1、 第 1 页（共 16 页） 2020 年四川省达州市高考数学一诊试卷（文科）年四川省达州市高考数学一诊试卷（文科） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. 1 （5 分）设集合 | 12Axx ， 1B ，0，1，2，3，则(AB ) A 1，0，1，2 B0，1，2 C0，1 D | 12xx ，或3x 2 （5 分）命题“2x ， 2 log1x ”的否定是( ) A 0 2x， 2 log x l B 0 2x， 2 lo
2、g x l C 0 2x， 2 log xl D 0 2x， 2 log xl 3 （5 分）若向量(4,2)a ，(6, )bk，若/ /ab，则(k ) A12 B12 C3 D3 4 （5 分）在 30 名运动员和 6 名教练员中用分层抽样的方法共抽取n人参加新闻发布会， 若抽取的n人中教练员只有 1 人，则(n ) A5 B6 C7 D8 5 （5 分）已知直线a，b，l，平面，下列结论中正确的是( ) A若a，b，la，lb，则l B若a，/ /ba，则/ /b C若，a，则a D若/ /，l，则l 6 （5 分）若 0.2 0.3a ， 0.1 log2b ， 0.1 0.3c ，
3、则a，b，c的大小关系为( ) Acab Bbac Cacb Dbca 7 （5 分）已知直线3yx 与圆 22 220xyxy相交于A，B两点，则| (AB ) A 6 2 B3 C6 D2 8 （5 分）斗拱是中国古典建筑最富装饰性的构件之一，并为中国所特有图一图二是斗拱 实物图，图三是斗拱构件之一的“斗”的几何体本图中的斗是由棱台与长方体形凹槽（长 方体去掉一个小长方体）组成若棱台两底面面积分别是 2 400cm， 2 900cm，高为9cm，长 方体形凹橹的体积为 3 4300cm，那么这个斗的体积是( ) 第 2 页（共 16 页） 注：台体体积公式是 1 () 3 VSS SS h
4、 A 3 5700cm B 3 8100cm C 3 10000cm D 3 9000cm 9 （5 分）若实数x，y满足 0, 1, 51 0. x y xy ，则2xy的最大值为( ) A2 B0 C7 D9 10 （5 分）已知函数 32 1 ( )1 3 f xaxaxx在R上为增函数，则实数a的取值范围是( ) A0，) B(0,1) C0，1 D0，1) 11 （5 分）设ABC的内角为A，B，C，ADBC于D若ABC外接圆半径等于AD， 则sinsinBC的最小值是( ) A2 B2 C3 D1 12 （5 分）过抛物线 2 :4C yx焦点的直线交该抛物线C于点A，B，与抛物线
5、C的准线 交于点P若点P到x轴距离为 2，则(PA PB ) A16 B12 C8 D18 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知随机变量y与x有相关关系21yx，当3x 时，y的预报值为 14 （5 分）复数 3 2i 的实部为 15 （5 分）已知函数( )f x是R上的偶函数，当0x时， 2,0 1, ( ) 1,1 xx f x lnxx 若f（a）2， 则实数a的取值范围为 （结果写成区间） 16 （5 分）函数( )2sin()(0f xx ，|) 2 的部分图象如图，点A，B的坐标分别 第 3 页（共
6、 16 页） 是(0, 3)， 8 (3，0)，则f（1） 三、 解答题： 共三、 解答题： 共 70 分， 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤分， 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答，第每个试题考生都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答必考题：共题为选考题，考生根据要求作答必考题：共 60 分，分， 17 （12 分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，PD 底面ABCD，点E 是PC的中点 （1）求证：/ /PA平面EDB； （2）若2PDAD，求三棱锥PEDB的体积 P EDB
7、V 18 （12 分）我国已进入新时代中国特色社会主义时期，人民生活水平不断提高某市随机 统计了城区若干户市民十月人均生活支出比九月人均生活支出增加量 （记为P元） 的情况， 并根据统计数据制成如图频率分布直方图 （1）根据频率分布直方图估算P的平均值P； （2）若该市城区有 4 户市民十月人均生活支出比九月人均生活支出分别增加了 42 元，50 元，52 元，60 元，从这 4 户中随机抽取 2 户，求这 2 户P值的和超过 100 元的概率 19 （12 分）已知数列 n a满足 1 1 3 a ，且*nN时， 1n a ， n a， 2 3 成等差数列 （1）求证：数列 2 3 n a
8、为等比数列； 第 4 页（共 16 页） （2）求数列 n a的前n项和 n S 20 （12 分）椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的焦点是 1( 1,0) F ， 2(1,0) F，且过点 2 (1,) 2 A （1）求椭圆C的标准方程； （2）过左焦点 1 F的直线l与椭圆C相交于B、D两点，O为坐标原点问椭圆C上是否存 在点P， 使线段BD和线段OP相互平分？若存在， 求出点P的坐标， 若不存在， 说明理由 21 （12 分）已知( )() x f xxm e （1）当2m 时，求函数( )f x在点(0，(0)f处的切线方程； （2）若函数( )f x在区间( 1,0
9、)上有极小值点，且总存在实数m，使函数( )f x的极小值与 1( )ma e e 2 1 2 m mam互为相反数，求实数a的取值范围 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一 题计分，题计分，选修选修 44：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在新中国成立 70 周年国庆阅兵庆典中，众多群众在脸上贴着一颗红心，以此 表达对祖国的热爱之情在数学中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中有著名的笛卡尔 心型曲线如图，在直角坐标系中，以原点O为极点，x轴正半轴为极
10、轴建立极坐标系图 中的曲线就是笛卡尔心型曲线，其极坐标方程为1 sin (1 sin ,0)p ，M为该曲 线上的任意一点 （1）当 3 | 2 OM 时，求M点的极坐标； （2）将射线OM绕原点O逆时针旋转 2 与该曲线相交于点N，求|MN的最大值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数( ) |1| 2|1|f xxx 第 5 页（共 16 页） （1）求不等式( )5f xx的解集 （2）若 12 | 1xx，求证： 122 ()(2)3f xxfx 第 6 页（共 16 页） 2020 年四川省达州市高考数学一诊试卷（文科）年四川省达州市高考数学一诊试卷（文科） 参考答
11、案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. 1 （5 分）设集合 | 12Axx ， 1B ，0，1，2，3，则(AB ) A 1，0，1，2 B0，1，2 C0，1 D | 12xx ，或3x 【解答】解： | 12Axx ， 1B ，0，1，2，3， 0AB，1，2 故选：B 2 （5 分）命题“2x ， 2 log1x ”的否定是( ) A 0 2x， 2 log x l B 0 2x， 2 lo
12、g x l C 0 2x， 2 log xl D 0 2x， 2 log xl 【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定为 0 2x ， 20 log1x ” 故选：A 3 （5 分）若向量(4,2)a ，(6, )bk，若/ /ab，则(k ) A12 B12 C3 D3 【解答】解：根据题意，向量(4,2)a ，(6, )bk， 若/ /ab，则有42612k， 解可得3k ； 故选：D 4 （5 分）在 30 名运动员和 6 名教练员中用分层抽样的方法共抽取n人参加新闻发布会， 若抽取的n人中教练员只有 1 人，则(n ) A5 B6 C7 D8 【解答】 解： 在 30 名运动员和 6
13、 名教练员中用分层抽样的方法共抽取n人参加新闻发布会， 若抽取的n人中教练员只有 1 人，则 1 6306 n ， 第 7 页（共 16 页） 求得6n ， 故选：B 5 （5 分）已知直线a，b，l，平面，下列结论中正确的是( ) A若a，b，la，lb，则l B若a，/ /ba，则/ /b C若，a，则a D若/ /，l，则l 【解答】解：A错，直线垂直平面内两条相交直线才垂直平面，缺少条件直线a，b相交； B错，平面外一条直线平行平面内一条直线才平行于平面，缺少条件b； C错，两个平面垂直，一个平面内的直线可能平行，相交，垂直于另外一个平面 D对，直线垂直于两个平行平面中的一个，也垂直于
14、另外一个平面 故选：D 6 （5 分）若 0.2 0.3a ， 0.1 log2b ， 0.1 0.3c ，则a，b，c的大小关系为( ) Acab Bbac Cacb Dbca 【解答】解：0.3xy 是单调递减函数； 0.20.1 00.310.3ac ， 又因为 0.10.1 log2log10b ， a，b，c的大小关系为bac 故选：A 7 （5 分）已知直线3yx 与圆 22 220xyxy相交于A，B两点，则| (AB ) A 6 2 B3 C6 D2 【解答】解：由 22 220xyxy，得 22 (1)(1)2xy 圆 22 220xyxy的圆心坐标为(1,1)，半径为2 圆
15、心到直线30xy的距离 |1 13|2 22 d ， 22 2 | 2 ( 2)()6 2 AB 故选：C 8 （5 分）斗拱是中国古典建筑最富装饰性的构件之一，并为中国所特有图一图二是斗拱 第 8 页（共 16 页） 实物图，图三是斗拱构件之一的“斗”的几何体本图中的斗是由棱台与长方体形凹槽（长 方体去掉一个小长方体）组成若棱台两底面面积分别是 2 400cm， 2 900cm，高为9cm，长 方体形凹橹的体积为 3 4300cm，那么这个斗的体积是( ) 注：台体体积公式是 1 () 3 VSS SS h A 3 5700cm B 3 8100cm C 3 10000cm D 3 9000
16、cm 【解答】解：斗是由棱台与长方体形凹槽（长方体去掉一个小长方体）组成 棱台两底面面积分别是 2 400cm， 2 900cm，高为9cm，长方体形凹橹的体积为 3 4300cm， 这个斗的体积是： 3 1 (400400900900)9430010000() 3 Vcm 故选：C 9 （5 分）若实数x，y满足 0, 1, 51 0. x y xy ，则2xy的最大值为( ) A2 B0 C7 D9 【解答】解：实数x，y满足 0, 1, 51 0. x y xy 的可行域如图所示： 联立 1 510 y xy ，解得(4,1)A 化目标函数2zxy为2yxz， 由图可知，当直线2yxz过
17、A时， 直线在y轴上的截距最小，z有最大值为2419 故选：D 第 9 页（共 16 页） 10 （5 分）已知函数 32 1 ( )1 3 f xaxaxx在R上为增函数，则实数a的取值范围是( ) A0，) B(0,1) C0，1 D0，1) 【解答】解：由题意可得， 2 ( )21 0fxaxax 恒成立， 0a 时，显然满足题意， 0a 时，则根据二次函数的性质可得， 2 0 440 a aa ， 解可得，01a ， 综上可得，01a剟 故选：C 11 （5 分）设ABC的内角为A，B，C，ADBC于D若ABC外接圆半径等于AD， 则sinsinBC的最小值是( ) A2 B2 C3
18、D1 【解答】解：在Rt ACD中，由sin AD C b ， 设圆的半径为R，则ADR， 1 sin 2 sin2sin R C RBB ， 由 11 sinsinsin22 2sin2 BCB B ， 当且仅当 2 2sin1B ， 即 2 s i n 2 B 时， 取等号， 故选：A 12 （5 分）过抛物线 2 :4C yx焦点的直线交该抛物线C于点A，B，与抛物线C的准线 交于点P若点P到x轴距离为 2，则(PA PB ) 第 10 页（共 16 页） A16 B12 C8 D18 【解答】解：由题意知：抛物线的焦点(1,0)F，准线方程1x ，由题意设( 1,2)P ，这时 2 1
19、 1 1 AB k ， 设直线AB的方程为1xy ，设( , )A x y，( ,)B x y联立与抛物线的方程整理得： 2 440yy，4y y ，4yy ，426x x ， 2 () 1 16 yy xx ， (1PA PBx，2) (1y x ， 2)()12()416148416yxxxxyyyy ， 故选：A 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知随机变量y与x有相关关系21yx，当3x 时，y的预报值为 7 【解答】解：随机变量y与x有相关关系21yx， 3x时，y的预报值为2317 故答案为：7 14
20、 （5 分）复数 3 2i 的实部为 6 5 【解答】解： 33(2)63 2(2)(2)55 i i iii ， 复数 3 2i 的实部为 6 5 故答案为： 6 5 15 （5 分）已知函数( )f x是R上的偶函数，当0x时， 2,0 1, ( ) 1,1 xx f x lnxx 若f（a）2， 则实数a的取值范围为 e， e （结果写成区间） 【解答】解：由函数( )f x为偶函数，且当0x时， 2,0 1, ( ) 1,1 xx f x lnxx 当0x 时， 2, 1 0 ( ) ()1,1 xx f x lnxx ， 作函数( )f x的图象如右， 由图可知，实数a的取值范围为
21、e， e 故答案为： e， e 第 11 页（共 16 页） 16 （5 分）函数( )2sin()(0f xx ，|) 2 的部分图象如图，点A，B的坐标分别 是(0, 3)， 8 (3，0)，则f（1） 26 2 【解答】解：由题意得(0)2sin3f，得 3 sin 2 ， | 2 ， 3 ， 则( )2sin() 3 f xx ， 由五点对应法得 8 33 ， 得 82 33 ，得 4 ， 则( )2sin() 43 f xx ， 则f（1） 212326 2sin()2(sincoscossin)2() 43434322222 ， 故答案为： 26 2 三、 解答题： 共三、 解答题
22、： 共 70 分， 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤分， 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答，第每个试题考生都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答必考题：共题为选考题，考生根据要求作答必考题：共 60 分，分， 17 （12 分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，PD 底面ABCD，点E 是PC的中点 （1）求证：/ /PA平面EDB； （2）若2PDAD，求三棱锥PEDB的体积 P EDB V 第 12 页（共 16 页） 【解答】解： （1）证明：连结AC，交BD于O，连结OE
23、， 底面ABCD是正方形，O是AC中点， 点E是PC的中点，/ /OEPA， PA平面BDE，OE 平面BDE， / /PA平面EDB （2）解：底面ABCD是正方形，PD 底面ABCD，BC 平面ABCD， BCCD，BCPD，又CDPDD，BC平面PDE， 2PDAD， 三棱锥PEDB的体积： 1111112 ()2(22)2 3323223 P EDBB PDEPDEPDC VVSBCS 18 （12 分）我国已进入新时代中国特色社会主义时期，人民生活水平不断提高某市随机 统计了城区若干户市民十月人均生活支出比九月人均生活支出增加量 （记为P元） 的情况， 并根据统计数据制成如图频率分布
24、直方图 （1）根据频率分布直方图估算P的平均值P； （2）若该市城区有 4 户市民十月人均生活支出比九月人均生活支出分别增加了 42 元，50 元，52 元，60 元，从这 4 户中随机抽取 2 户，求这 2 户P值的和超过 100 元的概率 第 13 页（共 16 页） 【解答】解： （1）根据频率分布直方图估算P的平均值： 30 0.014 1040 0.026 1050 0.036 1060 0.014 1070 0.01 1048P （2） 该市城区有 4 户市民十月人均生活支出比九月人均生活支出分别增加了 42 元， 50 元， 52 元，60 元， 从这 4 户中随机抽取 2 户，
25、 基本事件总数 2 4 6nC， 这 2 户P值的和超过 100 元包含的基本事件有(42,60)，(50,52)，(50,60)，(52,60)，共 4 个， 这 2 户P值的和超过 100 元的概率 42 63 m p n 19 （12 分）已知数列 n a满足 1 1 3 a ，且*nN时， 1n a ， n a， 2 3 成等差数列 （1）求证：数列 2 3 n a 为等比数列； （2）求数列 n a的前n项和 n S 【解答】 （1）证明：由题意，当*nN时， 1n a ， n a， 2 3 成等差数列， 则 1 2 2 3 nn aa ，即 1 2 2 3 nn aa ， 1 22
26、22 22() 3333 nnn aaa ， 又 1 212 1 333 a ， 数列 2 3 n a 是以 1 为首项，2 为公比的等比数列 （2）解：由（1） ，知 1 2 2 3 n n a ， 即 1 2 2 3 n n a ，*nN 12nn Saaa 第 14 页（共 16 页） 121 2222 (1)(2)(2)(2) 3333 n 121 2 (1222) 3 n n 122 123 n n 2 21 3 n n 20 （12 分）椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的焦点是 1( 1,0) F ， 2(1,0) F，且过点 2 (1,) 2 A （1）求椭圆C
27、的标准方程； （2）过左焦点 1 F的直线l与椭圆C相交于B、D两点，O为坐标原点问椭圆C上是否存 在点P， 使线段BD和线段OP相互平分？若存在， 求出点P的坐标， 若不存在， 说明理由 【解答】解： （1）由题意知1c ， 22 11 1 2ab ， 222 abc，解得： 2 2a ， 2 1b ，属于 椭圆C的标准方程： 2 2 1 2 x y； （2）由（1）知 1( 1,0) F ，假设存在点 0 (P x， 0) y，使线段BD和线段OP相互平分，由题 意知直线l的斜率不为零，时直线l的方程为：1xmy，设( , )D x y，( ,)B x y， 联 立 与 椭 圆 的 方 程
28、 整 理 得 ： 22 (2)210mymy ， 2 2 2 m yy m ， 2 4 ()2 2 xxm yy m ，所以BD的中点坐标 2 2 (2 m ， 2) 2 m m 由题意知 2 4 (2P m ， 2 2 ) 2 m m ， 而P在椭圆上， 所以 2 2222 84 1 (2)(2) m mm ， 解得： 2 2m ， 所以 2 ( 1,) 2 P ， 所以存在点P使线段BD和线段OP相互平分，且P的坐标 2 ( 1,) 2 21 （12 分）已知( )() x f xxm e （1）当2m 时，求函数( )f x在点(0，(0)f处的切线方程； （2）若函数( )f x在区间
29、( 1,0)上有极小值点，且总存在实数m，使函数( )f x的极小值与 1( )ma e e 2 1 2 m mam互为相反数，求实数a的取值范围 【解答】解： （1）当2m 时，( )(2) x f xxe，( )(2)(1) xxx fxexexe，(0)1f ， 第 15 页（共 16 页） 又(0)2f ，故切线方程为2yx ，即20xy； （2）( )(1) x fxxme，易知，函数( )f x在(,1)m上单减，在(1,)m上单增， 函数( )f x的极小值点为1m ， 由已知，110m ，即01m， 1 ( )1 m f xf me 极小值 ， 故 在 区 间( 0 , 1 )
30、上 总 存 在m使 得 21 11 ()0 2 mm ma emame e ， 即 2 1 2 ,( 0 , 1 ) mm m emme am em ， 设 2 1 2 ( ),(0,1) mm m emme g mm em ，则 2 2 1 ()(1) 2 ( ) () mm m eme g m em ， 当01m时，()0g m，函数( )g m在(0,1)上单减，则g（1）( )(0)g mg，即 1 ()1 22 g m e ， 实数a的取值范围为 1 (,1) 22e （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做则按所做的
31、第一题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一 题计分，题计分，选修选修 44：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在新中国成立 70 周年国庆阅兵庆典中，众多群众在脸上贴着一颗红心，以此 表达对祖国的热爱之情在数学中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中有著名的笛卡尔 心型曲线如图，在直角坐标系中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系图 中的曲线就是笛卡尔心型曲线，其极坐标方程为1 sin (1 sin ,0)p ，M为该曲 线上的任意一点 （1）当 3 | 2 OM 时，求M点的极坐标； （2）将射线OM绕原点O逆时针旋转 2 与该曲线相交于点N，求|MN的最大值 第
32、 16 页（共 16 页） 【解答】解： （1）设点M在极坐标系中的坐标 3 ( , ) 2 ， 由1 sin ，得 3 1sin 2 ， 1 sin 2 ， 02， 7 6 或 11 6 所以点M的极坐标为 3 7 ( ,) 26 或 3 11 ( ,) 26 （1）由题意可设 1 (M，)， 2 (,) 2 N 由1 sin ，得 1 1sin ， 2 1sin()1cos 2 2222 12 |(1sin )(1cos )32(sincos )32 2sin() 4 MN 故 5 4 时，|MN的最大值为21 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数( ) |1| 2|1|
33、f xxx （1）求不等式( )5f xx的解集 （2）若 12 | 1xx，求证： 122 ()(2)3f xxfx 【解答】解： （1）解：( ) |1| 2|1|f xxx， 当1x时，由( )5f xx，得315xx ，解得1x ； 当11x 时，由( )5f xx，得35xx ，此时无解； 当1x时，由( )5f xx，得315xx ，解得3x ； 综上所述，( )5f xx的解集为(，1)(3，) （2）证明： 12 | 1xx， 12112122212212212 ()(2 ) |1| 2|1|21| 2|21|(1)(21)| 2|(1)(21)3| 3f xxfxxxxxxxxxxxxxxx ， 故原命题成立
