，2b ， 由正弦定理 2 2 sinsin2 2 ac AC ，可得2sinaA， 3 2sin2sin() 4 cCA ， 3 ( 31)22( 31)sin2 2sin()2 3sin2cos4sin() 4 46 acAAAAA ，当 且仅当 3 A 时取最大值， 故
26、( 31)2ac的最大值为 4 18 （12 分）某公司新研发了一款手机应用APP，投入市场三个月后，公司对部分用户做了 调研：抽取了 400 位使用者，每人填写一份综合评分表（满分为 100 分） 现从 400 份评分 表中，随机抽取 40 份（其中男、女使用者的评分表各 20 份）作为样本，经统计得到如下的 茎叶图： 第 14 页（共 19 页） 记该样本的中位数为M，按评分情况将使用者对该APP的态度分为三种类型：评分不小于 M的称为“满意型” ，评分不大于10M 的称为“不满意型” ，其余的都称为“须改进型” （1）求M的值，并估计这 400 名使用者中“须改进型”使用者的个数； （2
27、）为了改进服务，公司对“不满意型”使用者进行了回访，根据回访意见改进后，再从 “不满意型” 使用者中随机抽取 3 人进行第二次调查， 记这 3 人中的女性使用者人数为X， 求X的分布列和数学期望 【解答】解： （1）中位数等于 8082 81 2 ，所以81M ，40 个样本数据中共有 13 人是“须 改进型” ， 从而可得 400 名使用者中约 13 400130 40 人是“须改进型”使用者； （2）不满意型使用者共 7 人，其中男性 5 人，女性 2 人， 故X的所有可能的取值为 0，1，2 且 3 5 3 7 2 (0) 7 C P X C ； 21 52 3 7 4 (1) 7 C
28、C P X C ； 12 52 3 7 1 (2) 7 C C P X C ； 故X的分布列为 X 0 1 2 P 2 7 4 7 1 7 所以X的数学期望 2416 ()012 7777 E X 19 （12 分）如图，四边形ABCD为矩形，1AB ，3BC ，以AC为折痕将ABC折起， 使点B到达点P的位置，且P在平面ACD内的射影O在边AD上 （1）求证：APCD； 第 15 页（共 19 页） （2）求二面角PACD的余弦值 【解答】解： （1）由题可得OP 面ACD，OPCD， 又四边形ABCD为矩形，CDAD， 又AOADO，CD面APD， AP 平面APD，APCD （2）解：以
29、A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则(0A，0，0)，(1, 3,0)C，设P点坐标为(0，y，)(0)z z ， 由1AP ，3PC ，得 22 22 1 1( 3)3 yz yz ， 解得 3 3 y ， 6 3 z ，即P点坐标为 36 (0,) 33 ， (1AC ，3，0)，(0AP ， 3 3 ， 6 ) 3 ， 设 1 ( , , )nx y z面APC， 1 1 nAC nAP ， 30 36 0 33 xy yz ，令1y ，得 1 2 (3,1,) 2 n ， 又 2 (0,0,1)n 面ACD， 12 1 cos, 3 n n ， 二面角PACD的余弦值为 1
30、 3 第 16 页（共 19 页） 20 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 过点 3 (1,) 2 M，且M到两焦点的距离之和为 4 （1）求椭圆C的方程； （2）已知不经过原点O的直线l交椭圆C于A、B两点，线段AB的中点在直线OM上， 求OA OB的取值范围 【解答】解： （1）由题可得 22 24 13 1 4 a ab ，解得 2 1 a b ，所以椭圆C的方程为 2 2 1 4 x y （2） （方法一）易知直线l斜率存在且不等于 0，所以 12 0yy， 设 1 (A x，1)y， 2 (B x， 2) y得 2 21 1 2 22 2 1 4 1
31、4 x y x y 两式相减得 1212 1212 3 4()6 yyxx xxyy ， 即 3 6 AB k ， 设直线AB的方程为 3 (0) 6 yxm m ，联立方程 22 44 3 6 xy yxm ， 化简得 22 3330xmxm， 因为直线l交椭圆于A，B两点，故 2 9120m ，解得 2 4 0 3 m， 又 12 3xxm， 2 12 33x xm， 2 12121212 3313 ()()() 66126 y yxmxmx xm xxm 所以 2 1212 151313 7 (, ) 444 4 OA OBx xy ym （方法二）易知直线l斜率存在且不等于 0，故设直
32、线AB的方程为(0)ykxm m， 联 立 方 程 组 22 44xy ykxm ， 化 简 得 222 12 2 8 (14)8440 14 km kxkmxmxx k ， 第 17 页（共 19 页） 2 12 2 44 14 m x x k ， 12 2 2 14 m yy k ， 因为线段AB的中点在直线OM上，所以 12 12 13 42 yy xxk ，求得 3 6 k ， 设直线AB的方程为 3 (0) 6 yxm m ，联立方程 22 44 3 6 xy yxm ， 化简得 22 3330xmxm， 因为直线l交椭圆于A，B两点，故 2 9120m ，解得 2 4 0 3 m，
33、 又 12 3xxm， 2 12 33x xm， 2 12121212 3313 ()()() 66126 y yxmxmx xm xxm 所以 2 1212 151313 7 (, ) 444 4 OA OBx xy ym 21 （12 分）已知函数 2 ( )(12 ) xx f xaea ex （1）当0a 时，讨论( )f x的单调性； （2）若( )f x有两个不同零点 1 x， 2 x，证明：1a 且 12 0xx 【解答】解： （1） 2 ( )2(12 )1(1)(21) xxxx fxaea eeae ， 因为0a ，由( )0fx得，0x 或 1 () 2 xln a ，
34、1 ) ()0 2 i ln a 即 1 2 a 时，( )f x在 1 (,() 2 ln a 单调递减，在 1 (),0) 2 ln a 单调递增，在 (0,)单调递减； 1 ) ()0 2 ii ln a 即 1 2 a 时，( )f x在(,) 单调递减； 1 ) ()0 2 iii ln a 即 1 0 2 a时，( )f x在(,0)单调递减，在 1 (0,() 2 ln a 单调递增，在 1 ( (),) 2 ln a 单调递减； （2）由（1）知， 1 2 a 时，( )f x的极小值为 111 ( ()1()10 242 f lnln aaa ； 1 0 2 a时，( )f
35、x的极小值为(0)110fa ； 1 2 a 时，( )f x在(,) 单调递减，故0a 时，( )f x至多有一个零点， 第 18 页（共 19 页） 当0a时，由 2 ( )2(12 )1(1)(21) xxxx fxaea eeae ，( )f x在(,0)单调递减，在 (0,)单调递增 要使( )f x有两个零点，则(0)0f，得120aa ，即1a ， 令( )( )()F xf xfx，(0)x ， 则 22 ( )( )()2(12 )12(12 )12 (1)(2)()2 0 xxxxxxxxxx F xfxfxaea eaea ea eeeeee ， 所以( )F x在0x
36、时单调递增，( )(0)0F xF，( )()f xfx， 不妨设 12 xx，则 1 0x ，?0x ， 2 0x， 122 ()()()f xf xfx， 由( )f x在(,0)单调递减，得 12 xx ，即 12 0xx， 故1a 且 12 0xx，原命题得证 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的题中任选一题作答如果多做，则按所做的 第一题计分第一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 32cos ( 12sin x y 为参数
37、） ，在 以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中，点P在射线: 3 l 上，且点P 到极点O的距离为 4 （1）求曲线C的普通方程与点P的直角坐标； （2）求OCP的面积 【解答】解： （1）曲线C的普通方程为 22 (3)(1)4xy， 点P的极坐标为(4,) 3 ，直角坐标为(2,2 3) （2） （方法一）圆心( 3,1)C， 3 :30 3 OC yxxy， 点P到OC的距离 |23 2 3| 2 2 d ，且| 2OC ， 所以 1 |2 2 OCP SOC d （方法二） 圆心( 3,1)C， 其极坐标为(2,) 6 ， 而( 4 , ) 3 P ， 结合图象利用极坐标
38、的几何含义， 第 19 页（共 19 页） 可得 366 COP ，| 2OC ，| 4OP ， 所以 11 | |sin2 4 sin2 226 OCP SOCOPCOP 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23设函数 2 ( )4|3|1|f xxxaa （1）若函数( )f x有零点，求实数a的取值范围； （2）记（1）中实数a的最大值为m，若p，q均为正实数，且满足pqm，求 22 pq的 最小值 【解答】解： （1）依题意可知二次方程 2 4|3|1| 0xxaa有解， 164(|3|1|) 0aa，即|3|1|4aa 当1a 时，314aa ，解得0a，0a ，1)； 当13
39、a 时，31 4aa ，解得2 4恒成立，1a ，3)； 当3a时，24 4a ，解得4a，3a ，4 综上所述，可得0a，4； （2）由（1）知4pq， 方法一：利用基本不等式 222222222 ()2()()2()pqpqpqpqpqpq， 22 8pq， 22 pq的最小值为 8，当且仅当2pq时取等号； 方法二：利用二次函数求最值 4pq，4qp ， 222222 (4)28162(2)8 8pqppppp ， 22 pq的最小值为 8，当且仅当2pq时取等号； 方法三：利用柯西不等式 222222 () (11 ) (11)()16pqpqpq ， 22 8pq， 22 pq的最小值为 8，当且仅当2pq时取等号
