2020年辽宁省大连市高考数学双基试卷（理科）.docx下载_163文库

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1、第 1 页（共 21 页） 2020 年辽宁省大连市高考数学双基试卷（理科）年辽宁省大连市高考数学双基试卷（理科）一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.其中试题其中试题 1-11 中每小题给出的四中每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；试题个选项中，只有一项是符合题目要求的；试题 12 为多选题，有两个选项正确，只选一个且为多选题，有两个选项正确，只选一个且对得对得 2 分，有一个错选项得分，有一个错选项得 0 分）分） 1 （5 分）已知集合 2 |3100Ax xx， |22 x Bx，则(AB )

2、A( 2,1) B( 5,1) C D0 2 （5 分）在复平面内，与复数1zi 的共轭复数对应的点位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3 （5 分）命题“xR ， 2 4 0x ”的否定是( ) AxR ， 2 4 0x BxR ， 2 40x CxR ， 2 4 0x DxR ， 2 40x 4 （5 分）为了解某商品销售量y（件)与销售价格x（元/件）的关系，统计了( , )x y的 10 组值，并画成散点图如图，则其回归方程可能是( ) A10198yx B10198yx C10198yx D10198yx 5 （5 分）已知二面角l 的大小为60，b和c是两条

3、异面直线，且b，c，则b与c所成的角的大小为( ) A120 B90 C60 D30 6 （5 分）下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间( 2 ，)上为减函数的是( ) Acosyx B2|sin |yx Ccos 2 x y Dtanyx 7 （5 分） “剑桥学派”创始人之一数学家哈代说过： “数学家的造型，同画家和诗人一样，也应当是美丽的” ；古希腊数学家毕达哥拉斯创造的 “黄金分割” 给我们的生活处处带来美；我国古代数学家赵爽创造了优美“弦图” “弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方第 2 页（共 21 页）形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为 1，大正方形

4、的面积为 25，直角三角形中较小的锐角为，则sin2等于( ) A 3 5 B 4 5 C 7 25 D 24 25 8 （5 分）已知直线l过抛物线 2 :8C yx的焦点，并交抛物线C于A、B两点，| 16AB ，则弦AB中点M的横坐标是( ) A3 B4 C6 D8 9 （5 分）一件刚出土的珍贵文物要在博物馆大厅中央展出，需要设计各面是玻璃平面的无底正四棱柱将其罩住，罩内充满保护文物的无色气体已知文物近似于塔形，高 1.8 米，体积 0.5 立方米，其底部是直径为 0.9 米的圆形，要求文物底部与琉璃罩底边至少间隔 0.3 米，文物顶部与玻璃罩上底面至少间隔 0.2 米，

5、气体每立方米 1000 元，则气体费用最少为( )元 A4500 B4000 C2880 D2380 10 （5 分）设 1 F， 2 F是双曲线C， 22 22 1(0,0) xy ab ab 的两个焦点，P是双曲线C上一点，若 12 | 6PFPFa，且 12 FPF为120，则双曲线C的离心率为( ) A 31 2 B 51 2 C5 D7 11 （5 分）在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志是“连续 10 日，每天新增疑似病例不超过 7 人” ，过去 10 日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下：甲地：总体平均数为 3

6、，中位数为 4；第 3 页（共 21 页）乙地：总体平均数为 1，总体方差大于 0；丙地：总体平均数为 2，总体方差为 3；丁地：中位数为 2，众数为 3；则甲、乙、丙、丁四地中，一定没有发生大规模群体感染的是( ) A甲地 B乙地 C丙地 D丁地 12 （5 分）若点 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 212 )()yxx是函数 1,1 ( ) ,1 x ex f x lnx x 的图象上任意两点，且函数( )f x在点A和点B处的切线互相垂直，则下列结论正确的是( ) A 1 0x B 1 01x C 2 1 x x 最小值为e D 12 x x最大值为e 二、填空题

7、（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，将答案填在答题纸上，分，将答案填在答题纸上，16 题第一空题第一空 2 分，第二空分，第二空 3 分）分） 13 （5 分）已知向量a，b的夹角为 4 ，|2a ，| 2b ，则a b 14 （5 分）已知定义在R上的奇函数( ) xx f xeae，则a的值为 15 （5 分）我国南宋数学家秦九韶撰写的名著数书九章第五卷提出了“三斜求积术” ，即已加三角形三边长，求三角形面积的公式设三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S，可由公式()()()Sp pa pb pc求得，其中p为三角形周长

8、的一半，这个公式也被称为“海伦秦九韶”公式，现有一个三角形的边长满足4c ，6p ，则三角形面积的最大值为 16 （5 分）在ABC中，若sin(sincos)sin0ABBC，则角A的值为，当 sin 22 sin 2BC取得最大值时，tan22tan2BC的值为三、解答题：（本大题共三、解答题：（本大题共 5 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17（12 分）已知四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，且60ABC，PAPCAB，过侧面PAD中线AE的一个平面与直线PD垂直，并与此四棱锥的面相

9、交，交线围成一个平面图形（1）画出这个平面图形，并证明PD 平面；（2）若PBPD，求平面与平面PAB所成的锐二面角的余弦值第 4 页（共 21 页） 18 （12 分）已知数列 n a满足： n a n 是公比为 2 的等比数列， 2 n n a 是公差为 1 的等差数列（1）求 1 a， 2 a的值；（2）试求数列 n a的前n项和 n S 19 （12 分）某校辨论队计划在周六、周日各参加一场辨论赛，分别由正、副队长负责，已知该校辩论队共有 10 位成员（包含正、副队长），每场比赛除负责人外均另需 3 位队员（同一队员可同时参加两天的比赛，正、副队长只能参加一场比赛）

10、假设正副队长分别将各自比赛通知的信息独立、随机地发给辩论队 8 名队员中的 3 位，且所发信息都能收到（1）求辩论队员甲收到队长或副队长所发比赛通知信息的概率；（2）记辩论队收到正副队长所发比赛通知信息的队员人数为随机变量X，求X的分布列及其数学期望 20 （12 分）已知函数( )f xlnx （1）试判断函数( )( ) 1 ax g xf x x 的单调性；（2）若函数 1 ( )( )(1)(0)h xfxf xax a 在(0,)上有且仅有一个零点，求证：此零点是( )h x的极值点；求证： 1 2 21 32 eae （本题可能会用到的数据：1.65e ，20.

11、7ln ，31.1)ln 21 （12 分）已知离心率为 1 2 的椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 的左顶点为A，且椭圆E经过 3 (1, ) 2 P，与坐标轴不垂直的直线l与椭圆E交于C，D两点（1）求椭圆E的标准方程；（2）若直线AC和直线AD的斜率之积为 9 4 ，求证：直线l过定点；（3）若B为椭圆E上一点，且0OCODOB，求三角形BCD的面积请考生在请考生在 22，23 二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑铅笔在答题卡上把所

12、选题目对应的标号涂黑.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为 2 sin4cos，经过点(2,0)M，倾斜角为的直线l与第 5 页（共 21 页）曲线C交于A，B两点（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；（2）求 22 11 |MAMB 的值选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知a，bR， 33 16ab （1）求证：4ab；（2）求证：4ab 第 6 页（共 21 页） 2020 年辽宁省大连市高考数学双基试卷（理科）年辽宁省大

13、连市高考数学双基试卷（理科）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.其中试题其中试题 1-11 中每小题给出的四中每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；试题个选项中，只有一项是符合题目要求的；试题 12 为多选题，有两个选项正确，只选一个且为多选题，有两个选项正确，只选一个且对得对得 2 分，有一个错选项得分，有一个错选项得 0 分）分） 1 （5 分）已知集合 2 |3100Ax xx， |22 x Bx，则(AB ) A( 2,1) B( 5,1) C D0 【解答】

14、解：集合 2 |3100 | 25Ax xxxx ， |22 |1 x Bxx x， | 21( 2,1)ABxx 故选：A 2 （5 分）在复平面内，与复数1zi 的共轭复数对应的点位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【解答】解：1zi ，则所对应的点在第二象限，故选：B 3 （5 分）命题“xR ， 2 4 0x ”的否定是( ) AxR ， 2 4 0x BxR ， 2 40x CxR ， 2 4 0x DxR ， 2 40x 【解答】解：命题“xR ， 2 4 0x ”的否定是 “xR ， 2 40x ” 故选：D 4 （5 分）为了解某商品销售量y（件)与销

15、售价格x（元/件）的关系，统计了( , )x y的 10 组值，并画成散点图如图，则其回归方程可能是( ) 第 7 页（共 21 页） A10198yx B10198yx C10198yx D10198yx 【解答】解：根据图象可知，线性回归系数为负，回归截距为正，故B满足题意故选：B 5 （5 分）已知二面角l 的大小为60，b和c是两条异面直线，且b，c，则b与c所成的角的大小为( ) A120 B90 C60 D30 【解答】解：二面角l 的大小为60，b和c是两条异面直线，且b，c， b与c所成的角的大小为60 故选：C 6 （5 分）下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间( 2

16、，)上为减函数的是( ) Acosyx B2|sin |yx Ccos 2 x y Dtanyx 【解答】解：由于cosyx的周期为2，故排除A；由于2|sin|yx以为最小正周期，且在区间( 2 ，)上为减函数，故满足条件；由于cos 2 x y 的周期为 2 4 1 2 ，故排除C；由于tanyx区间( 2 ，)上为增函数，故排除D，故选：B 7 （5 分） “剑桥学派”创始人之一数学家哈代说过： “数学家的造型，同画家和诗人一样，也应当是美丽的” ；古希腊数学家毕达哥拉斯创造的 “黄金分割” 给我们的生活处处带来美；我国古代数学家赵爽创造了优美“弦图” “弦图”是由四个全

17、等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为 1，大正方形的面积为 25，直角三角形中较小的锐角为，则sin2等于( ) 第 8 页（共 21 页） A 3 5 B 4 5 C 7 25 D 24 25 【解答】解：设直角三角形的边长为a，1a ，则 22 (1)25aa，0a 解得3a 3 sin 5 ， 4 cos 5 4324 sin22 5525 故选：D 8 （5 分）已知直线l过抛物线 2 :8C yx的焦点，并交抛物线C于A、B两点，| 16AB ，则弦AB中点M的横坐标是( ) A3 B4 C6 D8 【解答】解：抛物线 2 8yx的焦点为(2,

18、0)F，设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 0 (M x， 0) y，过A，B，M作准线的垂直，垂足分别为 1 A， 1 B 及 1 M， 111212 |16 22 pp AABBxxxxp， 12 12xx，弦AB中点M的横坐标是 6 故选：C 第 9 页（共 21 页） 9 （5 分）一件刚出土的珍贵文物要在博物馆大厅中央展出，需要设计各面是玻璃平面的无底正四棱柱将其罩住，罩内充满保护文物的无色气体已知文物近似于塔形，高 1.8 米，体积 0.5 立方米，其底部是直径为 0.9 米的圆形，要求文物底部与琉璃罩底边至少间隔 0.3 米，文物顶部与玻璃罩

19、上底面至少间隔 0.2 米，气体每立方米 1000 元，则气体费用最少为( )元 A4500 B4000 C2880 D2380 【解答】解：由题意可知，文物底部是直径为 0.9 米的圆形，文物底部与琉璃罩底边至少间隔 0.3 米，所以由正方形与圆的位置关系可知，底面正方形的边长为0.920.31.5m，又因为文物高1.8m，文物顶部与玻璃罩上底面至少间隔 0.2 米，所以正四棱柱的高为1.80.22m，则正四棱柱的体积为 23 1.524.5Vm，又因为文物体积为 3 0.5m，所以罩内空气的体积为 3 4.50.54m，因为气体每立方米 1000 元，所以共需费用为4 10

21、选：D 11 （5 分）在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志是“连续 10 日，每天新增疑似病例不超过 7 人” ，过去 10 日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下：甲地：总体平均数为 3，中位数为 4；乙地：总体平均数为 1，总体方差大于 0；丙地：总体平均数为 2，总体方差为 3；丁地：中位数为 2，众数为 3；则甲、乙、丙、丁四地中，一定没有发生大规模群体感染的是( ) A甲地 B乙地 C丙地 D丁地【解答】解：平均数和中位数不能限制某一天的病例超过 7 人，不是A地，当总体方差大于 0，不知道总体方差的具

22、体数值，因此不能确定数据的波动大小，不是B地；当总体平均数是 2，若有一个数据超过 7，则方差就接近 3，是C地中位数和众数也不能限制某一天的病例超过 7 人，不是D地；故选：C 12 （5 分）若点 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 212 )()yxx是函数 1,1 ( ) ,1 x ex f x lnx x 的图象上任意两点，且函数( )f x在点A和点B处的切线互相垂直，则下列结论正确的是( ) 第 11 页（共 21 页） A 1 0x B 1 01x C 2 1 x x 最小值为e D 12 x x最大值为e 【解答】解：由导数的几何意义知，点A处的切线的斜率

23、为 1 ()fx，点B处的切线的斜率为 2 ()fx，函数( )f x的图象在点A，B处的切线互相垂直时，有 12 ()()1fxfx ，由(1) xx ee ， 1 ()lnx x ，可得 _1 2 1 1 x e x ，即 _1 2 x xe，由 2 1x ，可得 1 01x，故A，B都错；由 1 2 11 x xe xx ，设( )(01) x e g xx x ，可得 2 (1) ( ) x ex g x x ，在(0x，1，( ) 0g x，可得( )g x在(0，1递减，可得( )g x有最小值g（1）e，故C正确； _1 211 x x xx e，设( )(01) x

24、 h xxex ，可得( )(1)0 x h xxe，即( )h x在(0，1递增，可得 ( )h x有最大值e，故D正确故选：CD 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，将答案填在答题纸上，分，将答案填在答题纸上，16 题第一空题第一空 2 分，第二空分，第二空 3 分）分） 13 （5 分）已知向量a，b的夹角为 4 ，|2a ，| 2b ，则a b 2 【解答】解：因为向量a，b的夹角为 4 ，|2a ，| 2b ，第 12 页（共 21 页） 22cos2 4 a b ；故答案为：2 14 （5 分）已知定义在R上的

25、奇函数( ) xx f xeae，则a的值为 1 【解答】解：函数( )f x是定义在R上的奇函数，(0)0f， 00 (0)10feaea ，解得1a 故答案为：1 15 （5 分）我国南宋数学家秦九韶撰写的名著数书九章第五卷提出了“三斜求积术” ，即已加三角形三边长，求三角形面积的公式设三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S，可由公式()()()Sp pa pb pc求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为“海伦秦九韶”公式，现有一个三角形的边长满足4c ，6p ，则三角形面积的最大值为 4 3 【解答】解：4c ，6p ， 4 6 2 ab ，8ab 6

26、6 6(6)(6)22 3 (6)(6) 2 34 3 2 ab Sabab ，当且仅当4ab 时取等号故答案为：4 3 16 （5 分）在ABC中，若sin(sincos)sin0ABBC，则角A的值为 4 ，当 sin 22sin 2BC取得最大值时，tan22tan2BC的值为【解答】解：由sin (sincos )sin0ABBC， sinsinsincossin()0ABABAB sinsinsincossincoscossin0ABABABAB sin (sincos )0BAA 因为(0, )B，所以sin0B ，从而cossinAA 由(0, )A，知 4 A 3 4 C

27、ABB ，第 13 页（共 21 页）由诱导公式，可得 33 sin22sin2sin22sin2()sin22sin(2 ) 42 BCBBBB sin22cos25sin(2)BBB，tan2，当2 2 B 时取得最大值，此时2 2 B ， tan(2)2 2 B ， sin(2) 2 tan(2)2 2 cos(2) 2 B B B ，即 cos2 2 sin2 B B ，同取倒数可得： 1 tan2 2 B， 1 tan2 2 B ，可得 331 tan2tan2()tan(2 )2 42tan2 CBB B ， 19 tan22tan22( 2) 22 BC 故答案为： 4

28、， 9 2 三、解答题：（本大题共三、解答题：（本大题共 5 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17（12 分）已知四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，且60ABC，PAPCAB，过侧面PAD中线AE的一个平面与直线PD垂直，并与此四棱锥的面相交，交线围成一个平面图形（1）画出这个平面图形，并证明PD 平面；（2）若PBPD，求平面与平面PAB所成的锐二面角的余弦值【解答】解：（1）连接AC，CE，ACE即为所求， ABCD是菱形，ADAB，又PAAB，ADPA， E为PD中点，AEPD，

29、同理CEPD，又AECEE，AE，CE，PD；（2）第 14 页（共 21 页）连接BD，交AC于O，连接PO， ABCD是菱形，ACBD，且O为AC，BD中点， PAPC，ACPO，同理BDPO，又ACBDO，AC，BD 平面ABCD， PO面ABCD，以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，设2PAPCAB，60ABC，2,2 3ACBD，各点坐标为 (0, 1,0), ( 3,0,0),(3,0,0), (0,0, 3)( 3,0, 3),( 3,1,0),(0,1, 3)ABDPDPABAP PD，平面的一个法向量为( 3,0, 3)D

30、P ，设平面PAB的一个法向量为( , , )nx y z，则 0 0 n AB n AP ，即 30 30 xy yz ，设1x ，则3,1yz ，(1,3,1)n ，设平面与平面PAB所成的锐二面角大小为，则 2 310 cos|cos,| | 5|65 n DP n DP nDP ，综上平面与平面PAB所成的锐二面角余弦值为 10 5 18 （12 分）已知数列 n a满足： n a n 是公比为 2 的等比数列， 2 n n a 是公差为 1 的等差数列（1）求 1 a， 2 a的值；（2）试求数列 n a的前n项和 n S 【解答】解：（1）方法一： n a n 是

31、公比为 2 的等比数列， 21 2 21 aa ， 21 4aa，又 2 n n a 是公差为 1 的等差数列， 21 21 1 22 aa ，第 15 页（共 21 页）解得 1 2 2 8 a a ；方法二： n a n 构成公比为 2 的等比数列， 1 1 2 n n a n a n ， 1 (1) 2 nn n aa n 又 2 n n a 构成公差为 1 的等差数列， 1 1 1 22 nn nn aa 由解得：2n n an，所以 1 2 2 8 a a ；（2） 11 22 1 nnn aa n ，2n n an，方法一： 123 123 1 22 23 22n n

32、n Saaaan， 2341 21 22 23 22n n Sn ，两式作差可得： 23111 2(12 ) 222222(1) 22 12 n nnnn n Snnn ， 1 (1) 22 n n Sn ；方法二： 1 2(22) 2(24) 2() nnn n annnnN ，设 1 (24) 2n n bn ，则 1nnn abb ， 122132111 ()()()(22) 22 n nnnnn Saaabbbbbbbbn 1 (1) 22 n n Sn 19 （12 分）某校辨论队计划在周六、周日各参加一场辨论赛，分别由正、副队长负责，已知该校辩论队共有 10 位成员（包含正

33、、副队长），每场比赛除负责人外均另需 3 位队员（同一队员可同时参加两天的比赛，正、副队长只能参加一场比赛）假设正副队长分别将各自比赛通知的信息独立、随机地发给辩论队 8 名队员中的 3 位，且所发信息都能收到（1）求辩论队员甲收到队长或副队长所发比赛通知信息的概率；（2）记辩论队收到正副队长所发比赛通知信息的队员人数为随机变量X，求X的分布列及其数学期望第 16 页（共 21 页）【解答】解：（1）设事件A表示：辩论队员甲收到队长的通知信息，则 3 ( ) 8 P A ， 5 ( ) 8 P A ，设事件B表示：辩论队员甲收到副队长的通知信息，则 35 ( ),

34、 ( ) 88 P BP B，设事件C表示辩论队员甲收到队长或副队长的通知信息，则 2 539 ( )1( ) ( )1( ) 864 P CP A P B ，所以辩论队员甲收到队长或副队长的通知信息的概率为 39 64 ；（2）由题意可得随机变量X可取值为 3，4，5，6，则 3211 8865 3535 8888 115 (3), (4) 5656 CC C C P XP X C CC C ， 122 875 35 88 15 (5) 28 C C C P X C C ， 35 85 35 88 5 (6) 28 C C P X C C ，所以随机变量X的分布列为： X 3 4

35、 5 6 P 1 56 15 56 15 28 5 28 其数学期望 11515539 ()3456 565628288 E X 20 （12 分）已知函数( )f xlnx （1）试判断函数( )( ) 1 ax g xf x x 的单调性；（2）若函数 1 ( )( )(1)(0)h xfxf xax a 在(0,)上有且仅有一个零点，求证：此零点是( )h x的极值点；求证： 1 2 21 32 eae （本题可能会用到的数据：1.65e ，20.7ln ，31.1)ln 【解答】解：（1） 2 222 1 2 1(2)1 ( ) (1)(1)(1) xa axax x g x

36、xxx xx ， 0x ， 1 2 22xaa x ，4a时，( ) 0g x恒成立，第 17 页（共 21 页）所以( )g x在(0,)单调递增，没有单调递减区间4a 时，设 2 ( )(2)1m xxax，则对称轴 0 2 0 2 a x ， 2 40aa，解不等式( )0m x 可得： 2 (2)4 2 aaa x ，或 2 (2)4 2 aaa x ，所以此时( )g x的单调递增区间为 2 (2)4 (0,) 2 aaa 和 2 (2)4 (,) 2 aaa 单调递减区间是 22 (2)4(2)4 (,) 22 aaaaaa ，综上：4a时，单调递增区间是(0,)，没有

37、单调递减区间：4a 时，单调递增区间为 2 (2)4 (0,) 2 aaa 和 2 (2)4 (,) 2 aaa ，单调递减区间是 22 (2)4(2)4 (,) 22 aaaaaa ；（2）证明： 1 ( )( )(1)(1) x h xfxf xaxeln xax ， 1 ( ) 1 x h xea x 在(0,)单调递增，又因为(0)0ha ， (1) 1(1) ( (1)0 (1)1(1)1 ln a ln a h ln aea ln aln a 0 (0x，(1)ln a，使得 0 ()0h x，且 0 ( 0 , )xx时，( )0h x， 0 (xx，)时，( )0h

38、x， ( )h x在 0 (0,)x单调递减， 0 (x，)单调递增， ( )h x在(0,)上有且仅有一个零点，此零点为极小值点 0 x；由得 0 0 ()0 ()0 h x h x ，即 0 0 0 00 1 0 1 (1)0 x x ea x eln xax ，解得： 0 0 1 1 x ae x ，且 0 0 00 0 (1)(1)0 1 x x xeln x x ，设( )(1)(1) 1 x x u xx eln x x ，(0x，(1)ln a ， 22 111 ( )() 1(1)(1) xx u xx ex e xxx ，第 18 页（共 21 页）则( )u x

39、在(0x，(1)ln a单调递减，因为 1131 ( )3 2223 ueln， 1 (1)20 2 uln ， 0 1 ( ,1) 2 x ，又因为 1 ( ) 1 x v xe x 在 1 ( ,1) 2 单调递增， 1 2 12 ( ) 23 ve， 1 (1) 2 ve， 1 2 21 32 eae 21 （12 分）已知离心率为 1 2 的椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 的左顶点为A，且椭圆E经过 3 (1, ) 2 P，与坐标轴不垂直的直线l与椭圆E交于C，D两点（1）求椭圆E的标准方程；（2）若直线AC和直线AD的斜率之积为 9 4 ，求证：直线l过定点

40、；（3）若B为椭圆E上一点，且0OCODOB，求三角形BCD的面积【解答】解：（1） 1 2 c a ，2 ,3ac bc， 22 22 1 43 xy cc ，又椭圆E经过点 3 (1, ) 2 ， 1c ，椭圆E的标准方程为 22 1 43 xy ；（2）证明：方法一：设直线l的方程为ykxm，设 1 (C x， 1) y， 2 (D x， 2) y，联立方程组 22 1 43 xy ykxm ，化简得 222 (43)84120kxkmxm，由0解得 22 34km，且 12 2 8 43 km xx k ， 2 12 2 412 43 m x x k ， 1212 1212

41、 9 22224 ACAD yykxm kxm kk xxxx ， 22 1212 (49)(418)()4360kx xkmxxm， 2 22 22 4128 (49)(418)4360 4343 mkm kkmm kk ，化简可得： 22 230kkmm，km或2km（舍)，满足0，直线l的方程为ykxk，直线l经过定点( 1,0) 方法二：设l的方程为xmyn，设 1 (C x， 1) y， 2 (D x， 2) y，第 19 页（共 21 页）联立方程组 22 1 43 xy xmyn ，化简得 222 (34)63120mymnyn， 0解得： 22 34mn，且 12

42、 2 6 34 mn yy m ， 2 12 2 312 34 n y y m ， 1212 1212 9 22(2)(2)4 ACAD yyy y kk xxmynmyn ， 22 1212 (94)9 (2)()9(2)0my ym nyyn， 2 22 22 3126 (94)9 (2)9(2)0 3434 nmn mm nn mm ，化简可得： 2 320nn，1n 或者2n （舍)满足0 直线l经过定点( 1,0)；方法三：设 2xx yy ，则有 22 (2)() 1 43 xy ， 22 ( )() 0 43 xy x ，设l方程为1mxny， 22 ( )() ()0 4

43、3 xy x mxny ， 2 1 0 34 k nkm， 12 1 9 4 1 4 3 m k k ，1m， :1l xny，21xny ，1xny ，直线l经过定点( 1,0)；（3）方法一：设直线l的方程为ykxm，设 1 (C x， 1) y， 2 (D x， 2) y，联立方程组 22 1 43 xy ykxm ，化简得 222 (43)84120kxkmxm，由 22 48(43)0km，且 12 2 8 43 km xx k ， 2 12 2 412 43 m x x k ， 0OCODOB，点 12 (Bxx， 12) yy，又点B在椭圆E上， 22 1212 ()() 1 43 xxyy ， 2222 11221212 22 1 434343 xyxyx xy y ， 1212 1 432 x xy y ， 22 22 121

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