1、1/1 第三章第三章 空间向量与立体几何单元小结空间向量与立体几何单元小结 核心速填 1空间向量的有关定理和推论 (1)共线向量定理：对空间任意两个向量 a，b(b0)，ab 的充要条件是存在实数 ，使 得 ab. (2)共线向量定理的推论： 若OA ， OB 不共线， 则 P， A， B 三点共线的充要条件是OP OA OB ，且 1. (3)共面向量定理：如果两个向量 a，b 不共线，那么向量 p 与向量 a，b 共面的充要条 件是存在惟一的有序实数对(x，y)，使得 pxayb. (4)共面向量定理的推论：已知空间任意一点 O 和不共线的三点 A，B，C，则 P，A，B， C 四点共面的
2、充要条件是OP xOA yOB zOC (其中 xyz1) (5)空间向量基本定理：如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对空间任一向量 p，存在有 序实数组x，y，z，使得 pxaybzc，其中a，b，c叫做空间的一个基底 2空间向量运算的坐标表示 设 a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3) (1)ab(a1b1，a2b2，a3b3)， ab(a1b1，a2b2，a3b3)， a(a1，a2，a3)， a ba1b1a2b2a3b3. (2)重要结论： ababa1b1，a2b2，a3b3(R)； aba b0a1b1a2b2a3b30. 3模、夹角和距离公式 (1)设 a(a1，a
3、2，a3)，b(b1，b2，b3)，则 |a| a a a21a22a23； cosa，b a b |a|b| a1b1a2b2a3b3 a21a22a23 b21b22b23. (2)设 A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则 dAB|AB | (a2a1)2(b2b1)2(c2c1)2. 4空间向量的结论与线面位置关系的对应关系 (1)设直线 l 的方向向量是 u(a1，b1，c1)，平面 的法向量 v(a2，b2，c2)， 则 luvu v0a1a2b1b2c1c20，luvukv(a1，b1，c1)k(a2， b2，c2)a1ka2，b1kb2，c1kc2(kR) 2/2
4、(2)设直线 l，m 的方向向量分别为 a，b，平面 ， 的法向量分别为 u，v，则 lmabakb，kR； lmaba b0； laua u0； lauaku，kR； uvukv，kR； uvu v0. 5空间向量与空间角的关系 (1)设异面直线 l1， l2的方向向量分别为 m1， m2， 则 l1与 l2的夹角 满足 cos |cos m1， m2|. (2)设直线 l 的方向向量和平面 的法向量分别为 m，n，则直线 l 与平面 的夹角 满 足 sin |cosm，n|. (3)求二面角的大小： ()如图 3- 1，AB，CD 是二面角 - l- 的两个半平面 ， 内与棱 l 垂直的直
5、线，则二 面角的大小 AB ，CD 图 3- 1 ()如图 3- 1，n1，n2分别是二面角 - l- 的两个半平面 ， 的法向量，则二面角 的大小 满足 cos cosn1，n2或cosn1，n2 体系构建 3/3 题型探究 类型一、空间向量的基本概念及运算类型一、空间向量的基本概念及运算 例 1、如图 3- 2，在四棱锥 S- ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 1 的正方形，S 到 A、B、 C、D 的距离都等于 2.给出以下结论： 图 3- 2 SA SBSCSD0； SA SBSCSD0； SA SBSCSD0； SA SBSC SD； SA SC0. 其中正确结论的序号是_ 规
6、律方法 1.空间向量的线性运算包括加、减及数乘运算，选定空间不共面的三个向 量作为基向量，并用它们表示出目标向量，这是用向量法解决立体几何问题的基本要求，解 题时可结合已知和所求，根据图形，利用向量运算法则表示所需向量 2空间向量的数量积 (1)空间向量的数量积的定义表达式 a b|a| |b| cosa，b及其变式 cosa，b a b |a| |b| 是两个重要公式 (2)空间向量的数量积的其他变式是解决立体几何问题的重要公式，如 a2|a|2，a 在 b 上的投影a b |b| |a| cos 等 跟踪训练 4/4 1.如图 3- 3，已知 ABCD- ABCD是平行六面体 设 M 是底
7、面 ABCD 的中心，N 是侧面 BCCB对角线 BC上的3 4分点，设MN AB AD AA ，则 _. 图 3- 3 类型二、空间向量的坐标运算类型二、空间向量的坐标运算 例 2、(1)已知 a(2,3，4)，b(4，3，2)，b1 2x2a，则 x( ) A(0,3，6) B(0,6，20) C(0,6，6) D(6,6，6) (2)已知向量 a(x,1,2)，b(1，y，2)，c(3,1，z)，ab，bC 求向量 a，b，c； 求 ac 与 bc 所成角的余弦值. 5/5 规律方法 熟记空间向量的坐标运算公式 设 a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)， (1)加减运算：a b
8、(x1 x2，y1 y2，z1 z2). (2)数量积运算：a bx1x2y1y2z1z2. (3)向量夹角：cosa，b x1x2y1y2z1z2 x21y21z21x22y22z22. (4)向量长度： 设 M1(x1， y1， z1)， M2(x2， y2， z2)， 则|M1M2 |(x1x2)2(y1y2)2(z1z2)2. 提醒：在利用坐标运算公式时注意先对向量式子进行化简再运算. 跟踪训练 2在空间直角坐标系中，已知点 A(1，2,11)，B(4,2,3)，C(6，1,4)，则ABC 一定 是( ) A等腰三角形 B等边三角形 C直角三角形 D等腰直角三角形 类型三、利用空间向量
9、证明平行、垂直问题类型三、利用空间向量证明平行、垂直问题 例 3、 在四棱锥 P- ABCD 中，ABAD，CDAD，PA底面 ABCD，PAADCD 2AB2，M 为 PC 的中点 (1)求证：BM平面 PAD； (2)平面 PAD 内是否存在一点 N，使 MN平面 PBD？若存在，确定 N 的位置；若不存 在，说明理由 思路探究 (1)证明向量BM 垂直于平面 PAD 的一个法向量即可； (2)假设存在点 N，设出其坐标，利用MN BD ，MN PB ，列方程求其坐标即可 6/6 规律方法 利用空间向量证明空间中的位置关系 (1)线线平行： 证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共
10、线向量 (2)线线垂直： 证明两条直线垂直，只需证明两直线的方向向量垂直 (3)线面平行： 证明直线的方向向量与平面的法向量垂直； 证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量； 利用共面向量定理，即证明直线的方向向量可用平面内两不共线向量线性表示 (4)线面垂直： 证明直线的方向向量与平面的法向量平行； 利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题 (5)面面平行： 证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)； 转化为线面平行、线线平行问题 (6)面面垂直： 证明两个平面的法向量互相垂直； 转化为线面垂直、线线垂直问题 跟踪训练 3如图 3- 4，长方体 ABCD- A1B1C1D1中，点
11、 M，N 分别在 BB1，DD1上，且 AMA1B， ANA1D 图 3- 4 (1)求证：A1C平面 AMN. (2)当 AB2， AD2， A1A3 时， 问在线段 AA1上是否存在一点 P 使得 C1P平面 AMN， 若存在，试确定 P 的位置. 7/7 类型四、利用空间向量求空间角类型四、利用空间向量求空间角 例 4、如图 3- 5，在等腰直角三角形 ABC 中，A90 ，BC6，D，E 分别是 AC，AB 上的点，CDBE 2，O 为 BC 的中点将ADE 沿 DE 折起，得到如图(2)所示的四棱锥 ABCDE，其中 AO 3. (1) (2) 图 3- 5 (1)证明：AO平面 B
12、CDE； (2)求二面角 ACD- B 的平面角的余弦值 思路探究 (1)利用勾股定理可证 AOOD，AOOE，从而证得 AO平面 BCDE； (2)用“三垂线”法作二面角的平面角后求解或用向量法求两个平面的法向量的夹角 规律方法 用向量法求空间角的注意点 (1)异面直线所成角：两异面直线所成角的范围为 0 90，需找到两异面直线的方向 向量，借助方向向量所成角求解 (2)直线与平面所成的角：要求直线 a 与平面 所成的角 ，先求这个平面 的法向量 n 与直线 a 的方向向量 a 夹角的余弦 cosn，a ，易知 n，a 2或者 2n，a (3)二面角：如图 3- 6，有两个平面 与 ，分别作这两个平面的法向量 n1与 n2，则平面 与 所成的角跟法向量 n1与 n2所成的角相等或互补，所以首先应判断二面角是锐角还是 钝角 8/8 图 3- 6 跟踪训练 4在如图 3- 7 所示的圆台中，AC 是下底面圆 O 的直径，EF 是上底面圆 O的直径，FB 是圆台的一条母线 图 3- 7 (1)已知 G，H 分别为 EC，FB 的中点，求证：GH平面 ABC (2)已知 EFFB1 2AC2 3，ABBC，求二面角 F- BC- A 的余弦值.
