1、第二章第二章 平面向量单元总结（人教平面向量单元总结（人教 A 版）版） 一、知识整合一、知识整合 自我校对 加法 减法 实数与向量的积 向量的数量积 垂直 平行 长度 夹角 平行 垂直 合成与分解 二、能力强化能力强化 类型一：类型一：平面向量的线性运算平面向量的线性运算 1.向量的加法、减法和向量数乘的综合运算通常叫作向量的线性运算. 2.向量线性运算的结果仍是一个向量.因此对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意大小、方向 两个方面. 3.向量共线定理和平面向量基本定理是进行向量合成与分解的核心，是向量线性运算的关键所在，常应 用它们解决平面几何中的共线问题、共点问题. 4.题型主要有
2、证明三点共线、两线段平行、线段相等、求点或向量的坐标等. 例 1、如图 2- 1，在ABC 中，点 M 是 AB 边的中点，E 是中线 CM 的中点，AE 的延长线交 BC 于 F.MH AF 交 BC 于 H.求证：HF BH FC . 图 2- 1 【精彩点拨】 选择两不共线向量作基底，然后用基底向量表示出HF ，BH 与FC 即可证得. 【答案】设BM a，MH b，则BH ab， HF HB BA AFBH 2BM 2MH ab2a2bab， FC FEEC1 2HM ME 1 2MH MA AE 1 2bBM AF EF 1 2ba2MH 1 2MH 1 2ba2b 1 2bab.
3、综上，得HF BH FC . 再练一题 1.如图 2- 2， 平行四边形 ABCD 中， 点 M 在 AB 的延长线上， 且 BM1 2AB， 点 N 在 BC 上， 且 BN 1 3BC， 求证：M，N，D 三点共线. 图 2- 2 【答案】设AB e 1，AD e2， 则BC AD e2. BN 1 3e2，BM 1 2AB 1 2e1， MN BN BM 1 3e2 1 2e1. 又MD AD AM e23 2e1 3 1 3e2 1 2e1 3MN ， 向量MN 与MD 共线， 又 M 是公共点， 故 M，N，D 三点共线. 类型二：平面向量的数量积 平面向量的数量积是由物理问题中的做
4、功问题引入的，向量数量积的结果是一个数量，根据定义式可 知，当向量夹角为锐角、钝角和直角时，其结果分别为正值、负值和零，零向量与任何一个向量的数量积 均为零.平面向量的数量积是向量的核心内容，通过向量的数量积考查向量的平行、垂直等关系，利用向量 的数量积可以计算向量的夹角和长度. 例 2、非零向量 a，b 满足(ab)(2ab)，(a2b)(2ab)，求 a，b 的夹角的余弦值. 【精彩点拨】 由ab2ab，a2b2ab列出方程组 求出|a|2，|b|2，a b的关系 利用夹角公式可求 【答案】由 2|a|2|b|2a b0， 2|a|22|b|23a b0， 解得 |a|25 2a b， |
5、b|24a b， 所以|a|b| 10a b， 所以 cos a b |a| |b| 10 10 . 再练一题 2.如图 2- 3 所示，在平行四边形 ABCD 中，APBD，垂足为 P，且 AP3，则AP AC_. 图 2- 3 【答案】 18 【解析】 AP ACAP (ABBC) AP ABAP BC AP ABAP (BD DC ) AP BD 2AP AB. APBD，AP BD 0. AP AB|AP|AB|cosBAP|AP|2， AP AC2|AP|22918. 类型三：向量的坐标运算 1.向量的坐标表示实际上是向量的代数表示.引入向量的坐标表示后，向量的运算完全化为代数运算，
6、 实现数与形的统一. 2.向量的坐标运算是将几何问题代数化的有力工具，它是转化思想、函数与方程、分类讨论、数形结合 等思想方法的具体体现. 3.通过向量坐标运算主要解决求向量的坐标、向量的模、夹角判断共线、平行、垂直等问题. 例 3、已知三个点 A(2,1)，B(3,2)，D(1,4). (1)求证：ABAD； (2)若四边形 ABCD 为矩形，求点 C 的坐标以及矩形 ABCD 两对角线所夹锐角的余弦值. 【精彩点拨】 (1)证明AB AD 0. (2)利用AB DC 求点 C 的坐标，利用坐标形式的夹角公式求两对角线所夹锐角的余弦值. 【答案】 (1)证明：A(2,1)，B(3,2)，D(
7、1,4)， AB (1,1)，AD (3,3). AB AD 1(3)130， AB AD ，即 ABAD. (2)AB AD ，四边形 ABCD 为矩形，AB DC .设 C 点坐标为(x，y)， 则DC (x1，y4)， x11， y41， 解得 x0， y5， 点 C 坐标为(0,5). 从而AC (2,4)，BD (4,2)，且|AC |2 5，|BD |2 5，AC BD 8816，设AC 与BD 的夹角为 ， 则 cos AC BD |AC | |BD | 16 20 4 5， 矩形 ABCD 的两条对角线所夹锐角的余弦值为4 5. 再练一题 3.设 a(1,2)，b(2，3)，又
8、 c2ab，damb，若 c 与 d 的夹角为 45 ，求实数 m 的值. 【答案】 a(1,2)，b(2，3)， c2ab2(1,2)(2，3)(0,1)， damb(1,2)m(2，3)(12m,23m)， c d0(12m)1(23m)23m. 又|c|1， |d|12m223m2， cos 45 c d |c|d| 23m 12m223m2 2 2 ， 化简得 5m28m30，解得 m1 或 m3 5. 类型四：平面向量的应用 1.向量在平面几何中的应用，向量的加减运算遵循平行四边形法则或三角形法则，数乘运算和线段平行 之间、数量积运算和垂直、夹角、距离问题之间联系密切，因此用向量方法
9、可以解决平面几何中的相关问 题. 2.向量在解析几何中的应用，主要利用向量平行与垂直的坐标条件求直线的方程. 3.在物理中的应用，主要解决力向量、速度向量等问题. 例 4、如图 2- 4 所示，P 是正方形 ABCD 的对角线 BD 上一点，四边形 PECF 是矩形，求证： 图 2- 4 (1)PAEF； (2)PAEF. 【精彩点拨】 可分别以 BC，BA 所在直线为 x 轴，y 轴建立平面直角坐标系后，用坐标法来证明. 【答案】 (1)建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为 1，|BP |， 则 A(0,1)，P 2 2 ， 2 2 ，E 1， 2 2 ，F 2 2 ，0 ， PA
10、 2 2 ，1 2 2 ， EF 2 2 1， 2 2 . 因为|PA |2 2 2 2 1 2 2 22 21， |EF |2 2 2 1 2 2 2 22 21， 所以|PA |2|EF|2，故 PAEF. (2)因为PA EF 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 0， 所以PA EF，故 PAEF. 再练一题 4.已知三个点 A(2,1)，B(3,2)，D(1,4). (1)求证：ABAD； (2)要使四边形 ABCD 为矩形，求点 C 的坐标，并求矩形 ABCD 的两对角线所夹的锐角的余弦值. 【答案】 (1)证明：A(2,1)，B(3,2)，D(1,4)， AB (1,1)，AD
11、 (3,3)， AB AD 1(3)130， AB AD ，即 ABAD. (2)四边形 ABCD 为矩形， AB AD ，AB DC . 设 C 点的坐标为(x，y)， 则AB (1,1)，DC (x1，y4)， x11， y41， 解得 x0， y5， C 点的坐标为(0,5). 从而AC (2,4)，BD (4,2)， |AC |2 5，|BD |2 5，AC BD 8816.设AC 与BD 的夹角为 ，则 cos AC BD |AC |BD | 16 20 4 5，矩 形 ABCD 的两条对角线所夹的锐角的余弦值为4 5. 类型五：数形结合思想 平面向量的线性运算和数量积运算的定义及运
12、算法则、运算律的推导中都渗透了数形结合思想.向量的 坐标表示的引入，使向量运算完全代数化，将数和形紧密地结合在一起.运用数形结合思想可解决三点共线， 两条线段(或射线、直线)平行、垂直，夹角、距离、面积等问题. 例 5、如图 2- 5 所示，以ABC 的两边 AB，AC 为边向外作正方形 ABGF，ACDE，M 为 BC 的中点， 求证：AMEF. 图 2- 5 【精彩点拨】 要证 AMEF，只需证明AM EF 0.先将AM 用AB ，AC表示，将EF用AE，AF表示，然 后通过向量运算得出AM EF 0. 【答案】 因为 M 是 BC 的中点， 所以AM 1 2(AB AC)，又EFAFAE
13、， 所以AM EF 1 2(AB AC) (AFAE) 1 2(AB AFAC AFAB AEAC AE) 1 2(0AC AFAB AE0) 1 2(AC AFAB AE) 1 2|AC |AB|cos(90 BAC) |AB |AC|cos(90 BAC)0， 所以AM EF ，即 AMEF. 再练一题 5.如图 2- 6，在平面直角坐标系 xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点 P 的位置在 (0,0)，圆在 x 轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP 的坐标为_. 图 2- 6 【答案】 (2sin 2,1cos 2) 【解析】 设 A(2,0)，
14、B(2,1)，由题意知劣弧 PA 长为 2，ABP2 12. 设 P(x，y)，则 x21cos 2 2 2sin 2，y11sin 2 2 1cos 2， OP 的坐标为(2sin 2,1cos 2). 三、真题检测三、真题检测 1.已知向量BA 1 2， 3 2 ，BC 3 2 ，1 2 ，则ABC( ) A.30 B.45 C.60 D.120 【答案】 A 【解析】 因为BA 1 2， 3 2 ，BC 3 2 ，1 2 ，所以BA BC3 4 3 4 3 2 .又因为BA BC|BA| |BC|cos ABC11cosABC，所以 cosABC 3 2 .又 0 ABC180 ，所以A
15、BC30 .故选 A. 2.已知向量 a(1，m)，b(3，2)，且(ab)b，则 m( ) A.8 B.6 C.6 D.8 【答案】 D 【解析】 法一：因为 a(1，m)，b(3，2)，所以 ab(4，m2). 因为(ab)b，所以(ab) b0，所以 122(m2)0，解得 m8. 法二：因为(ab)b，所以(ab) b0，即 a bb232m32(2)2162m0，解得 m8. 3.已知非零向量 m，n 满足 4|m|3|n|，cosm，n1 3，若 n(tmn)，则实数 t 的值为( ) A.4 B.4 C.9 4 D.9 4 【答案】 B 【解析】 n(tmn)，n (tmn)0，即 tm n|n|20， t|m|n|cosm，n|n|20. 又 4|m|3|n|，t3 4|n| 21 3|n| 20， 解得 t4.故选 B.
