1、 第 1 页（共 18 页） 2020 年浙江省高考数学全真模拟试卷（年浙江省高考数学全真模拟试卷（4） （） （2 月份）月份） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. 1 （4 分）已知集合 |06Uxx剟，xZ，1A，3，6，1B ，4，5则()( U AB ) A1 B3，6 C4，5 D1，3，4，5，6 2 （4 分）若x，y满足 0 1 0 xy x xy 则下列不等式恒成立的是( ) A1y B2x C22 0xy
2、D21 0xy 3 （4 分）直线30(xyaa为常数）的倾斜角为( ) A30 B60 C150 D120 4 （4 分）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯 眼， 图中木构件右边的小长方体是榫头 若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成 长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( ) A B C D 5 （4 分）设a，b为向量，则| |a ba b是“/ /ab”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 第 2 页（共 18 页） 6 （4 分）设函数 2 (0) ( ) (1)2(0) xbxc x f
3、 x ln xx ，若( 4)(0)ff，( 2)2f ，则关于x的方 程( )f xx的解的个数为( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 7 （4 分）从 0、2 中选一个数字从 1、3、5 中选两个数字，组成无重复数字的三位数其 中奇数的个数为( ) A24 B18 C12 D6 8 （4 分）正四面体ABCD，CD在平面内，点E是线段AC的中点，在该四面体绕CD旋 转的过程中，直线BE与平面所成角不可能是( ) A0 B 6 C 3 D 2 9 （4 分）已知函数( ) x e f xax x ，(0,)x，当 21 0xx时，不等式 12 21 ( )()f xf x xx 恒
4、 成立，则实数a的取值范围为( ) A(， 2 e B(, ) e C(, ) 2 e D(， e 10 （4 分）已知非常数数列 n a满足 *1 2 ( nn n aa anN ，为非零常数） 若 0，则( ) A存在，对任意 1 a， 2 a，都有数列 n a为等比数列 B存在，对任意 1 a， 2 a，都有数列 n a为等差数列 C存在 1 a， 2 a，对任意，都有数列 n a为等差数列 D存在 1 a， 2 a，对任意，都有数列 n a为等比数列 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 7 个小题，多空题每题个小题，多空题每题 6 分，单空题每题分，单空题每题 4 分，共分，共 36
5、 分分. 11 （4 分）设i是虚数单位，复数 2 ai z i 的模为 1，则正数a的值为 12 （6 分） 在ABC中，BAC的平分线与BC边交于点D，sin2sinCB， 则 BD CD ； 第 3 页（共 18 页） 若1ADAC，则BC 13 （6 分）已知方程为 22 20xyxaya的圆关于直线40xy对称，则圆的半径 r ，若过点(1,0)M作该圆的切线，切点为A，则线段MA长度为 14 （6 分）某几何体的三视图如图所示（单位：)cm，则该几何体最长的一条棱的长度是 cm；体积为 3 cm 15 （4 分）设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线 2 2(0)ypx p上任意一
6、点，M是 线段PF上的点，且| 2|PMMF，则直线OM的斜率的最大值为 16 （4 分）在平面直角坐标系xOy中，P是曲线 4 (0)yxx x 上的一个动点，则点P到 直线0xy的距离的最小值是 17（6 分） 如图所示， 四边形ABCD中，7ACADCD，120ABC， 5 3 sin 14 BAC， 则ABC的面积为 ，BD 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18如图，在ABC中，点D在BC边上， 4 CAD ， 7 2 AC ， 2 cos 10 ADB （1）求s
7、inC的值； （2）若5BD ，求ABD的面积 第 4 页（共 18 页） 19如图，四边形ABCD与ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的 中点 （1）求证：/ /BE平面DMF； （2）求证：平面/ /BDE平面MNG 20 设公差不为 0 的等差数列 n a的前n项和为 n S， 等比数列 n b的前n项和为 n T，若 2 a是 1 a与 4 a的等比中项， 6 12a ， 1 122 1a ba b （1）求 n a， n S与 n T； （2）若 nnn cS T，求证： 12 (2) 2 n n n ccc 21已知以点(C t，2)(tR t 且0)t 为圆
8、心的圆与x轴交于点O和点A，与y轴交于点O和 点B，其中O为原点 （1）求证：OAB的面积为定值； （2）设直线24yx 与圆C交于点M，N，若OMON，求圆C的方程 22设函数( ) x f xeax，aR （1）若( )f x有两个零点，求a的取值范围； （2）若对任意0x，)均有 22 2 ( )3f xxa，求a的取值范围 第 5 页（共 18 页） 2020 年浙江省高考数学全真模拟试卷（年浙江省高考数学全真模拟试卷（4） （） （2 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在
9、每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. 1 （4 分）已知集合 |06Uxx剟，xZ，1A，3，6，1B ，4，5则()( U AB ) A1 B3，6 C4，5 D1，3，4，5，6 【解答】解： |06Uxx剟，0xZ，1，2，3，4，5，6， 1B ，4，5， 0 UB ，2，3，6，1A，3，6， 则3 U AB ，6 故选：B 2 （4 分）若x，y满足 0 1 0 xy x xy 则下列不等式恒成立的是( ) A1y B2x C22 0xy D21 0xy 【解答】解：由约束条件 0 1 0 xy x xy 作出可行
10、域如图， 由图可知，平面区域内的点不满足不等式1y，2x，22 0xy 成立， 只有选项D中的不等式21 0xy 对平面区域内的点都成立 故选：D 3 （4 分）直线30(xyaa为常数）的倾斜角为( ) 第 6 页（共 18 页） A30 B60 C150 D120 【解答】解：设直线30xya的倾斜角是， 则直线的方程可化为3yxa， 直线的斜率tan3k， 0180， 60 故选：B 4 （4 分）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯 眼， 图中木构件右边的小长方体是榫头 若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成 长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图
11、可以是( ) A B C D 【解答】解：由题意可知，如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，小的长 方体，是榫头，从图形看出，轮廓是长方形，内含一个长方形，并且一条边重合，另外 3 边是虚线，所以木构件的俯视图是A 故选：A 5 （4 分）设a，b为向量，则| |a ba b是“/ /ab”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 第 7 页（共 18 页） C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：|cosa ba b， 若a，b为零向量，显然成立； 若| |cos1a ba b 则a与b的夹角为零角或平角，即/ /ab，故充分性成立 而/ /ab，则a与b的夹角为
12、为零角或平角，有| |a ba b 因此| |a ba b是/ /ab的充分必要条件 故选：C 6 （4 分）设函数 2 (0) ( ) (1)2(0) xbxc x f x ln xx ，若( 4)(0)ff，( 2)2f ，则关于x的方 程( )f xx的解的个数为( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【解答】解：( 4)(0)ff，( 2)2f ， ( )f x在(,0)上的对称轴为2x ，最小值为2， 2 2 422 b bc ，解得4b ，2c 2 42,0 ( ) (1)2,0 xxx f x ln xx ， 作出( )f x的函数图象如图所示： 由图象可知( )f x与
13、直线yx有三个交点， 方程( )f xx有三个解 第 8 页（共 18 页） 故选：C 7 （4 分）从 0、2 中选一个数字从 1、3、5 中选两个数字，组成无重复数字的三位数其 中奇数的个数为( ) A24 B18 C12 D6 【解答】解：从 0、2 中选一个数字 0，则 0 只能排在十位，从 1、3、5 中选两个数字排在 个位与百位，共有 2 3 6A 种； 从 0、 2 中选一个数字 2， 则 2 排在十位， 从 1、 3、 5 中选两个数字排在个位与百位， 共有 2 3 6A 种； 2 排在百位，从 1、3、5 中选两个数字排在个位与十位，共有 2 3 6A 种； 故共有 2 3
14、318A 种 故选：B 8 （4 分）正四面体ABCD，CD在平面内，点E是线段AC的中点，在该四面体绕CD旋 转的过程中，直线BE与平面所成角不可能是( ) A0 B 6 C 3 D 2 【解答】解：由正四面体ABCD，可得所有棱长都相等 点E是线段AC的中点，BEAC 在该四面体绕CD旋转的过程中，直线BE与平面所成角不可能是 2 反证法：若直线BE与平面所成角是 2 ，则BE 平面 则在某一过程必有BECD 事实上，在该四面体绕CD旋转的过程中，BE与CD是不可能垂直的，因此假设错位，于 是直线BE与平面所成角不可能是90 在该四面体绕CD旋转的过程中，当/ /BE时，可得直线BE与平面
15、所成角为 0 如图所示的正四面体BABC作BO 平面ACD，垂足为O则E，O，D三点在同 第 9 页（共 18 页） 一条直线上设直线BE与平面ACD所成的角为，可得 11 cos 32 3 于是可得在该四面体绕CD旋转的过程中， 可得直线BE与平面所成角为 6 ，3 综上可得：直线BE与平面所成角不可能是 2 故选：D 9 （4 分）已知函数( ) x e f xax x ，(0,)x，当 21 0xx时，不等式 12 21 ( )()f xf x xx 恒 成立，则实数a的取值范围为( ) A(， 2 e B(, ) e C(, ) 2 e D(， e 【解答】解：当 21 0xx时，不等
16、式 12 21 ( )()f xf x xx 恒成立，即 1122 ()()x f xx f x恒成立， 令 2 ( )( ) x g xxf xeax，则函数( )g x在(0,)单调递增， 即( )20 x g xeax在(0,)上 恒成立， 2 x e a x 在(0,)上恒成立， 令( )(0) x e h xx x ，则 22 (1) ( ) xxx exeex h x xx ， 函数( )h x的单调减区间为(0,1)，单调增区间为(1,)， ( )minh xh（1）e， 2a e，解得 2 e a 故选：A 10 （4 分）已知非常数数列 n a满足 *1 2 ( nn n a
17、a anN ，为非零常数） 若 0，则( ) A存在，对任意 1 a， 2 a，都有数列 n a为等比数列 第 10 页（共 18 页） B存在，对任意 1 a， 2 a，都有数列 n a为等差数列 C存在 1 a， 2 a，对任意，都有数列 n a为等差数列 D存在 1 a， 2 a，对任意，都有数列 n a为等比数列 【解答】解：由题意，得 1 21 nn nnn aa aaa 令t ，则1t ， ，为非零常数且0， t，1t均为非零常数， 常数0t ，且1t 故 21 (1) nnn atat a 两边同时减去 1n a ，可得 21111 (1)(1)() nnnnnnn aataat
18、 ataa 常数0t ，且1t 11t ，且10t 21 111221 (1)()(1) ()(1)() n nnnnnn aataataataa 数列 n a是非常数数列， 21 0aa， 则当11t ，即2t ，即2 ，即20时， 111221nnnnnn aaaaaaaa 此时数列 n a很明显是一个等差数列 存在，只要满足，为非零，且20时，对任意 1 a， 2 a，都有数列 n a为 等差数列 故选：B 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 7 个小题，多空题每题个小题，多空题每题 6 分，单空题每题分，单空题每题 4 分，共分，共 36 分分. 11 （4 分）设i是虚数单位，复数
19、 2 ai z i 的模为 1，则正数a的值为 3 【解答】解：由 2 |1 | |1 2|2 |2 aiaia z ii ，得 2 3a ， 0a ，3a 第 11 页（共 18 页） 故答案为：3 12（6 分） 在ABC中，BAC的平分线与BC边交于点D，sin2sinCB， 则 BD CD 2 ； 若1ADAC，则BC 【解答】解：如图所示， ABC中，BAC的平分线与BC边交于点D，sin2sinCB， 所以2cb， 所以2 BDABc CDACb ； 由1ADAC， 所以22ABAC，设DCx，则2BDx， 由余弦定理得 22222 41454 cos 222 14 ABADCDx
20、x BAD AC AD ， 22222 1 12 cos 22 1 12 ACADCDxx CAD AC AD ， 又BADCAD ， 所以 22 542 42 xx ，解得 2 2 x ； 所以 3 2 3 2 BCx 故答案为：2， 3 2 2 13（6 分） 已知方程为 22 20xyxaya的圆关于直线40xy对称， 则圆的半径r 3 ，若过点(1,0)M作该圆的切线，切点为A，则线段MA长度为 【解答】解：圆标准方程可化为 2 22 (1)()1 24 aa xya， 所以圆心( 1,) 2 a 在直线40xy上，代入解得8a ，所以 2 13 4 a ra， 则圆的方程为 22 (
21、1)(4)9xy，圆心( 1,4)C 当直线为1x 时，明显与圆不相切， 第 12 页（共 18 页） 因为直线MA与圆相切，故MAAC， 所以 22 20911MAMCr， 故答案 3，11 14 （6 分）某几何体的三视图如图所示（单位：)cm，则该几何体最长的一条棱的长度是 4 3 cm；体积为 3 cm 【解答】解：由题意可知几何体的组合体如图：是正方体的一部分，一个四棱锥，最长的棱 长为 222 4444 3PC ，()cm 几何体的体积为： 3 164 444() 33 cm 故答案为：4 3， 64 3 15 （4 分）设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线 2 2(0)ypx
22、p上任意一点，M是 线段PF上的点，且| 2|PMMF，则直线OM的斜率的最大值为 2 2 第 13 页（共 18 页） 【解答】解：设 2 (2Ppt，2)pt，( , )M x y，则 2 2 236 2 3 ppp xt pt y ， 2 2 33 pp xt， 2 3 pt y ， 2 2112 1 2121 2 2 2 OM t k t t t ， 当且仅当 1 2 t t 时取等号， 直线OM的斜率的最大值为 2 2 故答案为： 2 2 16 （4 分）在平面直角坐标系xOy中，P是曲线 4 (0)yxx x 上的一个动点，则点P到 直线0xy的距离的最小值是 4 【解答】解：由
23、4 (0)yxx x ，得 2 4 1y x ， 设斜率为1的直线与曲线 4 (0)yxx x 切于 0 (x， 0 0 4 )x x ， 由 2 0 4 11 x ，解得 00 2(0)xx 曲线 4 (0)yxx x 上，点( 2,3 2)P到直线0xy的距离最小， 最小值为 |23 2 | 4 2 故答案为：4 17（6 分） 如图所示， 四边形ABCD中，7ACADCD，120ABC， 5 3 sin 14 BAC， 则ABC的面积为 15 3 4 ，BD 【解答】解：由正弦定理,7 sin120sin ACBC AC BAC ，得 sin 5 sin120 ACBAC BC ， 设A
24、Bx， 由余弦定理 22 252 5 cos12049ACxx ， 化简即 2 5240xx， 故3x ， 第 14 页（共 18 页） 所以 1115 3 sin1203 5sin120 224 ABC SAB BC ， 设BAC， 5 3 sin 14 ，因为为锐角， 11 cos 14 131 115 331 cos(60 )cossin 222 141427 ， 2 1 94923 7()64 7 BD ， 故8BD ， 故答案为：15 3 4 ；8 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明
25、过程或演算步骤. 18如图，在ABC中，点D在BC边上， 4 CAD ， 7 2 AC ， 2 cos 10 ADB （1）求sinC的值； （2）若5BD ，求ABD的面积 【解答】 （本小题满分 13 分） 解： （）因为 2 cos 10 ADB ， 所以 7 2 sin 10 ADB 又因为 4 CAD ， 所以 4 CADB 所以sinsin()sincoscossin 444 CADBADBADB 7 22224 1021025 （7 分） （）在ACD中，由 sinsin ADAC CADC ，得 7 4 sin 2 5 2 2 sin7 2 10 ACC AD ADC 所以 1
26、17 2 sin2 2 57 2210 ABD SAD BDADB （13 分） 第 15 页（共 18 页） 19如图，四边形ABCD与ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的 中点 （1）求证：/ /BE平面DMF； （2）求证：平面/ /BDE平面MNG 【解答】证明： （1）如图，连接AE，则AE必过DF与GN的交点O， 连接MO，则MO为ABE的中位线，所以/ /BEMO， 又BE 平面DMF，MO 平面DMF，所以/ /BE平面DMF （2）因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以/ /DEGN， 又DE 平面MNG，GN 平面MNG，所以/
27、/DE平面MNG 又M为AB中点，所以MN为ABD的中位线，所以/ /BDMN， 又BD平面MNG，MN 平面MNG，所以/ /BD平面MNG， 又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线， 所以平面/ /BDE平面MNG 20 设公差不为 0 的等差数列 n a的前n项和为 n S， 等比数列 n b的前n项和为 n T，若 2 a是 1 a与 4 a的等比中项， 6 12a ， 1 122 1a ba b （1）求 n a， n S与 n T； 第 16 页（共 18 页） （2）若 nnn cS T，求证： 12 (2) 2 n n n ccc 【解答】 （1）解：由题意得， 2 214
28、aa a，即 2 111 ()(3 )ada ad，得 1 (0)ad d， 由 6 12a ，得 1 2ad 1 (1)22(1)2 n aandnn， (1) 22(1) 2 n n n Snn n ， 由 1 122 1a ba b，得 1 1 2 b ， 2 1 4 b ， 1 1( ) 2 n n T ； （2）证明： 1 (1) 1( ) 2 n nnn cS Tn n， 由 1 01( )1 2 n 恒成立， 11 (1)(1) 42 n ck kk kk， 12 31 () (2) 22 22 n nn nn ccc 21已知以点(C t，2)(tR t 且0)t 为圆心的圆与
29、x轴交于点O和点A，与y轴交于点O和 点B，其中O为原点 （1）求证：OAB的面积为定值； （2）设直线24yx 与圆C交于点M，N，若OMON，求圆C的方程 【解答】解 ： （）由题设知，圆C的 方程为 222 2 24 ()()xtyt tt ，化简 得 22 4 20xtxyy t ， 当0y 时，0x 或2t，则(2 ,0)A t；当0x 时，0y 或 4 t ，则 4 (0, )B t ， 114 | |2 | 4 22 AOB SOAOBt t 为定值； () | |IIOMON， 原点O在MN的中垂线上， 设MN的中点为H，则CHMN， C、H、O三点共线， 则直线OC的斜率 2
30、 2 21 2 t k tt ， 2t 或2t ， 第 17 页（共 18 页） 圆心(2,1)C或( 2, 1)C ， 当圆方程为 22 (2)(1)5xy时，直线240xy到圆心的距离dr， 此时不满足直线与圆相交，故舍去； 圆C的方程为 22 (2)(1)5xy 22设函数( ) x f xeax，aR （1）若( )f x有两个零点，求a的取值范围； （2）若对任意0x，)均有 22 2 ( )3f xxa，求a的取值范围 【解答】解： （1）( ) x fxea， 当0a时，( )0fx，则( )f x在R上单调递增，不满足题意； 当0a 时， 令( )0fx， 解得()xlna，
31、则( )f x在(，()lna上单调递减， 在( ()lna， )上单调递增，要使( )f x有两个零点，只需( ()0f lna，解得ae ； （2）令 222 ( )2 ( )32()3 x g xf xxaexa，0x， 则( )2() x g xexa，又令( )2() x h xexa，则( )2(1) 0 x h xe ， 所以( )h x在0，)上单调递增，且(0)2(1)ha， 当1a时，( ) 0g x恒成立，即函数( )g x在0，)上单调递增， 从而必须满足 2 (0)50ga，解得55a剟， 又因为1a，所以15a 剟； 当1a 时，则存在 0 0x ，使 0 ()0h
32、 x且 0 (0,)xx时，( )0h x ，即( )0g x，即( )g x 单调递减， 0 (xx，)时，( )0h x ，即( )0g x，即( )g x单调递增， 所以( )g x最小值为 0 2 00 ()2()3 0 x g xexa ， 又 0 00 ()2()0 x h xexa， 从而 00 2 2()3 0 xx ee ，解得 0 03xln， 由 0 0 x exa，则 0 0 x axe， 令( ) x M xxe，03x ln ，则( )10 x M xe ， 第 18 页（共 18 页） 所以( )M x在(0，3ln上单调递减， 则( )( 3)33M xM lnln，又( )(0)1M xM ， 故331lna， 综上，335lna 剟
