1、 第 1 页（共 17 页） 2020 年浙江省高考数学模拟试卷（年浙江省高考数学模拟试卷（2 月份）月份） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （4 分）已知UR，集合 3 | 2 Ax x ，集合 |1By y，则()( U AB ) A 3 ,) 2 B 3 (,1,) 2 C 3 (1, ) 2 D 3 (, ) 2 2 （4 分）已知i是虚数单位，若 3 12 i z i ，则z的共轭复数z等于( ) A1 7
2、3 i B1 7 3 i C1 7 5 i D1 7 5 i 3 （4 分）若双曲线 2 2 1 x y m 的焦距为 4，则其渐近线方程为( ) A 3 3 yx B3yx C 5 5 yx D5yx 4 （4 分）已知，是两个相交平面，其中l，则( ) A内一定能找到与l平行的直线 B内一定能找到与l垂直的直线 C若内有一条直线与l平行，则该直线与平行 D若内有无数条直线与l垂直，则与垂直 5（4 分） 等差数列 n a的公差为d，10a ， n S为数列 n a的前n项和， 则 “0d ” 是 “ 2n n S Z S ” 的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D
3、既不充分也不必要条件 6 （4 分）随机变量的分布列如表： 1 0 1 2 P 1 3 a b c 其中a，b，c成等差数列，若 1 ( ) 9 E，则( )(D ) A 1 81 B 2 9 C 8 9 D 80 81 7 （4 分）若存在正实数y，使得 1 54 xy yxxy ，则实数x的最大值为( ) A 1 5 B 5 4 C1 D4 第 2 页（共 17 页） 8 （4 分）从集合A，B，C，D，E，F和1，2，3，4，5，6，7，8，9中各任取 2 个元素排成一排（字母和数字均不能重复） 则每排中字母C和数字 4，7 至少出现两个的 不同排法种数为( ) A85 B95 C204
4、0 D2280 9（4 分） 已知三棱锥PABC的所有棱长为 1M是底面ABC内部一个动点 （包括边界） ， 且M到三个侧面PAB，PBC，PAC的距离 1 h， 2 h， 3 h成单调递增的等差数列，记PM与 AB，BC，AC所成的角分别为，则下列正确的是( ) A B C D 10 （4 分）已知|2| 2, 4,0aba b ，则|a的取值范围是( ) A0，1 B 1 ,1 2 C1，2 D0，2 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题小题，多空题每题 6 分，单空题每题分，单空题每题 4 分，共分，共 36 分分 11 （6 分）若(0,) 2 ， 6 sin
5、 3 ，则cos ，tan2 12 （6 分）一个长方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则该几何 体与原长方体的体积之比是 ，剩余部分表面积是 13 （4 分）若实数x，y满足 3 0 20 4 xy xym y ，若3xy的最大值为 7，则m 14（4分） 在二项式 5 2 1 () (0)xa ax 的展开式中 5 x的系数与常数项相等， 则a的值是 第 3 页（共 17 页） 15 （6 分）设数列 n a的前n项和为 n S若 2 6S ， 1 32 nn aS ， * nN，则 2 a ， 5 S 16 （6 分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c已
6、知coscosaBbA， 6 A ，边BC上的中线长为 4则c ；AB BC 17 （4 分）如图，过椭圆 22 22 :1 xy C ab 的左、右焦点 1 F， 2 F分别作斜率为2 2的直线交椭 圆C上半部分于A，B两点，记 1 AOF， 2 BOF的面积分别为 1 S， 2 S，若 12 :7:5SS ， 则椭圆C离心率为 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 18 （14 分）已知函数 2 ( )sin(2)sin(2)2cos, 33 f xxxx xR （1）求函数(
7、 )f x的最小正周期和单调递减区间； （2）求函数( )f x在区间, 4 2 上的最大值和最小值 19 （15 分）如图，在直三棱柱 111 ABCABC中，90BAC， 1 ABACAA （1）求证： 1 AB 平面 11 ABC； （2）若D在 11 BC上，满足 11 2B DDC，求AD与平面 11 ABC所成的角的正弦值 第 4 页（共 17 页） 20 （15 分）已知等比数列 n a（其中 *) nN，前n项和记为 n S，满足： 3 7 16 S ， 212 log1log nn aa （1）求数列 n a的通项公式； （2）求数列 * 2 log() nn aanN的前n
8、项和 n T 21 （15 分）已知抛物线 2 1 : 2 C yx与直线:1l ykx无交点，设点P为直线l上的动点， 过P作抛物线C的两条切线，A，B为切点 （1）证明：直线AB恒过定点Q； （2）试求PAB面积的最小值 22 （15 分）已知a为常数，函数( )()f xx lnxax有两个极值点 1 x， 212 ()x xx （1）求a的取值范围； （2）证明： 12 1 ()() 2 f xf x 第 5 页（共 17 页） 2020 年浙江省高考数学模拟试卷（年浙江省高考数学模拟试卷（2 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共
9、 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （4 分）已知UR，集合 3 | 2 Ax x ，集合 |1By y，则()( U AB ) A 3 ,) 2 B 3 (,1,) 2 C 3 (1, ) 2 D 3 (, ) 2 【解答】解：UR， 3 | 2 Ax x ， |1By y， 3 (1, ) 2 AB ， 3 ()(,1,) 2 U AB 故选：B 2 （4 分）已知i是虚数单位，若 3 12 i z i ，则z的共轭复数z等于( ) A1 7 3 i B1
10、7 3 i C1 7 5 i D1 7 5 i 【解答】解： 3(3)(12 )17 12(12 )(12 )55 iii zi iii ， 17 55 zi 故选：C 3 （4 分）若双曲线 2 2 1 x y m 的焦距为 4，则其渐近线方程为( ) A 3 3 yx B3yx C 5 5 yx D5yx 【解答】解：双曲线 2 2 1 x y m 的焦距为 4， 可得14m ，所以3m ， 所以双曲线的渐近线方程为： 3 3 yx 故选：A 4 （4 分）已知，是两个相交平面，其中l，则( ) A内一定能找到与l平行的直线 B内一定能找到与l垂直的直线 C若内有一条直线与l平行，则该直线
11、与平行 第 6 页（共 17 页） D若内有无数条直线与l垂直，则与垂直 【解答】解：由，是两个相交平面，其中l，知： 在A中，当l与，的交线相交时，内不能找到与l平行的直线，故A错误； 在B中，由直线与平面的位置关系知内一定能找到与l垂直的直线，故B正确； 在C中，内有一条直线与l平行，则该直线与平行或该直线在内，故C错误； 在D中，内有无数条直线与l垂直，则与不一定垂直，故D错误 故选：B 5（4 分） 等差数列 n a的公差为d，10a ， n S为数列 n a的前n项和， 则 “0d ” 是 “ 2n n S Z S ” 的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D
12、既不充分也不必要条件 【解答】解：等差数列 n a的公差为d， 1 0a ， n S为数列 n a的前n项和， “0d ” “ 2n n S Z S ” ， 当 2n n S Z S 时，d不一定为 0， 例如，数列 1，3，5，7，9，11 中， 6 3 1357911 4 135 S S ，2d ， 故0d ”是“ 2n n S Z S ”的充分不必要条件 故选：A 6 （4 分）随机变量的分布列如表： 1 0 1 2 P 1 3 a b c 其中a，b，c成等差数列，若 1 ( ) 9 E，则( )(D ) A 1 81 B 2 9 C 8 9 D 80 81 【解答】解：a，b，c成等
13、差数列， 1 ( ) 9 E， 第 7 页（共 17 页） 由变量的分布列，知： 2 3 2 11 ( 1)2 39 abc bac bc ， 解得 1 3 a ， 2 9 b ， 1 9 c ， 2222 1111121180 ( )( 1)(0)(1)(2) 9393999981 D 故选：D 7 （4 分）若存在正实数y，使得 1 54 xy yxxy ，则实数x的最大值为( ) A 1 5 B 5 4 C1 D4 【解答】解： 1 54 xy yxxy ， 22 4(51)0xyxyx， 12 1 0 4 y y， 2 12 51 0 4 x yy x ， 2 51 0 0 x x ，
14、或 2 51 0 0 x x ， 5 0 5 x 或 5 5 x， 222 (51)160xx， 2 51 4xx 或 2 514xx， 解得： 1 1 5 x 剟， 综上x的取值范围是： 1 0 5 x ； x的最大值是 1 5 ， 故选：A 8 （4 分）从集合A，B，C，D，E，F和1，2，3，4，5，6，7，8，9中各任取 2 个元素排成一排（字母和数字均不能重复） 则每排中字母C和数字 4，7 至少出现两个的 不同排法种数为( ) A85 B95 C2040 D2280 第 8 页（共 17 页） 【解答】解：根据题意，分 2 步进行分析： ，先在两个集合中选出 4 个元素，要求字母
15、C和数字 4，7 至少出现两个， 若字母C和数字 4，7 都出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出 1 个字母，有 5 种选 法， 若字母C和数字 4 出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出 1 个字母，在 1、2、3、5、 6、8、9 中选出 1 个数字，有5735种选法， 若字母C和数字 7 出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出 1 个字母，在 1、2、3、5、 6、8、9 中选出 1 个数字，有5735种选法， 若数字 4、7 出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出 2 个字母，有 2 5 10C 种选法， 则有535351085种选法， ，将选出的 4 个元素全排列，有 4
16、4 24A 种情况， 则一共有85242040种不同排法； 故选：C 9（4 分） 已知三棱锥PABC的所有棱长为 1M是底面ABC内部一个动点 （包括边界） ， 且M到三个侧面PAB，PBC，PAC的距离 1 h， 2 h， 3 h成单调递增的等差数列，记PM与 AB，BC，AC所成的角分别为，则下列正确的是( ) A B C D 【解答】解：依题意知正四面体PABC的顶点P在底面ABC的射影是正三角形ABC的中 心O， 由余弦定理可知， coscoscosPMOMO，AB ，其中MO，AB 表示直线MO与AB的夹角， 同理可以将，转化， coscoscosPMOMO，BC ，其中MO，BC
17、 表示直线MO与BC的夹角， coscoscosPMOMO，AC ，其中MO，AC 表示直线MO与AC的夹角， 第 9 页（共 17 页） 由于PMO是公共的，因此题意即比较OM与AB，BC，AC夹角的大小， 设M到AB，BC，AC的距离为 1 d， 2 d， 3 d 则 1 1 sin h d ，其中是正四面体相邻两个面 所成角， 2 2 sin 3 ， 所以 1 d， 2 d， 3 d成单调递增的等差数列，然后在ABC中解决问题 由于 123 ddd，可知M在如图阴影区域（不包括边界） 从图中可以看出，OM与BC所成角小于OM与AC所成角，所以， 故选：D 10 （4 分）已知|2| 2,
18、 4,0aba b ，则|a的取值范围是( ) A0，1 B 1 ,1 2 C1，2 D0，2 【解答】解：选择合适的基底 设2mab，则| 2m ， 2 2 ,2 4,0bma a ba ma ， 222222 111111 ()()2 421621616 amaa mmaa mmm 22 |4mm，所以可得： 2 1 82 m ，配方可得 222 11119 2()4 28482 mamm剟， 所以 2 119 | 444 am剟； 可得 11 3 | , 42 2 am， 则| 0a ，2 故选：D 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题小题，多空题每题 6 分，
19、单空题每题分，单空题每题 4 分，共分，共 36 分分 11 （6 分）若(0,) 2 ， 6 sin 3 ，则cos 3 3 ，tan2 第 10 页（共 17 页） 【解答】解：(0,) 2 ， 6 sin 3 ， 2 3 cos1 3 sin， sin tan2 cos ， 2 2 2tan22 tan22 2 11( 2)tan 故答案为： 3 3 ，2 2 12 （6 分）一个长方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则该几何 体与原长方体的体积之比是 5 6 ，剩余部分表面积是 【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为： 如图所示： 该几何体为长方体切去一个角 故
20、： 115 2 1 12 1 1 323 V 所以： 1 5 5 3 26 V V 113 2(1 21 21 1)(1 21 21 1)29 222 S 故答案为： 5 ,9 6 第 11 页（共 17 页） 13 （4 分）若实数x，y满足 3 0 20 4 xy xym y ，若3xy的最大值为 7，则m 2 【解答】解：作出不等式组 3 0 20 4 xy xym y 对应的平面区域如图： （阴影部分） 令3zxy得3yxz ， 平移直线3yxz ， 由图象可知当37xy 由 37 4 xy y ，解得 1 4 x y ，即(1,4)B， 同时A也在20xym上， 解得22 142mx
21、y 故答案为：2 14 （4 分）在二项式 5 2 1 () (0)xa ax 的展开式中 5 x的系数与常数项相等，则a的值是 2 【解答】解：二项式 5 2 1 () (0)xa ax 的展开式的通项公式为 5 5 2 15 1 ( ) r rr r TCx a ， 令 55 5 2 r ，求得3r ，故展开式中 5 x的系数为 33 5 1 ( )C a ； 令 55 0 2 r ，求得1r ，故展开式中的常数项为 1 5 15 C aa ， 由为 33 5 11 ( )5C aa ，可得2a ， 第 12 页（共 17 页） 故答案为：2 15 （6 分）设数列 n a的前n项和为 n
22、 S若 2 6S ， 1 32 nn aS ， * nN，则 2 a 5 ， 5 S 【解答】解：数列 n a的前n项和为 n S 2 6S ， 1 32 nn aS ， * nN， 21 32aa，且 12 6aa， 解得 1 1a ， 2 5a ， 32 323(15)220aS， 43 323(1520)280aS， 5 3(152080)2320a ， 5 152080320426S 故答案为：5，426 16 （6 分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c已知coscosaBbA， 6 A ，边BC上的中线长为 4则c 8 21 7 ；AB BC 【解答】解：由cosc
23、osaBbA，及正弦定理得sincossincosABBA， 所以sin()0AB， 故 6 BA ， 所以由正弦定理可得3ca， 由余弦定理得 22 16( )2cos 226 aa cc ， 解得 8 21 7 c ；可得 8 7 7 a ， 可得 8 78 21396 cos 7727 AB BCacB 故答案为： 8 21 7 ， 96 7 17 （4 分）如图，过椭圆 22 22 :1 xy C ab 的左、右焦点 1 F， 2 F分别作斜率为2 2的直线交椭 圆C上半部分于A，B两点，记 1 AOF， 2 BOF的面积分别为 1 S， 2 S，若 12 :7:5SS ， 则椭圆C离
24、心率为 1 2 第 13 页（共 17 页） 【解答】解：作点B关于原点的对称点 1 B，可得 21 BOFB OF SS ，则有 1 1 2 |7 |5 A B Sy Sy ， 所以 1 7 5 AB yy 将直线 1 AB方程 2 4 y xc，代入椭圆方程后， 22 22 2 4 1 xyc xy ab ， 整理可得： 22224 (8)4 280bayb cyb， 由韦达定理解得 1 2 22 4 2 8 AB b c yy ba ， 1 4 22 8 8 AB b y y ba ， 三式联立，可解得离心率 1 2 c e a 故答案为： 1 2 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题
25、共 5 小题，共小题，共 74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 18 （14 分）已知函数 2 ( )sin(2)sin(2)2cos, 33 f xxxx xR （1）求函数( )f x的最小正周期和单调递减区间； （2）求函数( )f x在区间, 4 2 上的最大值和最小值 【解答】解： （1）( )sin2cos212sin(2)1 4 f xxxx 所以最小正周期为 因为当 3 222 242 kxk 剟时，( )f x单调递减 第 14 页（共 17 页） 所以单调递减区间是 5 , 88 kk （2）当, 4 2 x 时， 5 2,
26、 444 x ， 当2 42 x 函数取得最大值为21， 当2 44 x 或 5 4 时，函数取得最小值，最小值为 2 210 2 19 （15 分）如图，在直三棱柱 111 ABCABC中，90BAC， 1 ABACAA （1）求证： 1 AB 平面 11 ABC； （2）若D在 11 BC上，满足 11 2B DDC，求AD与平面 11 ABC所成的角的正弦值 【解答】解： （1）在直三棱柱 111 ABCABC中，90BAC， 1 ABACAA， 根据已知条件易得 11 ABAB，由 11 AC 面 11 ABB A，得 111 ABAC， 1111 ABACA，以 1 AB 平面 11
27、 ABC； （2）以 11 AB， 11 AC， 1 A A为x，y，z轴建立直角坐标系，设ABa， 则(0A，0，)a，(B a，0，)a， 1 2 (0, ,0),(,0) 33 aa CaD， 所以 2 ( ,) 33 aa ADa， 设平面 11 ABC的法向量为n，则(1,0, 1)n ， 可计算得到 2 7 cos, 7 AD n， 所以AD与平面 11 ABC所成的角的正弦值为 2 7 7 20 （15 分）已知等比数列 n a（其中 *) nN，前n项和记为 n S，满足： 3 7 16 S ， 第 15 页（共 17 页） 212 log1log nn aa （1）求数列 n
28、 a的通项公式； （2）求数列 * 2 log() nn aanN的前n项和 n T 【解答】解： （1）由题意，设等比数列 n a的公比为q， 212 log1log nn aa ， 1 2122 logloglog1 n nn n a aa a ， 1 1 2 n n a q a 由 3 7 16 S ，得 3 1 1 1( ) 7 2 1 16 1 2 a ，解得 1 1 4 a 数列 n a的通项公式为 1 1 2 n n a （2）由题意，设 2 log nnn baa，则 1 1 2 n n n b 12 231 231 () 222 nn n n Tbbb 故 231 231 2
29、22 n n n T ， 312 21 2222 n nn Tnn 两式相减，可得 3122 111133 2222242 n nnn Tnn 1 33 22 n n n T 21 （15 分）已知抛物线 2 1 : 2 C yx与直线:1l ykx无交点，设点P为直线l上的动点， 过P作抛物线C的两条切线，A，B为切点 （1）证明：直线AB恒过定点Q； （2）试求PAB面积的最小值 第 16 页（共 17 页） 【解答】 解： （1） 由 2 1 2 yx求导得yx， 设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 其中 22 1122 11 , 22 yxyx 则 1PA kx
30、， 111 :()PA yyx xx， 设 0 (P x， 0 1)kx ，代入PA直线方程得 0110 1kxyx x ， PB直线方程同理，代入可得 0220 1kxyx x ， 所以直线 00 :1AB kxyxx ， 即 0( )10x kxy ，所以过定点( ,1)k； （2）直线l方程与抛物线方程联立，得到 2 220xkx，由于无交点解可得 2 2k 将 00 :1AB yxxkx代入 2 1 2 yx，得 2 00 1 10 2 xxxkx ， 所以 2 00 220xkx， 2 0 | 2 1ABx， 设点P到直线AB的距离是d，则 2 00 2 0 |22| 1 xkx d
31、 x ， 所以 33 222 22 000 1 |(22)()2 2 PAB SAB dxkxxkk ， 所以面积最小值为 3 2 2 (2)k 22 （15 分）已知a为常数，函数( )()f xx lnxax有两个极值点 1 x， 212 ()x xx （1）求a的取值范围； （2）证明： 12 1 ()() 2 f xf x 【解答】解： （1）求导得( )12(0)fxlnxax x ， 由题意可得函数( )12g xlnxax 有且只有两个零点 第 17 页（共 17 页） 112 ( )2 ax g xa xx 当0a时，( )0g x，( )fx单调递增，因此( )( )g xf
32、x至多有一个零点，不符合题意，舍 去； 当0a 时，令( )0g x，解得 1 2 x a ， 所以 1 (0,),( )0, ( ) 2 xg xg x a 单调递增， 1 (,),( )0, ( ) 2 xg xg x a 单调递减 所以 1 2 x a 是( )g x的极大值点，则 1 ()0 2 g a ， 解得 1 0 2 a； （2）( )0g x 有两个根 1 x， 2 x，且 12 1 2 xx a ，又 g（1）120a ，所以 12 1 1 2 xx a ， 从而可知( )f x在区间 1 (0,)x上递减，在区间 1 (x， 2) x上递增，在区间 2 (x，)上递减 所以 12 1 ()(1)0,()(1) 2 f xfaf xfa ， 所以 12 1 ()() 2 f xf x
