2020年湖南省永州市高考数学二模试卷（理科）.docx下载_163文库

资源描述

1、第 1 页（共 22 页） 2020 年湖南省永州市高考数学二模试卷（理科）年湖南省永州市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分）复数 2 1i 的共轭复数是( ) A1i B1i C1i D1i 2 （5 分）已知集合 |3Ax x， 2 |log0Bxx，则( ) A |13ABxx BAB C |3ABx x D |1ABx x 3 （5 分）执行如图所示程序框图，若输入 1 4

2、 p ，则输出结果为( ) A2 B3 C4 D5 4 （5 分）为了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了 20 名肥胖者，健身之前他们的体重情况如三维饼图（1）所示，经过四个月的健身后，他们的体重情况如三维饼图（2）所示对比健身前后，关于这 20 名肥胖者，下面结论不正确的是( ) A他们健身后，体重在区间90kg，100)kg内的人数不变 B他们健身后，体重在区间100kg，110)kg内的人数减少了 4 人第 2 页（共 22 页） C他们健身后，这 20 位健身者体重的中位数位于90kg，100)kg D他们健身后，原来体重在110kg，120kg内的肥胖者体重都至

3、少减轻了10kg 5 （5 分）已知数列 1 a， 32 121 , n n aaa aaa 是首项为 8，公比为 1 2 的等比数列，则 4 a等于( ) A8 B32 C64 D128 6 （5 分）某校高三年级有男生 220 人，编号为 1，2，220；女生 380 人，编号为 221， 222，600为了解学生的学习状态，按编号采用系统抽样的方法从这 600 名学生中抽取 10 人进行问卷调查，第一组抽到的号码为 10现从这 10 名学生中随机抽取 2 人进行座谈，则这 2 人中既有男生又有女生的概率是( ) A 1 5 B 7 15 C 8 15 D 4 5 7 （5 分）已知定

4、义在R上的奇函数( )f x满足(1)(3)0f xfx，若f（1）2，则f （1）f（2）f（3）(2019)(f ) A2 B0 C2 D2020 8 （5 分）已知函数( )2 sin()(0f xx，|)的部分图象如图所示，且 (,1),(,1) 2 AB ，则的值为( ) A 5 6 B 5 6 C 6 D 6 9 （5 分）北方的冬天户外冰天雪地，若水管裸露在外，则管内的水就会结冰从而冻裂水管，给用户生活带来不便每年冬天来临前，工作人员就会给裸露在外的水管“保暖” ：在水管外面包裹保温带，用一条保温带盘旋而上一次包裹到位某工作人员采用四层包裹法（除水管两端外包裹水管的保

5、温带都是四层）：如图 1 所示是相邻四层保温带的下边缘轮廓线，相邻两条轮廓线的间距是带宽的四分之一设水管的直径与保温带的宽度都为4cm在图 2 水管的侧面展开图中，此保温带的轮廓线与水管母线所成的角的余弦值是（保温带厚度忽略不计）( ) 第 3 页（共 22 页） A 1 4 B 1 4 C 2 2 14 14 D 2 2 1 16 1 16 10 （5 分）某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为( ) A8 B6 C4 D 8 2 3 11 （5 分）如图，已知双曲线 22 22 1(0) xy ba ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，过右焦点作平行于一条渐近

6、线的直线交双曲线于点A，若 12 AFF的内切圆半径为 4 b ，则双曲线的离心率为( ) A 2 3 3 B 5 4 C 5 3 D 3 2 2 12（5 分）数列 n a满足 1 11( 1)n nn aan ，且 6 01a 记数列 n a的前n项和为 n S，第 4 页（共 22 页）则当 n S取最大值时n为( ) A11 B12 C11 或 13 D12 或 13 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）曲线ylnx过点(0, 1)的切线方程为 14 （5 分）已知AB为圆O的弦，若| 2AB

7、，则OA AB 15（5 分）已知以F为焦点的抛物线 2 4yx上的两点A、B满足3AFFB，求|AB 16 （5 分）已知函数 2 2 , 1, ( ) 1 |1|,. xxxt f x xt x a 剟（1）若1t ，且( )f x值域为 1，3)，则实数a的取值范围为（2）若存在实数a，使( )f x值域为 1，1，则实数t的取值范围为三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第 17 题第题第 21 题为必考题，考生都必须作答，第题为必考题，考生都必须作答，

8、第 22、 23 题为选考题，考生根据要求作答（一）题为选考题，考生根据要求作答（一）必做题：必做题：60 分分 17 （12 分）在ABC中， 3 ABC ，点D在边AB上，2BD （1）若BCD的面积为2 3，求CD；（2）若 5 cos 5 BCA， 3 10 cos 10 DCA，求CD 18 （12 分）在如图三棱锥ABCD中，BDCD，E，F分别为棱BC，CD上的点，且 / /BD平面AEF，AE 平面BCD （1）求证：平面AEF 平面ACD；（2）若2BDCDAD，E为BC的中点，求直线AF与平面ABD所成角的正弦值 19 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0

9、) xy ab ab 的左、右顶点分别为C、D，且过点( 2,1)， P是椭圆上异于C、D的任意一点，直线PC，PD的斜率之积为 1 2 第 5 页（共 22 页）（1）求椭圆的方程；（2）O为坐标原点，设直线CP交定直线xm于点M，当m为何值时，OP OM为定值 20 （12 分）某工厂生产某种产品，为了控制质量，质量控制工程师要在产品出厂前对产品进行检验现有 * (n nN且2)n份产品，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验n次；（2）混合检验，将这n份产品混合在一起作为一组来检验若检测通过，则这n份产品全部为正品，因而这n份产品只要检验一次就够了；若检测不通过，为

10、了明确这n份产品究竟哪几份是次品，就要对这n份产品逐份检验，此时这n份产品的检验次数总共为1n 次假设在接受检验的样本中，每份样本的检验结果是正品还是次品都是独立的，且每份样本是次品的概率为(01)pp （1）如果4n ，采用逐份检验方式进行检验，求检测结果恰有两份次品的概率；（2）现对n份产品进行检验，运用统计概率相关知识回答：当n和p满足什么关系时，用混合检验方式进行检验可以减少检验次数？（3）当 * 2 (nk kN且2)k时，将这n份产品均分为两组，每组采用混合检验方式进行检验，求检验总次数的数学期望；当(nmk k， * mN，且2k，2)m时，将这n份产品均分为m组，

11、每组采用混合检验方式进行检验，写出检验总次数的数学期望（不需证明） 21 （12 分）已知函数 12 ( )(1)1 x f xexxx ， 1 ( )(2)(3) (3) x g xx ex lnx 证明：（1）存在唯一 0 (0,1)x ，使 0 ()0f x；（2）存在唯一 1 (1,2)x ，使 1 ( )0g x，且对（1）中的 0 x，有 01 2xx （二）选考题：（二）选考题：10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做第一题题中任选一题作答如果多做，则按所做第一题计分计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （

12、10 分）在直角坐标系xOy中，直线 1 C的参数方程为 2 2 2 2 2 xt yt （其中 1 C为参数）以坐标原点O为极点，t轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为2sin （1）写出直线 1 C的极坐标方程；第 6 页（共 22 页）（2）设动直线:(0)l ykx k与 1 C， 2 C分别交于点M、N，求 | | ON OM 的最大值选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（本题满分（本题满分 0 分）分） 23已知函数( ) |2|f xx （1）求不等式( ) 25f xx的解集；（2）记函数( )(1)(5)g xf xfx ，且( )g

13、 x的最大值为M，若0a ，求证： 2 1 3Ma a 第 7 页（共 22 页） 2020 年湖南省永州市高考数学二模试卷（理科）年湖南省永州市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分）复数 2 1i 的共轭复数是( ) A1i B1i C1i D1i 【解答】解：复数 22(1) 1 1(1)(1) i zi iii 的共轭复数1zi 故选：A

15、0 名肥胖者，健身之前他们的体重情况如三维饼图（1）所示，经过四个月的健身后，他们的体重情况如三维饼图（2）所示对比健身前后，关于这 20 名肥胖者，下面结论不正确的是( ) A他们健身后，体重在区间90kg，100)kg内的人数不变 B他们健身后，体重在区间100kg，110)kg内的人数减少了 4 人 C他们健身后，这 20 位健身者体重的中位数位于90kg，100)kg D他们健身后，原来体重在110kg，120kg内的肥胖者体重都至少减轻了10kg 【解答】解：某健身房调查了 20 名肥胖者，健身之前他们的体重情况如三维饼图（1）所示，经过四个月的健身后，

16、他们的体重情况如三维饼图（2）所示对比健身前后，关于这 20 名肥胖者，在A中，健身前，体重在区间90kg，100)kg内的人数为2040%8人，健身后，体重在区间90kg，100)kg内的人数为2040%8人，故A正确；在B中，健身后，体重在区间100kg，110)kg内的人数减少了： 2050%2030%4人，故B正确；在C中，他们健身后，这 20 位健身者体重的中位数位于90kg，100)kg，故C正确；在D中，他们健身后，原来体重在110kg，120kg内的肥胖者体重不一定至少减轻了10kg，故D错误故选：D 5 （5 分）已知数列 1 a， 32 121 , n

17、n aaa aaa 是首项为 8，公比为 1 2 的等比数列，则 4 a等于( ) A8 B32 C64 D128 第 9 页（共 22 页）【解答】解：数列 1 a， 32 121 , n n aaa aaa 是首项为 8，公比为 1 2 的等比数列，则 34 3 1 8( )1 2 a a 324 41 123 842 164 aaa aa aaa 故选：C 6 （5 分）某校高三年级有男生 220 人，编号为 1，2，220；女生 380 人，编号为 221， 222，600为了解学生的学习状态，按编号采用系统抽样的方法从这 600 名学生中抽取 10 人进行问卷调查，第一组抽到的

18、号码为 10现从这 10 名学生中随机抽取 2 人进行座谈，则这 2 人中既有男生又有女生的概率是( ) A 1 5 B 7 15 C 8 15 D 4 5 【解答】解：某校高三年级有男生 220 人，编号为 1，2，220；女生 380 人，编号为 221，222，600 为了解学生的学习状态，按编号采用系统抽样的方法从这 600 名学生中抽取 10 人进行问卷调查，抽样间隔 600 60 10 f ，第一组抽到的号码为 10，则抽到的 10 个人的号码分别为： 10，70，130，190，250，310，370，430，490，550，这 10 人中男人有 4 人，女人有 6 人

19、，现从这 10 名学生中随机抽取 2 人进行座谈，基本事件总数 2 10 45nC，这 2 人中既有男生又有女生包含的基本事件个数 11 46 24mC C，则这 2 人中既有男生又有女生的概率是 248 4515 m p n 故选：C 7 （5 分）已知定义在R上的奇函数( )f x满足(1)(3)0f xfx，若f（1）2，则f （1）f（2）f（3）(2019)(f ) A2 B0 C2 D2020 【解答】解：根据题意，定义在R内的奇函数( )f x满足：对任意xR郡有(1)(3)f xfx，则(1)(3)(3)f xfxf x ，变形可得(4)( )f xf x

20、，则有f（5）f （1），f（6）第 10 页（共 22 页） f （2），f（7）f （3），f（8）f （4），则f（1）f（2）f（3）f（8）0，又由(4)( )f xf x ，则有(8)(4)( )f xf xf x ，即函数( )f x是周期为 8 的周期函数，则f（1）f（2）f（3）(2019)ff（1）f（2）f（3）f（8）f （1）f（2）f（3）；又由奇函数( )f x满足(1)(3)0f xfx，令1x 可得：f（2）f（2）0，即f（2） 0，令0x 可得：f（1）f（3）0，则f（1）f（2）f（3）0，故f（1）f（2）f（3）(2

21、019)0f；故选：B 8 （5 分）已知函数( )2 sin()(0f xx，|)的部分图象如图所示，且 (,1),(,1) 2 AB ，则的值为( ) A 5 6 B 5 6 C 6 D 6 【解答】解：由函数( )2sin()f xx的部分图象知， 0T，所以 22 2 T ，又()2sin(2)1 22 f ，即 7 6 ， 6 故选：D 9 （5 分）北方的冬天户外冰天雪地，若水管裸露在外，则管内的水就会结冰从而冻裂水管，给用户生活带来不便每年冬天来临前，工作人员就会给裸露在外的水管“保暖” ：在水管外面包裹保温带，用一条保温带盘旋而上一次包裹到位某工作人员采用四层包

22、裹法（除水管两端外包裹水管的保温带都是四层）：如图 1 所示是相邻四层保温带的下边缘轮廓线，相邻两条轮廓线的间距是带宽的四分之一设水管的直径与保温带的宽度都为4cm在图 2 水管的侧面展开图中，此保温带的轮廓线与水管母线所成的角的余弦值是（保温带厚度忽略第 11 页（共 22 页）不计）( ) A 1 4 B 1 4 C 2 2 14 14 D 2 2 1 16 1 16 【解答】解：其展开图如图所示，水管直径为4cm，所以水管的周长为4BBcm ，过点B作BMAB，垂足为M，则BAMMBB ，又 1 41() 4 BMcm，所以 1 cos 4 BM BB 故选：B

23、 10 （5 分）某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为( ) 第 12 页（共 22 页） A8 B6 C4 D 8 2 3 【解答】解：由三视图还原原几何体如图，可知该几何体为三棱锥PABC，PA 底面ABC，底面ABC是以角B为直角的等腰直角三角形， PC的中点O为三棱锥PABC外接球的球心，由已知求得2 2PC ，则三棱锥外接球的半径2R ，它的外接球的表面积为 22 44( 2)8R 故选：A 11 （5 分）如图，已知双曲线 22 22 1(0) xy ba ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，过右焦点作平行于一条渐近线的直线交双曲线于点A，若 12 A

24、FF的内切圆半径为 4 b ，则双曲线的离心率为( ) 第 13 页（共 22 页） A 2 3 3 B 5 4 C 5 3 D 3 2 2 【解答】解：设双曲线的左、右焦点分别为 1( ,0)Fc， 2( ,0) F c，设双曲线的一条渐近线方程为 b yx a ，可得直线 2 AF的方程为() b yxc a ，联立双曲线 22 22 1(0) xy ba ab ，可得 22 ( 2 ca A c ， 22 () 2 b ac ac ，设 1 |AFm， 2 |AFn，由三角形的面积的等积法可得 22 11() (2 )2 2 422 bb ca mncc ac ，化简可得

25、2 4 42 c mnac a 由双曲线的定义可得2mna 在三角形 12 AFF中 22 () sin 2 b ca n ac ，(为直线 2 AF的倾斜角），由tan b a ， 22 sincos1，可得 22 sin bb c ab ，可得 22 2 ca n a ，由化简可得 22 3250caca，即为(35 )()0ca ca，可得35ca，则 5 3 c e a 故选：C 12（5 分）数列 n a满足 1 11( 1)n nn aan ，且 6 01a 记数列 n a的前n项和为 n S，则当 n S取最大值时n为( ) 第 14 页（共 22 页） A11

26、 B12 C11 或 13 D12 或 13 【解答】解：设 1 at，由 1 11( 1)n nn aan ，可得 2 9at， 3 1at ， 4 6at， 5 2at， 6 3at， 7 3at， 8 at ， 6 01a可得031t ，可得23t ，则数列 n a的奇数项为首项为t，公差为 1 的等差数列；偶数项为首项为9t，公差为3的等差数列，且每隔两项的和为 9，7，5，3，1，1，为递减，可得 10 95753 125S ， 1111 2530Sat， 12 25124S ， 1313 2424630Satt ， 14 24321S，则当 n S取最大值时11n 或

27、13 故选：C 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）曲线ylnx过点(0, 1)的切线方程为 10xy 【解答】解：设切点为 0 (x， 0) lnx，由ylnx，得 1 y x ， 0 0 1 |x xy x ，则过切点的切线方程为 00 0 1 ()ylnxxx x ，把(0, 1)代入，得 0 11lnx ，得 0 1x ，则切点为(1,0)，曲线ylnx过点(0, 1)的切线方程为1 1 (0)yx ，即10xy 故答案为：10xy 14 （5 分）已知AB为圆O的弦，若| 2AB ，则OA

29、. xxxt f x xt x a 剟（1）若1t ，且( )f x值域为 1，3)，则实数a的取值范围为 1，3 （2）若存在实数a，使( )f x值域为 1，1，则实数t的取值范围为【解答】解：（1）若1t 可得 2 ( )2f xxx在 1，1)递增，可得( ) 1f x ，3)，若1 x a剟则( )1 |1|f xx 递减，可得( )1 |1|f xa ，1，1a，第 16 页（共 22 页）由题意可得1 |1|1a，解得13a剟；（2）由已知得1t ，函数 2 ( )2f xxx在 1，) t上为增函数，故其值域为 1， 2 2 )tt；若存在实数a使( )f

30、x的值域是 1，1，可得 2 21tt，解得121t ；由1 |1|yx 在1x 时，1y ；可得1 1 |1| 1t剟，解得13t 剟，则t的范围是( 1，21 故答案为：1，3，( 1，21 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第 17 题第题第 21 题为必考题，考生都必须作答，第题为必考题，考生都必须作答，第 22、 23 题为选考题，考生根据要求作答（一）题为选考题，考生根据要求作答（一）必做题：必做题：60 分分 17 （12 分）在ABC中

31、， 3 ABC ，点D在边AB上，2BD （1）若BCD的面积为2 3，求CD；（2）若 5 cos 5 BCA， 3 10 cos 10 DCA，求CD 【解答】解：（1） 1 sin 2 BCD SBD BCB ， 4BC，在BCD中，由余弦定理可得 222 2cosCDBCBDBC BDB， 2 3CD ，（2）)BCDBCADCA， sinsincoscossinBCDBCADCABCADCA， 5 cos 5 BCA， 3 10 cos 10 DCA， 2 5 sin 5 BCA， 10 sin 10 DCA， 2 sin 2 BCD，第 17 页（共 22 页）在BCD

32、中，由正弦定理可得 sinsin CDBD BBCD ， sin 6 sin BDB CD BCD 18 （12 分）在如图三棱锥ABCD中，BDCD，E，F分别为棱BC，CD上的点，且 / /BD平面AEF，AE 平面BCD （1）求证：平面AEF 平面ACD；（2）若2BDCDAD，E为BC的中点，求直线AF与平面ABD所成角的正弦值【解答】解：（1）证明：因为/ /BD面AEF，面BCD面AEFEF，BD 面BCD，所以/ /BDEF，因为BDCD，所以CDEF 又因为AE 面BCD，CD 面BCD，所以CDAE，而EFAEE，所以CD 面AEF，又CD 面ACD，所以面A

33、EF 面ACD （2）解：设直线AF与平面ABD所成交的余弦值为连接DE，在BCD中，2BDCD，BEEC，BDCD，所以DEBC，且2 2BC ，2DE ，又因为AE 面BCD，DE 面BCD，BC 面BCD，所以AEDE，AEBC在Rt ADE中，2DE ，2AD ，所以2AE 如图，以点E为坐标原点，分别以EC，ED，EA为x，y，z轴建立空间直角坐标系， (0,0, 2)A，(2,0,0)B ，(0, 2,0)D，( 2,0,0)C，因为/ /BDEF，E为BC的中点，所以F为CD的中点，即 22 (,0) 22 F，设平面ABD的法向量( , , )mx y z，( 2,

34、0, 2)BA ，( 2, 2,0)BD ，第 18 页（共 22 页）由 mBA mBD ，即 ( , , ) ( 2,0, 2)0 ( , , ) ( 2, 2,0)0 m BAx y z mBDx y z ，整理得 0 0 xz xy ，令1z ，得1x ，1y ，则(1, 1, 1)m 因为 22 (,2) 22 AF ，所以 2 sin 3| m AF mAF ，故直线AF与平面ABD所成角的正弦值为 2 3 19 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy ab ab 的左、右顶点分别为C、D，且过点( 2,1)， P是椭圆上异于C、D的任意一点，直线PC，PD的斜

35、率之积为 1 2 （1）求椭圆的方程；（2）O为坐标原点，设直线CP交定直线xm于点M，当m为何值时，OP OM为定值【解答】解：（1）椭圆过点( 2,1)， 22 21 1 ab ，又因为直线PC，PD的斜率之积为 1 2 ，可求得 2 2 1 2 b a ，联立得2,2ab 所求的椭圆方程为 22 1 42 xy （2）方法 1：由（1）知，C为( 2,0) 由题意可设:(2)CMyk x，令xm，得(M m，(2)k m又设 1 (P x， 1) y 由 22 1 42 (2) xy yk x 整理得： 2222 (12)8840kxk xk 第 19 页（共 22 页） 2

36、 1 2 84 2 12 k x k ， 2 1 2 24 12 k x k ， 11 2 4 (2) 12 k yk x k ，所以 2 22 244 (,) 1212 kk P kk ， 2 22 2222 4(2) 24428 2 (2) 12121212 m k kkmk OP OMmk m kkkk ，要使OP OM与k无关，只须1 2 m ，此时OP OM恒等于 4 2m 方法 2：：设 0 (P x， 0) y，则 0 0 :(2) 2 y CMyx x ，令xm，得 0 0 (2) ( ,) 2 y m M m x ， 2 00 000 00 (2)(2) (,) ( ,

37、) 22 y mym OP OMxymmx xx 由 22 00 1 42 xy 有 2 2000 0 (2)(2) 2(1) 42 xxx y ，所以 00 0 (2)(2)(2)24 22 mxmxm OP OMmx ，要使OP OM与 0 x无关，只须1 2 m ，此时4OP OM 2m 20 （12 分）某工厂生产某种产品，为了控制质量，质量控制工程师要在产品出厂前对产品进行检验现有 * (n nN且2)n份产品，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验n次；（2）混合检验，将这n份产品混合在一起作为一组来检验若检测通过，则这n份产品全部为正品，因而这n份产品只要检

38、验一次就够了；若检测不通过，为了明确这n份产品究竟哪几份是次品，就要对这n份产品逐份检验，此时这n份产品的检验次数总共为1n 次假设在接受检验的样本中，每份样本的检验结果是正品还是次品都是独立的，且每份样本是次品的概率为(01)pp （1）如果4n ，采用逐份检验方式进行检验，求检测结果恰有两份次品的概率；（2）现对n份产品进行检验，运用统计概率相关知识回答：当n和p满足什么关系时，用混合检验方式进行检验可以减少检验次数？（3）当 * 2 (nk kN且2)k时，将这n份产品均分为两组，每组采用混合检验方式进行检验，求检验总次数的数学期望；当(nmk k， * mN，且2k，2)

39、m时，将这n份产品均分为m组，每组采用混合检验第 20 页（共 22 页）方式进行检验，写出检验总次数的数学期望（不需证明）【解答】解：（1）如果4n ，采用逐份检验方式，设检测结果恰有两份次品的概率为 22222 4 (1)6(1)C pppp，检测结果恰有两份次品的概率 22 6(1)pp （2）记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为 1 ，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为 2 ，由已知得 1 En， 2 的所有可能取值为 1， 2 1(1)(1)knPp ， 2 (1)1(1)nPnp ， 2 (1)(1)1(1) 1(1) nnn Epnpnnp 要减少检验次数

40、，则 12 EE，则1(1)nnnnp (1)1 n np， 1 (1)np n ，即 1 1 1( )np n ，（3）两组采用混合检验的检验次数分别为 1 ， 2 ，则由（2）知 1 1，1k ， 2 1，1k ， 12 ( )()1(1)kEEkkp ， 12 1212 ( )()( )()222 (1)kEEEEkkp 设这m组采用混合检验的检验次数分别为 1 ， 2 ， m ， 1 1，1k ， 2 1，1k ，，1 m ，1k ，且检验总次数 12m ， (1)(1) ,1,2, k i Ppim，(1)1(1) ,1,2, k i Pkpim ， ( )1(1) ,1

41、,2, k i Ekkpim ， 121 ( )()( )()(1)(1)k kk EEEEm kmkp，所以检验总次数的数学期望(1)(1)km kmkp 21 （12 分）已知函数 12 ( )(1)1 x f xexxx ， 1 ( )(2)(3) (3) x g xx ex lnx 证明：（1）存在唯一 0 (0,1)x ，使 0 ()0f x；（2）存在唯一 1 (1,2)x ，使 1 ( )0g x，且对（1）中的 0 x，有 01 2xx 【解答】证明：（1）当(0,1)x时， 121 ( )(2)1(2)(1)10 xx fxexxex x ，第 21 页（共 22

42、页）函数( )f x在(0,1)上为增函数又(0)10fe ，f（1）30，所以存在唯一 0 (0,1)x ，使 0 ()0f x；（2）当(1,2)x时， 1 ( )(2)(3) (3) x g xx ex lnx ，令2tx，2xt，(1,2)x，(0,1)t， 1 (2)(1) (1) t gttetln t ，(0,1)t，记函数 1 (2) ( )(1) 11 t gtte h tln t tt ，(0,1)t，则 12 22 (1)1( ) ( ) (1)(1) t etttf t h t tt ，由（1）得，当 0 (0,)tx时，( )0f t ，( )0h

43、 t，当 0 (tx，1)时，( )0f t ，( )0h t，故在 0 (0,)x上( )h t是增函数，又(0)0h，从而可知当(0t， 0 x时，( )0h t ，所以( )h t在 (0， 0 x上无零点在 0 (x，1)上( )h t为减函数，由 0 ()0h x，h（1） 1 2 ln 20，故存在唯一 10 (tx，1)，使 1 ( )0h t，因此存在唯一的 11 2(1,2)xt，使 111 ( )(2)( )0g xgth t 因为当(0,1)t时，10t ，故 (2) ( ) 1 gt h t t 与(2)gt有相同的零点，所以存在唯一的 1 (1,2)x ，使 1 ( )0g x，因为 11 2xt， 10 tx，所以 01 2xx （二）选考题：（二）选考题：10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做第一题题中任选一题作答如果多做，则按所做第一题计分计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系xOy中，直线 1 C的参数

展开阅读全文