1、 第 1 页（共 15 页） 2020 年四川省资阳市高考数学一诊试卷（理科）年四川省资阳市高考数学一诊试卷（理科） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的合题目要求的 1 （5 分）已知集合 1M ，0，1，2，3， 2 |20Nx xx，则(MN ) A 1，0，1，2 B 1，0，1 C0，1，2 D0，1 2 （5 分）复数 2 ( 12 i i ) Ai Bi C43i D43i 3 （5 分）已知向量( 1,2)a ，( , 1)bm，若()abR，
2、则(m ) A2 B 1 2 C 1 2 D2 4 （5 分）已知等差数列 n a的前n项和为 n S，若 246 6aaa，则 7 (S ) A7 B14 C21 D42 5 （5 分）已知a、b都是实数，那么“0ab”是“ 11 ab ”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 6 （5 分）执行如图所示的程序框图，则输出的(n ) A3 B4 C5 D6 7 （5 分）已知 1.20.6 8 2 ,3, 3 abcln，则( ) Abac Babc Cbca Dacb 8 （5 分）函数 3 ( ) 1 x x f x e 的图象大致是( ) 第
3、2 页（共 15 页） A B C D 9 （5 分）已知角的顶点在坐标原点O，始边与x的非负半轴重合，将的终边按顺时针 方向旋转 4 后经过点(3,4)，则sin2( ) A 12 25 B 7 25 C 7 25 D 24 25 10 （5 分）若函数( )sin(2)(0)f xx 的图象关于点(,0) 3 对称，则的最小值为( ) A 12 B 6 C 3 D 5 12 11 （5 分）已知| | 2ab，2a b ，若| 1cab，则|c的取值范围( ) A 1 3 , 2 2 B 1 5 , 2 2 C2，3 D1，3 12 （5 分）定义在R上的可导函数( )f x满足(2)(
4、)22fxf xx，记( )f x的导函数为 ( )fx，当1x时恒有( )1fx若( )(12 ) 31f mfmm，则m的取值范围是( ) A(，1 B 1 (,1 3 C 1，) D 1 1, 3 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）求值： 334 log 15log 4 log 5 14 （5 分）已知x，y满足 0, 4, 21. x xy xy 若2xy的最小值为 15 （5 分）已知等比数列 n a的前n项和为 n S若 3 7S ， 6 63S 则 9 S 16 （5 分）已知当x且tan2时，函数( )sin ( cossi
5、n )f xx axx取得最大值，则a的 值为 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 40 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 第 3 页（共 15 页） 17 （12 分）已知函数( )sin(2)cos(2) 63 f xxx （1）求( )f x在0，上的零点； （2）求( )f x在, 44 上的取值范围 18 （12 分）已知等差数列 n a的前n项和为 n S， 1 1a ，且 2 (1) nn San （1）求 n a； （2）求数列 2 n n a 的前n项和 n S 19（12 分） 在锐角ABC中，
6、 内角A，B，C所对的边为a，b，c， 已知sinsin() 3 bAaB （1）求角B的大小； （2）求 c a 的取值范围？ 20 （12 分）已知函数 2 ( )221f xaxx，且函数(1)f x为偶函数 （1）求( )f x的解析式； （2）若方程( ) x m f x e 有三个不同的实数根，求实数m的取值范围 21 （12 分） 已知函数 2 ( )(1)1f xalnxa xbx在点(1，f（1）)处的切线与y轴垂直 （1）若1a ，求( )f x的单调区间； （2）若0xe，( ) 0f x 成立，求a的取值范围 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22
7、（10 分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 2 , 2 ( 2 1 2 xt t yt 为参数） ，以原 点O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 2 2 4 1sin （1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程； （2）设(0, 1)P，直线l与C的交点为M，N，线段MN的中点为Q，求|OPOQ 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知a，b，cR，且1abc （1）求abc的最大值； 第 4 页（共 15 页） （2）证明： 111 (1)(1)(1) 8 abc 第 5 页（共 15 页） 2020 年四川省资阳市高考数学一诊试卷（理科）年
8、四川省资阳市高考数学一诊试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的合题目要求的 1 （5 分）已知集合 1M ，0，1，2，3， 2 |20Nx xx，则(MN ) A 1，0，1，2 B 1，0，1 C0，1，2 D0，1 【解答】解：集合 1M ，0，1，2，3， 2 |20 |02Nx xxxx剟?， 0MN，1，2， 故选：C 2 （5 分）复数 2 ( 12 i i ) Ai Bi C43i D43i 【
9、解答】解：复数 2(2)(12 )5 12(12 )(12 )5 iiii i iii ， 故选：A 3 （5 分）已知向量( 1,2)a ，( , 1)bm，若()abR，则(m ) A2 B 1 2 C 1 2 D2 【解答】解：向量( 1,2)a ，( , 1)bm， 若()abR，则/ /ab， 即( 1)( 1)20m ， 解得 1 2 m 故选：C 4 （5 分）已知等差数列 n a的前n项和为 n S，若 246 6aaa，则 7 (S ) A7 B14 C21 D42 【解答】解：等差数列 n a的前n项和为 n S， 246 6aaa， 2464 36aaaa，解得 4 2a
10、 ， 7174 7 ()714 2 Saaa 故选：B 第 6 页（共 15 页） 5 （5 分）已知a、b都是实数，那么“0ab”是“ 11 ab ”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：若 11 ab ，则 11 0 ba abab ， 若0ab，则 11 ab 成立， 当0a ，0b 时，满足 11 ab ，但0ab不成立， 故“0ab”是“ 11 ab ”的充分不必要条件， 故选：A 6 （5 分）执行如图所示的程序框图，则输出的(n ) A3 B4 C5 D6 【解答】解：0n ，1n ， 2 218nn ，继续循环； 2n ，
11、 2 208nn，继续循环； 3n ， 2 238nn，继续循环； 4n ， 2 288nn，继续循环； 5n ， 2 2158nn，跳出循环； 此时5n ， 故选：C 7 （5 分）已知 1.20.6 8 2 ,3, 3 abcln，则( ) Abac Babc Cbca Dacb 【解答】解：由题意得： 1.2 2(2,4)a ， 0.6 3( 3,3)b ， 8 1 3 clnlne 第 7 页（共 15 页） 1.2 0.61,2 332， abc， 故选：B 8 （5 分）函数 3 ( ) 1 x x f x e 的图象大致是( ) A B C D 【解答】解：由 3 ( ) 1 x
12、 x f x e ，可知当x 时，( )f x ，排除A，C； 当x 时，由指数爆炸可知 3x ex，则 3 ( )0 1 x x f x e ，排除B 故选：D 9 （5 分）已知角的顶点在坐标原点O，始边与x的非负半轴重合，将的终边按顺时针 方向旋转 4 后经过点(3,4)，则sin2( ) A 12 25 B 7 25 C 7 25 D 24 25 【解答】解：由题意， 4 sin() 45 ， sin2cos(2 )cos2() 24 ， 222 47 12()12()12( ) 44525 sinsin 故选：B 10 （5 分）若函数( )sin(2)(0)f xx 的图象关于点(
13、,0) 3 对称，则的最小值为( ) A 12 B 6 C 3 D 5 12 【解答】解：由题意可得，2xk，kZ 第 8 页（共 15 页） 2 3 k ， 2 3 k ， 当1k 时， 1 3 ， 故选：C 11 （5 分）已知| | 2ab，2a b ，若| 1cab，则|c的取值范围( ) A 1 3 , 2 2 B 1 5 , 2 2 C2，3 D1，3 【解答】解：已知| | 2ab，2a b ，若| 1 |()|cabcabcab ， | 1 |cab 又 222 |()242 ( 2)42ababaa bb，|3c 再根据| 1 |()|cabcababc ，可得| 121 1
14、cab ， 故有1 |3c剟， 故选：D 12 （5 分）定义在R上的可导函数( )f x满足(2)( )22fxf xx，记( )f x的导函数为 ( )fx，当1x时恒有( )1fx若( )(12 ) 31f mfmm，则m的取值范围是( ) A(，1 B 1 (,1 3 C 1，) D 1 1, 3 【解答】解：由条件得：函数( )(12 ) 31( )(12 )(12 )f mfmmf mm fmm 厖， 所以构造函数( )( )F xf xx，( )(12 ) 31( )(12 )f mfmmF mFm 厖 由于(2)( )22fxf xx； 所以(2)(2)( )fxxf xx，
15、即(2)( )FxF x， 所以( )F x的对称轴为1x ； 又( )( )1F xfx， 当1x时恒有( )1fx 所以，1x，)，( )0F x，( )F x是增函数； (x ，1，( )0F x，( )F x是减函数 |1|121|mm，解得： 2 321 0mm ， 第 9 页（共 15 页） 1m ， 1 3 故选：D 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）求值： 334 log 15log 4 log 5 1 【解答】解： 3343 45 log 15log 4 log 5log 15 34 lglg lglg ， 33 log
16、15log 5， 3 15 1 5 log 故答案为：1 14 （5 分）已知x，y满足 0, 4, 21. x xy xy 若2xy的最小值为 5 【解答】解：画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示， 易求得(3,1)A，(0,4)B， 2zxy，则 11 22 yxz ， 当直线 11 22 yxz 过点(3,1)A时z取到最小值， 所以2zxy的最小值是32 15 ， 故答案为：5 15 （5 分）已知等比数列 n a的前n项和为 n S若 3 7S ， 6 63S 则 9 S 511 【解答】解：等比数列 n a的前n项和为 n S 3 7S ， 6 63S 由等比数列的性质得
17、 3 S， 63 SS， 96 SS成等比数列， 即 7，56， 9 63S ， 第 10 页（共 15 页） 2 9 567(63)S， 解得 9 511S 故答案为：511 16 （5 分）已知当x且tan2时，函数( )sin ( cossin )f xx axx取得最大值，则a的 值为 4 3 【解答】解：由 2 ( )sin ( cossin )sin cossinf xx axxaxxx， 11cos2 sin2 22 x ax ， 111 sin2cos2 222 axx， 2 11 sin(2) 42 a x ， 其中 1 tan a ， 2 cos 1 a a ， 2 1 s
18、in 1a ， 由tan2， 4 sin2 5 ， 3 cos2 5 ， 当x时取得最大值，则有sin(2)1， sin(2 )coscos(2 )sin1， 22 431 1 55 11 a aa ， 带入以上所求化简： 2 924160aa， 解可得， 4 3 a 故答案为： 4 3 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 40 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17 （12 分）已知函数( )sin(2)cos(2) 63 f xxx （1）求( )f x在0，上的零点； （2）求( )f x在, 44 上的取值
19、范围 【解答】解： （1）函数( )sin(2)cos(2) 63 f xxx 3113 sin2cos2cos2sin2 2222 xxxx 3sin2cos2xx 第 11 页（共 15 页） 2sin(2) 6 x ， 令( )0f x ，即sin(2)0 6 x ， 则2 6 xk ，kZ，解得 1 212 xk ，kZ， 由于0x，令1k ，得 5 12 x ； 令2k ，得 11 12 x ； 所以( )f x在0，上的零点为 5 12 ，11 12 （2）由, 44 x ，则 2 2, 633 x ， 所以 3 sin(2) 1 26 x 剟， 所以函数( )f x在, 44 上
20、的取值范围是3 , 2 18 （12 分）已知等差数列 n a的前n项和为 n S， 1 1a ，且 2 (1) nn San （1）求 n a； （2）求数列 2 n n a 的前n项和 n S 【解答】解： （1）等差数列 n a的公差设为d，前n项和为 n S， 1 1a ，且 2 (1 ) nn San， 可得2n时， 2 1 (1) nnn SSSn ，即 2 1 (1) n Sn ， 可得2n时， 2 n Sn，当1n 时，也成立； 可得 2 413a ，则2d ，21 n an； （2） 1 (21) ( ) 22 nn n a n， 可得前n项和 1111 135(21) (
21、) 2482 n n Sn， 1 11111 135(21) ( ) 248162 n n Sn ， 相减可得 1 111111 2( ) )(21) ( ) 224822 nn n Sn 1 1 11 (1) 11 42 2(21) ( ) 1 22 1 2 n n n ， 第 12 页（共 15 页） 化简可得 1 3(23) ( ) 2 n n Sn 19（12 分） 在锐角ABC中， 内角A，B，C所对的边为a，b，c， 已知sinsin() 3 bAaB （1）求角B的大小； （2）求 c a 的取值范围？ 【解答】解： （1）sinsin() 3 bAaB 13 sinsinsin
22、( sincos ) 22 BAABB，sin0A 化为： 13 sincos0 22 BB， tan3B，(0, )B 解得 3 B （2）由（1）可得： 2 3 ACB ，又ABC为锐角三角形， 2 0 32 CA ， 0 2 A ， 62 A ， 231 sin()cossin sin311 322 ( ,2) sinsinsin2tan22 AAA cC aAAAA ， c a 的取值范围是 1 ( ,2) 2 20 （12 分）已知函数 2 ( )221f xaxx，且函数(1)f x为偶函数 （1）求( )f x的解析式； （2）若方程( ) x m f x e 有三个不同的实数根
23、，求实数m的取值范围 【解答】解： （1）由题可知0a ，所以函数 2 ( )221f xaxx的对称轴为 1 2 x a ， 由于(1)yf x是偶函数， 所以(1)(1)fxf x ， 即 2 ( ) 221f xa xx关于1x 对称， 所以 1 1 2a ，即 1 2 a 所以 2 ( )21f xxx （2）方程( ) x m f x e 有三个不同的实数根，即方程( ) x mef x有三个不同实数根 令( )( ) x g xef x，由（1）有 2 ( )(21) x g xxxe， 所以 2 ( )(1) x g xxe，令( )0g x，则1x 或1x 第 13 页（共 1
24、5 页） 当1x 时，( )0g x； 当11x 时，( )0g x；当1x 时，( )0g x 故当1x 时，( )g x单调递增； 当11x 时，( )g x单调递减；当1x 时，( )g x单调递增 所以，当1x 时，( )g x取得极大值 4 ( 1)g e ； 当1x 时，( )g x取得极小值g（1）0 又由于( ) 0g x ，且当x 时，( )0g x ； 当x 时，( )g x 所以，方程( ) x mef x有三个不同实数根时，m的范围是 4 (0, ) e 21 （12 分） 已知函数 2 ( )(1)1f xalnxa xbx在点(1，f（1）)处的切线与y轴垂直 （1
25、）若1a ，求( )f x的单调区间； （2）若0xe，( ) 0f x 成立，求a的取值范围 【解答】 解： （1）( )2(1) a fxa xb x ， 由题 f （1）2(1)0aab， 解得2ab， 由1a ，得1b 因为( )f x的定义域为(0,)，所以 1(1) ( )1 x fx xx ， 故当(0,1)x时，( )0fx，( )f x为增函数，当(1,)x时，( )0fx，( )f x为减函数， （2）由（1）知2ba， 所以 2 2(1)(2)2(1)(1) ( )2(1)(2) aa xaxaa xa x fxa xa xxx ( ) i若1a ，则由（1）知( )ma
26、xf xf（1）0，即( ) 0f x 恒成立 ( )ii若1a ，则 2(1)()(1) 2(1)(1)2(1) ( ) a a xx a xa xa fx xx 且0 2(1) a a ， 当(0,1)x时，( )0fx，( )f x为增函数；当(1,)x时，( )0fx，( )f x为减函数， ( )maxf xf（1）0，即( ) 0f x 恒成立 ()iii若 2 1 3 a，则 2(1)()(1) 2(1)(1)2(1) ( ) a a xx a xa xa fx xx 且1 2(1) a a ， 故当(0,1)x时，( )0fx，( )f x为增函数， 当(1,) 2(1) a
27、x a 时，( )0fx，( )f x为减函数， 第 14 页（共 15 页） 当(,) 2(1) a x a 时，( )0fx，( )f x为增函数， 由时只需f（e）0即可，即(1) 2(2)1 0aa ea e ，解得 2 2 21 1 ee a ee ， 而由 22 22 212(2)1 0 13333 eee eeee ，且 2 22 212 10 11 eee eeee ，得 2 2 21 1 1 ee a ee ( )iv若 2 3 a ，则 2 2(1) ( )0 3 x fx x ，( )f x为增函数，且f（1）0， 所以(1, )xe，( )f xf（1）0，不合题意，舍
28、去； ( ) v若 2 3 a ，则1 2(1) a a ，( )fx在(1, ) e上都为增函数，且f（1）0， 所以(1, )xe，( )f xf（1）0，不合题意，舍去； 综上所述，a的取值范围是 2 2 21 1 ee ee ，) 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 2 , 2 ( 2 1 2 xt t yt 为参数） ，以原 点O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 2 2 4 1sin （1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程； （2）设(0, 1)P，直线l与C的交点为M，
29、N，线段MN的中点为Q，求|OPOQ 【解答】 解：（1） 由 2 , 2 ( 2 1 2 xt t yt 为参数） ， 消去参数t， 可得直线l的普通方程为1yx 由 2 2 4 1sin ，得 222 sin4，则有 222 4xyy，即 22 24xy， 则曲线C的直角坐标方程为 22 1 42 xy ； （2）将l的参数方程 2 , 2 ( 2 1 2 xt t yt 为参数）代入 22 24xy，得 2 3 2 220 2 tt， 设其两根为 1 t， 2 t，则 1 t， 2 t为M，N对应的参数，且 12 4 2 3 tt， 第 15 页（共 15 页） 线段MN的中点为Q对应的
30、参数为 12 2 2 23 tt 2 2 | | 3 OPOQPQ 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知a，b，cR，且1abc （1）求abc的最大值； （2）证明： 111 (1)(1)(1) 8 abc 【解答】解：已知a，b，cR，且1abc， （1） 2 ()222()()() 3()3abcabcabbcca abcabbccaabc剟 当且仅当 1 3 abc取“” 所以，abc的最大值为3 （2）证明： 111222 (1)(1)(1)(1)(1)(1)8 abcabcabcbc ac abbcacab abcabcabcabc 当且仅当 1 3 abc取“” ，故命题得证
