1、等差数列的概念（1）年年 级：高二级：高二 学学 科：数学（人教科：数学（人教A A版）版）事实下定义表示方法性质特殊元素问题1 什么是等差数列呢？追问1：请看下面几个问题中的数列，你能发现他们的规律吗？(1)北京天坛圜丘坛的地面石板数：9，18，27，36，45，54，63，72，81(2)S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的服装上衣对应的尺码分别是：38，40，42，44，46，48(3)测量某地垂直地面方向上海拔500m以下的大气温度，得到从距离地面20m起每升高100m处的大气温度（单位：）依次为：25，24，23，22，21 9，18，27，36，45，54，63，72，81 对
2、于数列，我们发现：1899，27189，81729，换一种写法，就是：1899，27189，81729.如果用an表示数列，则有：a2a19，a3a29，a9a89.9，18，27，36，45，54，63，72，81 对于数列，有这样的规律：从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数.38，40，42，44，46，48 25，24，23，22，21 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示.从第2项起每一项与它的前一项的差追问2：你能给出等差数列的定义吗？同一个常数(1)5，9，13，17，21
3、；是，d4；(2)9，7，5，3，1，1；是，d2；(3)6，6，6，6，6，6；是，d0；(4)0，1，0，1，0，1.不是，101，01=1；追问3：你能判断下列数列是否为等差数列吗？追问4：如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A应满足什么条件？由等差数列的定义，有：AabA，所以2Aab，即 此时，我们把A叫做a和b的等差中项.2abAa和b的等差中项是它们的算术平均数.问题2 如何推导等差数列的通项公式呢？追问1：你能根据定义，写出等差数列的递推公式吗？设等差数列an的首项为a1，公差为d，则由定义可得：an1and.追问2：你能根据递推公式，推导出等差数列的通项
4、公式吗？由an1and，有a2a1d，a3a2d，a4a3d，.于是a2a1d，a3a2d(a1d)da12d，a4a3d(a12d)da13d，追问2：你能根据递推公式，推导出等差数列的通项公式吗？归纳可得ana1(n1)d，由an1and，有a2a1d，a3a2d，a4a3d，.于是a2a1d，a3a2d(a1d)da12d，a4a3d(a12d)da13d，追问2：你能根据递推公式，推导出等差数列的通项公式吗？归纳可得ana1(n1)d，(n2).当n1时，上式为a1a1(11)da1.追问2：你能根据递推公式，推导出等差数列的通项公式吗？首项为a1，公差为d的等差数列an的通项公式为：
5、ana1(n1)d，(nN*)追问2：你能根据递推公式，推导出等差数列的通项公式吗？追问3：还能用其他方法，推导等差数列的通项公式吗？anan1d，an1an2d，an2an3d，a3a2d，a2a1d.一共有 个等式，将它们进行累加，有n1 ana1(n1)d，即ana1(n1)d.(nN*)问题2 如何推导等差数列的通项公式呢？首项为a1，公差为d的等差数列an的通项公式为：ana1(n1)d.(nN*)追问4：你能写出这些等差数列的通项公式吗？(1)5，9，13，17，21；an5(n1)44n1；(2)9，7，5，3，1，1；an9(n1)(2)2n11；(3)6，6，6，6，6.an
6、6(n1)06.问题3 观察等差数列的通项公式，它与哪一类函数有关？因为ana1(n1)d所以当d0时，ana1是常值函数；当d0时，an是一次函数一次函数f(x)dx(a1d)(xR)当xn，(nN*)时的函数值，即anf(n).dn(a1d)，追问1：等差数列an的图象与一次函数f(x)dx(a1d)的图象有什么关系?1 2a1xf(x)O3 4 5 6a1da2a3a4a5a6f(x)dx(a1d)追问2：由一次函数f(x)kxb（k，b为常数）得到的数列anknb一定是等差数列吗？任给f(x)kxb（k，b为常数），则anknb，a1f(1)kb；anf(n)nkb，an1f(n1)(
7、n1)kb，an1an (n1)kb(nkb)k，nN*所以，数列an是以(kb)为首项，k为公差的等差数列.追问2：由一次函数f(x)kxb（k，b为常数）得到的数列anknb一定是等差数列吗？数列an是公差不为0的等差数列 数列的通项公式an是关于n的一次函数.追问3：可以从函数的角度，研究等差数列的单调性吗？1 2a1xf(x)O3 4 5 6a1da2a3a4a5a6f(x)dx(a1d)1 2a6xf(x)O3 4 5 6a1da5a4a3a2a1f(x)dx(a1d)d0时，数列an单调递增;d0时，数列an单调递减.d0时，等差数列an单调递增;d0时，等差数列an单调递减;d0
8、时，等差数列an为常数列.追问3：可以从函数的角度，研究等差数列的单调性吗？问题4 利用通项公式，可以解决等差数列的哪些问题呢？例1 已知等差数列an的通项公式为an52n，求等差数列an的首项a1和公差d.分析：有了通项公式，只要将n1代入，就能求得a1；由通项公式写出an1的表达式，由anan1可求得公差d.解：把n1代入通项公式，得a15213.当n2时，an152(n1)=72n.于是danan1(52n)(72n)2.所以，数列an的首项为3，公差为2.例1 已知等差数列an的通项公式为an52n，求等差数列an的首项a1和公差d.追问1：还有其他方法求公差d吗？分析：由于已知数列a
9、n为等差数列，所以数列中每一项与它前一项的差都等于公差d.由于已求出首项a13，只需再求出a2，a2a1即为公差d.解法2：a15213，a25221.于是da2a1132.所以，数列an的首项为3，公差为2.例1 已知等差数列an的通项公式为an52n，求等差数列an的首项a1和公差d.追问2：能直接从通项公式看出公差d的值吗？分析：由于等差数列通项公式是关于n的一次函数，即ana1(n1)ddn(a1d).一次项系数即为公差d，可以直接从通项公式看出公差d的值.解法3：a15213，因为an52n，所以公差d2.所以，数列an的首项为3，公差为2.例1 已知等差数列an的通项公式为an52
10、n，求等差数列an的首项a1和公差d.研究数列时，运用函数观点，将数列的通项公式或前n项和公式，看成关于n的函数，用函数方法得到数列的相关性质，是研究数列时的常用方法.例1 已知等差数列an的通项公式为an52n，求等差数列an的首项a1和公差d.例2 求等差数列8，5，2，的通项公式an和第20项，并判断289是否是数列中的项，若是，是第几项？分析：只要知道首项a1和公差d，就可以求得数列的通项公式，从而可以求得第20项.公差d可以由任意一项和它前一项的差求得.分析：求得通项公式以后，它是一个关于n的方程方程，判断289是否是数列中的项，只需要看289是否能使得该方程有正整数解即可例2 求等
11、差数列8，5，2，的通项公式an和第20项，并判断289是否是数列中的项，若是，是第几项？解：由已知条件，得d583.把a18，d3代入ana1(n1)d，得an8(n1)(3)3n11，所以a203201149.令3n11289，得n100，所以289是该数列中的第100项.等差数列的首项a1和公差d是等差数列的“基本量基本量”，由这两个基本量，可以求得等差数列通项公式和数列中的任意一项.例2 求等差数列8，5，2，的通项公式an和第20项，并判断289是否是数列中的项，若是，是第几项？根据已知条件，列出关于通项公式中未知变量的方程方程或方程组方程组，求得未知变量，是解决等差数列相关问题的常用方法.例2 求等差数列8，5，2，的通项公式an和第20项，并判断289是否是数列中的项，若是，是第几项？1 等差数列的概念(1)等差数列及等差中项的定义；等差数列及等差中项的定义；(2)等差数列的通项公式；等差数列的通项公式；递推公式、归纳和累加法递推公式、归纳和累加法.(3)通项公式的应用通项公式的应用.函数与方程函数与方程.2 研究方法递推公式应用通项公式问题5 回顾本节课的探究过程，你学到了什么？函数与方程 的思想课后作业1求下列各组数的等差中项：(1)647和895；(2)和 .2已知在等差数列an中，a4a820，a712求a411233245
