1、 第 1 页（共 20 页） 2020 年湖北省武汉市武昌区高三元月调考数学试卷（文科）年湖北省武汉市武昌区高三元月调考数学试卷（文科） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知集合 2 |20Ax xx， | 20Bxx ，则(AB ) A( 2, 1) B( 1,0) C(0,2) D( 1,2) 2 （5 分）复数z满足(1)2i zi，则z在复平面上对应的点位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限
2、D第四象限 3 （5 分）已知 n a是各项均为正数的等比数列， 1 1 3 a ， 32 21aa，则( n a ) A 1 3n B 2 3n C 1 2n D 2 2n 4 （5 分）已知 0.1 log0.2a ， 1.1 log0.2b ， 0.2 1.1c ，则a，b，c的大小关系为( ) Aabc Bacb Ccba Dcab 5 （5 分）等腰直角三角形ABC中， 2 ACB ，2ACBC，点P是斜边AB上一点， 且2BPPA，那么(CP CACP CB ) A4 B2 C2 D4 6 （5 分）为美化环境，从红、黄、白、紫 4 种颜色的花中任选 2 种花种在一个花坛中，余 下
3、的 2 种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( ) A 1 3 B 1 2 C 2 3 D 5 6 7 （5 分）已知数列 n a中， 1 1a ， 2 31 22 n Snn，设 1 1 n nn b a a ，则数列 n b的前n项 和为( ) A 31 n n B 3 31 n n C 1 32 n n D 33 32 n n 8（5 分） 已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，SA 平面ABC，120BAC， 2SAABAC，则球O的表面积为( ) A4 B4 5 C20 D36 9 （5 分）已知双曲线 22 1 45 xy 的左焦点为F，点P为其右支上
4、任意一点，点M的坐标 为(1,3)，则PMF周长的最小值为( ) A510 B1010 C513 D913 第 2 页（共 20 页） 10 （5 分）函数( )sin()(0f xAxA，0，0) 2 的部分图象如图所示，给出 下列说法： 直线 5 12 x 为函数( )f x的一条对称轴； 点 2 (,0) 3 为函数( )f x的一个对称中心； 函数( )f x的图象向右平移 3 个单位后得到函数2sin2yx的图象 其中，正确说法的个数是( ) A0 B1 C2 D3 11 （5 分）已知直线l与抛物线 2 6yx交于不同的两点A，B，直线OA，OB的斜率分别 为 1 k， 2 k，且
5、 12 3k k ，则直线l恒过定点( ) A( 6 3,0) B( 3 3,0) C( 2 3,0) D(3,0) 12 （5 分）已知函数 1,0 ( ) ,0 axx f x lnx x 若函数( )f x的图象上存在关于坐标原点对称的点， 则实数a的取值范围是( ) A(，0 B(，1 C 1 ,0 2 D 1 ( ,1 2 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）函数coscos2 ()yxx xR的最大值为 14 （5 分）若直线:320l xmym被圆 22 :2240C xyx截得的线段最短，则实 数m
6、的值为 15 （5 分）已知一组数据 10，5，4，2，2，2，x，且这组数据的平均数与众数的和是中位 数的 2 倍，则x所有可能的取值为 16 （5 分）如图，已知平行四边形ABCD中，60BAD，2ABAD，E为边AB的中 第 3 页（共 20 页） 点， 将ADE沿直线DE翻折成 1 ADE 若M为线段 1 AC的中点， 则在ADE翻折过程中， 有下列三个命题： 线段BM的长是定值； 存在某个位置，使 1 DEAC； 存在某个位置，使/ /MB平面 1 ADE 其中正确的命题有 （填写所有正确命题的编号） 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解
7、答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分. 17 在锐角ABC中， 角A、B、C的对边分别为a、b、c， 且 3 s i n c o sc o s s i n 2 aBB bABc （1）求B； （2）若2b ，求ABC的面积的最大值 18如图，在直三棱柱 111 ABCABC中，ACAB， 1 2A AABAC，D，E，F分别 为AB，BC， 1 B B的中点 （1）证明： 1 AF 平面
8、 1 B DE； （2）求直线BE与平面 1 B DE所成角的正弦值 19为了增强消防意识，某部门从男，女职工中各随机抽取了 20 人参加消防知识测试，这 第 4 页（共 20 页） 40 名职工测试成绩的茎叶图如图所示 （1）根据茎叶图判断男职工和女职工中，哪类职工的测试成绩更好？并说明理由； （2） （）求这 40 名职工成绩的中位数m，并填写下面列联表： 超过m的人数 不超过m的人数 男职工 女职工 （）如果规定职工成绩不少于m定为优秀，根据（）中的列联表，能否有99%的把握 认为消防知识是否优秀与性别有关？ 附： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd
9、 2 ()P Kk 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 20 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 的两焦点与短轴一端点组成一个正三角形的三个顶点， 且焦点到椭圆上的点的最短距离为 1 （1）求椭圆E的方程； （2）过点(4,0)M的直线l与椭圆交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为 A ，求证：直 线A B过定点，并求出该定点的坐标 21已知函数 1 ( )(1)2f xalnxax x （1）讨论( )f x的单调性； （2）若( )f x有两个极值点 1 x， 212 ()x xx，且至少存在两个零点，求 12 12 ( )()f
10、 xf x xx 的取值 范围 四、选考题：共四、选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题如果多做，则按所做的第一题 计分计分. 第 5 页（共 20 页） 22 （10 分）在直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 2 2 ( 2 2 2 xt t yt 为参数） 以坐标 原点为极点， 以x轴正半轴为极轴的极坐标系中， 曲线 2 C的极坐标方程为 2 2 9 32cos （1）写出 1 C的普通方程和 2 C的直角坐标方程； （2）若 1 C与y轴交于点M， 1 C与 2 C相交于A、B两点，求| |MAMB
11、的值 23 （1）已知( ) |f xxax，若存在实数x，使( )2f x 成立，求实数a的取值范围； （2）若0m ，0n ，且3mn，求证： 14 3 mn 第 6 页（共 20 页） 2020 年湖北省武汉市武昌区高三元月调考数学试卷（文科）年湖北省武汉市武昌区高三元月调考数学试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知集合 2 |20Ax xx， | 20
12、Bxx ，则(AB ) A( 2, 1) B( 1,0) C(0,2) D( 1,2) 【解答】解： | 12Axx ， | 20Bxx ， ( 1,0)AB 故选：B 2 （5 分）复数z满足(1)2i zi，则z在复平面上对应的点位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【解答】解：复数z满足(1)2i zi， 22 (1) 1 1(1)(1) iii zi iii ，它在复平面内对应 点的坐标为(1,1)， 故选：A 3 （5 分）已知 n a是各项均为正数的等比数列， 1 1 3 a ， 32 21aa，则( n a ) A 1 3n B 2 3n C 1 2n D
13、2 2n 【解答】解：设等比数列 n a的公比为0q ， 1 1 3 a ， 32 21aa， 2 11 21 33 qq，解得3q 则 2 3n n a 故选：B 4 （5 分）已知 0.1 log0.2a ， 1.1 log0.2b ， 0.2 1.1c ，则a，b，c的大小关系为( ) Aabc Bacb Ccba Dcab 【解答】解： 0.1 log0.2(0,1)a ， 1.1 log0.20b ， 0.2 1.11c ， 则a，b，c的大小关系为：cab 故选：D 5 （5 分）等腰直角三角形ABC中， 2 ACB ，2ACBC，点P是斜边AB上一点， 第 7 页（共 20 页）
14、 且2BPPA，那么(CP CACP CB ) A4 B2 C2 D4 【解答】解：直角三角形ABC中， 2 ACB ，2ACBC，点P是斜边AB上一点， 且2BPPA 如图所示： 121 333 CPCAABCACB， 22 22 212121 () ()2204 333333 CP CACP CBCACBCACBCACBCA CB， 故选：D 6 （5 分）为美化环境，从红、黄、白、紫 4 种颜色的花中任选 2 种花种在一个花坛中，余 下的 2 种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( ) A 1 3 B 1 2 C 2 3 D 5 6 【解答】解：从红、黄、白、紫 4
15、 种颜色的花中任选 2 种花种在一个花坛中，余下的 2 种花 种在另一个花坛中，有 2 4 6C 种方法，红色和紫色的花在同一花坛，有 2 种方法，红色和紫 色的花不在同一花坛，有 4 种方法，所以所求的概率为 42 63 另解：由列举法可得，红、黄、白、紫记为 1，2，3，4， 即有(12,34)，(13,24)，(14,23)，(23,14)，(24,13)，(34,12)， 则 42 63 P 故选：C 7 （5 分）已知数列 n a中， 1 1a ， 2 31 22 n Snn，设 1 1 n nn b a a ，则数列 n b的前n项 和为( ) A 31 n n B 3 31 n
16、n C 1 32 n n D 33 32 n n 【解答】解：由题意，当2n时， 第 8 页（共 20 页） 22 1 3131 (1)(1)32 2222 nnn aSSnnnnn ， 当1n 时， 1 1a 也符合上式 32 n an，*nN 则 1 11111 () (32)(31)3 3231 n nn b a annnn 设数列 n b的前n项和 n T，则 12nn Tbbb 111 11111 (1)()() 343 473 3231nn 111111 (1) 34473231nn 11 (1) 331n 31 n n 故选：A 8（5 分） 已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O
17、的球面上，SA 平面ABC，120BAC， 2SAABAC，则球O的表面积为( ) A4 B4 5 C20 D36 【解答】解：如图所示，2AB ，2AC ，120BAC， 三角形ABC的外接圆直径 2 24 sin30 r ， 2r ， SA 面ABC，2SA ，三角形OSA为等腰三角形， 该三棱锥的外接球的半径 22 125R ， 该三棱锥的外接球的表面积为 2 44520SR 故选：C 第 9 页（共 20 页） 9 （5 分）已知双曲线 22 1 45 xy 的左焦点为F，点P为其右支上任意一点，点M的坐标 为(1,3)，则PMF周长的最小值为( ) A510 B1010 C513 D
18、913 【解答】解：F是双曲线 22 1 45 xy 左焦点，点M的坐标为(1,3)， 2a，5b ，3c ，( 3F ，0 )，右焦点为(3,0)H， 由双曲线的定义可得| 24PFPHa， | |PFPMPHMPPA 22 2| 4(1 3)3413aMH， 22 |(13)35MF ， 当且仅当A，P，H共线时，PMF周长取得最小值为913 故选：D 10 （5 分）函数( )sin()(0f xAxA，0，0) 2 的部分图象如图所示，给出 下列说法： 第 10 页（共 20 页） 直线 5 12 x 为函数( )f x的一条对称轴； 点 2 (,0) 3 为函数( )f x的一个对称
19、中心； 函数( )f x的图象向右平移 3 个单位后得到函数2sin2yx的图象 其中，正确说法的个数是( ) A0 B1 C2 D3 【解答】解：由图象可知，2A ，最小正周期 7 4() 123 T ，所以 2 2 T ， 将点 7 (,2) 12 代入函数得， 7 22sin(2) 12 ， 所以 7 2 62 k ，即 5 2, 3 kkZ ， 因为0 2 ，所以取1k ， 3 ，所以( )2sin(2) 3 f xx 55 ()2sin2()2 12123 f ，所以正确； 令2, 3 xkkZ ，则, 62 k xkZ ，当1k 时， 2 3 x 所以点 2 (,0) 3 为函数(
20、 )f x的一个对称中心，即正确； 函数( )f x的图象向右平移 3 个单位得到2sin2()2sin(2) 333 yxx ，即错 误 所以正确的为， 故选：C 11 （5 分）已知直线l与抛物线 2 6yx交于不同的两点A，B，直线OA，OB的斜率分别 为 1 k， 2 k，且 12 3k k ，则直线l恒过定点( ) A( 6 3,0) B( 3 3,0) C( 2 3,0) D(3,0) 第 11 页（共 20 页） 【解答】解：设直线l的方程为：xmyn， 联立方程 2 6 xmyn yx ，消去x得： 2 660ymyn， 设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y
21、， 12 6y yn ， 12 3k k ， 12 12 3 yy xx ， 12 22 1212 3636 3 6 66 y y yyy yn ，2 3n ， 直线l的方程为：2 3xmy， 直线l一定过点( 2 3，0)， 故选：C 12 （5 分）已知函数 1,0 ( ) ,0 axx f x lnx x 若函数( )f x的图象上存在关于坐标原点对称的点， 则实数a的取值范围是( ) A(，0 B(，1 C 1 ,0 2 D 1 ( ,1 2 【解答】解：函数 1,0 ( ) ,0 axx f x lnx x 若函数( )f x的图象上存在关于坐标原点对称的点， 可得0x 时，1axl
22、nx ，有解； 可得 1lnx a x ，令 1 ( ) lnx g x x ， 2 ( ) lnx g x x ，所以(0,1)x时，( )0g x，函数是增函 数，1x 时，( )0g x，函数( )g x是减函数，所以( )g x的最大值为：g（1）1， 所以1a 故选：B 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）函数coscos2 ()yxx xR的最大值为 9 8 【 解 答 】 解 ：函 数 22 1 coscos2cos2cos12(coscos 2 yxxxxxx 2 19 )12(cos)() 48
23、xxR ，cos 1x ，1， 第 12 页（共 20 页） 故当 1 cos 4 x 时，函数y取得最大值为 9 8 ， 故答案为： 9 8 14 （5 分）若直线:320l xmym被圆 22 :2240C xyx截得的线段最短，则实 数m的值为 1 【解答】解：由 22 :2240C xyx得 22 (1)25xy， 圆心坐标是(1,0)C，半径是 5， 直线:320l xmym过定点( 2,3)P ，且在圆内， 当lPC时，直线l被圆 22 2240xyx截得的弦长最短， 130 1 ( 2)1m ，1m 故答案为1 15 （5 分）已知一组数据 10，5，4，2，2，2，x，且这组数
24、据的平均数与众数的和是中位 数的 2 倍，则x所有可能的取值为 11，3，17 【解答】解：数据 10，5，4，2，2，2，x中，出现次数最多的是 2，所以众数为 2； 且这组数据的平均数为 125 (1054222) 77 x x ； 若将这组数据按照从小到大排列为： x，2，2，2，4，5，10，则中位数是 2， 由题意得 25 222 7 x ，解得11x ； 若将这组数据按照从小到大排列为： 2，2，2，x，4，5，10，则中位数是x， 由题意得 25 22 7 x x ，解得3x ； 若将这组数据按照从小到大排列为： 2，2，2，4，x，5，10，则中位数是 4， 由题意得 25 2
25、24 7 x ，解得17x （不合题意，舍去） ； 若将这组数据按照从小到大排列为： 2，2，2，4，5，x，10，则中位数是 4， 由题意得 25 224 7 x ，解得17x （不合题意，舍去） ； 第 13 页（共 20 页） 若将这组数据按照从小到大排列为： 2，2，2，4，5，10，x，则中位数是 4， 由题意得 25 222 7 x ，解得17x ； 综上知，x所有可能的取值为11，3，17 故答案为：11，3，17 16 （5 分）如图，已知平行四边形ABCD中，60BAD，2ABAD，E为边AB的中 点， 将ADE沿直线DE翻折成 1 ADE 若M为线段 1 AC的中点， 则在
26、ADE翻折过程中， 有下列三个命题： 线段BM的长是定值； 存在某个位置，使 1 DEAC； 存在某个位置，使/ /MB平面 1 ADE 其中正确的命题有 （填写所有正确命题的编号） 【解答】解： 取DC的中点N，连接NM、NB，则 1 / /MNAD，且 1 1 2 MNAD定值；/ /NBDE，且 NBDE定值，所以 1 MNBADE 定值， 由余弦定理得， 222 2cosMBMNNBMN NBMNB， 所以BM的长为定值， 即正确； 假设存在某个位置，使 1 DEAC设22ABAD，由60BAD可求得1DE ， 3CE ，所以 222 CEDECD，即CEDE， 第 14 页（共 20
27、 页） 因为 1 ACCEC，所以DE 面 1 ACE，因为 1 AE 面 1 ACE，所以 1 DEAE，与已知相 矛盾，即错误； 由可知， 1 / /MNAD，/ /NBDE，且MNNBN， 1 ADDED，所以面/ /MNB面 1 ADE，所以/ /MB面 1 ADE，即正确 故答案为： 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一
28、）必考题：共 60 分分. 17 在锐角ABC中， 角A、B、C的对边分别为a、b、c， 且 3 s i n c o sc o s s i n 2 aBB bABc （1）求B； （2）若2b ，求ABC的面积的最大值 【解答】解： （1）因为锐角ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c； 且 3 sincoscossin 2 aBBbABc 所以： 333 sinsincossincossinsinsin(sincoscossin)sinsinsinsin 222 ABBBABCBABABCBCC ； sin0C ； 3 sin 2 B； B是锐角； 60B； （2） 22222 2co
29、sbacacBacac ac； 4ac；当且仅当2ac时等号成立， ABC的面积为： 13 sin3 24 acBac； 故ABC的面积的最大值为：3 18如图，在直三棱柱 111 ABCABC中，ACAB， 1 2A AABAC，D，E，F分别 为AB，BC， 1 B B的中点 第 15 页（共 20 页） （1）证明： 1 AF 平面 1 B DE； （2）求直线BE与平面 1 B DE所成角的正弦值 【解答】解： （1）D，E分别为AB，BC的中点， / /DEAC， 又ACAB， DEAB， 又三棱柱 111 ABCABC为直三棱柱， DE平面 11 ABB A， 1 AF在平面 11
30、 ABB A内， 1 DEAF， 1 2A AAB， 四边形 11 ABB A为正方形，且 11 AB F 1 B BD， 11 AFB D， 又 1 DEB DD，且都在平面 1 B DE内， 1 AF平面 1 B DE； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，则(0B，2，0)，(1E，1，0)，(0D，1，0)， 1(0 B， 2，2)， 则 1 (1, 1,0),(1,0,0),( 1,1,2)BEDEEB ， 设平面 1 B DE的法向量为( , , )mx y z，则 1 0 20 m DEx m EBxyz ，可取(0, 2,1)m ， 第 16 页（共 20 页） 设直线BE与平
31、面 1 B DE所成角，则 210 sin|cos,| 525 BE m 19为了增强消防意识，某部门从男，女职工中各随机抽取了 20 人参加消防知识测试，这 40 名职工测试成绩的茎叶图如图所示 （1）根据茎叶图判断男职工和女职工中，哪类职工的测试成绩更好？并说明理由； （2） （）求这 40 名职工成绩的中位数m，并填写下面列联表： 超过m的人数 不超过m的人数 男职工 15 女职工 （）如果规定职工成绩不少于m定为优秀，根据（）中的列联表，能否有99%的把握 认为消防知识是否优秀与性别有关？ 附： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd 2 ()P Kk
32、 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【解答】解： （1）根据茎叶图知男职工的测试成绩更好，理由如下； 第 17 页（共 20 页） 由茎叶图可知，男职工测试成绩主要分布在 80 以上，女职工测试成绩主要分布在 80 以下， 因此男职工的测试成绩更高； （注:其他合理理由均可得分） （2）( ) i由茎叶图可知：这 40 名职工的测试成绩中位数是 1 (7981)80 2 m ， 填写列联表如下； 超过m的人数 不超过m的人数 总计 男职工 15 5 20 女职工 5 15 20 总计 20 20 40 （）根据（）中的列联表，计算 2 2 40(15
33、 1555) 106.635 20202020 K ， 所以有99%的把握认为消防知识是否优秀与性别有关 20 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 的两焦点与短轴一端点组成一个正三角形的三个顶点， 且焦点到椭圆上的点的最短距离为 1 （1）求椭圆E的方程； （2）过点(4,0)M的直线l与椭圆交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为 A ，求证：直 线A B过定点，并求出该定点的坐标 【解答】 解：（1） 由题意可得： 3 23 2 bcc，1ac， 222 abc， 解得： 2 4a ， 2 3b ， 所以椭圆的方程为： 22 1 43 xy ； （2）证明：设直线l的方程为
34、：4xmy设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 1 (A x， 1) y， 联立直线与椭圆的方程： 22 4 34120 ymy xy ， 整理可得： 22 (43)24360mymy， 222 244(43) 360mm，可得 2 4m ， 12 2 24 43 m yy m ， 12 2 36 43 y y m ， 21 21 A B yy k xx ，所以直线A B的方程为： 21 11 21 () yy yyxx xx ， 整理可得： 211221 2112 () yyx yx y yx xxyy ， 第 18 页（共 20 页） 而： 122121121212
35、222 722424 (4)(4)24()4 434343 mmm x yx yy myy mymy yyy mmm ， 所以 2 1221 12 2 24 43 1 24 43 m x yx y m m yy m ， 所以直线A B的方程为： 21 21 (1) yy yx xx ， 所以直线恒过定点(1,0) 21已知函数 1 ( )(1)2f xalnxax x （1）讨论( )f x的单调性； （2）若( )f x有两个极值点 1 x， 212 ()x xx，且至少存在两个零点，求 12 12 ( )()f xf x xx 的取值 范围 【解答】解： （1）( )f x的定义域(0,)
36、， 22 11(1)(1) ( ) axax fxa xxx ， 当0a时，10ax ，当(0,1)x时，( )0fx，(1,)x时，( )0fx， 故( )f x在(0,1)单调递减，在(1,)单调递增； 当01a时， 1 1 a ，当(0x， 1 1)(a，)时，( )0fx，反之( )0fx， 故( )f x在(0,1)， 1 ( a ，)递减，在 1 (1,) a 递增； 当1a 时， 1 1 a ，当(0x， 1) (1 a ，)时，( )0fx，反之( )0fx， 故( )f x在 1 (0,) a ，(1,)递减，在 1 ( a ，1)递增； 当1a 时，( )f x在(0,)递
37、减； （2）由（1）知，01a，或1a ， 因为f（1）30a，3a ，所以01a不成立， 当1a 时，( )f x在 1 (0,) a ，(1,)递减，在 1 ( a ，1)递增； 所以 1 (1)(1) 0( ) 0, 30 (1) 0 alnaf a a f ，解得3e a剟， 由( )f x有两个极值点 1 x， 212 ()x xx，是方程 2 (1)10axax 的根， ?1xxa， 1 ? ?x x a ， 第 19 页（共 20 页） 由 111 1 1 ( )(1)2f xalnxax x ， 222 2 1 ()(1)2f xalnxax x ， 所以 12 12 ( )(
38、)3(1)(1)4 1 1 1 f xf xaalnaa alna xxa a ， 令g（a） 4 (3) 1 a alna e a a 剟， g （a） 2 2 4(1) (1) (1) alna a ， 因为3e a剟，所以 g （a）0，所以g（a）在e，3单调递减； 所以g（3）g（a）g（e） ， 即33 3lng（a） 4 1 e e e ， 故 12 12 ( )()f xf x xx 的取值范围为33 3ln， 4 1 e e e 四、选考题：共四、选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题如果多做，则
39、按所做的第一题 计分计分. 22 （10 分）在直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 2 2 ( 2 2 2 xt t yt 为参数） 以坐标 原点为极点， 以x轴正半轴为极轴的极坐标系中， 曲线 2 C的极坐标方程为 2 2 9 32cos （1）写出 1 C的普通方程和 2 C的直角坐标方程； （2）若 1 C与y轴交于点M， 1 C与 2 C相交于A、B两点，求| |MAMB的值 【解答】解： （1）曲线 1 C的参数方程为 2 2 ( 2 2 2 xt t yt 为参数） 转换为直角坐标方程为 20xy 曲线 2 C的极坐标方程为 2 2 9 32cos 转换为直角坐标方程为
40、22 1 93 xy （2）把直线的参数方程 2 2 ( 2 2 2 xt t yt 为参数）代入 22 1 93 xy 得到 2 26 230tt 所以 12 3 2tt ， 12 3 2 t t 第 20 页（共 20 页） 则： 12 3 | | | 2 MAMBt t 23 （1）已知( ) |f xxax，若存在实数x，使( )2f x 成立，求实数a的取值范围； （2）若0m ，0n ，且3mn，求证： 14 3 mn 【解答】 解： （1） 已知( ) |f xxaxa， 若存在实数x， 使( ) 2f x 成立， 可得|2a， 所以实数a的取值范围：( 2,2)； （2）证明：0m ，0n ，且3mn， 所以 141 141414 ()()()(5)(52)3 333 nmnm mn mnmnmnmn 当且仅当4nm，并且 3 5 m 取等号， 所以 14 3 mn
