1、 第 1 页（共 20 页） 2020 年山西省晋城市高考数学一模试卷（理科）年山西省晋城市高考数学一模试卷（理科） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知集合 |1Ax lnx， | 12Bxx ，则(AB ) A(0, ) e B( 1,2) C( 1, ) e D(0,2) 2 （5 分）已知复数 2 3 z i ，则复数z的共轭复数(z ) A 31 22 i B 13 22 i C 31 22
2、 i D 13 22 i 3 （5 分）已知tan3，则 2 cossin2( ) A 7 2 10 B 7 10 C 7 2 10 D 7 10 4 （5 分）设x，y满足约束条件 2 0 22 0 22 0 xy xy xy ，则3zxy的最小值为( ) A0 B4 C8 D6 5 （5 分）甲、乙两人近五次某项测试成绩的得分情况如图所示，则( ) A甲得分的平均数比乙的大 B乙的成绩更稳定 C甲得分的中位数比乙的大 D甲的成绩更稳定 6 （5 分）已知( )f x是定义在R上的奇函数，当0x 时，( )f xalnxa，若()4fe， 则(0)ff（1）( ) A1 B0 C2 D1 7
3、 （5 分）函数 | cos ( ) sin ln xx f x xx 在，0)(0，的图象大致为( ) 第 2 页（共 20 页） A B C D 8 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的长为( ) A4 B2 3 C2 2 D2 5 9 （5 分）已知P是抛物线 2 :2(0)C ypx p上的一点，F是抛物线C的焦点，O为坐标 原点，若| 2PF ， 3 PFO ，则抛物线C的方程为( ) A 2 6yx B 2 2yx C 2 yx D 2 4yx 10 （5 分）如图，在长方体 1111 ABCDABC D中，8AB ，6AD ，异面直线BD与 1 AC所 成角的
4、余弦值为 1 5 ，则该长方体外接球的表面积为( ) A98 B196 C784 D1372 3 11 （5 分）双曲线 22 1(0)mxnymn的渐近线于圆 22 (5)9xy相切，且该双曲线过 点 3 5 (2,) 2 P，则该双曲线的虚轴长为( ) A3 B4 C6 D8 12 （5 分）在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，ABC的面积为S， 第 3 页（共 20 页） 若 22 2 sin() S AC bc ，则 1 tan 2tan() C BC 的最小值为( ) A2 B2 C1 D2 2 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 分，满分分，满分 20 分，将答案
5、填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13 （5 分）已知向量(1,)am， 22 (,) 22 b ，若ab，则m 14 （5 分） 7 1 (2)x x 的二项展开式中，x项的系数是 （用数字作答） 15 （5 分）若函数( )sincosf xxax图象的一条对称轴方程为 3 x ，则a 16 （5 分）若 111 20lnxxy， 22 242 20xyln，则 22 1212 ()()xxyy的最小值 为 ，此时 2 x 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，题为必考题，
6、每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. 17 （12 分）已知等差数列 n a的前n项和为 n S，且 2 2 n Snknk （1）求 n a的通项公式； （2）若 1 1 n nn b a a ，求数列 n b的前n项和 n T 18 （12 分） “绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念已经深入人心，这将推动新能 源汽车产业的迅速发展 下表是近几年我国某地区新能源乘用车的年销售量与年份的统计表： 年份 2014 2015 2016 2017 2018 销量（万台） 8 10 13 25 24 某机构调查
7、了该地区 30 位购车车主的性别与购车种类情况，得到的部分数据如下表所示： 购置传统燃油车 购置新能源车 总计 男性车主 6 24 女性车主 2 总计 30 （1）求新能源乘用车的销量y关于年份x的线性相关系数r，并判断y与x是否线性相关； （2）请将上述22列联表补充完整，并判断是否有90%的把握认为购车车主是否购置新能 源乘用车与性别有关； 第 4 页（共 20 页） （3） 若以这 30 名购车车主中购置新能源乘用车的车主性别比例作为该地区购置新能源乘用 车的车主性别比例，从该地区购置新能源乘用车的车主中随机选取 50 人，记选到女性车主 的人数为X，求X的数学期望与方差 参 考 公 式
8、 ： 1 22 11 ()() ()() n ii i nn ii ii xxyy r xxyy ， 2 2 () ()()()() n adbc k ab cd ac bd ， 其 中 . 63525nabcd，若0.9r ，则可判断y与x线性相关 附表： 2 0 ()P Kk 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001 0 k 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 19 （12 分）如图，在直四棱柱 1111 ABCDABC D中，底面ABCD为梯形，/ /ABCD， 60BAD，1CD ，2AD ，4AB ，点G在线段AB上，3AGGB， 1 1AA
9、（1）证明： 1 / /DG平面 11 BBC C （2）求二面角 11 ADGA的余弦值 20 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的半焦距为c，圆 222 :O xyc与椭圆C有 且仅有两个公共点，直线2y 与椭圆C只有一个公共点 （1）求椭圆C的标准方程； （2）已知动直线l过椭圆C的左焦点F，且与椭圆C分别交于P，Q两点，试问：x轴上 第 5 页（共 20 页） 是否存在定点R，使得RP RQ为定值？若存在，求出该定值和点R的坐标；若不存在，请 说明理由 21 （12 分）已知函数( )f x的定义域为R且满足 2 ()( )fxf xx，当0x时，( )
10、fxx （1）判断( )f x在(，0上的单调性并加以证明； （2）若方程( )f xx有实数根 0 x，则称 0 x为函数( )f x的一个不动点，设正数 0 x为函数 ( )(1)1 xx g xxeaex的一个不动点，且 000 1 ()(1) 2 f xfxx，求a的取值范围 22 （10 分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 6sin ( 6cos x y 为参数） ，以坐标 原点O为极点， 以x轴正半轴为极轴， 建立极坐标系， 直线l的极坐标方程为cos()2 3 （1）求C的普通方程和l的直角坐标方程； （2）直线l与x轴的交点为P，经过点P的直线m与曲线C交于A，B两点
11、，若 | 4 3PAPB，求直线m的倾斜角 23已知函数( ) |31|33|f xxx （1）求不等式( ) 10f x 的解集； （2）正数a，b满足2ab，证明：( )f xab 第 6 页（共 20 页） 2020 年山西省晋城市高考数学一模试卷（理科）年山西省晋城市高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知集合 |1Ax lnx， |
12、 12Bxx ，则(AB ) A(0, ) e B( 1,2) C( 1, ) e D(0,2) 【解答】解： |0Axxe， | 12Bxx ， (0,2)AB 故选：D 2 （5 分）已知复数 2 3 z i ，则复数z的共轭复数(z ) A 31 22 i B 13 22 i C 31 22 i D 13 22 i 【解答】解：由 22( 3)31 223( 3)( 3) i zi iii ， 得 31 22 zi 故选：A 3 （5 分）已知tan3，则 2 cossin2( ) A 7 2 10 B 7 10 C 7 2 10 D 7 10 【解答】解：tan3， 2 2 2222
13、2sincos12tan1237 cossin2 11310 cos sincostan ， 故选：B 4 （5 分）设x，y满足约束条件 2 0 22 0 22 0 xy xy xy ，则3zxy的最小值为( ) A0 B4 C8 D6 【解答】解：由约束条件作出可行域如图， 第 7 页（共 20 页） 化目标函数3zxy为 11 33 yxz， 由图可知，当直线 11 33 yxz过(0,2)A时，z有最小值为6 故选：D 5 （5 分）甲、乙两人近五次某项测试成绩的得分情况如图所示，则( ) A甲得分的平均数比乙的大 B乙的成绩更稳定 C甲得分的中位数比乙的大 D甲的成绩更稳定 【解答】
14、解：由甲、乙两人近五次某项测试成绩的得分情况折线图，得： 在A中，甲的平均分 1 1 (1013121416)13 5 x ， 2 1 (1314121214)13 5 x ， 甲得分的平均数与乙的平均数相等，故A错误； 在B中，由甲、乙两人近五次某项测试成绩的得分情况折线图， 分析离散程度，得到乙的成绩更稳定，故B正确； 在C中，甲得分的中位数和乙得分的中位数都是 13，故C错误； 在D中，由甲、乙两人近五次某项测试成绩的得分情况折线图， 分析离散程度，得到甲的成绩更稳定，故D错误 故选：B 第 8 页（共 20 页） 6 （5 分）已知( )f x是定义在R上的奇函数，当0x 时，( )f
15、 xalnxa，若()4fe， 则(0)ff（1）( ) A1 B0 C2 D1 【解答】解：根据题意，( )f x是定义在R上的奇函数，则(0)0f， 若()4fe，则f（e）()4fe ， 又由当0x 时，( )f xalnxa，则f（e）24alneaa ，解可得2a ， 则f（1）2 122ln ， 故(0)ff（1）2 ； 故选：C 7 （5 分）函数 | cos ( ) sin ln xx f x xx 在，0)(0，的图象大致为( ) A B C D 【解答】解： | cos ()( ) sin ln xx fxf x xx ， 函数( )f x为奇函数， 又( 1)0,()0,
16、()0,( )0 23 ffff ， 选项D符合题意 故选：D 8 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的长为( ) A4 B2 3 C2 2 D2 5 【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为： 第 9 页（共 20 页） 如图所示： 最长的棱长为 22 222 2AB 故选：C 9 （5 分）已知P是抛物线 2 :2(0)C ypx p上的一点，F是抛物线C的焦点，O为坐标 原点，若| 2PF ， 3 PFO ，则抛物线C的方程为( ) A 2 6yx B 2 2yx C 2 yx D 2 4yx 【解答】解：如图所示：由抛物线的方程可得焦点( 2 p F，0)， 由
17、| 2PF 可得 1 |cos21 32 PF ，所以可得1 2 P p x ， 由抛物线的性质可得到焦点的距离等于到准线 的距离，所以2 2 P p x ，即12 22 pp ， 解得3p ， 所以抛物线的方程为： 2 6yx， 故选：A 10 （5 分）如图，在长方体 1111 ABCDABC D中，8AB ，6AD ，异面直线BD与 1 AC所 成角的余弦值为 1 5 ，则该长方体外接球的表面积为( ) 第 10 页（共 20 页） A98 B196 C784 D1372 3 【解答】解：由题意建立如图所示的空间直角坐标系，DA为x轴，DC为y轴 1 DD为z轴， D为坐标原点， 由题意
18、知(6A，0，0)，(6B，8，0)，(0D，0，0)， 设(0D，0，)a，则 1(0 C，8，)a， (6DB ，8，0)， 1 ( 6AC ，8，)a， 1 1 22 1 366414 cos, | | 101005 100 DB AC DB AC DBAC aa ， 由题意可得： 2 114 5 5 100a ，解得： 2 96a ， 由题意长方体的对角线等于外接球的直径， 设外接球的半径为R，则 2222 (2 )86196Ra， 所以该长方体的外接球的表面积 2 4196SR， 故选：B 11 （5 分）双曲线 22 1(0)mxnymn的渐近线于圆 22 (5)9xy相切，且该双
19、曲线过 点 3 5 (2,) 2 P，则该双曲线的虚轴长为( ) A3 B4 C6 D8 【解答】解：双曲线 22 1(0)mxnymn的一条渐近线|0m xn y 圆 22 :(5)9Exy的圆心(5,0)，半径3r 第 11 页（共 20 页） 渐近线与圆 22 :(5)9Exy相切， 5 | 3 | m mn ，即16| 9|mn， 该双曲线过点 3 5 (2,) 2 P， 45 41 4 n m， 解可得 1 9 n ， 1 16 m ， 双曲线 22 1 916 yx ，该双曲线的虚轴长为：8 故选：D 12 （5 分）在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，ABC的面积
20、为S， 若 22 2 sin() S AC bc ，则 1 tan 2tan() C BC 的最小值为( ) A2 B2 C1 D2 2 【解答】解：由 22 2 sin() S AC bc ，得 2222 2sin sin SacB B bcbc ， 所以 22 bcac，由 222 2cosbacacB，得2 cosacBc， 利用正弦定理sin2sincossinACBC， sincoscossin2sincossincoscossinsinBCBCCBBCBCC， 即sin()sinBCC， 锐角ABC中，tan()tanBCC， 111 tantan2 tan2 2tan()2tan
21、2tan CCC BCCC ，当且仅当 2 tan 2 C 时取等号 故选：A 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 分，满分分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13 （5 分）已知向量(1,)am， 22 (,) 22 b ，若ab，则m 1 【解答】解：根据题意，向量(1,)am， 22 (,) 22 b ， 若ab，则 22 0 22 a bm，解可得1m ； 故答案为：1 14 （5 分） 7 1 (2)x x 的二项展开式中，x项的系数是 560 （用数字作答） 第 12 页（共 20 页） 【解答】解： 7 1 (2)x x 的二项展开式的通项为 77
22、7 2 177 1 (2 )()( 1) 2 rrrrrrr r TCxCx x 由721r，得3r 7 1 (2)x x 的二项展开式中，x项的系数是 43 7 2560C 故答案为：560 15 （5 分）若函数( )sincosf xxax图象的一条对称轴方程为 3 x ，则a 3 3 【解答】解： 2 22 1 ( )1(sincos ) 11 a f xaxx aa ， 令 2 1 cos 1a ， 2 sin 1 a a ， 即tana， 则 2 ( )1sin()f xax， ( )f x的一条对称轴方程为 3 x ， 32 k ，即 6 k ， 则 3 tantan()tan(
23、) 663 ak ， 故答案为： 3 3 16 （5 分）若 111 20lnxxy， 22 242 20xyln，则 22 1212 ()()xxyy的最小值 为 4 5 ，此时 2 x 【解答】解：由 111 20lnxxy得 111 2ylnxx， 即点 1 (A x， 1) y在曲线2ylnxx上， 点 2 (B x， 2) y在直线242 20xyln上， 22 1212 ()()xxyy的几何意义表示为A，B两点距离的平方， 2ylnxx的导数 1 1y x ， 直线242 20xyln的斜率 1 2 k ， 由 11 1 2 y x 得 11 2x ，得2x ，此时2222yln
24、ln，即切点坐标为(2,2)ln， 即此时切点到直线的距离 |22 242 2|2 55 lnln d ，即 22 1212 ()()xxyy的最小值为 第 13 页（共 20 页） 2 4 5 d ， 过 切 点 与 直 线242 20xyln垂 直 的 直 线 方 程 设 为20xyc， 得 224cyxl n即224xyln， 由 2240 242 20 xyln xyln 得 12 5 x ，即 2 12 5 x ， 故答案为： 4 5 ，12 5 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题
25、为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. 17 （12 分）已知等差数列 n a的前n项和为 n S，且 2 2 n Snknk （1）求 n a的通项公式； （2）若 1 1 n nn b a a ，求数列 n b的前n项和 n T 【解答】解： （1）由题意，设等差数列 n a的公差为d，则 22 1 ()2 22 n dd Snannknk 故 1 2 2 2 0 d d ak k ，解得 1 2 4 0 a d k 数列 n a的通项公式为24(1)42 n ann （2）由（1）
26、知， 1 11111 () (42)(42)8 2121 n nn b a annnn 故 12nn Tbbb 111 11111 (1)()() 838 3582121nn 111111 (1) 83352121nn 11 (1) 821n 4(21) n n 第 14 页（共 20 页） 18 （12 分） “绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念已经深入人心，这将推动新能 源汽车产业的迅速发展 下表是近几年我国某地区新能源乘用车的年销售量与年份的统计表： 年份 2014 2015 2016 2017 2018 销量（万台） 8 10 13 25 24 某机构调查了该地区 30 位购车车
27、主的性别与购车种类情况，得到的部分数据如下表所示： 购置传统燃油车 购置新能源车 总计 男性车主 6 24 女性车主 2 总计 30 （1）求新能源乘用车的销量y关于年份x的线性相关系数r，并判断y与x是否线性相关； （2）请将上述22列联表补充完整，并判断是否有90%的把握认为购车车主是否购置新能 源乘用车与性别有关； （3） 若以这 30 名购车车主中购置新能源乘用车的车主性别比例作为该地区购置新能源乘用 车的车主性别比例，从该地区购置新能源乘用车的车主中随机选取 50 人，记选到女性车主 的人数为X，求X的数学期望与方差 参 考 公 式 ： 1 22 11 ()() ()() n ii
28、i nn ii ii xxyy r xxyy ， 2 2 () ()()()() n adbc k ab cd ac bd ， 其 中 . 63525nabcd，若0.9r ，则可判断y与x线性相关 附表： 2 0 ()P Kk 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001 0 k 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【解答】解： （1） 1 (20142015201620172018)2016 5 x ， 1 (810132524)16 5 y ， 5 1 ()()( 2)( 8)( 1)( 6)1 92 847 ii i xxyy ， 5 2 1 ()4
29、1 1410 i i xx ， 5 2 1 ()643698164254 i i yy ， 第 15 页（共 20 页） 5 1 55 22 11 ()() 47 0.940.9 10254 ()() ii i ii ii xxyy r xxyy ， y与x线性相关 （2）依题意，完善表格如下： 购置传统燃油车 购置新能源车 总计 男性车主 18 6 24 女性车主 2 4 6 总计 20 10 30 2 2 30(18426)15 3.752.706 20 102464 K ， 有90%的把握认为购车车主是否购置新能源乘用车与性别有关 （3）依题意，该地区购置新能源车的车主中女性车主的概率为
30、 42 105 ， 则 2 (50, ) 5 XB， 2 ()5020 5 E X， 22 ()50(1)12 55 D X 19 （12 分）如图，在直四棱柱 1111 ABCDABC D中，底面ABCD为梯形，/ /ABCD， 60BAD，1CD ，2AD ，4AB ，点G在线段AB上，3AGGB， 1 1AA （1）证明： 1 / /DG平面 11 BBC C （2）求二面角 11 ADGA的余弦值 第 16 页（共 20 页） 【解答】解： （1）证明：连接 1 C B，因为底面ABCD为梯形，/ /ABCD，44ABCD， 3AGGB， 则 11 / / /GBCDDC，且 11 1
31、GBDC， 所以四边形 11 GBC D为平行四边形，则 11 / /DGC B， 又 1 C B在平面 11 BBC C内， 1 DG不在平面 11 BBC C内， 所以 1 / /DG平面 11 BBC C （2） 作D HA B于H， 以D为坐标原点， 分别以DH，DC， 1 DD所在直线为x轴，y轴， z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则 11 (0,0,1),( 3, 1,1), ( 3, 1,0),( 3,2,0)DAAG， 111 ( 3, 1,0),( 3,2, 1),(0,3,0)D ADGAG， 设平面 11 ADG的法向量为( , , )mx y z，则 11 1 30
32、 320 m D Axy m DGxyz ，可取(1, 3,3 3)m ； 设平面 1 ADG的法向量为( , , )na b c，则 1 30 320 n AGb n DGabc ，可取(1,0, 3)n ， 5 31 cos, 31 m n， 又二面角 11 ADGA的平面角为锐角，故所求余弦值为 5 31 31 第 17 页（共 20 页） 20 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的半焦距为c，圆 222 :O xyc与椭圆C有 且仅有两个公共点，直线2y 与椭圆C只有一个公共点 （1）求椭圆C的标准方程； （2）已知动直线l过椭圆C的左焦点F，且与椭圆C
33、分别交于P，Q两点，试问：x轴上 是否存在定点R，使得RP RQ为定值？若存在，求出该定值和点R的坐标；若不存在，请 说明理由 【解答】解： （1）圆 222 :O xyc与椭圆C有且仅有两个公共点，则bc； 直线2y 与椭圆C只有一个公共点，2b ， 又 222 8abc； 所以椭圆的方程为： 22 1 84 xy ； （2）设 1 (P x， 1) y， 2 (Q x， 2) y，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：(2)yk x， 由 22 20, 1 84 kxyk xy 消去y得 2222 (21)88(1)0kxk xk， 得 2 12 2 8 21 k xx k ， 2 12
34、 2 8(1) 21 k x x k ， 假设x轴上存在定点( ,0)R t，使得RP RQ为定值，则 1 (RP RQxt， 12 ) (yxt， 2 2121212 )()yx xt xxy yt 2 121212 ()(2) (2)x xt xxk xk xt 2222 1212 (1)(2)()4kx xkt xxtk 22 2222 22 8(1)8 (1)(2)4 2121 kk kktkt kk 第 18 页（共 20 页） 2 2 2 2(24 )8 21 kt t k ， 要使RP RQ为定值，于是 248 11 t 5 2 t ， 5 (,0) 2 R ， 则 257 8
35、44 RP RQ ， 当直线l与x轴垂直时，把2x 代入2y ，于是( 2,2)P ，( 2,2)Q 故 5 ( 2 2 RP RQ ， 5 2) ( 2 2 ， 7 2) 4 为定值， 综上，在x轴上存在定点 5 (,0) 2 R ，使得RP RQ为定值 21 （12 分）已知函数( )f x的定义域为R且满足 2 ()( )fxf xx，当0x时，( )fxx （1）判断( )f x在(，0上的单调性并加以证明； （2）若方程( )f xx有实数根 0 x，则称 0 x为函数( )f x的一个不动点，设正数 0 x为函数 ( )(1)1 xx g xxeaex的一个不动点，且 000 1
36、()(1) 2 f xfxx，求a的取值范围 【解答】解： （1）令 2 1 ( )( ) 2 h xf xx，则( )( )h xfxx， 因为当0x时，( )fxx，即( )0h x，故( )h x在0，)上单调递减， 又 2 ()( )fxf xx，所以()( )0hxh x， 故( )h x为奇函数，根据奇函数的对称性可知，( )h x在(,0)上单调递减， 因为 2 1 2 yx在(，0上单调递减， 故 2 1 ( )( ) 2 f xh xx在(，0上单调递减， （2）由（1）可知，( )h x在R上单调递减， 由 000 1 ()(1) 2 f xfxx，可得 00 ()(1)h
37、 xhx， 第 19 页（共 20 页） 所以 00 1xx，即 0 1 2 x ， 因为正数 0 x为函数( )(1)1 xx g xxeaex的一个不动点， 所以( )g xx在(0， 1 2 ，上有解， 即(1)10 xx xeae 在(0， 1 2 上有解， 整理可得， 1(1)11 111 xx xxx xex exx ax eee ， 令 1 ( ) 1 x x m xx e ，则 2 (2) ( ) (1) xx x e ex m x e ， 设( )2 x t xex， 1 (0, 2 x， 则( )10 x t xe ，故( )t x在(0， 1 2 上单调递增，且 15 (
38、 )0 22 te，即( )0t x ， 所以( )0m x ，故( )m x在(0， 1 2 上单调递减， 132 ( )( ) 222 ee m xm e ， 故 32 22 ee a e 22 （10 分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 6sin ( 6cos x y 为参数） ，以坐标 原点O为极点， 以x轴正半轴为极轴， 建立极坐标系， 直线l的极坐标方程为cos()2 3 （1）求C的普通方程和l的直角坐标方程； （2）直线l与x轴的交点为P，经过点P的直线m与曲线C交于A，B两点，若 | 4 3PAPB，求直线m的倾斜角 【解答】解： （1）曲线C的参数方程为 6sin
39、 ( 6cos x y 为参数） ，转换为直角坐标方程为 22 6xy 直线l的极坐标方程为cos()2 3 整理得 13 cossin20 22 ，转换为直角坐 标方程为340xy （2）直线l与x轴的交点为P，所以(4,0)P， 所以 4cos ( sin xt t yt 为参数） ， 第 20 页（共 20 页） 把直线的参数方程代入圆的方程得到： 22 (4cos )( sin )6tt， 整理得 2 8cos100tt， 所以 12 8costt ， 所以| |8cos| 4 3PAPB， 解得 3 cos 2 或 3 cos 2 ， 所以 6 或 5 6 23已知函数( ) |31|33|f xxx （1）求不等式( ) 10f x 的解集； （2）正数a，b满足2ab，证明：( )f xab 【解答】解： （1） 1 62, 3 1 ( ) |31|33|4, 1 3 62,1 xx f xxxx xx 剟 ( ) 10f x ， 62 10 1 3 x x 或 62 10 1 x x ， 4 3 x或2x， 不等式的解集为 4 | 3 x x或2x （2）( ) |31|33|(31)(33)| 4f xxxxx 正数a，b满足2ab，( ) 2()f xab， 22 ( )22()()f xababab厖， 当且仅当1ab时等号成立， ( )f xab
