1、 第 1 页（共 22 页） 2020 年江苏省苏北四市（徐州市、宿迁市、淮安市、连云港市）年江苏省苏北四市（徐州市、宿迁市、淮安市、连云港市） 高考数学一模试卷高考数学一模试卷 一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 70 分请把答案直接填写在答题卡相应分请把答案直接填写在答题卡相应 位置上位置上 1 （5 分）已知集合 |02Axx， | 11Bxx ，则AB 2 （5 分）已知复数z满足 2 4z ，且z的虚部小于 0，则z 3 （5 分）若一组数据 7，x，6，8，8 的平均数为 7，则该组数据的方差是 4 （5 分）执行如图所示的伪
2、代码，则输出的结果为 5 （5 分）函数 2 ( )2f xlog x的定义域为 6 （5 分）某学校高三年级有A，B两个自习教室，甲、乙、丙 3 名学生各自随机选择其中 一个教室自习，则甲、乙两人不在同一教室上自习的概率为 7 （5 分）若关于x的不等式 2 30xmx的解集是(1,3)，则实数m的值为 8 （5 分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线 2 2 1 3 x y的右准线与渐近线的交点在抛物线 2 2ypx上，则实数p的值为 9 （5 分）已知等差数列 n a的前n项和为 n S， 29 8aa， 5 5S ，则 15 S的值为 10（5 分） 已知函数3sin2yx的图象与函数c
3、os2yx的图象相邻的三个交点分别是A， B，C，则ABC的面积为 11 （5 分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆 22 :48120M xyxy，圆N与圆M外 切于点(0,)m，且过点(0, 2)，则圆N的标准方程为 12 （5 分）已知函数( )f x是定义在R上的奇函数，其图象关于直线1x 对称，当(0x，1 第 2 页（共 22 页） 时，( ) ax f xe （其中e是自然对数的底数） ，若(20202)8fln，则实数a的值为 13 （5 分）如图，在ABC中，D，E是BC上的两个三等分点，2AB ADAC AE，则 cosADE的最小值为 14 （5 分）设函数 3 ( )
4、|f xxaxb， 1x ，1，其中a，bR若( )f xM恒成立， 则当M取得最小值时，ab的值为 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 90 分请在答题卡指定区域内作答分请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤明、证明过程或演算步骤 15 （14 分）如图，在三棱锥PABC中，APAB，M，N分别为棱PB，PC的中点， 平面PAB 平面PBC （1）求证：/ /BC平面AMN； （2）求证：平面AMN 平面PBC 16 （14 分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 5 cos 5 A （1）若5a ，
5、2 5c ，求b的值； （2）若 4 B ，求tan2C的值 17 （14 分）如图，在圆锥SO中，底面半径R为 3，母线长l为 5用一个平行于底面的平 面去截圆锥，截面圆的圆心为 1 O，半径为r现要以截面圆为底面，圆锥底面圆心O为顶 点挖去一个倒立的小圆锥，记小圆锥的体积为V （1）将V表示成r的函数； 第 3 页（共 22 页） （2）求小圆锥的体积V的最大值 18 （16 分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的右顶点为A， 过点A作直线l与圆 222 :O xyb相切，与椭圆C交于另一点P，与右准线交于点Q设 直线l的斜率为k （1）用k
6、表示椭圆C的离心率； （2）若0OP OQ ，求椭圆C的离心率 19 （16 分）已知函数 1 ( )()()f xalnx aR x （1）若曲线( )yf x在点(1，f（1）)处的切线方程为10xy ，求a的值； （2）若( )f x的导函数( )fx存在两个不相等的零点，求实数a的取值范围； （3）当2a 时，是否存在整数，使得关于x的不等式( )f x恒成立？若存在，求出的 最大值；若不存在，说明理由 20 （16 分）已知数列 n a的首项 1 3a ，对任意的 * nN，都有 1 1(0) nn akak ，数列 1 n a 是公比不为 1 的等比数列 （1）求实数k的值； （2
7、）设 4, 1 , n n n n b an 为奇数 为偶数 数列 n b的前n项和为 n S，求所有正整数m的值，使得 2 21 m m S S 恰 好为数列 n b中的项 第 4 页（共 22 页） 数学（附加题） 【选做题】本题包括数学（附加题） 【选做题】本题包括 A、B、C 三小题，请选定其中两题，并在相应的答三小题，请选定其中两题，并在相应的答 题区域内作答若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演题区域内作答若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演 算步骤算步骤选修选修 4-2：矩阵与变换：矩阵与变换 21 （10 分）已知矩阵 23 1
8、 M t 的一个特征值为 4，求矩阵M的逆矩阵 1 M 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐 标系，直线l的极坐标方程为(cossin )12，曲线C的参数方程为 2 3cos ,( 2sin x y 为 参数，)R，在曲线C上求点M，使点M到l的距离最小，并求出最小值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（本小题满分（本小题满分 0 分）分） 23已知正数x，y，z满足1xyz，求 111 222xyyzzx 的最小值 【必做题】第【必做题】第 22、23 题，每小题题，每小题 10
9、 分，共计分，共计 20 分请在答题卡指定区域内作答，解答时分请在答题卡指定区域内作答，解答时 应写出文字说明、证明过程或演算步骤应写出文字说明、证明过程或演算步骤 24（10 分） 如图， 在三棱柱 111 ABCABC中， 11 AAB B为正方形， 11 BBC C为菱形， 11 60BBC， 平面 11 AAB B 平面 11 BBC C （1）求直线 1 AC与平面 11 AAB B所成角的正弦值； （2）求二面角 1 BACC的余弦值 25 （10 分）已知n为给定的正整数，设 2 012 2 () 3 nn n xaa xa xa x，xR （1）若4n ，求 0 a， 1 a的
10、值； （2）若 1 3 x ，求 0 () n k k k nk a x 的值 第 5 页（共 22 页） 2020 年江苏省苏北四市（徐州市、宿迁市、淮安市、连云港市）年江苏省苏北四市（徐州市、宿迁市、淮安市、连云港市） 高考数学一模试卷高考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 70 分请把答案直接填写在答题卡相应分请把答案直接填写在答题卡相应 位置上位置上 1 （5 分）已知集合 |02Axx， | 11Bxx ，则AB ( 1,2) 【解答】解： |02Axx， | 11Bxx ，
11、| 12( 1,2)ABxx 故答案为：( 1,2) 2 （5 分）已知复数z满足 2 4z ，且z的虚部小于 0，则z 2i 【解答】解：设zabi，( ,)a bR 复数z满足 2 4z ， 22 24ababi ， 22 4ab ，20ab ，且z的虚部小于 0， 0a，2b 则2zi 故答案为：2i 3 （5 分）若一组数据 7，x，6，8，8 的平均数为 7，则该组数据的方差是 4 5 【解答】解：由题意知， 1 (7688)7 5 x， 解得6x ， 计算该组数据的方差为 222222 14 (77)(67)(67)(87)(87) 55 S 故答案为： 4 5 4 （5 分）执行
12、如图所示的伪代码，则输出的结果为 21 第 6 页（共 22 页） 【解答】解：模拟程序的运行，可得 1S ，1I 满足条件6I ，执行循环体，2I ，3S 满足条件6I ，执行循环体，3I ，6S 满足条件6I ，执行循环体，4I ，10S 满足条件6I ，执行循环体，5I ，15S 满足条件6I ，执行循环体，6I ，21S 此时，不满足条件6I ，退出循环，输出S的值为 21 故答案为：21 5 （5 分）函数 2 ( )2f xlog x的定义域为 4，) 【解答】解：函数 2 ( )log2f xx有意义， 只需 2 log2 0x ，且0x ， 解得4x 则定义域为4，) 故答案为
13、：4，) 6 （5 分）某学校高三年级有A，B两个自习教室，甲、乙、丙 3 名学生各自随机选择其中 一个教室自习，则甲、乙两人不在同一教室上自习的概率为 1 2 【解答】解：某学校高三年级有A，B两个自习教室， 甲、乙、丙 3 名学生各自随机选择其中一个教室自习， 基本事件总数 3 28n ， 甲、乙两人不在同一教室上自习包含的基本事件个数 111 212 4mC C C， 第 7 页（共 22 页） 甲、乙两人不在同一教室上自习的概率为 41 82 m p n 故答案为： 1 2 7 （5 分）若关于x的不等式 2 30xmx的解集是(1,3)，则实数m的值为 4 【解答】解：不等式 2 3
14、0xmx的解集是(1,3)， 所以方程 2 30xmx的解 1 和 3， 由根与系数的关系知， 134m 故答案为：4 8 （5 分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线 2 2 1 3 x y的右准线与渐近线的交点在抛物线 2 2ypx上，则实数p的值为 1 4 【解答】解：双曲线 2 2 1 3 x y的右准线 3 2 x ，渐近线 3 3 yx ， 双曲线 2 2 1 3 x y的右准线与渐近线的交点 3 ( 2 ， 3) 2 ， 交点在抛物线 2 2ypx上， 可得： 3 3 4 p， 解得 1 4 p 故答案为： 1 4 9 （5 分） 已知等差数列 n a的前n项和为 n S， 29
15、8aa， 5 5S ， 则 15 S的值为 135 【解答】解：由于 29 8aa， 5 5S ， 所以 1 1 298 1 5545 2 ad ad 则 1 5 2 a d 所以 15 1 15( 5)15 142135 2 S 故答案是：135 第 8 页（共 22 页） 10（5 分） 已知函数3sin2yx的图象与函数cos2yx的图象相邻的三个交点分别是A， B，C，则ABC的面积为 3 2 【解答】解：由3sin2cos2yxx得 3 tan2 3 x ，则2 6 xk ， 得 212 k x ，kZ， 取相邻的三个k， 1k 时， 5 12 x ， 5 2 6 x ，此时 3 c
16、os2 2 yx ，即 5 ( 12 A ， 3) 2 ， 0k 时， 12 x ，2 6 x ，此时 3 cos2 2 yx，即(12B ， 3) 2 ， 1k 时， 7 12 x ， 7 2 6 x ，此时 3 cos2 2 yx ，即 7 ( 12 C ， 3) 2 ， 则 75 |() 1212 AC ，B到线段AC的距离 33 ()3 22 h ， 则ABC的面积 13 3 22 S， 故答案为： 3 2 11 （5 分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆 22 :48120M xyxy，圆N与圆M外 切于点(0,)m，且过点(0, 2)，则圆N的标准方程为 22 (2)8xy 【解答
17、】解：已知圆 22 :48120M xyxy，整理得： 22 (2)(4)8xy， 令0y ，圆的方程转换为： 2 8120yy，解得2y 或 6 由于圆N与圆M相切于(0,)m且过点(0, 2) 所以2m 第 9 页（共 22 页） 即圆N经过点(0,2)A，(0, 2)B 所以圆心在这两点连线的中垂线x轴上， x轴与MA的交点为圆心N 所以:2MA yx 令0y ，则2x 即( 2,0)N ， |2 2RNA 所以圆N的标准方程为： 22 (2)8xy 故答案为： 22 (2)8xy 12 （5 分）已知函数( )f x是定义在R上的奇函数，其图象关于直线1x 对称，当(0x，1 时，(
18、) ax f xe （其中e是自然对数的底数） ，若(20202)8fln，则实数a的值为 3 【解答】解：根据题意，( )f x的图象关于1x 对称，所以(1)(1)fxfx 又 由( )f x是R上 的 奇 函 数 ， 所 以(1)(1)f xf x ， 则 有(2 )()fxfx ， (4)(2)( )f xf xf x 则( )f x是周期为 4 的函数， 故 2 (20202)(2)( 2)()8 x ln flnflnf lne ， 变形可得：28 x ，解可得3x ； 故答案为：3 13 （5 分）如图，在ABC中，D，E是BC上的两个三等分点，2AB ADAC AE，则 cos
19、ADE的最小值为 4 7 【解答】解：由D，E是BC上的两个三等分点可得BDDEEC， 由图形可得ABDBDADEDA ，2ACDCDADEDA， 第 10 页（共 22 页） 又因为2AB ADAC AE即() ()2(2) ()DEDADADEDADEDA， 整理可得： 22 72DA DEDADE，即 22 7| | cos|4|DADEADEDADE， 由基本不等式可得 2222 2 | 4|4|4 cos 77| |7| | DADEDADE ADE DADEDADE ， 故cosADE的最小值为： 4 7 故答案为： 4 7 14 （5 分）设函数 3 ( ) |f xxaxb，
20、1x ，1，其中a，bR若( )f xM恒成立， 则当M取得最小值时，ab的值为 3 4 【解答】解：构造函数 3 ( )g xxaxb，则( ) | ( )|f xg x， 由于 33 ( )()()()2g xgxxaxbxaxbb ， ，函数( )yg x的图象关于点(0,)b对称，且 2 ( )3g xxa 当0a时，( ) 0g x，函数( )yg x在区间 1，1上单调递增， 则 (1) |1| ( 1) | 1| Mfab Mfab ， |1| 1|(1)( 1)| |1| 11 22 abababab Maa 厖?， 此时，当0a ，11b 剟时，M取最小值 1； 当3a时，对
21、任意的 1x ，1，( ) 0g x，函数( )yg x在区间 1，1上单调递减， 则 (1) |1| ( 1) | 1| Mfab Mfab ， |1| 1|(1)( 1)| |1|1 2 22 abababab Maa 厖?， 此时，当3a ，22b 剟时，M取最小值 2； 第 11 页（共 22 页） 当03a时，令( )0g x，得 3 a x ，令(0,1) 3 a t ，列表如下： x 1，) t t (, )t t t (t，1 ( )g x 0 0 ( )g x 极大值 极小值 不妨设(0)0gb ，则0b，则 3 3 (1) |1| ( )2 ()2 ( 1) | 1| Mf
22、ab Mf ttb Mfttb Mfab ， Mmax f（1） ，( )f t，()ft，( 1)f ， ()( )2 (0) 0gtg tg，且( )()g tgt，()| ( )|( )gtg tf t， ( 1)gg（1）2 (0) 0g，若( 1)gg （1） ，则( 1)|gg （1）|f（1） ， 若( 1)gg（1） ，则g（1）0，但()( 1)gtg， ()gtg（1） 33322 (2)(1)21231(21)(1)tbabtatttt ， 1 (1),0 2 (), (1) 1 (),1 2 gt max gt g gtt 当 1 0 2 t 时， 22 1 (1)11
23、313 4 Mgabtbt 厖?， 当且仅当0b ， 1 32 a t 时，即当 3 4 a ，0b 时，M取得最小值 1 4 ； 当 1 1 2 t 时， 33 ()222Mgttbt厖 综上所述，当 3 4 a ，0b 时，M取得最小值 1 4 ，此时 3 4 ab 故答案为： 3 4 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 90 分请在答题卡指定区域内作答分请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤明、证明过程或演算步骤 15 （14 分）如图，在三棱锥PABC中，APAB，M，N分别为棱PB，PC的中点， 平面PAB
24、平面PBC （1）求证：/ /BC平面AMN； （2）求证：平面AMN 平面PBC 第 12 页（共 22 页） 【解答】证明：如图所示： （1）M，N分别为棱PB，PC的中点， / /MNBC， MNAMN，BCAMN， 所以/ /BC面AMN； （2）PAAB，点M为棱PB的中点， AMPB，又平面PAB 平面PBC， 平面PAB平面PBCPB，AMPAB，AM 面PBC，又AMAMN， 平面AMN 平面PBC 16 （14 分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 5 cos 5 A （1）若5a ，2 5c ，求b的值； （2）若 4 B ，求tan2C的值 【解答】解：
25、 （1）在ABC中，由余弦定理 222 2cosbcbcAa， 得 2 5 2022 525 5 bb，即 2 450bb， 解得5b 或1b （舍)，所以5b （2）由 5 cos 5 A及0A得， 22 52 5 sin1cos1() 55 AA， 所以 210 coscos()cos()(cossin) 4210 CABAAA ， 第 13 页（共 22 页） 又因为0C，所以 22 103 10 sin1cos1() 1010 CC， 从而 3 10 sin 10 tan3 cos10 10 C C C ， 所以 22 2tan233 tan2 1tan134 C C C 17 （14
26、 分）如图，在圆锥SO中，底面半径R为 3，母线长l为 5用一个平行于底面的平 面去截圆锥，截面圆的圆心为 1 O，半径为r现要以截面圆为底面，圆锥底面圆心O为顶 点挖去一个倒立的小圆锥，记小圆锥的体积为V （1）将V表示成r的函数； （2）求小圆锥的体积V的最大值 【解答】解： （1）在SAO中， 2222 534SOSAAO， 由 1 SNOSAO可知， 1 SOr SOR ，所以 1 4 3 SOr， 所以 1 4 4 3 OOr，所以 223 144 ( )(4)(3),03 339 V rrrrrr （2）由（1）得 23 4 ( )(3),03 9 V rrrr， 所以 2 4 (
27、 )(63) 9 V rrr，令( )0V r，得2r ， 当(0,2)r时，( )0V r， 所以( )V r在(0,2)上单调递增； 当(2,3)r时，( )0V r， 所以( )V r在(2,3)上单调递减 所以当2r 时，( )V r取得最大值 16 (2) 9 V 第 14 页（共 22 页） 答：小圆锥的体积V的最大值为16 9 18 （16 分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的右顶点为A， 过点A作直线l与圆 222 :O xyb相切，与椭圆C交于另一点P，与右准线交于点Q设 直线l的斜率为k （1）用k表示椭圆C的离心率； （2
28、）若0OP OQ ，求椭圆C的离心率 【解答】解： （1）直线l的方程为()yk xa，即0kxyak， 直线l与圆 222 :O xyb相切， 2 | 1 ak b k ， 故 2 2 22 b k ab 椭圆C的离心率 2 22 1 1 1 b e ak ； （2）设椭圆C的焦距为2c，则右准线方程为 2 a x c ， 由 2 ()yk xa a x c ，得 22 () aaac ykak cc ， 22 () (,) ak aac Q cc ， 第 15 页（共 22 页） 由 22 22 1 () xy ab yk xa ，得 2222324222 ()20ba kxa k xa
29、ka b， 解得 322 222 p a kab x ba k ，则 3222 222222 2 () p a kabab k yka ba kba k ， 3222 222222 2 (,) a kabab k P ba kba k ， 0OP OQ ， 232222 222222 ()2 0 aa kabk aacab k cba kcba k ， 即 22222 ()2()a a kbb kac， 由（1）知， 2 2 22 b k ab ， 224 2 2222 2() () a bbac ab abab ， 整理得22aac，即2ac， 1 2 c a ， 故椭圆C的离心率为 1 2
30、 19 （16 分）已知函数 1 ( )()()f xalnx aR x （1）若曲线( )yf x在点(1，f（1）)处的切线方程为10xy ，求a的值； （2）若( )f x的导函数( )fx存在两个不相等的零点，求实数a的取值范围； （3）当2a 时，是否存在整数，使得关于x的不等式( )f x恒成立？若存在，求出的 最大值；若不存在，说明理由 【解答】解： （1） 2 11 1 ( )()fxlnxa xx x ， 因为曲线( )yf x在点(1，f（1）)处的切线方程为10xy ， 所以 f （1）11a ，得0a ； （2）因为 2 1 ( ) axlnx fx x 存在两个不相等
31、的零点， 第 16 页（共 22 页） 所以( )1g xaxlnx 存在两个不相等的零点，则 1 ( )g xa x ， 当0a时，( )0g x，所以( )g x单调递增，至多有一个零点， 当0a 时，因为当 1 (0,)x a 时，( )0g x，( )g x单调递增， 当 1 (,)x a 时，( )0g x，( )g x单调递减， 所以 1 x a 时， 11 ( )()()2 max g xgln aa ， 因为( )g x存在两个零点，所以 1 ()20ln a ，解得 2 0ea ， 因为 2 0ea ，所以 2 1 1e a ， 因为g（1）10a ，所以( )g x在 1
32、(0,) a 上存在一个零点， 因为 2 0ea ，所以 2 11 () aa ， 因为 22 111 () ()1gln aaa ，设 1 t a ，则 2 21()ylnttte ， 因为 2 0 t y t ，所以 2 21()ylnttte 单调递减， 所以 222 2 ()130yln eee ，所以 22 111 () ()10gln aaa ， 所以( )g x在 1 (,) a 上存在一个零点， 综上可知，实数a的取值范围为 2 ( e，0)； （3）当2a 时， 1 ( )(2)f xlnx x ， 22 11 121 ( )(2) xlnx fxlnx xx xx ， 设(
33、 )21g xxlnx ，则 1 ( )20g x x 所以( )g x单调递增， 且 11 ( )0 22 gln，g（1）10 ，所以存在 0 1 (,1) 2 x 使得 0 ()0g x， 因为当 0 (0,)xx时，( )0g x ，即( )0fx，所以( )f x单调递减； 当 0 (xx，)时，( )0g x ，即( )0fx，所以( )f x单调递增， 所以 0 xx时，( )f x取得极小值，也是最小值， 此时 0000 000 111 ()(2)(2)(12)(4)4f xlnxxx xxx ， 因为 0 1 (,1) 2 x ，所以 0 ()( 1f x ，0)， 第 17
34、 页（共 22 页） 因为( )f x，且为整数，所以1，即的最大值为1 20 （16 分）已知数列 n a的首项 1 3a ，对任意的 * nN，都有 1 1(0) nn akak ，数列 1 n a 是公比不为 1 的等比数列 （1）求实数k的值； （2）设 4, 1 , n n n n b an 为奇数 为偶数 数列 n b的前n项和为 n S，求所有正整数m的值，使得 2 21 m m S S 恰 好为数列 n b中的项 【解答】解： （1）由 1 1 nn aka ， 1 3a ，可知 2 31ak， 2 3 31akk， 1 n a 为等比数列， 2 213 (1)(1)(1)aa
35、a， 即 22 (32)2(32)kkk， 整理，得 2 31080kk，解得2k 或 4 3 k 当 4 3 k 时， 1 4 3(3) 3 nn aa ，此时3 n a ，则12 n a ， 数列1 n a 的公比为 1，不符合题意； 当2k 时， 1 12(1) nn aa ，所以数列1 n a 的公比 1 1 2 1 n n a q a ， 综上所述，实数k的值为 2 （2）由（1）知，12n n a ， 4, 2 , n n n n b n 为奇数 为偶数 则 2 2 (41)4(43)44(21)4m m Sm 2 (41)(43)4(21)444mm 1 44 (4) 3 m m
36、m ， 2122 44 (4) 3 m mmm SSbmm 221 324m mm bbm ， 第 18 页（共 22 页） 2223221 ()()3 420 m mmmm bbbb ， 23 50bb， 1 30b ， 21 0 m S ， 2 0 m S 设 *2 21 0, m t m S btN S ，则1t ，3 或t为偶数， 因为 221mm SS ，所以3t （即 3 1)b 不可能，所以1t 或t为偶数， 当 2 1 21 m m S b S 时 ， 1 44 (4) 3 3 44 (4) 3 m m mm mm ， 化 简 得 2 62 4844 m mm ， 即 2 42
37、0mm ，所以m可取值为 1，2，3， 验证 624 135 787 ,3, 323 SSS SSS 得，当2m 时， 4 1 3 S b S 成立 当t为偶数时， 1 2 2 21 44 (4) 3 3 1 443124 (4)1 34 m m m m m mm S mmS mm ， 设 2 3124 4 m m mm c ，则 2 1 1 94221 4 mm m mm cc ， 由知3m ，当4m 时， 54 5 3 0 4 cc ； 当4m 时， 1 0 mm cc ，所以 456 ccc，所以 m c的最小值为 5 19 1024 c ， 所以 2 21 3 015 19 1 102
38、4 m m S S ， 令 2 2 21 4 m m S b S ，则 2 3 14 3124 1 4m mm ，即 2 31240mm，而此方程无整数解 综上，正整数m的值为 2 数学（附加题） 【选做题】本题包括数学（附加题） 【选做题】本题包括 A、B、C 三小题，请选定其中两题，并在相应的答三小题，请选定其中两题，并在相应的答 题区域内作答若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演题区域内作答若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演 算步骤算步骤选修选修 4-2：矩阵与变换：矩阵与变换 21 （10 分）已知矩阵 23 1 M t 的一个特征值
39、为 4，求矩阵M的逆矩阵 1 M 第 19 页（共 22 页） 【解答】解：矩阵M的特征多项式为 23 ( )(2)(1)3 1 ft t ； 因为矩阵M的一个特征值为 4，所以方程( )0f有一根为 4； 即f（4）2330t，解得2t ； 所以 23 21 M ， 设 1 ab M cd ， 则 1 232310 2201 acbd MM acbd ， 由 231 20 ac ac ，解得 1 4 1 2 a c ； 由 230 21 bd bd ，解得 3 4 1 2 b d ； 所以 1 13 44 11 22 M 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分
40、）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐 标系，直线l的极坐标方程为(cossin )12，曲线C的参数方程为 2 3cos ,( 2sin x y 为 参数，)R，在曲线C上求点M，使点M到l的距离最小，并求出最小值 【解答】 解： 直线l的极坐标方程为(cossin )12， 转换为直角坐标方程120xy 曲线C的参数方程为 2 3cos ,( 2sin x y 为参数，)R， 设点(2 3cos ,2sin )P， 所以点(23cos,2sin)P到直线120xy的距离 第 20 页（共 22 页） |4sin()12| |2 3cos2sin12| 3
41、22 d ， 当 6 时，即(3,1)M到直线的距离的最小值为4 2 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（本小题满分（本小题满分 0 分）分） 23已知正数x，y，z满足1xyz，求 111 222xyyzzx 的最小值 【解答】解：根据题意，1xyz，则(2 )(2 )(2 )3()3xyyxzxxy； 则有 2 111111 (2)(2)(2)()(2)(2)(2)9 222222 xyyxzxxyyxzx xyyzzxxyyxzx ； 当且仅当 1 3 xyz时等号成立； 变形可得： 111 3 222xyyzzx ，即 111 222xyyzzx 的最小值为 3 【必做题】第【必
42、做题】第 22、23 题，每小题题，每小题 10 分，共计分，共计 20 分请在答题卡指定区域内作答，解答时分请在答题卡指定区域内作答，解答时 应写出文字说明、证明过程或演算步骤应写出文字说明、证明过程或演算步骤 24（10 分） 如图， 在三棱柱 111 ABCABC中， 11 AAB B为正方形， 11 BBC C为菱形， 11 60BBC， 平面 11 AAB B 平面 11 BBC C （1）求直线 1 AC与平面 11 AAB B所成角的正弦值； （2）求二面角 1 BACC的余弦值 【解答】解： （1）在正方形 11 ABB A中， 1 ABBB， 因为 平面 11 AAB B 平面 11 BBC C，平面 11 AAB B
