1、 第 1 页（共 17 页） 2020 年四川省南充市高考数学一诊试卷（文科）年四川省南充市高考数学一诊试卷（文科） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 |1 0Ax x ， 2 |1Bx x，则(AB ) A |1x x B |1x x C |1x x D |1x x 2 （5 分） 1 ( 2i ) A 21 55 i B 21 55 i C 21 55 i D 21 55 i 3 （5 分） “
2、3 “是“ 1 cos 2 “成立的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4 （5 分）用与球心距离为 1 的平面去截球，所得截面圆的面积为，则球的表面积为( ) A 8 3 B 32 3 C8 D 8 2 3 5 （5 分）函数 2 ( )12sinf xx 的最小正周期是( ) A B2 C 2 D2 6 （5 分）若变量x，y满足约束条件 2 0 510 0 8 0 xy xy xy ，则34zxy的最大值为( ) A11 B3 C3 D11 7 （5 分）直线3450xy关于直线0xy对称的直线方程为( ) A4350xy B4350xy C3
3、450xy D3450xy 8 （5 分）若过点(4,0)A的直线l与曲线 22 (2)1xy有公共点，则直线l的斜率的取值范 围为( ) A3, 3 B(3, 3) C 33 , 33 D 33 (,) 33 9 （5 分）设函数 2 1,(| 1) ( ) |,(| 1) xx f x xx ，若方程( )f xa有且只有一个实根，则实数a满 第 2 页（共 17 页） 足( ) A0a B01a C1a D1a 10 （5 分）设 1 F， 2 F分别为双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左，右焦点，若双曲线右支上 存在点P，满足 212 | |PFFF，且 2 F到直
4、线 1 PF的距离等于2a，则该双曲线的渐近线方程 为( ) A340xy B430xy C350xy D540xy 11 （5 分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c若 tantan ab ab AB ，则 角(C ) A 6 B 4 C 3 D 2 12 （5 分）设( )fx是函数( )f x的导函数，且( )2 ( )()fxf x xR， 1 ( )( 2 fe e为自然对数 的底数） ，则不等式 2 ()f lnxx的解集为( ) A(0, ) 2 e B(0,)e C 1 (e，) 2 e D( 2 e ，)e 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题
5、小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知(1,1)A，(2, 4)B，( , 9)C x ，且/ /ABAC，则x 14 （5 分）函数( )sin3cosf xxx在区间0， 2 上的最大值为 15（5分） 若偶函数( )f x对任意xR， 都有 1 (3) ( ) f x f x ， 且 3x ，2时，( )2f xx， 则(101.5)f 16 （5 分）抛物线 2 2(0)ypx p的焦点为F，点(0,2)A，若线段FA的中点B在抛物线 上，则B到该抛物线焦点的距离为 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字
6、说明、证明过程或演算步骤第 17 一一 21 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答第题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题： 共共 60 分分 17 （12 分）从某校随机抽取 100 名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的 数据，整理得到数据分组及频数分步和频率分布直方图 组号 分组 频数 1 0，2) 6 第 3 页（共 17 页） 2 2，4) 8 3 4，6) 17 4 6，8) 22 5 8，10) 25 6 10，12) 12 7 12，14) 6 8 14，16) 2 9
7、 16，18) 2 合计 100 （）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于 12 小时的频率； （）求频率分布直方图中的a，b的值 18 （12 分）在等比数列 n a中， * 0() n anN，公比(0,1)q，且 1 53 52 8 225aaaaaa， 又 3 a和 5 a的等比中项为 2 （1）求数列 n a的通项公式； （2）设 2 log nn ba，数列 n b的前n项和为 n S，求数列 n S的通项公式； （3）当 312 123 n SSSS n 最大时，求n的值 19 （12 分）在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，2AB ，BCa，又侧棱P
8、A 底 面ABCD （1）当a为何值时，BD 平面PAC？试证明你的结论 （2）当4a 时，求证：BC边上存在一点M，使得PMDM （3）若在BC边上至少存在一点M，使PMDM，求a的取值范围 第 4 页（共 17 页） 20 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左，右焦点分别为 1( 2,0) F ， 2(2,0) F，点 15 ( 1,) 3 P 在椭圆C上 （1）求椭圆C的标准方程； （2）是否存在斜率为一 1 的直线l与椭圆C相交于M，N两点，使得 11 | |FMFN？若存 在，求出直线的方程；若不存在，说明理由 21 （12 分）已知函数( )1 x
9、 x x f xae e ，其中0a （）当2a 时，求曲线( )yf x在点(0，(0)f处的切线方程； （）若函数( )f x有唯一零点，求a的值 选考题：共选考题：共 10 分请考生在分请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计 分分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在极坐标系中，已知曲线 1: 2cosC和曲线 2: cos3C，以极点O为坐 标原点，极轴为x轴非负半轴建立平面直角坐标系 （）求曲线 1 C和曲线 2 C的直角坐标方程； （） 若点P是曲线 1 C上一动点， 过
10、点P作线段OP的垂线交曲线 2 C于点Q， 求线段PQ长 度的最小值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数( ) |1|f xxx （）若( )|1|f xm恒成立，求实数m的最大值M； （）在（）成立的条件下，正实数a，b满足 22 abM，证明：2abab 第 5 页（共 17 页） 2020 年四川省南充市高考数学一诊试卷（文科）年四川省南充市高考数学一诊试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项
11、是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 |1 0Ax x ， 2 |1Bx x，则(AB ) A |1x x B |1x x C |1x x D |1x x 【解答】解： |1Ax x， | 11Bxx 剟， |1ABx x 故选：B 2 （5 分） 1 ( 2i ) A 21 55 i B 21 55 i C 21 55 i D 21 55 i 【解答】解： 1221 2(2)(2)55 i i iii 故选：C 3 （5 分） “ 3 “是“ 1 cos 2 “成立的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：由 3
12、一定能推出 1 cos 2 ，当由 1 cos 2 ，则不一定推出 3 ， 故“ 3 “是“ 1 cos 2 “成立的充分不必要条件， 故选：A 4 （5 分）用与球心距离为 1 的平面去截球，所得截面圆的面积为，则球的表面积为( ) A 8 3 B 32 3 C8 D 8 2 3 【解答】解：设半径为R，则截面圆的半径为 2 1R ， 截面圆的面积为 2 (1)SR， 2 2R， 球的表面积 2 48SR 故选：C 第 6 页（共 17 页） 5 （5 分）函数 2 ( )12sinf xx 的最小正周期是( ) A B2 C 2 D2 【解答】解： 2 ( )12sincos2f xxx
13、由三角函数的周期性及其求法可得： 2 2 T 故选：A 6 （5 分）若变量x，y满足约束条件 2 0 510 0 8 0 xy xy xy ，则34zxy的最大值为( ) A11 B3 C3 D11 【解答】解：作出满足约束条件的可行域，如右图所示， 可知当直线34zxy平移到点(5,3)时， 目标函数34zxy取得最大值 3 故选：C 7 （5 分）直线3450xy关于直线0xy对称的直线方程为( ) A4350xy B4350xy C3450xy D3450xy 【解答】解：在直线l上任取一点( , )x y，此点关于直线0xy的对称点(,)yx在直线 :3450lxy上， 3()4()
14、50yx，即4350xy， 故选：A 8 （5 分）若过点(4,0)A的直线l与曲线 22 (2)1xy有公共点，则直线l的斜率的取值范 围为( ) A3, 3 B(3, 3) C 33 , 33 D 33 (,) 33 第 7 页（共 17 页） 【解答】解：设直线方程为(4)yk x，即40kxyk，直线l与曲线 22 (2)1xy有 公共点， 圆心到直线的距离小于等于半径 2 24 | 1 1 kk d k ， 得 22 41kk ， 2 1 3 k ， 故选：C 9 （5 分）设函数 2 1,(| 1) ( ) |,(| 1) xx f x xx ，若方程( )f xa有且只有一个实根
15、，则实数a满 足( ) A0a B01a C1a D1a 【解答】解：关于x的方程( )f xa有且只有一个实根( )yf x与ya的图象只有一个 交点， 画出函数的图象如下图，观察函数的图象可知当1a 时，( )yf x与ya的图象只有一个 交点 故选：C 10 （5 分）设 1 F， 2 F分别为双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左，右焦点，若双曲线右支上 存在点P，满足 212 | |PFFF，且 2 F到直线 1 PF的距离等于2a，则该双曲线的渐近线方程 为( ) A340xy B430xy C350xy D540xy 【解答】解：设 1 PF的中点为H，连接 2
16、 HF， 由 212 | | 2PFFFc， 12 | 2PFPFa， 可得 1 | 22PFca， 第 8 页（共 17 页） 在直角三角形 12 HFF中， 12 | 2FFc， 2 | 2HFa， 1 |FHca， 可得 222 4()(2 )ccaa，化为35ca， 则 2222 54 () 33 a bcaaa， 可得双曲线的渐近线方程为 4 3 yx ， 故选：B 11 （5 分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c若 tantan ab ab AB ，则 角(C ) A 6 B 4 C 3 D 2 【解答】解：根据题意， tantan ab ab AB ， 由正弦定理可得
17、 sinsinsinsin sinsincoscos sinsin tantan coscos ABAB ABAB AB AB AB ， 则有sinsincoscosABAB， 变形可得：2sin()cos()2cos()cos() 2222 ABABABAB ， 又由 222 AB ，则cos()0 2 AB ， 则有2sin()cos() 22 ABAB ，即tan()1 2 AB ， 又由0 22 AB ，则 24 AB ，即 2 AB ， 则 2 C ， 故选：D 12 （5 分）设( )fx是函数( )f x的导函数，且( )2 ( )()fxf x xR， 1 ( )( 2 fe
18、e为自然对数 第 9 页（共 17 页） 的底数） ，则不等式 2 ()f lnxx的解集为( ) A(0, ) 2 e B(0,)e C 1 (e，) 2 e D( 2 e ，)e 【解答】解：可构造函数 2 ( ) ( ) x f x F x e ， 22 222 ( )2 ( )( )2 ( ) ( ) () xx xx f x ef x efxf x F x ee ， 由( )2 ( )fxf x，可得( )0F x，即有( )F x在R上递增 不等式 2 ()f lnxx即为 2 () 1 f lnx x ，(0)x ，即 2 () 1 lnx f lnx e ，0x 即有 1 (
19、) 1 2 ( )1 2 f F e ，即为 1 ()( ) 2 F lnxF， 由( )F x在R上递增，可得 1 2 lnx ，解得0xe 故不等式的解集为(0,)e， 故选：B 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知(1,1)A，(2, 4)B，( , 9)C x ，且/ /ABAC，则x 3 【解答】解：(1, 5),(1, 10)ABACx， / /ABAC， 105(1)0x，解得3x 故答案为：3 14 （5 分）函数( )sin3cosf xxx在区间0， 2 上的最大值为 2 【解答】解：函数
20、( )sin3cos2sin() 3 f xxxx ， 故函数在区间0， 2 ， 6 x 时，取到最大值 2， 故答案为：2 15（5分） 若偶函数( )f x对任意xR， 都有 1 (3) ( ) f x f x ， 且 3x ，2时，( )2f xx， 则(101.5)f 1 5 【解答】解：根据题意，( )f x满足 1 (3) ( ) f x f x ，则 1 (6)( ) (3) f xf x f x ，即函数 第 10 页（共 17 页） ( )f x是周期为 6 的周期函数， 则(101.5)( 0.5 176)( 0.5)fff， 又由( )f x为偶函数，则( 0.5)(0.
21、5)ff， 又由 111 (0.5)( 2.53) ( 2.5)2( 2.5)5 ff f ， 则 1 (101.5) 5 f； 故答案为： 1 5 16 （5 分）抛物线 2 2(0)ypx p的焦点为F，点(0,2)A，若线段FA的中点B在抛物线 上，则B到该抛物线焦点的距离为 3 2 4 【解答】解：依题意可知F坐标为( 2 p ，0) B的坐标为( 4 p ，1)代入抛物线方程得 2 1 2 p ，解得2p ， 抛物线准线方程为 2 2 x ， 所以点B到抛物线准线的距离为 223 2 424 ， 则B到该抛物线焦点的距离为 3 2 4 故答案为： 3 2 4 三三、解答题：共、解答题
22、：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17 一一 21 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答第题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题： 共共 60 分分 17 （12 分）从某校随机抽取 100 名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的 数据，整理得到数据分组及频数分步和频率分布直方图 组号 分组 频数 1 0，2) 6 2 2，4) 8 3 4，6) 17 4 6，8) 22 5 8，10) 25 第 11 页（共 17 页）
23、 6 10，12) 12 7 12，14) 6 8 14，16) 2 9 16，18) 2 合计 100 （）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于 12 小时的频率； （）求频率分布直方图中的a，b的值 【解答】 解：（） 由频数分布表得， 100 名学生课外阅读时间不少于 12 小时共有62210 名， 所以样本中学生该周课外阅读时间少于 12 小时的频率 10 10.9 100 P ； 则从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于 12 小时的频率是 0.9； （）由频数分布表得，课外阅读时间落在4，6)的人数为 17，则频率是 17 0.17 100
24、 ， 所以由频率分布直方图得，0.085a 频率 组距 ， 同理可得， 0.25 0.125 2 b 18 （12 分）在等比数列 n a中， * 0() n anN，公比(0,1)q，且 1 53 52 8 225aaaaaa， 又 3 a和 5 a的等比中项为 2 （1）求数列 n a的通项公式； （2）设 2 log nn ba，数列 n b的前n项和为 n S，求数列 n S的通项公式； （3）当 312 123 n SSSS n 最大时，求n的值 【解答】解： （1） 153528 225a aa aa a， 第 12 页（共 17 页） 22 3355 225aa aa 又a 0
25、n ， 35 5aa （1 分） 又 3 a与 5 a的等比中项为 2， 35 4a a （2 分） 而(0,1)q， 35 aa， 3 4a， 5 1a ， 1 2 q， 1 16a ， 15 1 16( )2 2 nn n a （2） 2 log5 nn ban， 1 1 nn bb ， 12122 loglog 16log 2ba 4 4， n b是以 1 4b 为首项，1为公差的等差数列， (9) 2 n nn S （8 分） （3） 9 2 n sn n ， 8n 时，0 n s n ，9n 时，0 n s n ，9n 时，0 n s n ， 8n或 9 时， 312 123 n s
26、sss n 最大（12 分） 19 （12 分）在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，2AB ，BCa，又侧棱PA 底 面ABCD （1）当a为何值时，BD 平面PAC？试证明你的结论 （2）当4a 时，求证：BC边上存在一点M，使得PMDM （3）若在BC边上至少存在一点M，使PMDM，求a的取值范围 【解答】 （1）解：当2a 时，ABCD为正方形，则BDAC 又PA 底面ABCD，BD 平面ABCD， BDPABD平面PAC 第 13 页（共 17 页） 故当2a 时，BD 平面PAC （2）证明：当4a 时，取BC边的中点M，AD边的中点N，连接AM、DM、MN ABMN和DCMN
27、都是正方形， 454590AMDAMNDMN ，即DMAM 又PA 底面ABCD，由三垂线定理得，PMDM，故当4a 时，BC边的中点M使 PMDM （3）解：设M是BC边上符合题设的点M， PA 底面ABCD，DMAM 因此，M点应是以AD为直径的圆和BC边的一个公共点，则2ADAB，即4a为所求 20 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左，右焦点分别为 1( 2,0) F ， 2(2,0) F，点 15 ( 1,) 3 P 在椭圆C上 （1）求椭圆C的标准方程； （2）是否存在斜率为一 1 的直线l与椭圆C相交于M，N两点，使得 11 | |FMFN？若存
28、 在，求出直线的方程；若不存在，说明理由 【解答】解： （1）由题意得，2c ， 22 115 1 9ab ， 222 abc，解得： 2 6a ， 2 2b ， 所以椭圆的标准方程： 22 1 62 xy ； （2）假设存在满足条件的直线l，设直线l的方程：yxt ，设( , )M x y，( ,)N x y 与椭圆联立整理： 22 46360xtxt， 22 364 4 (36)0tt，2 22 2t ， 3 2 t x x ， 2 36 4 t xx ， 第 14 页（共 17 页） 由于 11 | |FMFN，设线段MN的中点为E，则 1 FEMN，所以 1 1 1 F E MN k
29、k 又 3 ( 4 t E，) 3 t ，所以 1 4 1 3 2 4 F E t k t ，解得4t ，当4t 时，不满足2 22 2t ， 所以不存在满足条件的直线l 21 （12 分）已知函数( )1 x x x f xae e ，其中0a （）当2a 时，求曲线( )yf x在点(0，(0)f处的切线方程； （）若函数( )f x有唯一零点，求a的值 【解答】解：( ) I当2a 时，( )21 x x x f xe e ， 1 ( )2 x x x fxe e (0)21 1f ，又(0)21 1f ， 曲线( )yf x在点(0，(0)f处的切线方程为1yx ，即10xy ； （）
30、解法一：问题等价于关于x的方程 1 (1) xx x a ee 有唯一的解时，求a的值 令 1 ( )(1) xx x g x ee ，则 2 12 ( ) x x xe g x e 令( )12 x h xxe ，则( )20 x h xe ，( )h x在(,) 上单调递减 又(0)0h，当(,0)x 时，( )0h x ，即( )0g x， ( )g x在(,0)上单调递增； 当(0,)x时，( )0h x ，即( )0g x，( )g x在(0,)上单调递减 ( )g x的极大值为(0)1g， 当(x ，0时，( )(g x ，1；当(0,)x时，( )(0g x ，1) 又0a ，当
31、方程 1 (1) xx x a ee 有唯一的解时，1a 综上，当函数( )f x有唯一零点时，a的值为 1 解法二：问题等价于关于x的方程 1 (1) xx x a ee 有唯一的解时，求a的值 令(0) x et t，则xlnt 问题等价于关于t的方程 1( 1)(0) lnt at tt 有唯一的解时，求a的值 令 2 1 ( )(1) lntlntt g t ttt ，则 3 12 ( ) tlnt g t t 令( )12(0)h ttlnt t ，则 22 ( )10(0) t h tt tt 第 15 页（共 17 页） ( )h t在(0,)单调递减，而h（1）0， 当(0,1
32、)t时，( )0h t ，当(1,)t时，( )0h t 当(0,1)t时，( )0g t，当(1,)t时，( )0g t 从而( )g t在(0,1)单调递增，在(1,)单调递减 注意到：g（1）1，当1t 时，( )0g t ，当0t 时，( )g t ， ( )g t的唯一极大值为g（1）1 结合( )g t的图象知，1a 或0a 时，关于t的方程 1( 1)(0) lnt at tt 有唯一的解， 而0a ，所以1a 选考题：共选考题：共 10 分请考生在分请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计 分分选修选修
33、4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在极坐标系中，已知曲线 1: 2cosC和曲线 2: cos3C，以极点O为坐 标原点，极轴为x轴非负半轴建立平面直角坐标系 （）求曲线 1 C和曲线 2 C的直角坐标方程； （） 若点P是曲线 1 C上一动点， 过点P作线段OP的垂线交曲线 2 C于点Q， 求线段PQ长 度的最小值 【解答】解：( 1 ) I C的直角坐标方程为 22 (1)1xy，（2 分） ， 2 C的直角坐标方程为3x ；（4 分） ()II设曲线 1 C与x轴异于原点的交点为A， PQ过点(2,0)A， 设直线PQ的参数方程为： 2cos sin xt y
34、t ， 代入 1 C可得 2 2 cos0tt，解得， 可知 2 | | |2cos|APt（6 分） 代入 2 C可得2cos3t，解得 1 / cos t ， 可知 1 | | / | | cos AQt （8 分） 所以 1 | |2cos|2 2 cos PQAPAQ ，当且仅当 1 |2cos| | cos 时取等号， 所以线段PQ长度的最小值为2 2（10 分） 第 16 页（共 17 页） 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数( ) |1|f xxx （）若( )|1|f xm恒成立，求实数m的最大值M； （）在（）成立的条件下，正实数a，b满足 22 abM，
35、证明：2abab 【解答】解：() I由已知可得 12 ,0 ( )1, 01 21,1 x x f xx xx ， 所以( )1 min fx ，（3 分） 所以只需|1| 1m，解得11 1m剟，02m 剟， 所以实数m的最大值2M （5 分） ()II法一：综合法 正实数a，b满足 22 2ab， 11abab剟，当且仅当ab时取等号，（7 分） 又 1 2 ab ab 2 abab ab ，当且仅当ab时取等号，（9 分） 由得， 1 2 ab ab ，所以2abab（10 分） 法二：分析法因为0a ，0b ， 所以要证2abab ，只需证 222 ()4aba b， 即证 2222 24ababa b， ，所以只要证 22 224aba b，（7 分） 即证 2 2()1 0abab ， 第 17 页（共 17 页） 即证(21)(1) 0abab ，因为210ab ，所以只需证1ab， 下证1ab， 因为 22 22abab，所以1ab成立， 所以2abab（10 分）、
