1、 第 1 页（共 19 页） 2020 年江苏省盐城市、南京市高考数学一模试卷年江苏省盐城市、南京市高考数学一模试卷 一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，计分，计 70 分不需写出解答过程，请把答案写分不需写出解答过程，请把答案写 在答题卡的指定位置上在答题卡的指定位置上 1 （5 分）已知集合 A（0，+） ，全集 UR，则UA 2 （5 分）设复数 z2+i，其中 i 为虚数单位，则 z = 3 （5 分）学校准备从甲、乙、丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查，则甲被选中的 概率为 4 （5 分）命题“R，cos+sin1”的否定是 命题 （
2、填“真”或“假” ） 5 （5 分）运行如图所示的伪代码，则输出的 I 的值为 6 （5 分）已知样本 7，8，9，x，y 的平均数是 9，且 xy110，则此样本的方差是 7 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，若抛物线 y24x 上的点 P 到其焦点的距离为 3，则点 P 到点 O 的距离为 8 （5 分）若数列an是公差不为 0 的等差数列，lna1、lna2、lna5成等差数列，则2 1的值 为 9 （5 分）在三棱柱 ABCA1B1C1中，点 P 是棱 CC1上一点，记三棱柱 ABCA1B1C1与四 棱锥 PABB1A1的体积分别为 V1与 V2，则 2 1 = 10（5分） 设
3、函数f （x） sin （x+）（0， 0 2） 的图象与y轴交点的纵坐标为 3 2 ， y轴右 侧第一个最低点的横坐标为 6，则 的值为 11 （5 分）已知 H 是ABC 的垂心（三角形三条高所在直线的交点） ， = 1 4 + 1 2 ， 则 cosBAC 的值为 12 （5 分）若无穷数列cos（n）（R）是等差数列，则其前 10 项的和为 13 （5 分）已知集合 P（x，y）|x|x|+y|y|16，集合 Q（x，y）|kx+b1ykx+b2， 第 2 页（共 19 页） 若 PQ，则|12| 2+1 的最小值为 14（5 分） 若对任意实数 x （， 1， 都有| 22+1|1
4、成立， 则实数 a 的值为 二、解答题（共二、解答题（共 6 小题，满分小题，满分 90 分）分） 15 （14 分）已知ABC 满足 sin（B+ 6）2cosB （1）若 cosC= 6 3 ，AC3，求 AB； （2）若 A（0， 3） ，且 cos（BA）= 4 5，求 sinA 16 （14 分）如图，长方体 ABCDA1B1C1D1中，已知底面 ABCD 是正方形，点 P 是侧棱 CC1上的一点 （1）若 AC1平面 PBD，求1 的值； （2）求证：BDA1P 17（14 分） 如图， 是一块半径为 4 米的圆形铁皮， 现打算利用这块铁皮做一个圆柱形油桶 具 体做法是从O 中裁剪
5、出两块全等的圆形铁皮P 与Q 做圆柱的底面，裁剪出一个矩 形 ABCD 做圆柱的侧面（接缝忽略不计） ，AB 为圆柱的一条母线，点 A、B 在O 上， 点 P、Q 在O 的一条直径上，ABPQ，P、Q 分别与直线 BC、AD 相切，都与O 内切 （1）求圆形铁皮P 半径的取值范围； （2）请确定圆形铁皮P 与Q 半径的值，使得油桶的体积最大 （不取近似值） 第 3 页（共 19 页） 18 （16 分）设椭圆 C： 2 2 + 2 2 =1（ab0）的左右焦点分别为 F1，F2，离心率是 e， 动点 P（x0，y0）在椭圆 C 上运动当 PF2x 轴时，x01，y0e （1）求椭圆 C 的方程
6、； （2） 延长PF1， PF2分别交椭圆C于点A， B （A， B不重合） 设1 =1 ， 2 =2 ， 求+ 的最小值 19 （16 分）定义：若无穷数列an满足an+1an是公比为 q 的等比数列，则称数列an 为“M（q）数列” 设数列bn中 b11，b37 （1）若 b24，且数列bn是“M（q）数列” ，求数列bn的通项公式； （2）设数列bn的前 n 项和为 Sn，且 bn+12Sn 1 2n+，请判断数列bn是否为“M（q） 数列” ，并说明理由； （3）若数列bn是“M（2）数列” ，是否存在正整数 m，n 使得4039 2019 4040 2019？若 存在，请求出所有满足
7、条件的正整数 m，n；若不存在，请说明理由 20 （16 分）若函数 f（x）exae xmx（mR）为奇函数，且 xx 0时 f（x）有极小值 f （x0） （1）求实数 a 的值； （2）求实数 m 的取值范围； （3）若 f（x0） 2 恒成立，求实数 m 的取值范围 第 4 页（共 19 页） 【选做题】在【选做题】在 21、22、23 三小题中只能选做三小题中只能选做 2 题，每小题题，每小题 10 分，共计分，共计 20 分请在答卷卡分请在答卷卡 指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤选修选修 4-2：矩阵与变换：矩
8、阵与变换 21 （10 分）已知圆 C 经矩阵 M= 3 32变换后得到圆 C：x 2+y213，求实数 a 的值 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在极坐标系中，直线 cos+2sinm 被曲线 4sin 截得的弦为 AB，当 AB 是最长弦时，求实数 m 的值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知正实数 a，b，c 满足1 + 2 + 3 =1，求 a+2b+3c 的最小值 【必做题】第【必做题】第 24 题、第题、第 25 题，每题题，每题 10 分，共计分，共计 20 分请在答卷卡指定区域内作答解分请在答卷卡指定区域内作答解 答应写出
9、文字说明、证明过程或演算步骤答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 24 （10 分）如图，AA1、BB1是圆柱的两条母线，A1B1、AB 分别经过上下底面圆的圆心 O1、O，CD 是下底面与 AB 垂直的直径，CD2 （1）若 AA13，求异面直线 A1C 与 B1D 所成角的余弦值； （2）若二面角 A1CDB1的大小为 3，求母线 AA1 的长 25 （10 分）设 2 =1（12x） ia0+a1x+a2x2+a2nx2n（nN*） ，记 Sna0+a2+a4+a2n （1）求 Sn； （2）记 TnS1n1+S2n2S3n3+（1）nSnnn，求证：|Tn|6n3恒成立 第 5 页（共
10、 19 页） 2020 年江苏省盐城市、南京市高考数学一模试卷年江苏省盐城市、南京市高考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，计分，计 70 分不需写出解答过程，请把答案写分不需写出解答过程，请把答案写 在答题卡的指定位置上在答题卡的指定位置上 1 （5 分）已知集合 A（0，+） ，全集 UR，则UA （，0 【解答】解：A（0，+） ，UR， UA（，0 故答案为： （，0 2 （5 分）设复数 z2+i，其中 i 为虚数单位，则 z = 5 【解答】解：z2+i， = |2= (22+ 12)
11、2= 5 故答案为：5 3 （5 分）学校准备从甲、乙、丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查，则甲被选中的 概率为 2 3 【解答】解：学校准备从甲、乙、丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查， 基本事件总数 n= 3 2 =3， 甲被选中包含的基本事件个数 m= 1 121 =2， 则甲被选中的概率为 P= = 2 3 故答案为：2 3 4 （5 分）命题“R，cos+sin1”的否定是 真 命题 （填“真”或“假” ） 【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定为0R，cos0+sin01 为真命题， 故答案 为：真 5 （5 分）运行如图所示的伪代码，则输出的 I 的值为 6 第 6 页
12、（共 19 页） 【解答】解：模拟程序的运行，可得 S0，I0 满足条件 S10，执行循环体，S0，I1 满足条件 S10，执行循环体，S1，I2 满足条件 S10，执行循环体，S3，I3 满足条件 S10，执行循环体，S6，I4 满足条件 S10，执行循环体，S10，I5 满足条件 S10，执行循环体，S15，I6 不满足条件 S10，退出循环，输出 I 的值为 6 故答案为：6 6 （5 分）已知样本 7，8，9，x，y 的平均数是 9，且 xy110，则此样本的方差是 2 【解答】解：样本 7，8，9，x，y 的平均数是 9，且 xy110， = 110 7 + 8 + 9 + + =
13、9 5， 解得 x10，y11 或 x11，y10， 此样本的方差为： S2= 1 5（79） 2+（89）2+（99）2+（109）2+（119）22 故答案为：2 7 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，若抛物线 y24x 上的点 P 到其焦点的距离为 3，则点 P 到点 O 的距离为 23 【解答】解：抛物线 y24x2px， p2，准线方程为：x1，抛物线 y24x 上的点 P 到其焦点的距离为 3， 所以 P（2，22） 则点 P 到点 O 的距离为：22+ (22)2= 23， 故答案为：23 8 （5 分）若数列an是公差不为 0 的等差数列，lna1、lna2、lna5成等
14、差数列，则2 1的值为 3 【解答】解：数列an是公差不为 0 的等差数列，lna1、lna2、lna5成等差数列， 2ln（a1+d）lna1+ln（a1+4d） ， 第 7 页（共 19 页） (1+ )2=a1（a1+4d） ， 12+ 21 + 2= 12+ 41， 解得 d2a1， 2 1 = 1+ 1 =3 故答案为：3 9 （5 分）在三棱柱 ABCA1B1C1中，点 P 是棱 CC1上一点，记三棱柱 ABCA1B1C1与四 棱锥 PABB1A1的体积分别为 V1与 V2，则 2 1 = 2 3 【解答】解：在三棱柱 ABCA1B1C1中，点 P 是棱 CC1上一点， 记三棱柱
15、ABCA1B1C1与四棱锥 PABB1A1的体积分别为 V1与 V2， 设 ABa，ABC 的高为 b，三棱柱 ABCA1B1C1的高为 h， 则1= 1 2 ，2= 1 3 ， 2 1 = 1 3 1 2 = 2 3 故答案为：2 3 10（5分） 设函数f （x） sin （x+）（0， 0 2） 的图象与y轴交点的纵坐标为 3 2 ， y轴右 侧第一个最低点的横坐标为 6，则 的值为 7 【解答】解：f（x）的图象与 y 轴交点的纵坐标为 3 2 ， f（0）sin= 3 2 ， 0 2， 第 8 页（共 19 页） = 3， 则 f（x）sin（x+ 3） ， y 轴右侧第一个最低点的
16、横坐标为 6， 由五点对应法得 6+ 3 = 3 2 得 7， 故答案为：7 11 （5 分）已知 H 是ABC 的垂心（三角形三条高所在直线的交点） ， = 1 4 + 1 2 ， 则 cosBAC 的值为 3 3 【解答】解： = 1 4 + 1 2 ，令 = ， = 1 4 + 1 2 如图，点 B，H，E 三点共线，则有， 1 4 + 1 2 = 1， = 2 3 = 1 4 + 3 4 ，即 = 3 BAC = 3( )， = 1 4 + 3 4 = 1 4 ( + ) = 2 （其中点 F 为边 AB 的中点） ，则有， 边 AB 上的中线与垂线重合，即 CBCA = 3 且 =
17、2 3 由对称性可知， = 3 且 = 2 3 建立如图所示的平面直角坐标系，则有， D（0，0） ，B（2，0） ，C（1，0） ，设 A（0，4t） ，H（0，t） ，t0 由 BCCA 可得，2= 1 2 cosBAC= | = 1622 162+4162+1 = 3 3 故答案为 3 3 第 9 页（共 19 页） 12 （5 分）若无穷数列cos（n）（R）是等差数列，则其前 10 项的和为 10 【解答】解：无穷数列cos（n）（R）是等差数列， 0，cos（n）1， 无穷数列cos（n）（R）的前 10 项的和为：S1010110 故答案为：10 13 （5 分）已知集合 P（x
18、，y）|x|x|+y|y|16，集合 Q（x，y）|kx+b1ykx+b2， 若 PQ，则|12| 2+1 的最小值为 4 【解答】解：当 x0，y0 时，x2+y216，即 y= 16 2； 当 x0，y0 时；x2y216，即 = 216 当 x0，y0 时；x2+y216，即 y= 2+ 16 当 x0，y0 时，x2+y216，舍去 作出图象，x2y216 的一条渐近线为 yx，与该渐近线平行， 且与圆 x2+y216 的一条切线为 = + 42， 由图可知，k1，最小值为 |12| 2+1 = 42 2 = 4 故答案为：4 第 10 页（共 19 页） 14（5 分） 若对任意实数
19、 x （， 1， 都有| 22+1|1 成立， 则实数 a 的值为 1 2 【解答】解：依题意，1 22+1 1，令() = 22+1， 若 x22ax+10 的判别式4a240，则 x22ax+10 有解，设一解为 x1， 则当 xx1时，|f（x）|+，不满足|f（x）|1 恒成立，故1a1， () = ,(1)(2+1)- (22+1)2 ， 当 2a+10， 即 1 2时， 函数 f （x） 在 （2a+1， 1） 单调递减， f （0） 1， 则 f （2a+1） 1，不满足题意； 当 2a+10，即 1 2时，记 1，2a+1 中的较小值为 x0，则函数 f（x）在（，x0） 单调
20、递增， 由 f（0）1 可得 f（x0）f（0）1，不满足题意； 当 2a+10，即 = 1 2时，f（x）在（，0） ， （0，1）单调递减， 则 f（x）f（0）1，() = 22+1 0，则|f（x）|1 恒成立 故答案为： 1 2 二、解答题（共二、解答题（共 6 小题，满分小题，满分 90 分）分） 第 11 页（共 19 页） 15 （14 分）已知ABC 满足 sin（B+ 6）2cosB （1）若 cosC= 6 3 ，AC3，求 AB； （2）若 A（0， 3） ，且 cos（BA）= 4 5，求 sinA 【解答】 解： （1） 由 sin （B+ 6） 2cosB， 可知
21、 3 2 sinB+ 1 2cosB2cosB， 即 sinB= 3cosB， 因为 cosB0，所以 tanB= 3， 又 B（0，） ，故 B= 3， 由 cosC= 6 3 ，C（0，） ，可知 sinC= 1 2 = 3 3 ， 在ABC 中，由正弦定理 3 = ，所以 AB2； （2）由（1）知 B= 3，所以 A（0， 3）时， 3 A（0， 3） ， 由 cos（BA）= 4 5，即 cos（ 3 ）= 4 5， 所以 sin（ 3 ）= 3 5， 所以 sinAsin 3 （ 3 ） sin 3cos （ 3 ） cos 3sin （ 3 ） = 3 2 4 5 1 2 3 5
22、 = 433 10 16 （14 分）如图，长方体 ABCDA1B1C1D1中，已知底面 ABCD 是正方形，点 P 是侧棱 CC1上的一点 （1）若 AC1平面 PBD，求1 的值； （2）求证：BDA1P 【解答】解： （1）连结 AC 交 BD 于点 O，连结 OP 因为 AC1平面 PBD，AC1平面 ACC1，平面 ACC1平面 BDPOP， 第 12 页（共 19 页） 所以 AC1OP 因为四边形 ABCD 是正方形，对角线 AC 交 BD 于点 O， 所以点 O 是 AC 的中点，所以 AOOC， 所以在ACC1中，1 = =1 （2）证明：连结 A1C1因为 ABCDA1B1
23、C1D1为长方体，所以侧棱 C1C平面 ABCD 又 BD平面 ABCD，所以 CC1BD 因为底面 ABCD 是正方形，所以 ACBD 又 ACCC1C，AC面 ACC1A1，CC1面 ACC1A1， 所以 BD面 ACC1A1， 又因为 A1P面 ACC1A1，所以 BDA1P 17（14 分） 如图， 是一块半径为 4 米的圆形铁皮， 现打算利用这块铁皮做一个圆柱形油桶 具 体做法是从O 中裁剪出两块全等的圆形铁皮P 与Q 做圆柱的底面，裁剪出一个矩 形 ABCD 做圆柱的侧面（接缝忽略不计） ，AB 为圆柱的一条母线，点 A、B 在O 上， 点 P、Q 在O 的一条直径上，ABPQ，P
24、、Q 分别与直线 BC、AD 相切，都与O 内切 （1）求圆形铁皮P 半径的取值范围； （2）请确定圆形铁皮P 与Q 半径的值，使得油桶的体积最大 （不取近似值） 第 13 页（共 19 页） 【解答】解： （1）设P 的半径为 r，则 AB4（2r） ， 所以P 的周长2 = 216 4(2 )2，解得 16 2+4， 故P 半径的取值范围为(0， 16 2+4-； （2）在（1）的条件下，油桶的体积 Vr2AB4r2（2r） ， 设函数() = 2(2 )， (0， 16 2+4-，则 f（x）4x3x 2， 由于 16 2+4 4 3，所以 f（x）0 在定义域上恒成立，即函数 f（x）
25、在定义域上单调递 增， 故当 = 16 2+4时，体积取倒最大值 18 （16 分）设椭圆 C： 2 2 + 2 2 =1（ab0）的左右焦点分别为 F1，F2，离心率是 e， 动点 P（x0，y0）在椭圆 C 上运动当 PF2x 轴时，x01，y0e （1）求椭圆 C 的方程； （2） 延长PF1， PF2分别交椭圆C于点A， B （A， B不重合） 设1 =1 ， 2 =2 ， 求+ 的最小值 【解答】解： （1）由题意知当 PF2x 轴时，x01，y0e知 c1， 2 =e= ，bc 1，又 a2b2+c22， 第 14 页（共 19 页） 所以椭圆的方程为： 2 2 + 2=1； （2
26、）由（1）知 F1（1，0） ，F2（1，0）设 A（x0，y0） ， 由1 =1 得1 1 = (0+ 1) 1= 0 ，即1 = 0 1 1= 0 ， 代入椭圆方程得：(01) 2 2 +（y0）21， 又0 2 2 + 02=1，得(0) 2 2 + (0)2= 2， 两式相减得：(+1)(20+1) 2 =12， 因为 +10，所以 2x0+12（1） ， 故 = 1 3+20； 同理可得： = 1 320， 故 += 1 3+20 + 1 320 = 6 9402 2 3，当且仅当 x00 时取等号， 故 + 的最小值为2 3 19 （16 分）定义：若无穷数列an满足an+1an是
27、公比为 q 的等比数列，则称数列an 为“M（q）数列” 设数列bn中 b11，b37 （1）若 b24，且数列bn是“M（q）数列” ，求数列bn的通项公式； （2）设数列bn的前 n 项和为 Sn，且 bn+12Sn 1 2n+，请判断数列bn是否为“M（q） 数列” ，并说明理由； （3）若数列bn是“M（2）数列” ，是否存在正整数 m，n 使得4039 2019 4040 2019？若 存在，请求出所有满足条件的正整数 m，n；若不存在，请说明理由 【解答】解： （1）因为 b24，且数列bn是“M（q）数列” ， 所以 q= 32 21 = 74 41 =1，所以+1 1 =1，n
28、2， 即 bn+1bnbnbn1，n2， 所以数列bn是等差数列，其公差为 b2b13， 所以数列bn通项公式为 bn1+（n1）33n2 （2）由+1= 2 1 2 + ，得2 = 3 2 + ，b34+37，解得 7， 由+1= 2 1 2 + ，得+2= 2+1 1 2 ( + 1) + 1， 第 15 页（共 19 页） 两式作差，得：+2 +1= 2+1 1 2，+2 = 3+1 1 2，nN *， 2= 5 2，2 = 31 1 2，+1 = 3 1 2对 nN *恒成立， 则+1 1 4 =3（ 1 4） ， 1 1 4 = 3 4 0， 1 4 0， +11 4 1 4 =3，
29、* 1 4+是等比数列， 1 4 = (1 1 4) 3 1 = 1 4 3，= 1 4 3+ 1 4， +2+1 +1 = (1 43 +2+1 4)( 1 43 +1+1 4) (1 43 +1+1 4)( 1 43 +1 4) =3， bn+1bn是公比为 3 的等比数列，故数列bn是“M（q）数列“ （3）由数列bn是“M（2） ”数列，bn+1bn（b2b1）2n+1， 32 21 =2，72 21 =2，b23， b2b12，bn+1bn2n， 当 n2 时，bn（bnbn1）+（bn1bn2）+（b2b1）+b1，2n 1+2n2+2+1 2n1， 假设存在正整数 m，n，使得4
30、039 2019 4040 2019，则 4039 2019 21 21 4040 2019， 由2 1 21 = 2(21)+21 21 = 2+ 21 21 4040 2019， 2 4040 2019 3，mn1， 2 1 21 = 2 + 1 21，即 4039 2019 2 + 1 21 4040 2019， 2021 2 22020，n10，m11 存在满足条件的正整数 m，n，其中 m11，n10 20 （16 分）若函数 f（x）exae xmx（mR）为奇函数，且 xx 0时 f（x）有极小值 f （x0） （1）求实数 a 的值； （2）求实数 m 的取值范围； （3）若
31、f（x0） 2 恒成立，求实数 m 的取值范围 【解答】解： （1）由函数 f（x）为奇函数，得 f（x）+f（x）0 在定义域上恒成立， 第 16 页（共 19 页） exae xmx+exaex+mx0， 化简可得（1a） （ex+e x）0，故 a1； （2）由（1）可得 f（x）exe xmx，则() = + = 2+1 ， 当 m2 时，由于 e2xmex+10 恒成立，即 f（x）0 恒成立，故不存在极小值； 当 m2 时，令 ext，则方程 t2mt+10 有两个不等的正根 t1，t2（t1t2） ， 故可知函数 f（x）exe xmx 在（，lnt 1） ， （lnt2，+）上
32、单调递增，在（lnt1， lnt2）上单调递减，即在 lnt2出取到极小值， 所以，实数 m 的取值范围为（2，+） ； （3） 由 x0满足0+ 0= 代入 f （x） exe xmx， 消去 m 得( 0) = (1 0)0 (1 + 0)0， 构造函数 h（x）（1x）ex（1+x）e x，则 h（x）x（exex） ， 当 x0 时， = 12 0，故当 x0 时，h（x）0 恒成立， 故函数 h（x）在0，+）上单调减函数，其中(1) = 2 ，则(0) 2 ，可转化为 h （x0）h（1） ，故 x01， 由0+ 0= ，设 yex+e x，可得当 x0 时，yexex0， yex
33、+e x 在（0，1上递增，故 + 1 ， 综上，实数 m 的取值范围为(2， + 1 - 【选做题】在【选做题】在 21、22、23 三小题中只能选做三小题中只能选做 2 题，每小题题，每小题 10 分，共计分，共计 20 分请在答卷卡分请在答卷卡 指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤选修选修 4-2：矩阵与变换：矩阵与变换 21 （10 分）已知圆 C 经矩阵 M= 3 32变换后得到圆 C：x 2+y213，求实数 a 的值 【解答】解：设圆 C 上任一点（x，y） ，经矩阵 M 变换后得到圆 C上一点（x ，y ） ，
34、 所以 3 32 = ，所以 + 3 = 3 2 = ， 又因为（x）2+（y）213，所以圆 C 的方程为（ax+3y）2+（3x2y）213， 化简得（a2+9）x2+（6a12）xy+13y213， 所以 2 + 9 = 13 6 12 = 0解得 a2 所以，实数 a 的值为 2 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 第 17 页（共 19 页） 22 （10 分）在极坐标系中，直线 cos+2sinm 被曲线 4sin 截得的弦为 AB，当 AB 是最长弦时，求实数 m 的值 【解答】解：以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴（单位长度相同）建立平面直角坐标 系， 由直
35、线 cos+2sinm，可得直角坐标方程为 x+2ym0 又曲线 4sin，所以 24sin，其直角坐标方程为 x2+（y2）24， 所以曲线 4sin 是以（0，2）为圆心，2 为半径的圆 为使直线被曲线（圆）截得的弦 AB 最长，所以直线过圆心（0，2） ， 于是 0+22m0，解得 m4 所以，实数 m 的值为 4 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知正实数 a，b，c 满足1 + 2 + 3 =1，求 a+2b+3c 的最小值 【解答】解：根据题意，因为1 + 2 + 3 =1，则1 + 4 2 + 9 3 =1， 由柯西不等式得 a+2b+3c（a+2b+3c） （1
36、+ 4 2 + 9 3）（1+2+3） 2； 即 a+2b+3c36，当且仅当 abc 时取等号，解得 abc6， 所以当且仅当 abc6 时，a+2b+3c 取最小值 36 【必做题】第【必做题】第 24 题、第题、第 25 题，每题题，每题 10 分，共计分，共计 20 分请在答卷卡指定区域内作答解分请在答卷卡指定区域内作答解 答应写出文字说明、证明过程或演算步骤答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 24 （10 分）如图，AA1、BB1是圆柱的两条母线，A1B1、AB 分别经过上下底面圆的圆心 O1、O，CD 是下底面与 AB 垂直的直径，CD2 （1）若 AA13，求异面直线 A1C
37、与 B1D 所成角的余弦值； （2）若二面角 A1CDB1的大小为 3，求母线 AA1 的长 【解答】解： （1）以 CD，AB，OO1所在直线建立如图所示空间直角坐标系 Oxyz 由 CD2，AA13，所以 A（0，1，0） ，B（0，1，0） ，C（1，0，0） ，D（1，0，0） ， 第 18 页（共 19 页） A1（0，1，3） ，B1（0，1，3） ， 从而1 =（1，1，3） ，1 =（1，1，3） ， 所以 cos1 ，1 = 11+1(1)+(3)(3) (1)2+12+(3)212+(1)2+(3)2 7 11， 所以异面直线 A1C 与 B1D 所成角的余弦值为： 7 1
38、1 （2）设 AA1m0，则 A1（0，1，m） ，B1（0，1，m） ， 所以1 =（1，1，m） ，1 =（1，1，m） ， ， =（2，0，0） ， 设平面 A1CD 的一个法向量1 =（x1，y1，z1） ， 则1 = 21= 0， 1 1 = 1+ 1 1= 0， 所以 x10，令 z11，则 y1m， 所以平面 A1CD 的一个法向量1 =（0，m，1） 同理可得平面 B1CD 的一个法向量2 =（0，m，1） 因为二面角 A1CDB1的大小为 3， 所以|cos1 ，2 |= | ()+11 2+1()2+1 | = 1 2， 解得 m= 3或 m= 3 3 ， 由图形可知当二面
39、角 A1CDB1的大小为 3时，m= 3 25 （10 分）设 2 =1（12x） ia0+a1x+a2x2+a2nx2n（nN*） ，记 Sna0+a2+a4+a2n （1）求 Sn； （2）记 TnS1n1+S2n2S3n3+（1）nSnnn，求证：|Tn|6n3恒成立 第 19 页（共 19 页） 【解答】解： （1）由题意，令 x1，得 a0+a1+a2+a2n= 2 =1 (1)=0； 令 x1，得 a0a1+a2a3+a2n1+a2n= 2 =1 3=31+32+32n= 3 2 （9 n1） 两式相加，得 2（a0+a2+a4+a2n）= 3 2 （9 n1） ， 即 2Sn= 3 2 （9 n1） ， Sn= 3 4（9 n1） ，nN* （2）由题意，TnS1n1+S2n2S3n3+（1）nSnnn = 3 49 1 1 +92 2 93 3 + +（1）n9n 1 + 2 3 + +（1）n = 3 49 0 0 91 1 +92 2 93 3 + +（1）n9n 0 1 + 2 3 + +（1） n = 3 49 0 0 91 1 +92 2 93 3 + +（1）n9n = 3 4 0（9）01（9）1+2（9）23（9）3+ （9）n
