2020年山东省六地市部分学校高考数学模拟试卷（3月份）.docx

1、 第 1 页（共 20 页） 2020 年山东省六地市部分学校高考数学模拟试卷（年山东省六地市部分学校高考数学模拟试卷（3 月份）月份） 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项符合题目要求一项符合题目要求. 1 （5 分）已知集合 |2 x Ay y ，0x ， 1 2 |Bx yx，则(AB ) A1，) B(1,) C(0,) D0，) 2 （5 分）设(2)(3)3(5) (ixiyi i为虚数单位） ，其中x，y是实数，则|xyi等于( ) A5 B13

2、 C2 2 D2 3 （5 分）已设a，b都是正数，则“log 3log 3 ab ”是“333 ab ”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分且必要条件 D既不充分也不必要条件 4 （5 分）甲、乙、丙三位同学获得某项竞赛活动的前三名，但具体名次未知3 人作出如 下预测：甲说：我不是第三名；乙说：我是第三名；丙说：我不是第一名若甲、乙、丙 3 人的预测结果有且只有一个正确，由此判断获得第三名的是( ) A甲 B乙 C丙 D无法预测 5 （5 分） 九章算术是我国算术名著，其中有这样一个问题：今有碗田，下周三十步， 径十六步，问为田几何？意思是说现有扇形田，弧长三十步，直径十六步

3、，问面积多少？书 中给出计算方法，以径乘周，四而一，即扇形的面积等于直径乘以弧长再除以 4，在此问题 中，扇形的圆心角的弧度数是( ) A 4 15 B 15 4 C15 8 D120 6 （5 分）若 2 2 ()nx x 的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是( ) A210 B180 C160 D175 7 （5 分）泉城广场上矗立着的“泉标” ，成为泉城济南的标志和象征为了测量“泉标” 高度，某同学在“泉标”的正西方向的点A处测得“泉标”顶端的仰角为45，沿点A向北 偏东30前进100m到达点B，在点B处测得“泉标”顶端的仰角为30，则“泉标”的高度 为( ) A5

4、0m B100m C120m D150m 第 2 页（共 20 页） 8 （5 分）已知函数( )f x满足(2)(2)6fxfx， 31 ( ) 2 x g x x ，且( )f x与( )g x的图象 交点为 1 (x， 1) y， 2 (x， 2) y， 8 (x， 8) y，则 128128 xxxyyy的值为( ) A20 B24 C36 D40 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，

5、部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分. 9 （5 分）某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆，如图所示， 已知它的近地点A（离地面最近的点）距地面m千米，远地点B（离地面最远的点）距地 面n千米，并且F、A、B三点在同一直线上，地球半径约为R千米，设该椭圈的长轴长、 短轴长、焦距分别为2a、2b、2c，则( ) AacmR BacnR C2amn D()()bmR nR 10 （5 分）甲罐中有 5 个红球，2 个白球和 3 个黑球，乙罐中有 4 个红球，3 个白球和 3 个 黑球 先从甲罐中随机取出一球放入乙罐， 分别以 1 A， 2 A和 3 A表示

6、由甲罐取出的球是红球， 白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件， 则下列结论中正确的是( ) A 2 ( ) 5 P B B 1 5 (|) 11 P B A C事件B与事件 1 A相互独立 D 1 A， 2 A， 3 A是两两互斥的事件 11 （5 分）已知点P是双曲线 22 :1 169 xy E的右支上一点， 1 F， 2 F为双曲线E的左、右焦 点， 12 PFF的面积为 20，则下列说法正确的是( ) A点P的横坐标为 20 3 B 12 PFF的周长为 80 3 第 3 页（共 20 页） C 12 3 FPF 小于 D 12 PFF的内切圆半

7、径为 3 4 12（5分） 已知正四棱柱 1111 ABCDABC D的底面边长为2， 侧棱 1 1AA ，P为上底面 1111 ABC D 上的动点，给出下列四个结论中正确结论为( ) A若3PD ，则满足条件的P点有且只有一个 B若3PD ，则点P的轨迹是一段圆弧 C若/ /PD平面 1 ACB，则DP长的最小值为 2 D若/ /PD平面 1 ACB，且3PD ，则平面BDP截正四棱柱 1111 ABCDABC D的外接 球所得平面图形的面积为 9 4 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）已知向量(1,1)ax

8、，( ,2)bx，若满足/ /ab，且方向相同，则x 14 （5 分）已知m是 2 与 8 的等比中项，则圆锥曲线 2 2 1 y x m 的离心率是 15 （5 分）对于函数( )f x，若在定义域内存在实数 0 x满足 00 ()()fxf x ，则称函数( )f x 为“倒戈函数” 设( )321( x f xmmR，且0m 是定义在 1，1上的“倒戈函数” ， 则实数m的取值范围是 16 （5 分）已知函数( )2sinf xx，( )2cosg xx，其中0，A，B，C是这两 个函数图象的交点，且不共线 当1时，ABC面积的最小值为 ； 若存在ABC是等腰直角三角形，则的最小值为 四

9、、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （10 分）数列 n a满足： 123 1 (31) 2 n n aaaa （1）求 n a的通项公式； （2）若数列 n b满足3 n n a b n a ，求 n b的前n项和 n T 18（12 分） 在锐角ABC中， 内角A，B，C所对的边为a，b，c， 已知sinsin() 3 bAaB （1）求角B的大小； 第 4 页（共 20 页） （2）求 c a 的取值范围？ 19 （12 分）如图，三棱柱 111 ABC

10、ABC中，CACB， 1 45BAA，平面 11 AAC C 平面 11 AAB B （1）求证： 1 AABC； （2）若 1 22BBAB，直线BC与平面 11 ABB A所成角为45，D为 1 CC的中点，求二面 角 111 BADC的余弦值 20 （12 分）为提高城市居民生活幸福感，某城市公交公司大力确保公交车的准点率，减少 居民乘车候车时间为此，该公司对某站台乘客的候车时间进行统计乘客候车时间受公交 车准点率、交通拥堵情况、节假日人流量增大等情况影响在公交车准点率正常、交通拥堵 情况正常、非节假日的情况下，乘客候车时间随机变量X满足正态分布 2 ( ,)N 在公交 车准点率正常、交

11、通拥堵情况正常、非节假日的情况下，调查了大量乘客的候车时间，经过 统计得到如图频率分布直方图 （1）在直方图各组中，以该组区间的中点值代表该组中的各个值，试估计， 2 的值； （2） 在统计学中， 发生概率低于千分之三的事件叫小概率事件， 一般认为， 在正常情况下， 一次试验中，小概率事件是不能发生的在交通拥堵情况正常、非节假日的某天，随机调查 了该站的 10 名乘客的候车时间， 发现其中有 3 名乘客候车时间超过 15 分钟， 试判断该天公 交车准点率是否正常，说明理由 （参考数据：19.24.38，21.44.63，26.65.16， 7 0.84130.2898， 6 0.84130.3

12、546， 3 0.15870.0040， 4 0.15870.0006，()0.6826PX， (22 )0.9544PX，(33 )0.9973)PX 第 5 页（共 20 页） 21 （12 分）已知抛物线 2 :2(0)C ypx p，点F为抛物线的焦点，焦点F到直线 3430xy的距离为 1 d，焦点F到抛物线C的准线的距离为 2 d，且 1 2 3 5 d d （1）抛物线C的标准方程； （2）若在x轴上存在点M，过点M的直线l分别与抛物线C相交于P、Q两点，且 22 11 |PMQM 为定值，求点M的坐标 22 （12 分）已知函数 2 ( )(0)f xlnxaxx a （1）讨

13、论函数( )f x的极值点的个数； （2）若函数( )f x有两个极值点 1 x， 2 x，证明： 12 ( )()32 2f xf xln 第 6 页（共 20 页） 2020 年山东省六地市部分学校高考数学模拟试卷（年山东省六地市部分学校高考数学模拟试卷（3 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项符合题目要求一项符合题目要求. 1 （5 分）已知集合 |2 x Ay y ，0x ， 1 2 |Bx yx，则

14、(AB ) A1，) B(1,) C(0,) D0，) 【解答】解： |2 x Ay y ，0 |1xy y， 1 2 | |0Bx yxx x ? (1,)AB 故选：B 2 （5 分）设(2)(3)3(5) (ixiyi i为虚数单位） ，其中x，y是实数，则|xyi等于( ) A5 B13 C2 2 D2 【解答】解：(2)(3)6(32 )3(5)ixixx iyi， 63 325 x xy ，解得 3 4 x y ， 则 22 | | 34 |( 3)45xyiy 故选：A 3 （5 分）已设a，b都是正数，则“log 3log 3 ab ”是“333 ab ”的( ) A充分不必要

15、条件 B必要不充分条件 C充分且必要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：由log 3log 3 ab ，得， 33 11 log alog b ， 得01ba或01ab 或1ab， 由333 ab ，得1ab， “log 3log 3 ab ”是“333 ab ”的必要不充分条件 故选：B 第 7 页（共 20 页） 4 （5 分）甲、乙、丙三位同学获得某项竞赛活动的前三名，但具体名次未知3 人作出如 下预测：甲说：我不是第三名；乙说：我是第三名；丙说：我不是第一名若甲、乙、丙 3 人的预测结果有且只有一个正确，由此判断获得第三名的是( ) A甲 B乙 C丙 D无法预测 【解答】解：若甲

16、正确，则乙、丙均错误，故丙是第一名，乙是第二名，甲是第三名，与“甲 说：我不是第三名”正确相矛盾， 故甲错误， 因此，甲为第三名； 于是乙、丙中必有一人正确，一人错误 若丙错误（则乙正确） ，即丙是第一名，而甲是第三名，故乙是第二名，与乙正确“我是第 三名”矛盾， 故丙正确，即丙不是第一名，为第二名； 由得：获得第一名的是：乙 故选：A 5 （5 分） 九章算术是我国算术名著，其中有这样一个问题：今有碗田，下周三十步， 径十六步，问为田几何？意思是说现有扇形田，弧长三十步，直径十六步，问面积多少？书 中给出计算方法，以径乘周，四而一，即扇形的面积等于直径乘以弧长再除以 4，在此问题 中，扇形的

17、圆心角的弧度数是( ) A 4 15 B 15 4 C15 8 D120 【解答】解：扇形中，弧长为30l ，直径为16d ， 面积为30 164120S ； 扇形的圆心角弧度数是 3015 84 l r 故选：B 6 （5 分）若 2 2 ()nx x 的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是( ) A210 B180 C160 D175 【解答】解：若 2 2 ()nx x 的展开式中只有第六项的二项式系数 5 n C最大，故10n ， 则展开式的通项公式为 5 5 2 110 ( 2) r rr r TCx ，令 5 50 2 r ，求得2r ， 第 8 页（共 20

18、页） 可得展开式中的常数项为 22 10 ( 2)180C， 故选：B 7 （5 分）泉城广场上矗立着的“泉标” ，成为泉城济南的标志和象征为了测量“泉标” 高度，某同学在“泉标”的正西方向的点A处测得“泉标”顶端的仰角为45，沿点A向北 偏东30前进100m到达点B，在点B处测得“泉标”顶端的仰角为30，则“泉标”的高度 为( ) A50m B100m C120m D150m 【解答】解：根据题意，画出图形为： 所以100AB ，60BAC，30DBC， 设DCx， 所以ACx，3BCx， 在ABC中， 利用余弦定理的应用， 222 1 ( 3 )1002100 2 xxx， 解得50x 故

19、选：A 8 （5 分）已知函数( )f x满足(2)(2)6fxfx， 31 ( ) 2 x g x x ，且( )f x与( )g x的图象 交点为 1 (x， 1) y， 2 (x， 2) y， 8 (x， 8) y，则 128128 xxxyyy的值为( ) A20 B24 C36 D40 【解答】解：函数( )f x满足(2)(2)6fxfx的对称中心为(2,3)， 函数 315 ( )3 22 x g x xx 也关于(2,3)中心对称， 第 9 页（共 20 页） 则若交点为 1 (x， 1) y时， 1 (4x， 1 6)y也为交点，若交点为 2 (x， 2) y时， 2 (4x

20、， 2 6)y 也为交点， 所以 128128112288 ()()()xxxyyyxyxyxy 111122228888 1( )(46)()(46)()(46)40 2 xyxyxyxyxyxy 故选：D 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分分，部分选对的得，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分. 9 （5 分）某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆，如图所示， 已知

21、它的近地点A（离地面最近的点）距地面m千米，远地点B（离地面最远的点）距地 面n千米，并且F、A、B三点在同一直线上，地球半径约为R千米，设该椭圈的长轴长、 短轴长、焦距分别为2a、2b、2c，则( ) AacmR BacnR C2amn D()()bmR nR 【解答】 解： 设椭圆的长半轴为a， 短半轴为b， 半焦距为c， 则由题意可知：acRm， acRn，可得acmR，所以A正确；acRn，所以B正确； 可得 2 mn aR ， 2 nm c 则 22222 ()()()() 22 mnnm bacRmR nR 则()()bmR nR所以D正确； 故选：ABD 10 （5 分）甲罐中有

22、 5 个红球，2 个白球和 3 个黑球，乙罐中有 4 个红球，3 个白球和 3 个 黑球 先从甲罐中随机取出一球放入乙罐， 分别以 1 A， 2 A和 3 A表示由甲罐取出的球是红球， 第 10 页（共 20 页） 白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件， 则下列结论中正确的是( ) A 2 ( ) 5 P B B 1 5 (|) 11 P B A C事件B与事件 1 A相互独立 D 1 A， 2 A， 3 A是两两互斥的事件 【 解 答】 解 ： 易 见 1 A， 2 A， 3 A是 两 两 互 斥 的 事 件 ， 123 5524349 ()()()(

23、) 10111011101122 PBPBAPBAPBA 故选：BD 11 （5 分）已知点P是双曲线 22 :1 169 xy E的右支上一点， 1 F， 2 F为双曲线E的左、右焦 点， 12 PFF的面积为 20，则下列说法正确的是( ) A点P的横坐标为 20 3 B 12 PFF的周长为 80 3 C 12 3 FPF 小于 D 12 PFF的内切圆半径为 3 4 【解答】解：设 12 FPF的内心为I，连接IP， 1 IF， 2 IF， 双曲线 22 :1 169 xy E中的4a ，3b ，5c ， 不妨设( , )P m n，0m ，0n ， 由 12 PFF的面积为 20，可

24、得 12 1 |520 2 FFncnn，即4n ， 由 2 16 1 169 m ，可得 20 3 m ，故A符合题意； 由 20 ( 3 P，4)，且 1( 5,0) F ， 2(5,0) F， 可得 12 1 35 kPF ， 12 2 5 kPF， 则 12 1212 360 535 tan(0, 3) 12 12 319 1 5 35 FPF ， 则 12 3 FPF ，故C符合题意； 由 2 12 3525371350 |1616 99333 PFPF， 第 11 页（共 20 页） 则 12 PFF的周长为 5080 10 33 ，故B符合题意； 设 12 PFF的内切圆半径为r

25、，可得 121212 11 (|)| 4 22 rPFPFFFFF， 可得 80 40 3 r ，解得 3 2 r ，故D不符合题意 故选：ABC 12（5分） 已知正四棱柱 1111 ABCDABC D的底面边长为2， 侧棱 1 1AA ，P为上底面 1111 ABC D 上的动点，给出下列四个结论中正确结论为( ) A若3PD ，则满足条件的P点有且只有一个 B若3PD ，则点P的轨迹是一段圆弧 C若/ /PD平面 1 ACB，则DP长的最小值为 2 D若/ /PD平面 1 ACB，且3PD ，则平面BDP截正四棱柱 1111 ABCDABC D的外接 球所得平面图形的面积为 9 4 【解

26、答】解：如图正四棱柱 1111 ABCDABC D的底面边长为 2， 11 2 2B D ，又侧棱 1 1AA ， 22 1 (2 2)13DB ，则P与 1 B重合时3PD ，此时P点唯一，故A正确； 3(1,3)PD ， 1 1DD ，则 1 2PD ，即点P的轨迹是一段圆弧，故B正确； 连接 1 DA， 1 DC，可得平面 11/ / ADC平面 1 ACB，则当P为 11 AC中点时，DP有最小值为 22 ( 2)13，故C错误； 由C知，平面BDP即为平面 11 BDD B，平面BDP截正四棱柱 1111 ABCDABC D的外接球所得 第 12 页（共 20 页） 平面图形为外接球

27、的大圆， 其半径为 222 13 221 22 ，面积为 9 4 ，故D正确 故选：ABD 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）已知向量(1,1)ax，( ,2)bx，若满足/ /ab，且方向相同，则x 1 【解答】解：向量(1,1)ax，( ,2)bx，若满足/ /ab，且方向相同， 11 2 x x ，求得1x ，或2x （此时 2 b a ，不合题意，舍去） ， 故答案为：1 14（5 分） 已知m是 2 与 8 的等比中项， 则圆锥曲线 2 2 1 y x m 的离心率是 5或 3 2 【解答】解：m是 2

28、 与 8 的等比中项，可得4m ， 则圆锥曲线 2 2 1 y x m 是椭圆时为： 2 2 1 4 y x 的离心率： 3 2 ， 圆锥曲线为双曲线时， 2 2 1 4 y x ，它的离心率为：5 故答案为：5或 3 2 15 （5 分）对于函数( )f x，若在定义域内存在实数 0 x满足 00 ()()fxf x ，则称函数( )f x 为“倒戈函数” 设( )321( x f xmmR，且0m 是定义在 1，1上的“倒戈函数” ， 则实数m的取值范围是 1 ,0) 3 【解答】解：( )321 x f xm是定义在 1，1上的“倒戈函数， 存在 0 1x ，1满足 00 ()()fxf

29、 x ， 00 321321 xx mm ， 第 13 页（共 20 页） 00 4332 xx m ， 构造函数 00 332 xx y ， 0 1x ，1， 令 0 3xt ， 1 3t，3， 1 2yt t ， 4 3 y ，0， 4 40 3 m， 1 0 3 m， 故答案为： 1 3 ，0) 16 （5 分）已知函数( )2sinf xx，( )2cosg xx，其中0，A，B，C是这两 个函数图象的交点，且不共线 当1时，ABC面积的最小值为 2 ； 若存在ABC是等腰直角三角形，则的最小值为 【解答】解：函数( )2sinf xx，( )2cosg xx，其中0，A，B，C是这两

30、个 函数图象的交点， 当1时，( )2sinf xx，( )2cosg xx 所以函数的交点间的距离为一个周期2高为 22 222 22 所以： 1 2(1 1)2 2 ABC S 如图所示： 当1时，ABC面积的最小值为2； 若存在ABC是等腰直角三角形，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半， 第 14 页（共 20 页） 则 222 2 ( 22) 22 ， 解得的最小值为 2 故答案为：2 , 2 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （10 分）数列

31、 n a满足： 123 1 (31) 2 n n aaaa （1）求 n a的通项公式； （2）若数列 n b满足3 n n a b n a ，求 n b的前n项和 n T 【解答】解： （1） 123nn Saaaa， 123 1 (31) 2 n n aaaa， 1n 时， 1 1a ， 2n时， 1 1 3n nnn aSS ，对1n 也成立， 1 3n n a ，*nN； （2）由3 n n a b n a ， 1 1 (1)( ) 3 n n bn ， 21 12 111 2( )(1)( ) 333 n nn Tbbbn 231 11111 ( )2( )(2)( )(1)( )

32、33333 nn n Tnn 得 21 21111 ( )( )(1)( ) 33333 nn n Tn ， 1 11 1( ) 21 33 (1)( ) 1 33 1( ) 3 n n n Tn ， 1 321 1 ()( ) 443 n n n T 18（12 分） 在锐角ABC中， 内角A，B，C所对的边为a，b，c， 已知sinsin() 3 bAaB （1）求角B的大小； （2）求 c a 的取值范围？ 【解答】解： （1）sinsin() 3 bAaB 第 15 页（共 20 页） 13 sinsinsin( sincos ) 22 BAABB，sin0A 化为： 13 sinco

33、s0 22 BB， tan3B，(0, )B 解得 3 B （2）由（1）可得： 2 3 ACB ，又ABC为锐角三角形， 2 0 32 CA ， 0 2 A ， 62 A ， 231 sin()cossin sin311 322 ( ,2) sinsinsin2tan22 AAA cC aAAAA ， c a 的取值范围是 1 ( ,2) 2 19 （12 分）如图，三棱柱 111 ABCABC中，CACB， 1 45BAA，平面 11 AAC C 平面 11 AAB B （1）求证： 1 AABC； （2）若 1 22BBAB，直线BC与平面 11 ABB A所成角为45，D为 1 CC的

34、中点，求二面 角 111 BADC的余弦值 【解答】证明： （1）过点C作 1 COAA，垂足为O， 平面 11 AAC C 平面 11 AAB B， CO平面 11 AAB B，故COOB， 又CACB，COCO，90COACOB ， Rt AOCRt BOC，故OAOB， 1 45A AB， 1 AAOB， 1 AACO， 1 AA平面BOC， 第 16 页（共 20 页） 1 AABC 解： （2） 1 22BBAB，直线BC与平面 11 ABB A所成角为45，D为 1 CC的中点， 以O为坐标原点，OA，OB，OC所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， CO 平面 11 A

35、AB B，CBO是直线BC与平面 11 AAB B所成角，45CBO， 2AB，1AOBOCO， (1A，0，0)，(0B，1，0)，(0C，0，1)， 1( 1 A ，0，0)， 1( 2 B ，1，0)，( 1D ，0， 1)， 1 (0A D ，0，1)， 1 (1B D ，1，1)， 设平面 11 AB D的法向量(nx，y，) z， 则 1 1 0 0 n ADz n B Dxyz ，取1x ，得(1n ，1，0)， OB 平面 11 AAC C，平面 11 AAC C的法向量(0OB ，1，0)， 设二面角 111 BADC的平面角为， 则 |12 cos 2| |2 n OB n

36、OB ， 二面角 111 BADC的余弦值为 2 2 20 （12 分）为提高城市居民生活幸福感，某城市公交公司大力确保公交车的准点率，减少 居民乘车候车时间为此，该公司对某站台乘客的候车时间进行统计乘客候车时间受公交 第 17 页（共 20 页） 车准点率、交通拥堵情况、节假日人流量增大等情况影响在公交车准点率正常、交通拥堵 情况正常、非节假日的情况下，乘客候车时间随机变量X满足正态分布 2 ( ,)N 在公交 车准点率正常、交通拥堵情况正常、非节假日的情况下，调查了大量乘客的候车时间，经过 统计得到如图频率分布直方图 （1）在直方图各组中，以该组区间的中点值代表该组中的各个值，试估计， 2

37、 的值； （2） 在统计学中， 发生概率低于千分之三的事件叫小概率事件， 一般认为， 在正常情况下， 一次试验中，小概率事件是不能发生的在交通拥堵情况正常、非节假日的某天，随机调查 了该站的 10 名乘客的候车时间， 发现其中有 3 名乘客候车时间超过 15 分钟， 试判断该天公 交车准点率是否正常，说明理由 （参考数据：19.24.38，21.44.63，26.65.16， 7 0.84130.2898， 6 0.84130.3546， 3 0.15870.0040， 4 0.15870.0006，()0.6826PX， (22 )0.9544PX，(33 )0.9973)PX 【解答】解：

38、 （1）0.1 20.2 60.4 100.2 140.1 1810， 22222 2(80.140.2)(1010)0.419.2s； （2）104.3814.38， 设 3 名乘客候车时间超过 15 分钟的事件为A， 1() (14.38)0.1587 2 PX P x ， P（A） 337 10 (0.1587) (0.8413)0.1390.003C 故准点率正常 21 （12 分）已知抛物线 2 :2(0)C ypx p，点F为抛物线的焦点，焦点F到直线 第 18 页（共 20 页） 3430xy的距离为 1 d，焦点F到抛物线C的准线的距离为 2 d，且 1 2 3 5 d d （

39、1）抛物线C的标准方程； （2）若在x轴上存在点M，过点M的直线l分别与抛物线C相交于P、Q两点，且 22 11 |PMQM 为定值，求点M的坐标 【解答】解： （1）由题意可得，焦点( 2 p F，0)，则 1 1.53 5 p d ， 2 dp 又 1 2 1.533 55 dp dp ，解得：2p 抛物线C的标准方程： 2 4yx； （2）设( ,0)M t，设点M， 1 (P x， 2) y， 2 (Q x， 2) y，显然直线l的斜率不为 0， 设直线l的方程为xmyt 联立方程 2 4 xmyt yx ，整理可得 2 440ymyt 2 16()0mt， 12 4yym， 12 4

40、y yt ， 2 1 |1|PMmy， 2 2 |1|QMmy， 22222 12 2222222222222222 1212 111116822 |(1)(1)(1)16(1)2(1)22 yymttmmt PMQMmymymy ym tm tt mt ， 要使 22 11 |PMQM 为定值，必有 22 2 22 t tt ，解得2t ， 22 11 |PMQM 为定值时，点M的坐标为(2,0) 第 19 页（共 20 页） 22 （12 分）已知函数 2 ( )(0)f xlnxaxx a （1）讨论函数( )f x的极值点的个数； （2）若函数( )f x有两个极值点 1 x， 2 x

41、，证明： 12 ( )()32 2f xf xln 【解答】解： （1）函数 2 ( )(0)f xlnxaxx a ， 22 12121 ( )21(0) axxaxx fxaxx xxx ，0x 0a，当0a 时， 1 ( ) x fx x ，0x ，当(0,1)x时，( )0fx，( )f x单调递减；当 (1,)x时，( )0fx，( )f x单调递增；当1x 时，( )f x有极小值； 当 1 8 a时，0，故( ) 0fx，( )f x在(0,)上单调递减，故此时( )f x无极值； 当 1 0 8 a时，0，方程( )0fx有两个不等的正根 1 x， 2 x 可得 1 11 8

42、4 a x a ， 2 11 8 4 a x a 则当 11 8 (0,) 4 a x a 及 11 8 ( 4 a x a ，)时，( )0fx，( )f x单调递减； 当 11 8 ( 4 a x a ， 11 8 ) 4 a a 时，( )0fx；( )f x单调递增； ( )f x在 1 xx处有极小值，在 2 xx处有极大值 综上所述：当0a 时，( )f x有 1 个极值点； 当 1 8 a时，( )f x没有极值点；当 1 0 8 a时，( )f x有 2 个极值点 （2）由（1）可知当且仅当 1 (0, ) 8 a时( )f x有极小值 1 x和极大值 2 x，且 1 x， 2 x是方程的两 个正根，则 12 1 2 xx a ， 12 1 2 x x a 2 1212121212 11 ()()()()2()(2 )121 44 f xf xxxa xxx xlnxlnxlnalnaln aa 第 20 页（共 20 页） ； 令g（a） 1 21 4 lnaln a ， 1 0 8 a； g （a） 2 41 0 4 a a ， g（a）在 1 (0, ) 8 上单调递减，故g（a） 1 ( )322 8 gln， 12 ()()32 2f xf xln