1、 第 1 页（共 18 页） 2020 年湖南省郴州市高考数学一模试卷（文科）年湖南省郴州市高考数学一模试卷（文科） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题有且只有一项是符合题目要求的小题，每小题有且只有一项是符合题目要求的 1 （5 分）设集合 1 | 1 2 Axx ， |01Bxx ，则(AB ) A 1 (0, ) 2 B 1，0) C 1 ,1) 2 D 1，1 2 （5 分）若复数1 1 a Z i 为纯虚数，则实数(a ) A2 B1 C1 D2 3 （5 分）若角的终边过点(3, 4)A，则sin()( ) A 4 5 B 3 5 C 3 5 D 4 5
2、4 （5 分）函数cosyxx的大致图象是( ) A B C D 5 （5 分）在等比数列 n a中， 2 a， 14 a是方程 2 860xx的根，则 313 8 a a a 的值为( ) A410 B6 C6 D6或6 6（5 分） 定义域为R的函数( )f x是偶函数， 且对任意 1 x， 2 (0,)x ， 12 12 ( )() 0 f xf x xx 设 af（2） ，( )bf，( 1)cf，则( ) Abac Bcab Ccba Dacb 7 （5 分）已知向量(1,3)a ，(4,)bm，且()aba，则向量a与b夹角为( ) A 3 B 6 C 4 D 2 第 2 页（共
3、18 页） 8 （5 分）下列结论中正确的个数是( ) 在ABC中，若sin2sin2AB，则ABC是等腰三角形； 在ABC中，若sinsinAB，则AB； 两个向量, a b共线的充要条件是存在实数，使ba； 等差数列的前n项和公式是常数项为 0 的二次函数 A0 B1 C2 D3 9 （5 分）郴州市正在创建全国文明城市，现有甲、乙、丙、丁 4 人，平均分成两组，其中 一组指挥交通，一组打扫街道卫生，则甲、乙不在同一组的概率为( ) A 1 2 B 1 3 C 2 3 D 1 6 10 （5 分）已知双曲线 22 22 :1 xy C ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，以 12
4、FF为直径的圆与双 曲线的四个交点依次连线恰好构成一个正方形，则双曲线的离心率为( ) A2 B22 C2 D22 11 （5 分）唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说： “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交 河 ”诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚 下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中， 设军营所在区域为 22 2xy， 若将军从点(3,0)A处出发， 河岸线所在直线方程为4xy， 并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为( ) A2 5 B172 C17 D32 12 （5 分）已知函数
5、( )f x在定义域R上的导函数为( )fx，若函数( )yfx没有零点，且 ( )2020 2020 x f f x ，当( )sin3cosg xxxkx在, 2 2 上与( )f x在R上的单调性 相同时，实数k的取值范围是( ) A(，1 B(,3 C 1, 3 D 3,) 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题把答案填写在题中横线上小题把答案填写在题中横线上 13 （5 分）已知函数 2 ,0 ( ) 1 ( ),0 2 x x x f x x x ，( ( 1)f f 第 3 页（共 18 页） 14 （5 分）已知x，y满足约束条件 34 4 2 xy y xy ，若
6、zxy的最大值是 15 （5 分）设数列 n a满足 1 3a ，21 nn Sa，2n，则 5 a 16 （5 分）在ABC中，8AB ，6BC ，10AC ，P为ABC外一点，满足 5 5PAPBPC，则三棱锥PABC的外接球的半径为 三、解答题：解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程三、解答题：解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程17 题题-21 题为必考题题为必考题22 题、题、 23 题为选考题题为选考题 17 （12 分）某经销商从某养殖场购进某品种河蟹，并随机抽取了 100 只进行统计，按重量 分类统计，得到频率分布直方图如下： （1）记事件A为“从这批河蟹中任取一只，重量不超
7、过 120 克” ，估计P（A） ； （2）试估计这批河蟹的平均重量； （3）该经销商按有关规定将该品种河蟹分三个等级，并制定出销售单价如下： 等级 特级 一级 二级 重量( )g (140，160 (100，140 40，100 单价（元/只） 40 20 10 试估算该经销商以每千克至多花多少元（取整）收购这批河蟹，才能获利？ 18 （12 分）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且向量(2,cos )nacC 与向量( ,cos )mbB共线 （）求角B的大小； （）若2BDDC，且1CD ，7AD ，求三角形ABC的面积 第 4 页（共 18 页） 19 （12 分）如图
8、，在五棱锥PABCDE中，PA 平面ABCDE，/ /ABCD，/ /ACED， / /AEBC，45ABC，2 2AB ，24BCAE （1）求证：CD 平面PAC； （2）求直线PA与平面PCD所成的角是 4 ，求五棱锥PABCDE的体积 20 （12 分）设P为圆 22 6xy上任意一点，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，点M是线 段PQ上的一点，且满足3PQMQ （1）求点M的轨迹C的方程； （2）过点(2,0)F作直线l与曲线C相交于A，B两点，设O为坐标原点，当OAB的面积 最大时，求直线l的方程 21 （12 分）已知函数( )23 x f xxeax （1）若曲线( )yf x在0
9、x 处切线与坐标轴围成的三角形面积为 9 2 ，求实数a的值； （2）若 1 2 a ，求证：( )4f xlnx 请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分 22（10 分） 在平面直角坐标系xOy中， 曲线C的参数方程为 1cos ( sin x y 为参数， 且0， ，以原点 0 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 sin()2 6 （）求曲线C的普通方程与直线l的直角坐标方程； （）设点M在曲线C上，求点M到直线l距离的最小值与最大值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲
10、第 5 页（共 18 页） 23设( ) |21| 2f xx，( ) |2 |1g xxax （）求不等式( ) |4|f xx的解集； （）若对任意的 1 x， 2 xR，使得 12 ( )()f xg x，求实数a的取值范围 第 6 页（共 18 页） 2020 年湖南省郴州市高考数学一模试卷（文科）年湖南省郴州市高考数学一模试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题有且只有一项是符合题目要求的小题，每小题有且只有一项是符合题目要求的 1 （5 分）设集合 1 | 1 2 Axx ， |01Bxx ，则(AB ) A
11、1 (0, ) 2 B 1，0) C 1 ,1) 2 D 1，1 【解答】解： 1 | 1, |01 2 AxxBxx剟， 1 (0, ) 2 AB 故选：A 2 （5 分）若复数1 1 a Z i 为纯虚数，则实数(a ) A2 B1 C1 D2 【解答】解： (1) 111 1(1)(1)22 aaiaa Zi iii 为纯虚数， 10 2 a ，即2a 故选：D 3 （5 分）若角的终边过点(3, 4)A，则sin()( ) A 4 5 B 3 5 C 3 5 D 4 5 【解答】解：角的终边过点(3, 4)A，则 44 sin()sin 5916 ， 故选：D 4 （5 分）函数cos
12、yxx的大致图象是( ) A B 第 7 页（共 18 页） C D 【解答】解：由于( )cosf xxx， ()cosfxxx ， ()( )fxf x，且()( )fxf x ， 故此函数是非奇非偶函数，排除A、C； 又当 2 x 时，cosxxx， 即( )f x的图象与直线yx的交点中有一个点的横坐标为 2 ，排除D 故选：B 5 （5 分）在等比数列 n a中， 2 a， 14 a是方程 2 860xx的根，则 313 8 a a a 的值为( ) A410 B6 C6 D6或6 【解答】解：根据题意，等比数列 n a中， 2 a， 14 a是方程 2 860xx的根，则 214
13、6a a， 214 8aa ， 则 2 0a 且 14 0a， 若 214 6a a，则 2 2143138 ()6a aa aa， 则有 313 6a a， 8 6a ， 故 313 8 6 6 6 a a a ； 故选：C 6（5 分） 定义域为R的函数( )f x是偶函数， 且对任意 1 x， 2 (0,)x ， 12 12 ( )() 0 f xf x xx 设 af（2） ，( )bf，( 1)cf，则( ) Abac Bcab Ccba Dacb 【解答】解：依题意，偶函数( )f x在(0,)上为减函数， 第 8 页（共 18 页） ( )ff（2）f（1）( 1)f，即bac，
14、 故选：A 7 （5 分）已知向量(1,3)a ，(4,)bm，且()aba，则向量a与b夹角为( ) A 3 B 6 C 4 D 2 【解答】解：向量(1,3)a ，(4,)bm，且()aba， 2 ()0ab aaa b， 即 2 aa b，即1043m，2m，(4,2)b 设向量a与b夹角为，0， 则10 | | cos10164 cos10 2 5 cosab 2 cos 2 ， 4 ， 故选：C 8 （5 分）下列结论中正确的个数是( ) 在ABC中，若sin2sin2AB，则ABC是等腰三角形； 在ABC中，若sinsinAB，则AB； 两个向量, a b共线的充要条件是存在实数，
15、使ba； 等差数列的前n项和公式是常数项为 0 的二次函数 A0 B1 C2 D3 【解答】解：对于在ABC中，0A，022A，同理022B， 若sin2sin2AB，则22AB或22AB， 即AB，或 2 AB ， 所以ABC是等腰三角形或直角三角形错误 对于在ABC中，由正弦定理可得sinsinABabAB，故正确 对于当0a ，而0b 时，不存在实数，使ba；故错误 对于，当等差数列是常数列时，例如2 n a ，前n项和为2 n Sn，不是二次函数，故 错误 所以正确的是， 故选：B 第 9 页（共 18 页） 9 （5 分）郴州市正在创建全国文明城市，现有甲、乙、丙、丁 4 人，平均分
16、成两组，其中 一组指挥交通，一组打扫街道卫生，则甲、乙不在同一组的概率为( ) A 1 2 B 1 3 C 2 3 D 1 6 【解答】解：现有甲、乙、丙、丁 4 人，平均分成两组，其中一组指挥交通，一组打扫街道 卫生， 基本事件总数 22 242 2 2 2 6 C C nA A ， 甲、乙在同一组包含的基本事件个数 222 222 2mC C A， 甲、乙不在同一组的概率 22 11 63 m P n 故选：C 10 （5 分）已知双曲线 22 22 :1 xy C ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，以 12 FF为直径的圆与双 曲线的四个交点依次连线恰好构成一个正方形，则双曲线
17、的离心率为( ) A2 B22 C2 D22 【解答】解：以 12 FF为直径的圆的方程为 222 xyc， 联立双曲线的方程 222222 b xa ya b， 可得 222 2 2 ()acb x c ， 以 12 FF为直径的圆与双曲线的四个交点依次连线恰好构成一个正方形，可得 222 1 2 xyc， 即有 4224 420ca ca， 由 c e a ，可得 42 420ee， 解得 2 22(22e 舍去） ， 则22e 故选：D 11 （5 分）唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说： “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交 河 ”诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望
18、烽火之后从山脚 下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中， 第 10 页（共 18 页） 设军营所在区域为 22 2xy， 若将军从点(3,0)A处出发， 河岸线所在直线方程为4xy， 并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为( ) A2 5 B172 C17 D32 【解答】解：设点A关于直线4xy的对称点( , )A a b，设军营所在区域为的圆心为C， 根据题意，2A C为最短距离，先求出 A 的坐标， AA 的中点为 3 ( 2 a ，) 2 b ，直线 AA 的斜率为 1， 故直线 AA 为3yx， 由 3 4 22
19、 3 ab ba ，联立得 故4a ，1b ， 所以 22 4117A C， 故2172A C， 故选：B 12 （5 分）已知函数( )f x在定义域R上的导函数为( )fx，若函数( )yfx没有零点，且 ( )2020 2020 x f f x ，当( )sin3cosg xxxkx在, 2 2 上与( )f x在R上的单调性 相同时，实数k的取值范围是( ) A(，1 B(,3 C 1, 3 D 3,) 【解答】解：由函数( )yfx没有零点，可知( )f x在R上单调， ( )2020 2020 x f f x ， 令( )2020xf xt，则( )2020xf xt，则( )f
20、x单调递增， ( )sin3cosg xxxkx在, 2 2 上 与( )f x在R上 的 单 调 性 相 同 时 ， 即 ( )sin3cosg xxxkx在, 2 2 上单调递增， 故( )cos3sin0g xxxk 在, 2 2 上恒成立， 所以2sin() 6 kx 在, 2 2 上恒成立， 第 11 页（共 18 页） 结合正弦函数的性质可知，当, 2 2 x 时，3 2sin() 2 6 x 剟， 则3k 故选：B 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题把答案填写在题中横线上小题把答案填写在题中横线上 13 （5 分）已知函数 2 ,0 ( ) 1 ( ),0 2 x
21、 x x f x x x ，( ( 1)f f 6 【解答】解：函数 2 ,0 ( ) 1 ( ),0 2 x x x f x x x ， 1 1 ( 1)( )( 1)3 2 f ( ( 1)f ff（3）236 故答案为：6 14 （5 分）已知x，y满足约束条件 34 4 2 xy y xy ，若zxy的最大值是 10 【解答】解：x，y满足约束条件 34 4 2 xy y xy 的平面区域如下图所示： 由图易得，由 4 2 y xy ，解得(6,4)A； 当6x ，4y 时，目标函数zxy的最大值为 10 故答案为：10 第 12 页（共 18 页） 15 （5 分）设数列 n a满足
22、 1 3a ，21 nn Sa，2n，则 5 a 16 【解答】解：数列 n a满足 1 3a ， 2n ， 22 21Sa， 解得 2 2a ， 3n 时， 33 3221aa，解得 3 4a ， 可得 44 32421aa，可得 4 8a ， 5n 时， 55 324821aa， 5 16a ， 故答案为：16 16 （5 分）在ABC中，8AB ，6BC ，10AC ，P为ABC外一点，满足 5 5PAPBPC，则三棱锥PABC的外接球的半径为 25 4 【解答】解：在ABC中，8AB ，6BC ，10AC ， 所以 222 ABBCAC， P为ABC外一点，满足5 5PAPBPC， 则
23、PD 平面ABC， 球心O为PD上一点，如图所示： 所以： 22 ()()10PDPAAD， 设球的半径为R，所以 222 5(10)RR， 第 13 页（共 18 页） 解得： 25 4 R 故答案为： 25 4 三、解答题：解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程三、解答题：解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程17 题题-21 题为必考题题为必考题22 题、题、 23 题为选考题题为选考题 17 （12 分）某经销商从某养殖场购进某品种河蟹，并随机抽取了 100 只进行统计，按重量 分类统计，得到频率分布直方图如下： （1）记事件A为“从这批河蟹中任取一只，重量不超过 120 克” ，估计
24、P（A） ； （2）试估计这批河蟹的平均重量； （3）该经销商按有关规定将该品种河蟹分三个等级，并制定出销售单价如下： 等级 特级 一级 二级 重量( )g (140，160 (100，140 40，100 单价（元/只） 40 20 10 试估算该经销商以每千克至多花多少元（取整）收购这批河蟹，才能获利？ 【 解 答 】 解 ：（ 1 ） 由 于100只 河 蟹 中 重 量 不 超 过120g的 河 蟹 有 (0.0150.010.00750.0025)20 10070（只)， 所以：P（A） 707 10010 ； （ 2 ） 从 统 计 图 中 可 以 估 计 这 批 河 蟹 的 平 均
25、 重 量 为 ： (50 0.002570 0.007590 0.01 110 0.015 130 0.0125)2096.5（克)， （3）设该经销商收购这批河蟹每千克至多x元根据样本， 由（2）知，这 100 只河蟹中特级，一级，二级各有 5 只、55 只、40 只，约有 96.5 10096509.65gkg， 第 14 页（共 18 页） 所以9.6540 555 2040 10x ，所以176.2x， 故可以估计该经销商收购这批河蟹每千克至多 176 元 18 （12 分）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且向量(2,cos )nacC 与向量( ,cos )mbB共
26、线 （）求角B的大小； （）若2BDDC，且1CD ，7AD ，求三角形ABC的面积 【解答】解： （）向量(2,cos )nacC与向量向量( ,cos )mbB共线 (2)coscosacBbC， 由正弦定理可得：(2sinsin)cossincosACBBC， 2sincossin()sinABBCA， 又sin0A ， 1 cos 2 B ， 又0B， 3 B （）2BDDC，且1CD ，7AD ， 2BD，3BC ， 在ABD中， 由余弦定理得 22 2cosADBDAB BDB， 即 2 74 2A BA B ， 解之得3AB ， 或1AB （舍)， 1139 3 sin3 3 2
27、224 ABC SAB BCB 19 （12 分）如图，在五棱锥PABCDE中，PA 平面ABCDE，/ /ABCD，/ /ACED， / /AEBC，45ABC，2 2AB ，24BCAE （1）求证：CD 平面PAC； （2）求直线PA与平面PCD所成的角是 4 ，求五棱锥PABCDE的体积 第 15 页（共 18 页） 【解答】解： （1）证明：45ABC，2 2AB ，24BCAE 22 2 2cos4581622 242 2 2 ACABBCABBC ， 222 ABACBC，ABAC， / /ABCD，ACCD， PA 平面ABCDE，CD 平面ABCDE，CDPA， PAACA，
28、CD平面PAC （2）解：过A作AFPC，交PC于F，CD 平面PAC，AFCD， PCCDC，AF平面PCD，APF是直线PA与平面PCD所成的角， 直线PA与平面PCD所成的角是 4 ， 4 APF ，2 2PAAC， / /ACED，CDAC，四边形ACDE是直角梯形， 2AE ，45ABC，/ /AEBC，135BAE，45CAE， 故 2 sin4522 2 CDAE， 2 cos452 222 2 DEACAE ， 22 2 23 2 ACDE S 四边形 ， 11 2 22 28 22 ABC SABAC 又PA 平面ABCDE， 五棱锥PABCDE的体积： P ABCDEP A
29、BCP ACDE VVV 11 33 ABCACDE SPASPA 四边形 第 16 页（共 18 页） 11 82 232 2 33 22 2 3 20 （12 分）设P为圆 22 6xy上任意一点，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，点M是线 段PQ上的一点，且满足3PQMQ （1）求点M的轨迹C的方程； （2）过点(2,0)F作直线l与曲线C相交于A，B两点，设O为坐标原点，当OAB的面积 最大时，求直线l的方程 【解答】解： （1）设( , )P x y，则( ,0)Q x， 0 (M x， 0) y且 0 xx 又根据3PQMQ可得(0， 0 )3(0,)yy，则 0 3yy ， 所以 2
30、2 00 (3)1xy ，整理可得M的轨迹方程为 22 31xy； （2）设过(2,0)F的直线的方程为：2xmy， 联立 22 2 31 xmy xy ，整理得 22 (3)430mymy， 所以 12 2 4 3 m yy m ， 12 2 3 3 y y m ， 则 2 222 222 41229 |1()1 333 mm ABmm mmm ， 点O到直线的距离 2 2 1 d m ， 所以 2 2 19 | 23 OAB m SAB d m ， 第 17 页（共 18 页） 令 2 9tm， 则 2 13 12 1212 OAB t S t t t ， 当且仅当 12 t t ， 即
31、22 912tm时取 “” ， 此时21m ， 故直线方程为212xy或212xy 21 （12 分）已知函数( )23 x f xxeax （1）若曲线( )yf x在0x 处切线与坐标轴围成的三角形面积为 9 2 ，求实数a的值； （2）若 1 2 a ，求证：( )4f xlnx 【解答】解： （1）( )2 xx fxexea，则(0)12fa ，又(0)3f， 故曲线( )yf x在曲线0x 处的切线方程为3(12 )ya x，即(12 )3ya x， 依题意， 139 3 | 2122a ，解得0a 或1a ； （2）证明：当 1 2 a 时，( )3 x f xxex，要证( )
32、4f xlnx，即证1 0 x xexlnx ， 设 x txe，且当(0,)x时，(0,)t，则lntlnxx，即证1 0tlnt 在(0,)t上 恒成立， 令( )1h ttlnt ，则 1 ( )1h t t ，易知当(0,1)t时，函数( )h t单调递减， 当(1,)t时，函数( )h t单调递增， 故( )minh th（1）0，则( ) 0h t ，即1 0tlnt ，即得证 请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分 22（10 分） 在平面直角坐标系xOy中， 曲线C的参数方程为 1cos (
33、 sin x y 为参数， 且0， ，以原点 0 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 sin()2 6 （）求曲线C的普通方程与直线l的直角坐标方程； （）设点M在曲线C上，求点M到直线l距离的最小值与最大值 【解答】解： （）曲线C的参数方程为 1cos ( sin x y 为参数，且0， 第 18 页（共 18 页） 曲线C的普通方程为 22 (1)1xy，(01)y剟， 直线l的极坐标方程为sin()2 6 sincoscos sin2 66 ，即3 sincos40， 直线l的直角坐标方程为340xy （）设点(1cos ,sin )M到直线l的距离为： |2
34、sin()3|32sin() |1cos3sin4| 66 222 d ， 0， 7 , 666 ， 1 sin(),1 62 ， 1 ,2 2 d ， 点M到直线l距离的最小值为 1 2 ，最大值为 2 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23设( ) |21| 2f xx，( ) |2 |1g xxax （）求不等式( ) |4|f xx的解集； （）若对任意的 1 x， 2 xR，使得 12 ( )()f xg x，求实数a的取值范围 【解答】解： （1）将|21| 2 |4|xx 化为： 1 2 2124 x xx 或 1 4 2 1224 x xx 或 4 1224 x xx ， 解得：3x 或 1 4 3 x 或4x， 解集为 1 | 3 x x 或3x ； （2）因为( )2f x ，( ) |2 |1|21| |21|g xxaxxaxa 由题意得，若( )( ) minmax f xg x 即可， 2 |21|a 得2212a ， 所以， 31 22 a
