1、 第 1 页（共 17 页） 2020 年湖北省荆州市高考数学一模试卷（文科）年湖北省荆州市高考数学一模试卷（文科） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的）有一项是符合题目要求的） 1 （5 分）已知集合 | 13Axx ，xN，|BC CA，则集合B中元素的个数为 ( ) A6 B7 C8 D9 2 （5 分）设xR，则“ 2 230xx”是“4x ”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 3 （5 分
2、）已知 0.4 3a ， 4 log 32b ， 5 log 50c ，则a，b，c在大小关系为( ) Acba Bbca Cacb Dbac 4 （5 分）若函数 2 ( )21f xaxx在(0,)上有零点，则实数a的取值范围是( ) A0a B1a C0a D1a 5 （5 分）设等差数列 n a的前n项和为 n S，已知 56 0aa， 12 24S，则 n nS的最小值为 ( ) A144 B145 C146 D147 6 （5 分）函数 2sin ( ) 1 | x f x x 的图象大致是( ) A B C D 7 （5 分）已知( )f x是定义在R上的偶函数，且当(x ，0时
3、， 1 ( )( )2 2 x f x ，则不 等式(1)0fx的解集为( ) 第 2 页（共 17 页） A(2,) B(0,2) C(，0)(1，2) D(，0)(2，) 8（5 分） 已知数列 n a中， * 2 1 () n anN nn ， n S为数列 n a的前n项和， 且满足 9 10 n S ， 则n的最小值为( ) A8 B9 C10 D11 9 （5 分）已知为第三象限角， 5 cossin 3 ，则cos2( ) A 65 9 B 65 9 C 65 9 D 4 9 10（5 分） 已知命题p： 函数 2 1yxax的定义域为R， 命题q： 存在实数x满足ax lnx，
4、 若pq为真，则实数a的取值范围是( ) A 2， 1 e B 1 e，2 C(，2 D2，) 11（5 分） 定义在R上的函数( )f x满足()( )fxf x ， 且对任意不相等的实数 1 x， 2 0x ， )有 1212 ()( ( )()0xxf xf x，若关于x的不等式( sin )f axf（1）0在实数R上恒 成立，则实数a的取值范围是( ) A01a B10a C1a D11a 12 （5 分）已知函数 2 ( )1 2 x x f xe，若( )f xkx在0x，)时总成立，则实数k的 取值范围是( ) A(，1 B(， e C(，2 e D(， 2 e 二、填空题：本
5、大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）若实数x，y满足 2 2 2 0 x y xy ，则2yx的最大值是 14 （5 分）在正项等比数列 n a中，已知 1 3a ， 3 1 3 a ，且 12231nn a aa aa ak 恒 成立，则实数k的取值范围是 15 （5 分）设函数 2 2 4,2 ( ) log (2),23 x x f x xx ，若( ) 3f xax恒成立，则实数a的取值范 围是 第 3 页（共 17 页） 16 （5 分）已知函数 21 ( )(1) x a f xexa x ，其导函数为( )fx
6、，若存在2x，4使得 ( )( )0f xxfx成立，则实数a的取值范围是 三、解答题： （共三、解答题： （共 70 分）分） 17 （12 分）已知函数 2 ( )3sin cossinf xxxx （1）求函数( )f x的对称中心和单调递减区间； （2） 若将函数( )f x的图象上每一点向右平移 6 个单位得到函数( )g x的图象， 求函数( )g x在 区间0， 5 12 上的值域 18 （12 分） 在ABC中， 角A，B，C所对的边分别为a，b，c 已知 222 4()accab， 3 sin()2cos()0 2 ABB （1）求cosC； （2）若ABC的面积为 27 1
7、5 16 ，求ABC的周长L 19 （12 分）在等差数列 n a和正项等比数列 n b中， 1 1a ， 1 2b ，且 1 b， 2 a， 2 b成等差 数列，数列 n b的前n项和为Sn，且 3 14S （1）求数列 n a， n b的通项公式； （2）令 n nb ca，( 1)n nn dncn，求数列 n d的前项和为 n T 20 （12 分）为落实习近平同志关于“绿水青山就是金山银山”的重要讲话精神某地大力 加强生态综合治理治理之初该地某项污染物指标迅速下降，后随季节气候变化，这项指标 在一定范围内波动 如图是治理开始后 12 个月内该地该项污类物指标随时间x（单位： 月） 变
8、化的大致曲线，其近似满足函数： ,(03) ( ) sin(),(312) kx b eax f x AxBx 剟 其中2.71828e ，0A ，0， （1）求( )f x的表达式； （2）若该项污染物指标不超过 2.5，则可认为环环境良好，求治理开始以来的 12 个月内， 该地环境良好的时间长度大约有几个月精确到整数，参考数据：20.69ln ，31.10)ln ？ 第 4 页（共 17 页） 21 （12 分）已知函数 32 13 ( )(3) 32 f xxxm mxn ，m，nR，且| 1m （1）求函数( )f x的单调区间； （2）若函数 x ye与函数( ) x yef x在公
9、共点 0 (P x， 0) y处有相同的切线，且( ) 1f x 在 0 1x ， 0 1x 上恒成立 ( ) i求 0 ()fx和 0 ()f x的值；( )fx为函数( )f x的导函数） ( )ii求实数n的取值范围 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 223 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题 计分计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 2 4 ( 4 xt t yt 为参数） ，以坐标原点为 极点，x轴的正半轴为极轴
10、建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为cos()2 2 4 （1）求曲线 1 C的普通方程和曲线 2 C的直角坐标方程； （2）若点P，Q分别是曲线 1 C， 2 C上的点，求|PQ的最小值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数( )2|1|2|f xxx，( )f x的最小值为M （1）求M； （2）若0a ，0b ，且abM，求 11 33abab 的最小值 第 5 页（共 17 页） 2020 年湖北省荆州市高考数学一模试卷（文科）年湖北省荆州市高考数学一模试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题
11、，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的）有一项是符合题目要求的） 1 （5 分）已知集合 | 13Axx ，xN，|BC CA，则集合B中元素的个数为 ( ) A6 B7 C8 D9 【解答】解：因为集合 | 13Axx ，xN， 所以0A，1，2， 因为|BC CA， 所以B中的元素为A的子集个数，即B有 3 28个， 故选：C 2 （5 分）设xR，则“ 2 230xx”是“4x ”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解： 2 230xx即为1x 或3x
12、 ， 故“ 2 230xx”是“4x ”的必要不充分条件， 故选：B 3 （5 分）已知 0.4 3a ， 4 log 32b ， 5 log 50c ，则a，b，c在大小关系为( ) Acba Bbca Cacb Dbac 【解答】解： 0.4 3(1, 3)a ， 4 5 log 32 2 b ， 55 log 502log 2c 15 2 22 故acb 故选：B 4 （5 分）若函数 2 ( )21f xaxx在(0,)上有零点，则实数a的取值范围是( ) A0a B1a C0a D1a 【解答】解：由于函数 2 ( )21f xaxx在(0,)上有零点，即( )0f x 在(0,)上
13、有解 当0a 时，( )210f xx ，则 1 2 x ，满足题意； 第 6 页（共 17 页） 当0a 时， 2 210axx ，则 2 22 21121 (1)1 x a xxxx ； 1a ，且0a ； 综上所诉：1a； 故选：B 5 （5 分）设等差数列 n a的前n项和为 n S，已知 56 0aa， 12 24S，则 n nS的最小值为 ( ) A144 B145 C146 D147 【解答】解：差数列 n a， 56 0aa， 12 24S， 1 1 290 126624 ad ad ， 解方程可得，2d ， 1 9a ， 2 9(1)10 n snn nnn ， 则 32 1
14、0 n nSnn， 结合函数 32 ( )10f xxx， 2 ( )320fxxx ，则当 20 (0,) 3 x时，( )0fx，函数单调递减，当 20 (,) 3 x时， ( )0fx，函数单调递增， * nN，故当7n 时， n nS的最小值147 故选：D 6 （5 分）函数 2sin ( ) 1 | x f x x 的图象大致是( ) A B 第 7 页（共 17 页） C D 【解答】解： 2sin ( ) 1 | x f x x 的定义域为 |x xR且1x ， 2sin()2sin ()( ) 1 |1 | xx fxf x xx ；函数是奇函数，即函数定义域关于原点对称，
15、由此可排除选项B，D； 当(0,1)x时，1 | 0x，sin0x ，故( )0f x ，由此可排除选项C； 故选：A 7 （5 分）已知( )f x是定义在R上的偶函数，且当(x ，0时， 1 ( )( )2 2 x f x ，则不 等式(1)0fx的解集为( ) A(2,) B(0,2) C(，0)(1，2) D(，0)(2，) 【解答】解：依题意，函数在(0,)上单调递增，且f（1）( 1)0f， 不等式(1)0fx等价于(|1|)fxf（1） ，即|1| 1x，解得02x 故选：B 8（5 分） 已知数列 n a中， * 2 1 () n anN nn ， n S为数列 n a的前n项
16、和， 且满足 9 10 n S ， 则n的最小值为( ) A8 B9 C10 D11 【解答】解： 2 1111 (1)1 n a nnn nnn ， 111111 11 22311 n S nnn ， 由 9 10 n S ，可得 19 1 110n 解得9n ， 则n的最小值为 10， 故选：C 9 （5 分）已知为第三象限角， 5 cossin 3 ，则cos2( ) 第 8 页（共 17 页） A 65 9 B 65 9 C 65 9 D 4 9 【解答】解：为第三象限角， 5 cossin 3 ， 5 12sincos 9 ， 2 sincos 9 ， sin0，cos0，且coss
17、in， cossin0， 2 13 (sincos)12sincos 9 ， 13 sincos 3 ， 则 51365 cos2(cossin)(cossin)() 339 故选：A 10（5 分） 已知命题p： 函数 2 1yxax的定义域为R， 命题q： 存在实数x满足ax lnx， 若pq为真，则实数a的取值范围是( ) A 2， 1 e B 1 e，2 C(，2 D2，) 【解答】解：当P为真时： 2 1 0xax 恒成立， 即 2 4 0a ， 解得：22a 剟， 当Q为真时：存在实数x满足ax lnx，即()max lnx a x ； 令 lnx y x ， 2 1lnx y x
18、 ，当(0, )xe，0y，函数单调递增；当( ,)xe，0y，函数 单调递减； 故当xe时，函数有最大值 1lne ee ；解得 1 a e ； pq是真命题，故命题是p，q都是真命题， 则22a 剟且 1 a e 实数a的取值范围为 2， 1 e 故选：A 第 9 页（共 17 页） 11（5 分） 定义在R上的函数( )f x满足()( )fxf x ， 且对任意不相等的实数 1 x， 2 0x ， )有 1212 ()( ( )()0xxf xf x，若关于x的不等式( sin )f axf（1）0在实数R上恒 成立，则实数a的取值范围是( ) A01a B10a C1a D11a 【
19、解答】解：定义在R上的函数( )f x满足()( )fxf x ，所以函数是奇函数， 且对任意不相等的实数 1 x， 2 0x ，)有 1212 ()( ( )()0xxf xf x， 可得函数是增函数， 关于x的不等式( sin )f axf（1）0在实数R上恒成立， 就是( sin )f axf （1）( 1)f， 可得sin1ax 恒成立因为sin 1x ，1， 所以( 1,1)a 故选：D 12 （5 分）已知函数 2 ( )1 2 x x f xe，若( )f xkx在0x，)时总成立，则实数k的 取值范围是( ) A(，1 B(， e C(，2 e D(， 2 e 【解答】解：当0
20、x 时，( )f xkx显然恒成立； 当0x 时 ，( )f xkx即 为 2 1 1 0 2 x exkx ， 设 2 1 ()1 (0 ) 2 x g xexk xx， 则 ( ) x g xexk，( )10 x gxe ， 函数( )g x在(0,)上为增函数， 当1k时，( )(0)10g xgk ，故函数( )g x在(0,)上为增函数， ( )(0)0g xg，即( )f xkx成立； 当1k 时，(0)10gk ，( )20 k g kek，故存在 0 (0, )xk，使得 0 ()0g x， 当 0 (0,)xx时，( )0g x，( )g x单调递减，则( )(0)0g x
21、g，即( )f xkx，不符题意； 综上所述，实数k的取值范围为(，1 故选：A 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 第 10 页（共 17 页） 13 （5 分）若实数x，y满足 2 2 2 0 x y xy ，则2yx的最大值是 6 【解答】解：作实数x，y满足 2 2 2 0 x y xy 可行域如图所示， 由2zyx得 11 22 yxz，作直线 11 22 yxz平移， 2 20 x xy 解得(2,4)B 直线经过点(2,4)B时，该直线在y轴上的截距最大，此时2426 max z 故答案为：6 14 （5 分）在
22、正项等比数列 n a中，已知 1 3a ， 3 1 3 a ，且 12231nn a aa aa ak 恒 成立，则实数k的取值范围是 27 8 ，) 【解答】解：正项等比数列 n a的公比设为q，0q ， 1 3a ， 3 1 3 a ， 可得 23 1 1 9 a q a ，解得 1 3 q ， 1 1 3 ( ) 3 n n a ， 21 12231 1 3(1) 11127127 9 39 ( )(1) 1 3273898 1 9 n n nn n a aa aa a ， 12231nn a aa aa ak 恒成立，可得 27 8 k 故答案为： 27 8 ，) 15 （5 分）设函
23、数 2 2 4,2 ( ) log (2),23 x x f x xx ，若( ) 3f xax恒成立，则实数a的取值范 第 11 页（共 17 页） 围是 0，1 【解答】解：当2x时，要使得 2 43 x ax 恒成立， 当0a 时， 20 441 3 x 剟恒成立； 当0a 时，由图象可知， 0 1 32 a a ； 01a ； 综上，01a剟； 当23a时，要使得 2 log (2) 3xax恒成立， 当0a 时，021x； 2 log (2)0 3x ，恒成立； 当0a 时，有图象可知， 330 0 a a ，01a ； 综上，01a剟 故答案为：0，1 第 12 页（共 17 页）
24、 16 （5 分）已知函数 21 ( )(1) x a f xexa x ，其导函数为( )fx，若存在2x，4使得 ( )( )0f xxfx成立，则实数a的取值范围是 (,6) 【解答】解：令 2 ( )( )(21)(1) x g xxf xe xaax， 则存在2x，4使( )( )( )0g xf xxfx， 即 2 (1)20 x e xaxa在2x，4上有解， 2 (1)2(1)(2)02xaxaxxax，4上有解， 结合二次不等式的性质可知，2 1a 或124a， 解可得，3a或36a，即6a 综上可得，a的范围(,6) 故答案为：(,6) 三、解答题： （共三、解答题： （共
25、 70 分）分） 17 （12 分）已知函数 2 ( )3sin cossinf xxxx （1）求函数( )f x的对称中心和单调递减区间； （2） 若将函数( )f x的图象上每一点向右平移 6 个单位得到函数( )g x的图象， 求函数( )g x在 区间0， 5 12 上的值域 【解答】解： （1） 2 3111 ( )3sin cossin2cos2sin(2) 22262 f xxxsin xxxx ， 令2 6 xk ，得 212 k x ，则函数( )f x的对称中心为 1 (,)() 2122 k kZ ， 令 3 222 262 kxk 剟， 得 2 63 kx k 剟，
26、则 函 数 的 单 调 递 减 区 间 为 2 , () 63 kkkZ ； （2）由题意， 1 ( )()sin(2) 662 g xf xx ， 5 0 12 x 剟， 2 2 663 x 剟， 1 sin(2) 1 26 x 剟， 函数( )g x的值域为 1 1, 2 第 13 页（共 17 页） 18 （12 分） 在ABC中， 角A，B，C所对的边分别为a，b，c 已知 222 4()accab， 3 sin()2cos()0 2 ABB （1）求cosC； （2）若ABC的面积为 27 15 16 ，求ABC的周长L 【解答】解： （1）因为 3 sin()2cos()0 2 A
27、BB ， 所以sin2sinCB， 所以2cb， 又 222 4()accab， 所以 222 1 cos 24 abc C ab ； （2）由2cb，代入 222 4()accab， 的23ab， 又由（1）得 15 sin 4 C ， 所以 127 sin15 216 ABC SabC ， 所以6c ，3b ， 9 2 a ， 所以三角形ABC的周长 27 2 Labc 19 （12 分）在等差数列 n a和正项等比数列 n b中， 1 1a ， 1 2b ，且 1 b， 2 a， 2 b成等差 数列，数列 n b的前n项和为Sn，且 3 14S （1）求数列 n a， n b的通项公式；
28、 （2）令 n nb ca，( 1)n nn dncn，求数列 n d的前项和为 n T 【解答】解： （1）等差数列 n a的公差设为d，正项等比数列 n b的公比设为q，0q ， 1 1a ， 1 2b ，且 1 b， 2 a， 2 b成等差数列， 可得 212 2abb，即2(1)22dq，即dq， 数列 n b的前n项和为 n S，且 3 14S ，可得 2 22214qq，解得2q ，2d ， 第 14 页（共 17 页） 则21 n an，2n n b ； （2） 1 21 n n nb ca ， 1 ( 1)2 nn nn dncnn ， 则2( 2)n n dn， 前项和为2
29、( 2)4 46 ( 8)2( 2)n n Tn， 1 22 44 ( 8)6 162( 2)n n Tn ， 相减可得 1 342(4( 8)( 2) )2( 2) nn n Tn 1 1 4(1( 2) 422( 2) 1( 2) n n n ， 化简可得 1 462 ( 2) 99 n n n T 20 （12 分）为落实习近平同志关于“绿水青山就是金山银山”的重要讲话精神某地大力 加强生态综合治理治理之初该地某项污染物指标迅速下降，后随季节气候变化，这项指标 在一定范围内波动 如图是治理开始后 12 个月内该地该项污类物指标随时间x（单位： 月） 变化的大致曲线，其近似满足函数： ,(
30、03) ( ) sin(),(312) kx b eax f x AxBx 剟 其中2.71828e ，0A ，0， （1）求( )f x的表达式； （2）若该项污染物指标不超过 2.5，则可认为环环境良好，求治理开始以来的 12 个月内， 该地环境良好的时间长度大约有几个月精确到整数，参考数据：20.69ln ，31.10)ln ？ 【解答】解： （1）由(0)9 b fea，f（2） 2 3 k b ea ，f（3） 3 2 k b ea ， 联立解方程组得， 1 ,8,1 2 kb eea， 第 15 页（共 17 页） 故当03x剟时， 3 1 ( )( )1 2 x f x ； 当3
31、12x 时，由 3 1 AB AB ，得1A ，2B ， 2 2(95)8T ，所以 4 ， 由 5 (50sin()21 4 f ， ，得 4 ， 综上， 3 1 ( )1,03 2 ( ) sin()2,312 44 x x f x xx 剟 ； （2）令( ) 2.5f x ， 当03x剟时， 3 1 ( )1 2.5 2 x ，得 2 4log 33x剟； 当312x 时，sin()2 2.5 44 x ， 当sin()22.5 44 x 时，得 1 8 3 xk或者 7 8 3 k ，kZ， 又当312x 时， 23 31 , 33 x ， 结合函数图象，故不等式的解集为 2331
32、(3,12 33 ， 故所求的时间长度为： 2 3123163 12(43)7 3332 ln log ln ， 故地环境良好的时间长度大约有 7 个月 21 （12 分）已知函数 32 13 ( )(3) 32 f xxxm mxn ，m，nR，且| 1m （1）求函数( )f x的单调区间； （2）若函数 x ye与函数( ) x yef x在公共点 0 (P x， 0) y处有相同的切线，且( ) 1f x 在 0 1x ， 0 1x 上恒成立 ( ) i求 0 ()fx和 0 ()f x的值；( )fx为函数( )f x的导函数） ( )ii求实数n的取值范围 【解答】解： （1） 3
33、2 13 ( )(3) 32 f xxxm mxn ， 2 ( )3(3)()(3)fxxxm mxm xm ， | 1m ， 第 16 页（共 17 页） 3mm， 故当3mxm时，( )0fx，函数单调递增，当xm或3xm时，( )0fx，函数 单调递减， 因此，函数的单调递增区间( ,3)mm，单调递减区间(,)m，(3,)m， （2）( ) x iye与函数( ) x yef x在公共点 0 (P x， 0) y处有相同的切线， 00 00 0 00 () ()() xx xx eef x eef xfx ， 0 0 ()1 ()0 f x fx ， 0 ( )( ) 1()iif x
34、f x在 0 1x ， 0 1x 上恒成立，且 0 ()0fx， 0 x是函数( )f x的极小值点，由（1）值 0 xm， 32 0 13 ()( )(3)1 32 f xf mmmm mmn ， 32 23 1 32 mm n ， 1m ，1， 令 32 23 ( )1 32 xx t x ， 1x ，1， 则 2 ( )23t xxx 令( )0t x可得 1 0x ， 2 3 1,1 2 x ， 19 ( 1) 6 t ，(0)1t，t（1） 11 6 ， ( )t x的值域1， 19 6 ， 所以n的范围1， 19 6 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在
35、第 223 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题 计分计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 2 4 ( 4 xt t yt 为参数） ，以坐标原点为 极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为cos()2 2 4 （1）求曲线 1 C的普通方程和曲线 2 C的直角坐标方程； 第 17 页（共 17 页） （2）若点P，Q分别是曲线 1 C， 2 C上的点，求|PQ的最小值 【解答】 解：（1） 曲线 1 C的参数方程为 2 4 ( 4 xt
36、 t yt 为参数） ， 转换为直角坐标方程为： 2 4xy 曲线 2 C的极坐标方程为cos()2 2 4 ，转换为直角坐标方程为40xy （2）点P，Q分别是曲线 1 C， 2 C上的点， 设点 2 (4 ,4 )Ptt则点P到直线 2 C的距离 2 2 13 4|()| |444|3 2 24 222 x tt d ， 所以 3 2 | 2 min PQ 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数( )2|1|2|f xxx，( )f x的最小值为M （1）求M； （2）若0a ，0b ，且abM，求 11 33abab 的最小值 【解答】解： （1）函数 3 ,1 ( )2|1|2|4, 12 3 ,2 x x f xxxxx x x ， ( )( 1)3 min f xf （2）由（1）知3ab， 故 11111 (3)(3 ) () 331233 abab abababab 133 (2) 1233 abab abab ， 又0a ，0b ， 3 0 3 ab ab ， 3 0 3 ab ab ， 33 2 33 abab abab ，当且仅当 3 2 ab时“”成立， 111 333abab ， 11 33abab 的最小值为 1 3
