1、 第 1 页（共 19 页） 2020 年陕西省渭南市高考数学一模试卷（文科）年陕西省渭南市高考数学一模试卷（文科） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题列出的四个选项中，选出在每小题列出的四个选项中，选出 符合题目要求的一项符合题目要求的一项. 1 （5 分）设全集UR，集合 |02Axx， 3B ，1，1，3，则集合()( UA B ) A 3，1 B 3，1，3 C1，3 D 1，1 2 （5 分）已知i为虚数单位，若 1 1 abi i ，( ,)a bR，则(ab ) A1 B2 C 2 2 D2 3 （5
2、分）向量a，b满足| 1a ，|2b ，()(2)abab，则向量a与b的夹角为( ) A45 B60 C90 D120 4 （5 分）某中学有高中生 3000 人，初中生 2000 人，男、女生所占的比例如图所示为了 解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中 生中抽取女生 21 人，则从初中生中抽取的男生人数是( ) A12 B15 C20 D21 5 （5 分）函数|yxln x的大致图象是( ) A B 第 2 页（共 19 页） C D 6 （5 分）给定空间中的直线l及平面，条件“直线l与平面内无数条直线都垂直”是 “直线l与平面垂直”的( )
3、条件 A充要 B充分非必要 C必要非充分 D既非充分又非必要 7 （5 分）已知函数 2 ( )(1)23f xmxmx是偶函数，则在(,0)上此函数( ) A是增函数 B不是单调函数 C是减函数 D不能确定 8 （5 分）设函数( )sin()(0f xAxA，0，|) 2 与直线3y 的交点的横坐标 构成以为公差的等差数列， 且 6 x 是( )f x图象的一条对称轴， 则下列区间中是函数( )f x 的单调递减区间的是( ) A 27 , 36 B,0 3 C 45 , 36 D 5 , 63 9（5 分） 已知离心率为2的双曲线 2 2 2 21 x y a 的右焦点为F， 直线l过点
4、F且垂直于x轴， 若l被抛物线 2 2ypx截得的线段长为 4，则(p ) A1 B2 C 1 2 D2 10 （5 分）一位老师有两个推理能力很强的学生甲和乙，他告诉学生他手里拿着与以下扑 克牌中的一张相同的牌： 黑桃：3，5，Q，K红心：7，8，Q梅花：3，8，J，Q方块：2，7，9 老师只给甲同学说这张牌的数字（或字母） ，只给乙同学说这张牌的花色，接着老师让这两 个同学猜这是张什么牌： 甲同学说：我不知道这是张什么牌，乙同学说：我也不知道这是张什么牌 甲同学说：现在我们知道了 则这张牌是( ) A梅花 3 B方块 7 C红心 7 D黑桃Q 11 （5 分）曲线 2 ylnx x 在1x
5、 处的切线的倾斜角为，则cos(2) 2 的值为( ) 第 3 页（共 19 页） A 4 5 B 4 5 C 3 5 D 3 5 12 （5 分）唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说： “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交 河 ”诗中隐含着一个有趣的数学问题 “将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山 脚下某处出发， 先到河边饮马后再回到军营， 怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系 中，设军营所在区域为 22 1xy，若将军从点(2,0)A处出发，河岸线所在直线方程为 3xy，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为 ( ) A101 B2 21 C2 2 D10
6、二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）若变量x，y满足约束条件 3 29 69 xy xy 剟 剟 ，则2zxy的最大值为 14 （5 分）已知函数|log|(0,1) a yxaa与函数(0)yb b存在两个不同的交点，两交 点的横坐标分别为 1 x， 212 ()x xx，则 12 2xx的最小值为 15 （5 分）如图所示，位于东海某岛的雷达观测站A，发现其北偏东45，与观测站A距 离20 2海里的B处有一货船正匀速直线行驶，半小时后，又测得该货船位于观测站A东偏 北(045 )的C处，且 4 cos 5
7、，已知A、C两处的距离为 10 海里，则该货船的船 速为 海里/小时 16 （5 分） 在三棱锥PABC中， 平面PAB 平面ABC，ABC是边长为 6 的等边三角形， PAB是以AB为斜边的等腰直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为 三、解答题：共三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分 17 （12 分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，PAD为等边三角形， 平面PAD 平面PCD （）证明：平面PAD 平面ABCD； 第 4 页（共 19 页） （）若2AB ，
8、Q为线段PB的中点，求三棱锥QPCD的体积 18 （12 分）在公差不为零的等差数列 n a中，已知 2 3a ，且 1 a、 3 a、 7 a成等比数列 （1）求数列 n a的通项公式； （2）设数列 n a的前n项和为 n S，记 3 9 2 n n b S ，求数列 n b的前n项和 n T 19 （12 分）2022 年北京冬奥会的申办成功与“3 亿人上冰雪”口号的提出，将冰雪这个冷 项目迅速炒“热” 北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程，为了解学生对冰球运动 的兴趣，随机从该校一年级学生中抽取了 100 人进行调查，其中女生中对冰球运动有兴 趣的占 2 3 ，而男生有 10 人表示
9、对冰球运动没有兴趣额 （1）完成22列联表，并回答能否有90%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”？ 有兴趣 没兴趣 合计 男 55 女 合计 （2）已知在被调查的女生中有 5 名数学系的学生，其中 3 名对冰球有兴趣，现在从这 5 名 学生中随机抽取 3 人，求至少有 2 人对冰球有兴趣的概率 附表： 2 0 ()P Kk 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd 20（12 分） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab
10、ab 的顶点到直线 1: lyx的距离分别为2和 2 2 （1）求椭圆C的标准方程 第 5 页（共 19 页） （2）设平行于 1 l的直线l交C于A，B两点，且| |OAOBAB，求直线l的方程 21 （12 分）设函数 2 1 ( )(1) 2 x f xx ex （1）求( )f x的单调区间 （2）当0x 时，不等式 2 ()( )xk fxxx恒成立， （其中( )fx为( )f x的导函数） 求整 数k的最大值 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.考生在第考生在第 22，23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第 一题记分，
11、答时用一题记分，答时用 2B 铅笔在答题卡上把目的题号涂黑铅笔在答题卡上把目的题号涂黑 22 （10 分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 3 ( 3 xt t yt 为参数） ，曲线 1 C的参 数方程为 22cos ( 2sin x y 为参数） ，以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极 轴建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为2 3cos2sin （）分别求曲线 1 C的极坐标方程和曲线 2 C的直角坐标方程； （）设直线l交曲线 1 C于O，A两点，交曲线 2 C于O，B两点，求|AB的长 23已知0a ，0b ，0c ，函数( ) |f xaxxbc （1）当2a
12、bc时，求不等式( )10f x 的解集； （2）若函数( )f x的最小值为 1，证明： 222 1 3 abc 第 6 页（共 19 页） 2020 年陕西省渭南市高考数学一模试卷（文科）年陕西省渭南市高考数学一模试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题列出的四个选项中，选出在每小题列出的四个选项中，选出 符合题目要求的一项符合题目要求的一项. 1 （5 分）设全集UR，集合 |02Axx， 3B ，1，1，3，则集合()( UA B ) A 3，1 B 3，1，3
13、C1，3 D 1，1 【解答】解：根据题意，全集UR，集合 |02Axx，则 |0 UA x x或2x 又由 3B ，1，1，3，则集合() 3 UA B ，1，3； 故选：B 2 （5 分）已知i为虚数单位，若 1 1 abi i ，( ,)a bR，则(ab ) A1 B2 C 2 2 D2 【解答】解：由 1111 1(1)(1)22 i iabi iii ， 得 1 2 ab， 1ab 故选：A 3 （5 分）向量a，b满足| 1a ，|2b ，()(2)abab，则向量a与b的夹角为( ) A45 B60 C90 D120 【解答】解：设向量a与b的夹角为 ()(2)abab， 22
14、22 () (2)22 1( 2)12cos0abababa b ， 化为cos0， 0，90 故选：C 4 （5 分）某中学有高中生 3000 人，初中生 2000 人，男、女生所占的比例如图所示为了 第 7 页（共 19 页） 解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中 生中抽取女生 21 人，则从初中生中抽取的男生人数是( ) A12 B15 C20 D21 【解答】解：由扇形图得： 中学有高中生 3000 人，其中男生300030%900，女生300070%2100， 初中生 2000 人，其中男生200060%1200，女生200040%800，
15、 用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本， 已知从高中生中抽取女生 21 人， 则 21 50002100 n ， 解得50n ， 从初中生中抽取的男生人数是： 1200 5012 5000 故选：A 5 （5 分）函数|yxln x的大致图象是( ) A B C D 【解答】解：令( )|f xxln x，易知()|( )fxxlnxxln xf x ，所以该函数是奇 函数，排除选项B； 第 8 页（共 19 页） 又0x 时，( )f xxlnx，容易判断，当x 时，xlnx ，排除D选项； 令( )0f x ，得0xlnx ，所以1x ，即0x 时，函数图象与x轴只有一个交点
16、，所以C选 项满足题意 故选：C 6 （5 分）给定空间中的直线l及平面，条件“直线l与平面内无数条直线都垂直”是 “直线l与平面垂直”的( )条件 A充要 B充分非必要 C必要非充分 D既非充分又非必要 【解答】解：直线与平面内的无数条平行直线垂直，但该直线未必与平面垂直； 即“直线l与平面内无数条直线都垂直” “直线l与平面垂直”为假命题； 但直线l与平面垂直时，l与平面内的每一条直线都垂直， 即“直线l与平面垂直” “直线l与平面内无数条直线都垂直”为真命题； 故“直线l与平面内无数条直线都垂直”是“直线l与平面垂直”的必要非充分条件 故选：C 7 （5 分）已知函数 2 ( )(1)2
17、3f xmxmx是偶函数，则在(,0)上此函数( ) A是增函数 B不是单调函数 C是减函数 D不能确定 【解答】解：因为函数 2 ( )(1)23f xmxmx是偶函数，所以20m，即0m ， 所以 2 ( )3f xx ， 因为二次函数对应的抛物线开口向下， 所以 2 ( )3f xx 在(,0)上， 函数单调递增，为增函数 故选：A 8 （5 分）设函数( )sin()(0f xAxA，0，|) 2 与直线3y 的交点的横坐标 构成以为公差的等差数列， 且 6 x 是( )f x图象的一条对称轴， 则下列区间中是函数( )f x 的单调递减区间的是( ) A 27 , 36 B,0 3
18、C 45 , 36 D 5 , 63 【解答】解：由题意可得，3A ，函数( )f x的周期为 2 ， 解得2，且3A ， 再由2 62 k ，kZ，解得 6 k ，结合| 2 ， 第 9 页（共 19 页） 可得 6 ， ( )3sin(2) 6 f xx 令222 262 kxk 剟，解得 36 kx k 剟， 故函数的增区间为 3 k ， 6 k ，kZ 故区间 5 6 ， 3 是函数的减区间 故选：D 9（5 分） 已知离心率为2的双曲线 2 2 2 21 x y a 的右焦点为F， 直线l过点F且垂直于x轴， 若l被抛物线 2 2ypx截得的线段长为 4，则(p ) A1 B2 C
19、1 2 D2 【解答】 解： 离心率为2的双曲线 2 2 2 21 x y a ， 可得 2 1 2 2 a c e aa ， 解得 2 2 a ， 2 1 1 2 ca， 双曲线 2 2 2 21 x y a 的右焦点为(1,0)F， 直线l过点(1,0)且垂直于x轴， 1x， 代入到 2 2ypx，可得 2 2yp，显然0a ， 2yp ， l被抛物线 2 2ypx截得的线段长为 4， 22p ， 解得2p ， 故选：B 10 （5 分）一位老师有两个推理能力很强的学生甲和乙，他告诉学生他手里拿着与以下扑 克牌中的一张相同的牌： 黑桃：3，5，Q，K红心：7，8，Q梅花：3，8，J，Q方块
20、：2，7，9 老师只给甲同学说这张牌的数字（或字母） ，只给乙同学说这张牌的花色，接着老师让这两 第 10 页（共 19 页） 个同学猜这是张什么牌： 甲同学说：我不知道这是张什么牌，乙同学说：我也不知道这是张什么牌 甲同学说：现在我们知道了 则这张牌是( ) A梅花 3 B方块 7 C红心 7 D黑桃Q 【解答】解：首先根据甲同学： “我不知道这张牌 ” ：由于甲只知道数字（或子母） ， 所以可知点数不可能是 2，5，9，K，J因为要是这几个中的一个，乙就直接知道了是什 么， 因此可知这张牌的点数只可能为：3，7，8，Q（即牌肯定是重复出现的） 其次根据乙同学： “我也不知道这张牌” ：直接
21、可以排除方块 7，因为乙知道花色，若是方块 就只能是方块 7， 故排除；故只剩下黑桃 3，黑桃Q，红心 7，红心 8，红心Q，梅花 3，梅花 8，梅花Q， 最后根据贾同学： “现在我们知道了 ”可知所以这张牌的点数只可能，否则甲不可能知道， 因此只剩下了红心 7； 故选：C 11 （5 分）曲线 2 ylnx x 在1x 处的切线的倾斜角为，则cos(2) 2 的值为( ) A 4 5 B 4 5 C 3 5 D 3 5 【解答】解：依题意， 2 12 y xx ，所以 12 tan3 11 ， 所以 2222 2sincos2tan233 cos(2)sin2 21315sincostan
22、， 故选：D 12 （5 分）唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说： “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交 河 ”诗中隐含着一个有趣的数学问题 “将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山 脚下某处出发， 先到河边饮马后再回到军营， 怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系 中，设军营所在区域为 22 1xy，若将军从点(2,0)A处出发，河岸线所在直线方程为 3xy，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为 ( ) A101 B2 21 C2 2 D10 第 11 页（共 19 页） 【解答】解：设点A关于直线3xy的对称点( , )A a b， AA 的中点为( 2 a
23、b ，) 2 b ， 2 AA b k a 故 ( 1)1 2 2 3 22 b a ab 解得 3 1 a b ， 要使从点A到军营总路程最短， 即为点 A 到军营最短的距离， “将军饮马”的最短总路程为 22 311101 ， 故选：A 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）若变量x，y满足约束条件 3 29 69 xy xy 剟 剟 ，则2zxy的最大值为 3 【解答】解：画出约束条件表示的可行域， 将目标函数2zxy平移， 当目标函数经过6xy和29xy的交点(5, 1)时， z有最大值，即：3， 故答案
24、为：3 14 （5 分）已知函数|log|(0,1) a yxaa与函数(0)yb b存在两个不同的交点，两交 点的横坐标分别为 1 x， 212 ()x xx，则 12 2xx的最小值为 2 2 第 12 页（共 19 页） 【解答】解：由题意，根据函数|log| a yx特点，可知 12 01xx ， 且 12 loglog0 aa xx，即 12 log0 ax x ， 12 1x x ， 故 2 1 1 x x ， 1211 11 11 222 22 2xxxx xx 当且仅当 1 1 1 2x x ，即 1 2 2 x 时，等号成立 故答案为：2 2 15 （5 分）如图所示，位于东
25、海某岛的雷达观测站A，发现其北偏东45，与观测站A距 离20 2海里的B处有一货船正匀速直线行驶，半小时后，又测得该货船位于观测站A东偏 北(045 )的C处，且 4 cos 5 ，已知A、C两处的距离为 10 海里，则该货船的船 速为 4 85 海里/小时 【解答】解： 4 cos 5 ， 3 sin 5 ， 由题意得45BAC，即 2 437 2 coscos(45)() 25510 BAC， 20 2AB ，10AC ， 由余弦定理得 222 2cosBCABACAB ACBAC， 即 222 7 2 (20 2)10220 2 10800100560340 10 BC ， 即3402
26、85BC ， 设船速为x，则 1 2 85 2 x ， 4 85x（海里/小时） ， 故答案为：4 85 第 13 页（共 19 页） 16 （5 分） 在三棱锥PABC中， 平面PAB 平面ABC，ABC是边长为 6 的等边三角形， PAB是以AB为斜边的等腰直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为 48 【解答】解：如图， 在等边三角形ABC中，取AB中点F，设其中心为O， 由6AB ，得 2 2 3 3 COCF PAB是以AB为斜边的等腰直角三角形， F为PAB的外心，则O为棱锥PABC的外接球球心， 则外接球半径2 3ROC 该三棱锥外接球的表面积为 2 4(2 3)48 故答案为：4
27、8 三、解答题：共三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分 17 （12 分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，PAD为等边三角形， 平面PAD 平面PCD （）证明：平面PAD 平面ABCD； （）若2AB ，Q为线段PB的中点，求三棱锥QPCD的体积 【解答】 （）证明：取PD的中点O，连接AO， PAD为等边三角形，AOPD， AO 平面PAD，平面PAD平面PCDPD，平面PAD 平面PCD， 第 14 页（共 19 页） AO平面PCD， CD 平面PCD，
28、AOCD， 底面ABCD为正方形，CDAD， AOADA，CD平面PAD， 又CD 平面ABCD，平面PAD 平面ABCD； （）解：由（）知，AO 平面PCD， A到平面PCD的距离3dAO 底面ABCD为正方形，/ /ABCD， 又AB 平面PCD，CD 平面PCD， / /AB平面PCD， A，B两点到平面PCD的距离相等，均为d， 又Q为线段PB的中点， Q到平面PCD的距离 3 22 d h 由（）知，CD 平面PAD， PD 平面PAD，CDPD， 11133 22 33223 Q PCDPCD VSh 18 （12 分）在公差不为零的等差数列 n a中，已知 2 3a ，且 1
29、a、 3 a、 7 a成等比数列 （1）求数列 n a的通项公式； （2）设数列 n a的前n项和为 n S，记 3 9 2 n n b S ，求数列 n b的前n项和 n T 【解答】解： （1）设 n a的公差为d，依题意得 1 2 111 3 (2 )(6 ) 0 ad ada ad d ， 第 15 页（共 19 页） 解得 1 2 1 a d ， 所以2(1) 11 n ann ； （2）由（1）知，等差数列 n a的首项是 2，公差是 1， 则 3 3(31)9 (1) 321 22 n nnn n Sn ， 3 992111 229 (1)(1)1 n n b Sn nn nnn
30、 ， 12 111111 (1)()()1 223111 nn n Tbbb nnnn ， 故 1 n n T n 19 （12 分）2022 年北京冬奥会的申办成功与“3 亿人上冰雪”口号的提出，将冰雪这个冷 项目迅速炒“热” 北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程，为了解学生对冰球运动 的兴趣，随机从该校一年级学生中抽取了 100 人进行调查，其中女生中对冰球运动有兴 趣的占 2 3 ，而男生有 10 人表示对冰球运动没有兴趣额 （1）完成22列联表，并回答能否有90%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”？ 有兴趣 没兴趣 合计 男 55 女 合计 （2）已知在被调查的女生中有 5 名
31、数学系的学生，其中 3 名对冰球有兴趣，现在从这 5 名 学生中随机抽取 3 人，求至少有 2 人对冰球有兴趣的概率 附表： 2 0 ()P Kk 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd 【解答】解： （1）根据已知数据得到如下列联表 有兴趣 没有兴趣 合计 第 16 页（共 19 页） 男 45 10 55 女 30 15 45 合计 75 25 100 根据列联表中的数据，得到 2 2 100(45 151030)100 3.03
32、0 5545752533 K 3.0302.706所以有90%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关” （2）记 5 人中对冰球有兴趣的 3 人为A、B、C，对冰球没有兴趣的 2 人为m、n，则从 这 5 人中随机抽取 3 人，共有(A，m，)(n B，m，)(n C，m，)(n A、B、)(m A、B、 )(n B、C、)(m B、C、)(n A、C、)(m A、C、)(n A、B、)10C种情况， 其中3人都对冰球有兴趣的情况有(A、B、)1C种， 2人对冰球有兴趣的情况有(A、B、)(m A、 B、)(n B、C、)(m B、C、)(n A、C、)(m A、C、)6n种， 所以至少 2
33、人对冰球有兴趣的情况有 7 种， 因此，所求事件的概率 7 10 p 20（12 分） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的顶点到直线 1: lyx的距离分别为2和 2 2 （1）求椭圆C的标准方程 （2）设平行于 1 l的直线l交C于A，B两点，且| |OAOBAB，求直线l的方程 【解答】解： （1）由直线 1: lyx可知其与两坐标轴的夹角均为45， 故长轴端点到直线 1 l的距离为 2 2 a，短轴端点到直线 1 l的距离为 2 2 b， 所以 2 2 2 a ， 22 22 b ，解得2a ，1b ， 所以椭圆C的标准方程为 2 2 1 4 x y； （2）设直线
34、:(0)l yxt t， 联立 2 2 1 4 yxt x y ，整理得 22 58440xtxt， 则 22 64165(1)0tt，解得55t ， 设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y，则 12 8 5 t xx ， 2 12 44 5 t x x ， 故 2 2 12121212 4 ()()() 5 t y yxt xtxx tx xt ， 第 17 页（共 19 页） 因为| |OAOBAB，所以OAOB， 即 22 1212 444 0 55 tt OA OBx xy y ， 解得 2 10 5 t ，满足55t 且0t ， 所以直线l的方程为 2 10 5 y
35、x或 2 10 5 yx 21 （12 分）设函数 2 1 ( )(1) 2 x f xx ex （1）求( )f x的单调区间 （2）当0x 时，不等式 2 ()( )xk fxxx恒成立， （其中( )fx为( )f x的导函数） 求整 数k的最大值 【解答】解： （1）函数( )f x的定义域为R，( )(1) x fxx e ， 当0x 时，1 x e ，( )0fx；当0x 时，1 x e ，( )0fx；当0x 时，( )0fx； 函数( )f x在(,) 上单调递减，即(,) 为其单调递减区间； （2）由0x 知， 2 ()( )xk fxxx即为()(1)1 x kx ex，亦
36、即 1 1 x x kx e ， 令 1 ( ) 1 x x g xx e ，则( )minkg x， 由 2 (2) ( ) (1) xx x e ex g x e ，令( )2 x h xex， 则当0x 时，( )10 x h xe ，( )h x在(0,)上单调递增，且h（1）0，h（2）0， 故函数( )h x在(0,)上存在唯一零点， 设此零点为 0 (1,2)x ， 0 00 ()20 x h xex，即 0 0 2 x ex， 当 0 (0,)xx时，( )0g x，当 0 (xx，)时，( )0g x， 于是 0 0 000 1 ( )()1(2,3) 1 min x x g
37、 xg xxx e ， 0 1kx，又k为整数， k的最大值为 2 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.考生在第考生在第 22，23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第 一题记分，答时用一题记分，答时用 2B 铅笔在答题卡上把目的题号涂黑铅笔在答题卡上把目的题号涂黑 第 18 页（共 19 页） 22 （10 分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 3 ( 3 xt t yt 为参数） ，曲线 1 C的参 数方程为 22cos ( 2sin x y 为参数） ，以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极 轴建立极坐标系，曲
38、线 2 C的极坐标方程为2 3cos2sin （）分别求曲线 1 C的极坐标方程和曲线 2 C的直角坐标方程； （）设直线l交曲线 1 C于O，A两点，交曲线 2 C于O，B两点，求|AB的长 【解答】解： （）直线l的参数方程为 3 ( 3 xt t yt 为参数） ， 转换为直角坐标方程为： 3 3 y x ， 所以直线的倾斜角为 5 6 所以： 5 6 ， 曲线 1 C的参数方程为 22cos ( 2sin x y 为参数） ， 转换为直角坐标方程为： 22 (2)4xy 转换为极坐标方程为：4cos， 曲线 2 C的极坐标方程为2 3cos2sin， 转换为直角坐标的方程为： 22 2
39、 32xyxy， 整理得： 22 2 320xyxy， 线l交曲线 1 C于O，A两点， 则： 5 6 4cos ， 解得：( 2 3A ， 5 ) 6 ， 直线 5 6 和曲线 2 C于O，B两点 第 19 页（共 19 页） 则： 5 6 2 3cos2sin ， 解得： 5 ( 4,) 6 B ， 所以： 12 | | 42 3AB 23已知0a ，0b ，0c ，函数( ) |f xaxxbc （1）当2abc时，求不等式( )10f x 的解集； （2）若函数( )f x的最小值为 1，证明： 222 1 3 abc 【解答】解： （1）当2abc时，( ) |2|2| 2f xxx， ( )10f x即为 2 2210 x x 或 22 610 x 或 2 2210 x x ， 故不等式的解集为 | 44xx ； （2）证明：0a ，0b ，0c ， ( ) |f xaxxbcaxxbcabcabc ， ( )f x的最小值为 1， 1abc， 2222 ()2221abcabcabbcca， 22 2ab ab， 22 2bc bc， 22 2ca ca， 222222 12223()abcabbccaabc ， 222 1 3 abc，即得证
