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1、第 1 页（共 20 页） 2020 年河南省开封市高考数学一模试卷（文科）年河南省开封市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 |2Ax x或3x，BN，则()( R BA ) A 1，0，1，2 B 1 C 1，0 D0，1，2 2 （5 分）复数 1 ai i 的实部小于虚部，则实数a的取值范围是( ) A(,0) B(,1) C(0,) D(1,) 3 （5 分）设a与b

2、都是非零向量，则“0a b ”是“向量a与b夹角为锐角”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 4 （5 分）已知角的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边经过点(1, 2)，则 tan2( ) A 3 4 B 3 4 C 4 3 D 4 3 5（5 分）已知定义在5m，12 m上的奇函数( )f x，满足0x 时，( )21 x f x ，则( )f m 的值为( ) A15 B7 C3 D15 6 （5 分）某省普通高中学业水平考试成绩按人数所占比例依次由高到低分为A，B，C， D，E五个等级，A等级15%，B等级30%，C等级30%

3、，D，E等级共25%其中E 等级为不合格，原则上比例不超过5%该省某校高二年级学生都参加学业水平考试，先从中随机抽取了部分学生的考试成绩进行统计，统计结果如图所示若该校高二年级共有 1000 名学生，则估计该年级拿到C级及以上级别的学生人数有( ) A45 人 B660 人 C880 人 D900 人 7 （5 分）2009 年北京国庆阅兵式上举行升旗仪式，如图，在坡度为15的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰第 2 页（共 20 页）角分别为60和30，且第一排和最后一排的距离为10 6米，则旗杆的高度为( )米 A2

4、0 2 B30 C30 3 D35 8 （5 分）设函数 3 ( )f xalnxbx在点(1, 1)处的切线经过点(0,1)，则实数ab的值为( ) A2 B1 C0 D1 9 （5 分）已知 n F是斐波那契数列，则 12 1FF， * 12(nnn FFFnN 且3)n，如图程序框图表示输出斐波那契数列的前n项的算法，则(n ) A10 B18 C20 D22 10 （5 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，圆 2222 :O xyab与C在第一象限的交点为M，若 12 MFF的面积为ab，则双曲线C的离心率为( )

5、A2 B3 C2 D5 11 （5 分）将函数( )sincosf xaxbx的图象向右平移 3 个单位长度得到( )g x的图象，若 ( )g x的对称中心为坐标原点，则关于函数( )f x有下述四个结论：第 3 页（共 20 页） ( )f x的最小正周期为2 若( )f x的最大值为 2，则1a ( )f x在，有两个零点 ( )f x在区间 5 6 ， 6 上单调其中所有正确结论的标号是( ) A B C D 12 （5 分）已知正方体的棱长为 1，平面过正方体的一个顶点，且与正方体每条棱所在直线所成的角相等，则该正方体在平面内的正投影面积是( ) A 3 3 2 B3 C2 D

6、 3 3 4 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知向量(2, 6)a ，(3,)bm，若| |abab，则m 14 （5 分）已知点(0,2)A，动点( , )P x y的坐标满足条件 0x y x ，则|PA的最小值是 15 （5 分）如图，两个同心圆的半径分别为 1 和 2，点M在大圆上从点 0 M出发逆时针匀速运动，点N在小圆上从点 0 N出发顺时针匀速运动图中的阴影是运动一秒钟后，OM，ON 分别扫过的扇形假设动点M，N运动了两秒钟，在OM，ON扫过的扇形中任取一点，则该点落在公共区域内的概率

7、是 16 （5 分）若数列 n a满足 21321 111 222 nn aaaaaa ，则称数列 n a为“差半递增”数列若数列 n a为“差半递增”数列，且其通项 n a与前n项和 n S满足 * 221() nn SatnN，则实数t的取值范围是三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考题，每个试题考生都必须作答第题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：第 4 页（共 20 页）共共

8、60 分分 17 （12 分）已知等差数列 n a满足 1 21 nn ana （1）求 n a的通项公式；（2）记 n S为 n a的前n项和，求数列 1 n S 的前n项和 n T 18 （12 分）在平面直角坐标系xOy中，已知点(1,0)F，动点Q到点F的距离比到y轴的距离大 1 个单位长度（1）求动点Q的轨迹方程E；（2）若过点F的直线l与曲线E交于A，B两点，且8FA FB ，求直线l的方程 19 （12 分）底面ABCD为菱形的直四棱柱，被一平面截取后得到如图所示的几何体若 4DADHDB，3AECG （1）求证：EGDF；（2）求三棱锥FBEG的体积 20（12 分）

9、某次高三年级模拟考试中，数学试卷有一道满分 10 分的选做题，学生可以从A， B两道题目中任选一题作答某校有 900 名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生解答该选做题的得分情况，作为下一步教学的参考依据，计划从 900 名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为 10 的样本，为此将 900 名考生选做题的成绩按照随机顺序依次编号为 001 900 （1）若采用系统抽样法抽样，从编号为001 090的成绩中用简单随机抽样确定的成绩编号为 025，求样本中所有成绩编号之和；（2）若采用分层抽样，按照学生选择A题目或B题目，将成绩分为两层已知该校高三学生有 540 人选做A题

10、目，有 360 人选做B题目，选取的样本中，A题目的成绩平均数为 5，方差为 2，B题目的成绩平均数为 5.5，方差为 0.25 ( ) i用样本估计该校这 900 名考生选做题得分的平均数与方差；第 5 页（共 20 页） ( )ii本选做题阅卷分值都为整数，且选取的样本中，A题目成绩的中位数和B题目成绩的中位数都是 5.5从样本中随机选取两个大于样本平均值的数据做进一步调查，求取到的两个成绩来自不同题目的概率 21 （12 分）已知函数( )sin x a f xx e ，aR，e为自然对数的底数（1）当1a 时，证明：(x ，0，( ) 1f x ；（2）若函数( )f x在

11、(,0) 2 上存在极值点，求实数a的取值范围（二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多选，则按所做的题中任选一题作答如果多选，则按所做的第一题计分第一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 2cos ( sin x y 为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为2 （1）求曲线 1 C的极坐标方程和 2 C的直角坐标方程；（2）设P是曲线 1 C上一点，此时参数 4 ，将射线OP绕原点O逆时针旋

12、转 3 交曲线 2 C 于点Q，记曲线 1 C的上顶点为点T，求OTQ的面积选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知a，b，c为一个三角形的三边长证明：（1）3 bca abc ；（2） 2 () 2 abc abc 第 6 页（共 20 页） 2020 年河南省开封市高考数学一模试卷（文科）年河南省开封市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （

13、5 分）已知集合 |2Ax x或3x，BN，则()( R BA ) A 1，0，1，2 B 1 C 1，0 D0，1，2 【解答】解：集合 |2Ax x或3x， ( 2,3) RA ， BN， ()0 R BA，1，2，故选：D 2 （5 分）复数 1 ai i 的实部小于虚部，则实数a的取值范围是( ) A(,0) B(,1) C(0,) D(1,) 【解答】解： ()(1)11 1(1)(1)22 aiaiiaa i iii 的实部小于虚部， 11 22 aa ，解得0a 实数a的取值范围是(,0) 故选：A 3 （5 分）设a与b都是非零向量，则“0a b ”是“向量a与b夹角为锐角”

14、的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【解答】解：a与b都是非零向量，则“向量a与b夹角为锐角” “0a b ” ，反之不成立，可能同向共线因此“0a b ”是“向量a与b夹角为锐角”的必要不充分条件故选：B 4 （5 分）已知角的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边经过点(1, 2)，则 tan2( ) 第 7 页（共 20 页） A 3 4 B 3 4 C 4 3 D 4 3 【解答】解：由三角函数的定义可知，tan2 ， 2 2tan44 tan2 1143tan 故选：D 5（5 分）已知定义在5m，12 m上的奇函数( )

15、f x，满足0x 时，( )21 x f x ，则( )f m 的值为( ) A15 B7 C3 D15 【解答】解：由奇函数的对称性可知，5120mm ， 4m ， 0x 时，( )21 x f x ，则( )( 4)f mff （4）15 故选：A 6 （5 分）某省普通高中学业水平考试成绩按人数所占比例依次由高到低分为A，B，C， D，E五个等级，A等级15%，B等级30%，C等级30%，D，E等级共25%其中E 等级为不合格，原则上比例不超过5%该省某校高二年级学生都参加学业水平考试，先从中随机抽取了部分学生的考试成绩进行统计，统计结果如图所示若该校高二年级共有 1000

16、名学生，则估计该年级拿到C级及以上级别的学生人数有( ) A45 人 B660 人 C880 人 D900 人【解答】解：根据图形，抽取的总人数1020%50，其中C所占的百分比为：12500.24，故1000 (0.240.20.46)1000 0.9900，故选：D 7 （5 分）2009 年北京国庆阅兵式上举行升旗仪式，如图，在坡度为15的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60和30，且第一排和最后一排的距离为10 6米，则旗杆的高度为( )米第 8 页（共 20 页） A20 2 B30 C30

17、3 D35 【解答】解：如图所示，依题意可知45AEC，1806015105ACE 1804510530EAC 由正弦定理可知 sinsin CEAC EACCEA sinsinCEEACACCEA， sin 20 3 sin CECEA ACAC EAC 米在Rt ABC中， 3 sin20 330 2 ABACACB米所以旗杆的高度为 30 米故选：B 8 （5 分）设函数 3 ( )f xalnxbx在点(1, 1)处的切线经过点(0,1)，则实数ab的值为( ) A2 B1 C0 D1 【解答】解：由题意， 2 ( )3 a fxbx x ，0x f（1）3ab，函数( )f

18、x在点(1, 1)处的切线方程为： 1(3 )(1)yab x 第 9 页（共 20 页）切线经过点(0,1)， 1 1(3 )(0 1)ab ，整理，得32ab 又f（1）1 ，代入函数( )f x表达式，得1b 231ab ， 0ab 故选：C 9 （5 分）已知 n F是斐波那契数列，则 12 1FF， * 12(nnn FFFnN 且3)n，如图程序框图表示输出斐波那契数列的前n项的算法，则(n ) A10 B18 C20 D22 【解答】解：模拟程序的运行，可得 1i ，1a ，1b ，满足条件10i ，执行循环，输出斐波那契数列的前 2 项，2a ，3b ，2i 满足条件1

19、0i ，执行循环，输出斐波那契数列的第 3，第 4 项，5a ，8b ，3i 每经过一次循环，输出了斐波那契数列的 2 项，9i 时，共输出了斐波那契数列的前 18 项，此时10i ，不满足条件，退出循环体故程序框图表示输出斐波那契数列的前n项的算法，18n 故选：B 10 （5 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，圆 2222 :O xyab与C在第一象限的交点为M，若 12 MFF的面积为ab，则双曲线C的第 10 页（共 20 页）离心率为( ) A2 B3 C2 D5 【解答】解：设 1 |MFm， 2 |M

20、Fn，由双曲线的定义可得2mna，由| |OMON， 12 | |OFOF，可得四边形 12 F NF M为平行四边形，圆 22222 :O xyabc，由直径所对的圆周角为直角，可得四边形 12 F NF M为矩形，即有 222 4mnc， 1 2 Smnab，由可得 22 444caba，即为ba，可得2 c e a 故选：A 11 （5 分）将函数( )sincosf xaxbx的图象向右平移 3 个单位长度得到( )g x的图象，若 ( )g x的对称中心为坐标原点，则关于函数( )f x有下述四个结论： ( )f x的最小正周期为2 若( )f x的最大值为 2，则

21、1a ( )f x在，有两个零点 ( )f x在区间 5 6 ， 6 上单调其中所有正确结论的标号是( ) 第 11 页（共 20 页） A B C D 【解答】解： 22 2222 ( )sincos(sincos ) ab f xaxbxabxx abab 22 sin()abx 将( )f x的图象向右平移 3 个单位长度得到( )g x的图象，则 22 ( )sin() 3 g xabx ( )g x的对称中心为坐标原点，sin()0 3 ，得 3 k ，则 3 k ，kZ 22 ( )sin() 3 f xabxk ( )f x的最小正周期2T，故正确；若( )f x的最大值为

22、 2，则 22 2ab，a不一定为 1，故错误；由( )0f x ，得sin()0 3 xk ，即sin()0 3 x ，在，有两个零点 3 ， 2 3 ，故正确；当 5 6 x ， 6 时，, 322 xkkk ，当k为偶数时，( )f x单调递增，当k为奇数时，( )f x单调递减，故错误其中所有正确结论的标号是故选：D 12 （5 分）已知正方体的棱长为 1，平面过正方体的一个顶点，且与正方体每条棱所在直线所成的角相等，则该正方体在平面内的正投影面积是( ) A 3 3 2 B3 C2 D 3 3 4 【解答】解：正方体的所有棱中，实际上是 3 组平行的棱，每条棱所在直线与

23、平面所成的角都相等，如图：所示的正三角形所在平面或其平行平面为平面时，满足平面与正方体每条棱所成的角均相等，并且如图所示的正三角形，为平面截正方体所形成的三角形截面中，截面面积最大者因为正三角形的边长为2，正方体 1111 ABCDABC D的三个面在平面内的正投影是三个全等的菱形（如图所示），第 12 页（共 20 页）可以看成两个边长为2的等边三角形，所以正方体在平面内的正投影面积是 13 2223 22 S 故选：B 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知向量(2, 6)a ，(3,)

25、中的阴影是运动一秒钟后，OM，ON 分别扫过的扇形假设动点M，N运动了两秒钟，在OM，ON扫过的扇形中任取一点，则该点落在公共区域内的概率是 1 21 【解答】解：如图：由题可得点M运动了两秒钟，OM扫过的是半径为 2，圆心角为120的扇形AOB；且其面积为： 2 1204 2 3603 ；点N运动了两秒钟，ON扫过的是半径为 1，圆心角为180的扇形COF；且其面积为：第 14 页（共 20 页） 2 11 1 22 ；公共部分是半径为 1，圆心角为30的扇形COD；其面积为： 2 30 1 36012 ；所求概率： 1 12 41 21 3212 p 故答案为： 1 21 1

26、6 （5 分）若数列 n a满足 21321 111 222 nn aaaaaa ，则称数列 n a为“差半递增”数列若数列 n a为“差半递增”数列，且其通项 n a与前n项和 n S满足 * 221() nn SatnN，则实数t的取值范围是 1 (, ) 2 【解答】解：因为221 nn Sat，则 11 221 nn Sat ，把这两个等式相减，得 1 22 nnn aaa ，所以 1 2 n n a a ，因为 11 221Sat，所以 1 12at ，则数列 n a是公比为 2 的等比数列，所以 11 1 2(12 )2 nn n aat ， 2 1 1 (12 )2

27、 2 n n at ，所以 3 1 1 3(12 )2 2 n nn aat ， 2 1 1 3(12 )2 2 n nn aat ， 23 11 11 ()()3(12 )23(12 )20 22 nn nnnn aaaatt ，解得 1 2 t ，故答案为： 1 (, ) 2 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考题，每个试题考生都必须作答第题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：第

28、 15 页（共 20 页）共共 60 分分 17 （12 分）已知等差数列 n a满足 1 21 nn ana （1）求 n a的通项公式；（2）记 n S为 n a的前n项和，求数列 1 n S 的前n项和 n T 【解答】解：（1）由已知 n a为等差数列，记其公差为d 当2n时， 1 1 21 121 nn nn ana ana ，两式相减可得12dd ，所以1d ，当1n 时， 21 121aa ，所以 1 1a 所以11 n ann ；（2） (1) 2 n n n S ， 1211 2() (1)1 n Sn nnn ，所以 111111112 2(1)()()()2

29、(1) 22334111 n n T nnnn 18 （12 分）在平面直角坐标系xOy中，已知点(1,0)F，动点Q到点F的距离比到y轴的距离大 1 个单位长度（1）求动点Q的轨迹方程E；（2）若过点F的直线l与曲线E交于A，B两点，且8FA FB ，求直线l的方程【解答】解：（1）根据抛物线的定义，知动点Q的轨迹是以F为焦点，以1x 为准线的抛物线，所以动点Q的轨迹方程E为： 2 4yx （2）当l的斜率不存在时，可知48FA FB ，不符合条件；当l的斜率存在且不为 0 时，设:(1)l yk x，则 2 (1) 4 yk x yx ，联立可得 2222 (24)0k

30、xkxk，设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y，则 2 12 2 24k xx k ， 12 1x x 因为向量FA，FB方向相反，所以第 16 页（共 20 页） 121212 2 4 |(1)(1)(1)(4)8FA FBFA FBxxx xxx k ，所以 2 1k ，即1k ，所以直线l的方程为1yx或1yx 19 （12 分）底面ABCD为菱形的直四棱柱，被一平面截取后得到如图所示的几何体若 4DADHDB，3AECG （1）求证：EGDF；（2）求三棱锥FBEG的体积【解答】（1）证明：连接AC，由/ /AECG，AECG，可知四边形AEGC为平行

31、四边形， / /EGAC，由题意知ACBD，ACBF，EGBD，EGBF， BDBFB，EG平面BDHF，又DF 平面BDHF，EGDF；（2）解：设ACBDO，EGHFP，由已知可得：平面/ /ADHE平面BCGF， / /EHFG，同理可得：/ /EFHG，四边形EFGH为平行四边形，得P为EG的中点，又O为AC的中点，/ /OPAE且OPAE，由3OP ，4DH ，由梯形中位线定理得2BF 1 4 2 BFG SBFBC / /EAFB，FB 平面BCGF，EA平面BCGF，/ /EA平面BCGF，点A到平面BCGF的距离等于点E到平面BCGF的距离，为2 3 18 3

32、2 3 33 F BEGE BGFA BGFBFG VVVS 第 17 页（共 20 页） 20（12 分）某次高三年级模拟考试中，数学试卷有一道满分 10 分的选做题，学生可以从A， B两道题目中任选一题作答某校有 900 名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生解答该选做题的得分情况，作为下一步教学的参考依据，计划从 900 名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为 10 的样本，为此将 900 名考生选做题的成绩按照随机顺序依次编号为 001 900 （1）若采用系统抽样法抽样，从编号为001 090的成绩中用简单随机抽样确定的成绩编号为 025，求样本中所有成绩编号之和

33、；（2）若采用分层抽样，按照学生选择A题目或B题目，将成绩分为两层已知该校高三学生有 540 人选做A题目，有 360 人选做B题目，选取的样本中，A题目的成绩平均数为 5，方差为 2，B题目的成绩平均数为 5.5，方差为 0.25 ( ) i用样本估计该校这 900 名考生选做题得分的平均数与方差； ( )ii本选做题阅卷分值都为整数，且选取的样本中，A题目成绩的中位数和B题目成绩的中位数都是 5.5从样本中随机选取两个大于样本平均值的数据做进一步调查，求取到的两个成绩来自不同题目的概率【解答】解：（1）由题意知，若按照系统抽样的方法，抽出的编号可以组成以 25 为首项，以

34、90 为公差的等差数列，所以样本编号之和即为该数列的前 10 项之和，所以 10 109 1025904300 2 S ；（2）( ) i由题意知，若按分层抽样的方法，抽出的样本中A题目的成绩有 6 个，按分值降序分别记为 1 x， 2 x， 6 x； B题目的成绩有 4 个，按分值降序分别记为 1 y， 2 y， 3 y， 4 y；记样本的平均数为x，样本的方差为 2 s；由题意可知， 1261234 ()()565.54 5.2 1010 xxxyyyy x ，第 18 页（共 20 页） 2222 (5.2)(5)0.2(5)20.2(5)0.2 iiii xxxx，1i

35、，2，6； 2222 (5.2)(5.5)0.3(5.5)20.3(5.5)0.3 iiii yyyy，1i ， 2 ， 4 ； 22222 212614 (5.2)(5.2)(5.2)(5.2)(5.2) 10 xxxyy s 22 2600.260.25400.3413.6 1.36 1010 ；所以估计该校 900 名考生选做题得分的平均数为 5.2，方差为 1.36 ( )ii本选做题阅卷分值都为整数，且选取的样本中，A题目成绩的中位数和B题目成绩的中位数都是 5.5，易知样本中A题目的成绩大于样本平均值的成绩有 3 个，分别为 1 x， 2 x， 3 x； B题目的成绩大于样本

36、平均值的成绩有 2 个，分别为 1 y， 2 y；从样本中随机选取两个大于样本平均值的数据共有种 10 方法，为： 1 (x， 2) x， 1 (x， 3) x， 2 (x， 3) x， 1 (y， 2) y， 1 (x， 1) y， 2 (x， 1) y， 3 (x， 1) y， 1 (x， 2) y， 2 (x， 2) y， 3 (x， 2) y，其中取到的两个成绩来自不同题目的取法共有 6 种，为： 1 (x， 1) y， 2 (x， 1) y， 3 (x， 1) y， 1 (x， 2) y， 2 (x， 2) y， 3 (x， 2) y；记“从样本中随机选取两个大于样本平均值的数

37、据，取到的两个成绩来自不同题目”为事件 A，所以 63 ( ) 105 P A 21 （12 分）已知函数( )sin x a f xx e ，aR，e为自然对数的底数（1）当1a 时，证明：(x ，0，( ) 1f x ；（2）若函数( )f x在(,0) 2 上存在极值点，求实数a的取值范围【解答】解：（1）当1a 时， 1 ( )sin x f xx e ，则 1 ( )cos x fxx e ，当(x ，0时，01 x e，则 1 1 x e ，又因为cos1x，所以当(x ，0时， 1 ( )cos0 x fxx e ，仅0x 时，( )0fx，所以( )f x在(，

38、0上是单调递减，所以( )(0)1f xf，即( ) 1f x 第 19 页（共 20 页）（2）( )cos x a fxx e ，因为(,0) 2 x ，所以cos0x ，0 x e ，当0a时，( )0fx恒成立，所以( )f x在(,0) 2 上单调递增，没有极值点当0a 时，( )cos x a fxx e 在区间(,0) 2 上单调递增，因为 2 ()0 2 fa e ，(0)1fa 当1a时，(,0) 2 x 时，( )(0)1 0fxfa 剟，所以( )f x在(,0) 2 上单调递减，没有极值点当01a时，(0)10fa ，所以存在 0 (,0) 2 x ，使 0

39、 ()0fx，当 0 (,) 2 xx 时，( )0fx， 0 (xx，0)时，( )0fx，所以( )f x在 0 xx处取得极小值， 0 x为极小值点综上可知，若函数( )f x在(,0) 2 上存在极值点，则实数(0,1)a （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多选，则按所做的题中任选一题作答如果多选，则按所做的第一题计分第一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 2cos ( sin x y 为参数），以坐标原点O为极点，x轴的

40、正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为2 （1）求曲线 1 C的极坐标方程和 2 C的直角坐标方程；（2）设P是曲线 1 C上一点，此时参数 4 ，将射线OP绕原点O逆时针旋转 3 交曲线 2 C 于点Q，记曲线 1 C的上顶点为点T，求OTQ的面积【解答】解：（1）由 2cos ( sin x y 为参数），消去参数，可得曲线 1 C的普通方程为 2 2 1 2 x y，由cosx，siny，可得曲线 1 C的极坐标方程为 2222 cos2sin20 由2，得 2 2，则 2 C的直角坐标方程为 22 2xy；第 20 页（共 20 页）（2）当 4 时， 2

41、 (1,) 2 P， 3 sin 3 xOP， 6 cos 3 xOP，将射线OP绕原点O逆时针旋转 3 ，交曲线 2 C于点Q，又曲线 1 C的上顶点为点T， |2OQ，| 1OT ，则 1233613 22 3 | | sin()() 262323212 OTQ SOQOTxOP 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知a，b，c为一个三角形的三边长证明：（1）3 bca abc ；（2） 2 () 2 abc abc 【解答】解：（1）a，b，0c ， 3 33 bcab c a abca b c ；当且仅当abc取等号，故原命题成立；（2）已知a，b，c为一个三角形的三边长，要证 2 () 2 abc abc ，只需证明 2 ()2()abcabc，即证222acbcababc，则有 2 ()2bcbcbca，即bca，所以()abacabca，同理abbcb，acbcc，三式左右相加得222acbcababc，故命题得证

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