1、 第 1 页（共 17 页） 2020 年四川省绵阳市高考数学一诊试卷（理科）年四川省绵阳市高考数学一诊试卷（理科） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的合题目要求的 1 （5 分）已知 * |3AxNx， 2 |40Bx xx，则(AB ) A1，2，3 B1，2 C(0，3 D(3，4 2 （5 分）若0ba，则下列结论不正确的是( ) A 11 ab B 2 aba C| |abab D 33 ab 3 （5 分）下列函数中的定义域为R，且在R上单调递增
2、的是( ) A 2 ( )f xx B( )f xx C( )|f xln x D 2 ( ) x f xe 4 （5 分）等差数列 n a的前n项和为 n S，若 3 2a ， 3 3S ，则 6 (a ) A4 B5 C10 D15 5 （5 分）已知函数 2 ( ) 21 x x f x ，若()2fm，则( )(f m ) A2 B1 C0 D 1 2 6 （5 分）已知命题p：函数 2 sin ,(0, ) sin yx x x 的最小值为2 2；命题q：若向量a， b，满足a bb c，则ac下列正确的是( ) Apq Bpq Cpq Dpq 7 （5 分）若 0.6 1 ( )
3、3 a ， 0.8 3b ，3cln，则a，b，c的大小关系( ) Abca Bcab Ccba Dacb 8 （5 分）已知x，y满足线性约束条件 20 1 0 1 0 xy xy xy ，则2zxy的最小值为( ) A.4 B.2 C.1 D 1 3 9 （5 分）设函数( ) x f xaelnx（其中常数0)a 的图象在点(1，f（1）)处的切线为l， 则l在y轴上的截距为( ) A1 B2 C1ae D12ae 10 （5 分）某数学小组进行社会实践调查，了解某公司为了实现 1000 万元利率目标，准备 第 2 页（共 17 页） 制定激励销售人员的奖励方案：在销售利润超过 10 万
4、元时，按销售利润超过 10 万元时，按 销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加， 但奖金总数不超过 5 万元，同时奖金不超过利润的25%同学们利用函数知识，设计了如 下的函数模型，其中符合公司要求的是（参考数据： 1000 1.0027.37，70.845)(lg ) A0.25yx B1.002xy C 7 log1yx Dtan(1) 10 x y 11 （5 分）函数( )sin()(0) 6 f xx 在(,) 2 2 上单调递增，且图象关于x 对称， 则的值为( ) A 2 3 B 5 3 C2 D 8 3 12 （5 分）在ABC中，角A为
5、3 ，角A的平分线AD交BC于点D，已知2 3AD ，且 1 () 3 ABADACR，则AB在AD方向上的投影是( ) A1 B 3 2 C3 D 3 3 2 二、选择题：本大题共二、选择题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分共分共 20 分分 13（5 分） 已知函数( )f x的定义域为R， 且满足( )(2)f xf x， 当0x，2时，( ) x f xe， 则f（7） 14 （5 分）已知向量( 2,2)a ，向量b的模为 1，且|2 | 2ab，则a与b的夹角为 15 （5 分）2019 年 10 月 1 日，在庆祝新中国成立 70 周年阅兵中，由我国自主研制的军用
6、飞机和军用无人机等参阅航空装备分秒不差飞越天安门，状军威，振民心，令世人瞩目飞 行员高超的飞行技术离不开艰苦的训练和科学的数据分析 一次飞行训练中， 地面观测站观 测到一架参阅直升机以72 2千米/小时的速度在同一高度向正东飞行，如图，第一次观测 到该飞机在北偏西60的方向上，1 分钟后第二次观测到该飞机在北偏东75的方向上，仰 角为30，则直升机飞行的高度为 （结果保留根号） 第 3 页（共 17 页） 16（5 分） 若函数 2 1 ( )() 2 f xxm lnxxx有且仅有一个零点， 则实数m的取值范围 三、填空题：共三、填空题：共 70 分分 17 （12 分）已知函数 22 (
7、)(cossin )2sinf xxxx （1）求函数( )f x的最小正周期与单调递减区间； （2）若 0 ()1f x ，且 0 (,) 2 x ，求 0 x的值 18 （12 分）已知数列 n a满足 * 21 2, nnn aaanN ，且 1 1a ， 4 7a ，数列 n b的前n 项和 1 22 n n S （1）求数列 nn ab的通项公式； （2）设 2 2log n a nn cb，求数列 n c的前n项和 n T 19 （12 分）已知ABC中三个内角A，B，C满足2cossin()1BAC （1）求sin B； （2）若 2 CA ，b是角B的对边，3b ，求ABC的面
8、积 20 （12 分）已知函数 2 ( ) 2 lnx f x lnx （1）求函数( )f x在区间1，)上的值域； （2）若实数 1 x， 2 x均大于 1 且满足 12 1 ()() 2 f xf x，求 12 ()f x x的最小值 21 （12 分）已知函数 2 ( ) x f xeax，aR，(0,)x （1）若( )f x存在极小值，求实数a的取值范围； （2）若 2 0 2 e a ，求证：( )()f xax lnxx （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的题中任选一题作答如果多做，则按所做的 第一题
9、计分第一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22（10 分） 在平面直角坐标系xOy中， 曲线C的参数方程为 cos3sin,( sin3cos x y 为参数） ， 以坐标原点 0 为极点，x的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线l的极坐标 方程cos()3 6 （1）求曲线C的普通方程与极坐标方程； 第 4 页（共 17 页） （2）设射线: 3 OM 与曲线C交于点A，与直线l交于点B，求线段AB的长 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23设函数( ) |1| 5()f xxmxmR （1）当2m 时，求不等式( ) 0f x 的解集； （2）若
10、( )2f x，求实数m的取值范围 第 5 页（共 17 页） 2020 年四川省绵阳市高考数学一诊试卷（理科）年四川省绵阳市高考数学一诊试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的合题目要求的 1 （5 分）已知 * |3AxNx， 2 |40Bx xx，则(AB ) A1，2，3 B1，2 C(0，3 D(3，4 【解答】解：由题意得： * |31AxNx，2，3， 2 |40 |04Bx xxxx剟?， 所以1
11、AB ，2，3， 故选：A 2 （5 分）若0ba，则下列结论不正确的是( ) A 11 ab B 2 aba C| |abab D 33 ab 【解答】 解：0ba， 11 ab ， 2 aba， 由函数 3 yx在R上单调递增， 可得： 33 ba 设2a ，1b 时，| |abab与C矛盾 因此只有C错误 故选：C 3 （5 分）下列函数中的定义域为R，且在R上单调递增的是( ) A 2 ( )f xx B( )f xx C( )|f xln x D 2 ( ) x f xe 【解答】解：由( )f xx的定义域为0，)，不符合题意， C：函数的定义域0x ，不符合题意， 2 :A yx
12、在(，0单调递减，在0，)单调递增，不符合题意， 故选：D 4 （5 分）等差数列 n a的前n项和为 n S，若 3 2a ， 3 3S ，则 6 (a ) A4 B5 C10 D15 【解答】解：由题意得 31 31 22 3 2 33 2 aad Sad ， 解得 1 0a ，1d ， 第 6 页（共 17 页） 61 55aad 故选：B 5 （5 分）已知函数 2 ( ) 21 x x f x ，若()2fm，则( )(f m ) A2 B1 C0 D 1 2 【解答】解： 2 ( ) 21 x x f x ， 2212 ()( )1 21211221 xxx xxxx fxf x
13、， ()2fm，( )1f m 故选：B 6 （5 分）已知命题p：函数 2 sin ,(0, ) sin yx x x 的最小值为2 2；命题q：若向量a， b，满足a bb c，则ac下列正确的是( ) Apq Bpq Cpq Dpq 【解答】 解： 由题意得： 命题p： 函数 2 sin ,(0, ) sin yx x x ， 由基本不等式成立的条件， 2 2sin2 2 sin yx x ，知等号取不到，所以p命题是假的； 命题q：若向量a，b，满足a bb c，()0b ac，b，ac有可能是零向量或者 ()bac，所以q是错误的 pq ，pq，pq，是假命题，pq 为真命题； 故选
14、：D 7 （5 分）若 0.6 1 ( ) 3 a ， 0.8 3b ，3cln，则a，b，c的大小关系( ) Abca Bcab Ccba Dacb 【解答】解：由指数函数 1 ( ) 3 x y 在R上单调递减，又 0.6 1 ( ) 3 a ， 0.80.8 1 3( ) 3 b ， 1ab 3(1,2)cln cab 故选：B 第 7 页（共 17 页） 8 （5 分）已知x，y满足线性约束条件 20 1 0 1 0 xy xy xy ，则2zxy的最小值为( ) A.4 B.2 C.1 D 1 3 【解答】解：先根据x，y满足线性约束条件 20 1 0 1 0 xy xy xy 画出
15、可行域， 平移直线02xy，当直线2zxy过点(0,1)B时，z取最小值为 1 故选：C 9 （5 分）设函数( ) x f xaelnx（其中常数0)a 的图象在点(1，f（1）)处的切线为l， 则l在y轴上的截距为( ) A1 B2 C1ae D12ae 【解答】解：由( ) x f xaelnx，得 1 ( ) x fxae x ， f （1）1ae，又1x 时，f（1）ae， ( )f x在点(1，f（1）)处的切线方程为()(1)(1)yaeaex， 取0x ，得在y轴上截距(1)(0 1)1yaeae 故选：A 10 （5 分）某数学小组进行社会实践调查，了解某公司为了实现 100
16、0 万元利率目标，准备 制定激励销售人员的奖励方案：在销售利润超过 10 万元时，按销售利润超过 10 万元时，按 销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加， 但奖金总数不超过 5 万元，同时奖金不超过利润的25%同学们利用函数知识，设计了如 下的函数模型，其中符合公司要求的是（参考数据： 1000 1.0027.37，70.845)(lg ) 第 8 页（共 17 页） A0.25yx B1.002xy C 7 log1yx Dtan(1) 10 x y 【解答】解：由题意得：有两个条件奖金5y；奖金0.25yx且101000x剟 A选项，当20x时，5
17、y，不符合题意 B选项，当1000x 时， 1000 1.0027.37，也超出了 5，不符合题意 D选项，当1000x 时，tan(1)tan 10 x yy（2）是一个负数，不符合题意 故选：C 11 （5 分）函数( )sin()(0) 6 f xx 在(,) 2 2 上单调递增，且图象关于x 对称， 则的值为( ) A 2 3 B 5 3 C2 D 8 3 【解答】解：要使函数( )sin()(0) 6 f xwxw 的递增， 则22() 262 kxkkZ 剟，化简得： 222 () 33 kk xkZ 剟， 已知在(,) 2 2 单增，所以 2 2 32 ,0 3 32 又因为图象
18、关于x 对称，() 62 xkkZ ，所以 1 3 k ， 因为0，此时1k ，所以 2 3 ， 故选：A 12 （5 分）在ABC中，角A为 3 ，角A的平分线AD交BC于点D，已知2 3AD ，且 1 () 3 ABADACR，则AB在AD方向上的投影是( ) A1 B 3 2 C3 D 3 3 2 【解答】解：由 1 3 ABADAC可得： 1 3 ADABAC， B，C，D三点共线，故 1 1 3 ，即 2 3 21 33 ADABAC 以A为原点，以AB为x轴建立平面直角坐标系如图所示，则(3, 3)D， 设( ,0)B m，( , 3 )C nn， 第 9 页（共 17 页） 由
19、21 33 ADABAC得： 21 3 33 3 3 3 mn n ，解得3m ，3n 故(3,0)B， AB在AD上的投影为 3 3 |cos30 2 AB 故选：D 二、选择题：本大题共二、选择题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分共分共 20 分分 13（5 分） 已知函数( )f x的定义域为R， 且满足( )(2)f xf x， 当0x，2时，( ) x f xe， 则f（7） e 【解答】解：因为( )(2)f xf x，周期2T ， 当0x，2时，( ) x f xe， f（7）f（1）e 故答案为：e 14（5 分） 已知向量( 2,2)a ， 向量b的模为 1，
20、且|2 | 2ab， 则a与b的夹角为 4 【解答】解：由已知得：| 2 2a ，| 1b ，|2 | 2ab， 22 444aa bb， 设a与b的夹角为，0，22 2 1 cosa b， 2 cos 2 ， 4 ， 故答案为： 4 15 （5 分）2019 年 10 月 1 日，在庆祝新中国成立 70 周年阅兵中，由我国自主研制的军用 飞机和军用无人机等参阅航空装备分秒不差飞越天安门，状军威，振民心，令世人瞩目飞 行员高超的飞行技术离不开艰苦的训练和科学的数据分析 一次飞行训练中， 地面观测站观 测到一架参阅直升机以72 2千米/小时的速度在同一高度向正东飞行，如图，第一次观测 到该飞机在
21、北偏西60的方向上，1 分钟后第二次观测到该飞机在北偏东75的方向上，仰 第 10 页（共 17 页） 角为30，则直升机飞行的高度为 72 3 3 （结果保留根号） 【解答】解：如图由题上条件可得线AC平行于东西方向 ，60ABD，75CBD；72 2AC ； 135ABC；30BAC； 在ABC 中， sinsin BCAC BACABC 1 72 2 72 2 2 72 sin30sin1352 2 BC BC 如图 1 DC 平面ABC，在直角 1 BD C中， 1 tan D 1 1 tan DCh BChBCD BCBC 72 3 72tan30 3 BC 故答案为： 72 3 3
22、 16 （5 分）若函数 2 1 ( )() 2 f xxm lnxxx有且仅有一个零点，则实数m的取值范围 第 11 页（共 17 页） 1 | 2 m m 或0m 【解答】解：令( )u xxlnx，0x ；则 1 ( ) x u x x ，01x时，( )0u x；1x 时， ( )0u x； 于是( )u xxlnx在(0,1)上递减，在(1,)上递增；最小值为u（1）10 ， (0,)x ，0xlnx； 由( )0f x ，即 2 1 ()0 2 xm lnxxx，解得： 2 1 2 xx m xlnx ； 设 2 1 2 ( ) xx g x xlnx ，ym； 由于函数 2 1
23、( )() 2 f xxm lnxxx有且仅有一个零点； 所以直线ym与函数( )g x有且只有一个交点； 由 2 1 (1)(22) 2 ( ) () xxlnx g x xlnx ，此时不能完全判断导函数值的正负； 再令( )22h xxlnx， 得 2 ( ) x h x x ，当(0,2)x时，( )0h x；当(2,)x时，( )0h x； 于是，( )h x在(0,2)上递减，(2,)上递增 那么( )h xh（2）2(22)0ln 由此，( )g x的正负只同1x 有关， 由此得( )g x在(0,1)上递减，在(1,)上递增，且( )g x的极小值为g（1） 1 2 ； 又0x
24、 时，( )0g x ；x 时，( )g x ； ( )g x图象大值如图所示， 结合( )g x的图象，得0m或 1 2 m 故答案为： 1 | 2 m m 或0m 第 12 页（共 17 页） 三、填空题：共三、填空题：共 70 分分 17 （12 分）已知函数 22 ( )(cossin )2sinf xxxx （1）求函数( )f x的最小正周期与单调递减区间； （2）若 0 ()1f x ，且 0 (,) 2 x ，求 0 x的值 【解答】解： （1）函数 22 ( )(cossin )2sinf xxxx 1cos2 12sin cos2 2 x xx cos2sin2xx 2co
25、s(2) 4 x ， 所以函数( )f x的最小正周期为 2 2 T ， 又函数cosyx的单调减区间为2k，2k，kZ； 令222 4 kxk 剟，kZ； 解得 3 88 kx k 剟，kZ； 所以( )f x的单调递减区间为 8 k ， 3 8 k ，kZ； （2）若 0 ()1f x ，则 0 2cos(2)1 4 x ， 即 0 2 cos(2) 42 x ， 再由 0 (,) 2 x ，可得 0 7 2( 44 x ， 3 ) 4 ； 所以 0 5 2 44 x ，解得 0 3 4 x 18 （12 分）已知数列 n a满足 * 21 2, nnn aaanN ，且 1 1a ， 4
26、 7a ，数列 n b的前n 项和 1 22 n n S 第 13 页（共 17 页） （1）求数列 nn ab的通项公式； （2）设 2 2log n a nn cb，求数列 n c的前n项和 n T 【解答】解： （1）数列 n a满足 * 21 2, nnn aaanN ， 可得 211nnnn aaaa ，即 n a为等差数列， 1 1a ， 4 7a ，可得公差 41 2 41 aa d ， 则12(1)21 n ann ； 数列 n b的前n项和 1 22 n n S ， 可得 11 422bS； 2n时， 1 1 22222 nnn nnn bSS ， 则2n n b ，*nN；
27、 （2） 21 2 2log2 n an nn cbn ， 则前n项和 21 (282)(12) n n Tn 2 2(14 )121 (1)(41)() 14232 n n n nnn 19 （12 分）已知ABC中三个内角A，B，C满足2cossin()1BAC （1）求sin B； （2）若 2 CA ，b是角B的对边，3b ，求ABC的面积 【解答】解： （1）2cossin()1BACsin()sinACB， 2cossin1BB，又 22 sincos1BB， 化为： 2 3sin2sin10BB ，1sin0B 联立解得 1 sin 3 B （2） 2 CA ， 又A B C ，
28、 可得：2 2 AB ，C为钝角sin2cosAB 又3b ， 3 3 3 1 sinsin 3 ac AC ， 3 3sinaA，3 3sincC， 第 14 页（共 17 页） B为锐角， 2 2 cos 3 B ABC的面积 111999992232 sin33sin33sinsinsin()sincossin2cos 22322244432 SacBACAAAAAB ABC的面积S为 3 2 2 20 （12 分）已知函数 2 ( ) 2 lnx f x lnx （1）求函数( )f x在区间1，)上的值域； （2）若实数 1 x， 2 x均大于 1 且满足 12 1 ()() 2 f
29、 xf x，求 12 ()f x x的最小值 【解答】解： （1）由题意得 244 ( )1 22 lnx f x lnxlnx ， 由1x，知0lnx，于是2 2lnx ， 11 0 22lnx ，即 4 20 2lnx ， 4 1 11 2lnx ， ( )f x的值域为 1，1) （2） 12 12 441 ( )()11 222 f xf x lnxlnx ， 所以 12 443 222lnxlnx ， 又 1 1x ， 2 1x ， 121212 224lnx xlnxlnxlnxlnx 12 12 244 (2)(2) ()4 322 lnxlnx lnxlnx ， 21 12 4
30、(2)4(2)28 4 322 lnxlnx lnxlnx 220 (82 16)4 33 ， 当且仅当 21 12 4(2)4(2) 22 lnxlnx lnxlnx ，即 12 xx时，取“” ， 故 20 3 12 ()minx xe， ( )f x在(1,)上是增函数， 12 7 () 13 min f x x 第 15 页（共 17 页） 21 （12 分）已知函数 2 ( ) x f xeax，aR，(0,)x （1）若( )f x存在极小值，求实数a的取值范围； （2）若 2 0 2 e a ，求证：( )()f xax lnxx 【解答】解： （1） ：()2(2) x x e
31、 f xea x xa x ， 令( ) x e H x x ， 则 (1) ( ) x xe H x x ， 当01x时，( )0H x，( )H x单调递减，且0x 时，( )H x ， 当1x 时，( )0H x，( )H x单调递增，且x 时，( )H x ， ( )minH xH（1）e， 当2a e即 1 2 ae时，( ) 0fx，( )f x在(0,)上单调递增，没有极值， 当 1 2 ae时，存在 12 01xx ，使得 12 ()()0fxfx， 当 1 (0,)xx， 2 (x，)时，( )0fx，( )f x单调递增， 当 1 (xx， 2) x时，( )0fx，( )
32、f x单调递减， 2 x是( )f x的极小值，综上可得， 1 2 ae （2）要证( )()f xax lnxx，即证 x eaxlnx， 当01x 时，1 x e ，0axlnx，显然成立， 当1x 时，0xlnx ，结合已知 2 1 0 2 ae 可得， 2 1 0 2 axlnxe xlnx， 于是问题转化为 2 1 2 x ee lnx， 即证 2 2 0 x e lnx x ， 令 2 2 ( ) x e g xlnx x ， 则 2 2 2(1) ( ) x exx g x x ， 令 2 ( )2(1) x h xexx ， 则 2 ( )21 x h xxe ，且在(0,)上
33、单调递增， 第 16 页（共 17 页） 2 (1)10h e ，h（2）30， 存在 0 (1,2)x 使得 0 ()0h x，即 0 2 0 21 x x e ， ( )h x在 0 (1,)x上单调递减，在 0 (x，)上单调递增， 又h（1）10 ，h（2）0， 故当(1,2)x时，( )0g x，( )g x单调递减，当(2,)x时，( )0g x，( )g x单调递增， ( )g xg（2）120ln ， 故( )0g x ，得证 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的题中任选一题作答如果多做，则按所做的
34、第一题计分第一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22（10 分） 在平面直角坐标系xOy中， 曲线C的参数方程为 cos3sin,( sin3cos x y 为参数） ， 以坐标原点 0 为极点，x的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线l的极坐标 方程cos()3 6 （1）求曲线C的普通方程与极坐标方程； （2）设射线: 3 OM 与曲线C交于点A，与直线l交于点B，求线段AB的长 【解答】解： （1）由 cos3sin sin3cos x y ，两边平方作和得， 2222 (cos3sin)(sin3cos)4xy， 曲线C的普通方程为 22 4xy 2
35、22 xy， 2 4，则2； （2）把 3 代入cos()3 6 ，可得cos()3 36 ， 解得2 3 即B点的极径为2 3 B 由（1）得2 A ， | | 2 32 AB AB 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 第 17 页（共 17 页） 23设函数( ) |1| 5()f xxmxmR （1）当2m 时，求不等式( ) 0f x 的解集； （2）若( )2f x，求实数m的取值范围 【解答】解： （1）当2m 时，( ) |2|1| 5f xxx， 当1x，( )(2)(1)5 0f xxx ，解得2x； 当12x ，( )(2)1 5 0f xxx ，无解； 当2x时，( )21 5 0f xxx ，解得3x； 综上，不等式的解集为(，23，) （2）由( ) |1| 5 |()(1)| 5 |1| 52f xxmxxmxm 厖， 所以|1|3m， 即2m或者4m
