1、主要内容物理系统的模型物理系统的模型微分方程的列写微分方程的列写n 阶线性时不变系统的描述阶线性时不变系统的描述求解系统微分方程的经典法求解系统微分方程的经典法复习求解系统微分方程的经典法复习求解系统微分方程的经典法一物理系统的模型许多实际系统可以用线性系统来模拟。许多实际系统可以用线性系统来模拟。若系统的参数不随时间而改变，则该系统可以用若系统的参数不随时间而改变，则该系统可以用线性常系数微分方程线性常系数微分方程来描述。来描述。二微分方程的列写根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。对于电路系统，主要是根据对于电路系统，主要是根据元件特性约束元件
2、特性约束和和网络拓扑网络拓扑约束约束列写系统的微分方程。列写系统的微分方程。元件特性约束：元件特性约束：表征元件特性的关系式。例如二端元表征元件特性的关系式。例如二端元件电阻、电容、电感各自的电压与电流的关系以及四件电阻、电容、电感各自的电压与电流的关系以及四端元件互感的初、次级电压与电流的关系等等。端元件互感的初、次级电压与电流的关系等等。网络拓扑约束：网络拓扑约束：由网络结构决定的电压电流约束关系由网络结构决定的电压电流约束关系,KCL，KVL。三n 阶线性时不变系统的描述 一个线性系统，其激励信号一个线性系统，其激励信号 与响应信号与响应信号 之间之间的关系，可以用下列形式的微分方程式来
3、描述的关系，可以用下列形式的微分方程式来描述)(te)(tr)(d)(dd)(dd)(d)(d)(dd)(dd)(d1111011110teEtteEtteEtteEtrCttrCttrCttrCmmmmmmnnnnnn 若系统为时不变的，则若系统为时不变的，则C，E均为常数，此方程为均为常数，此方程为常系数的常系数的n阶线性常微分方程。阶线性常微分方程。阶次阶次：方程的阶次由独立的动态元件的个数决定。方程的阶次由独立的动态元件的个数决定。四求解系统微分方程的经典法分析系统的方法：分析系统的方法：列写方程，求解方程。列写方程，求解方程。变变换换域域法法利利用用卷卷积积积积分分法法求求解解零零状
4、状态态可可利利用用经经典典法法求求解解零零输输入入应应零零输输入入响响应应和和零零状状态态响响经经典典法法解解方方程程网网络络拓拓扑扑约约束束根根据据元元件件约约束束列列写写方方程程:,:求解方程时域求解方程时域经典法经典法就是：就是：齐次解齐次解+特解。特解。ebdtdebdtedbdtedbradtdradtrdadtrdmmmmmmnnnnn01111011112-2 系统微分方程及其经典解系统微分方程及其经典解任何任何LTI连续时间系统，连续时间系统，n阶一元常系数微分方程一般式为：阶一元常系数微分方程一般式为：全解全解=齐次解齐次解+特解特解)()()(trtrtrfn001111r
5、adtdradtrdadtrdnnnnn通解一般式为：通解一般式为：tce00111aaannn特征方程为：特征方程为：经典法经典法求解该方程：求解该方程：齐次解齐次解rn(t)是齐次方程的通解：是齐次方程的通解：该一元该一元n次方程的次方程的n个特征根为个特征根为：)2,1(,21nin自然频率固有频率讨论通解的形式讨论通解的形式：1 i为互异实根为互异实根：nitiniectr1)(2 1有有k重重根根：nkjtjikkitinjectectr111)(其中其中 1为为k重重根，根，j为单根为单根特解的形式特解的形式：根据激励查表根据激励查表2-1得得rf(t)全解的形式全解的形式：)()
6、()(trtrtrfn求系数Ci,cj例例1：求齐次解：求齐次解：)()(6)(5)(tetrtrtr解：解：该微分方程的特征方程为：该微分方程的特征方程为：0652解得特征根：解得特征根：3,221ttnecectr3221)(齐次解为：齐次解为：例例3：求齐次解：求齐次解：)()(4)(4)(tetrtrtr解：解：20442,12二重根二重根ttnectectr2221)(例：方程为：例：方程为：)(2)()(2)(3)(tetetrtrtr若激励为：若激励为：2)(tte求其特解求其特解 rf(t).查表查表2-1得对应的特征解为：得对应的特征解为：0122)(AtAtAtrf)(),
7、(),(trtrtrfff)(),(tete代入原微分方程得：代入原微分方程得：2012212222)(2)2(32ttAtAtAAtAA2012122222)232()26(2ttAtAAtAAtA等式两边同次幂系数相等：等式两边同次幂系数相等：122023222622210012122AAAAAAAAA22)(2tttrf0t例例5：方程为：方程为：)(2)()(2)(3)(tetetrtrtr求：求：当当1)0(,1)0(,)(2rrtte时的全解时的全解解：解：特征方程为特征方程为2,1023212所以齐次解为：所以齐次解为：ttnecectr221)(与例相同：与例相同：22)(2t
8、ttrf所以全解所以全解22)(2221ttecectrtt其一阶导为：其一阶导为：222)(221tecectrttt=0时时 初值代入：初值代入：12)0(21ccr122)0(21ccr2,121cc0222)(22ttteetrtt全解全解:1 齐次解：其形式与激励齐次解：其形式与激励e(t)无关，仅依赖于系统无关，仅依赖于系统本身特征本身特征自由响应或固有响应自由响应或固有响应，系数，系数ci，cj与激励有关与激励有关2 特解的形式：由激励信号决定特解的形式：由激励信号决定强迫响强迫响应应齐次解：由特征方程齐次解：由特征方程求出特征根求出特征根写出齐次解形式写出齐次解形式 nktkk
9、A1e 注意重根情况处理方法。注意重根情况处理方法。特特 解：根据微分方程右端函数式形式，设含待定系解：根据微分方程右端函数式形式，设含待定系 数的特解函数式数的特解函数式代入原方程，比较系数代入原方程，比较系数 定出特解。定出特解。经典法的例题kA全全 解：齐次解解：齐次解+特解，由初始条件定出齐次解。特解，由初始条件定出齐次解。我们一般将激励信号加入的时刻定义为我们一般将激励信号加入的时刻定义为t=0，响应，响应为为 时的方程的解，初始条件时的方程的解，初始条件 0t1122d)0(d,d)0(d,d)0(d,)0(nntrtrtrr 初始条件的确定初始条件的确定是此课程要解决的问题。是此课程要解决的问题。
