1、数学 (卷)第 页(共 页)数学 (卷)第 页(共 页)秘密启用前下关一中教育集团 学年高二年级上学期期中考数学试卷(卷)本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分.第卷第 页至第 页 第卷第 页至第 页.考试结束后 请将本试卷和答题卡一并交回.满分 分 考试用时 分钟.第卷(选择题 共 分)注意事项:.答题前 考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.每小题选出答案后 用 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动 用橡皮擦干净后 再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.一、单项选择题(本大题共 小题 每小题 分 共 分.在每小题给出的四个选项中
2、只有一项是符合题目要求的).设集合 则.)的两个焦点 为椭圆 上一点 且 若的面积为 则.如图 在四棱锥 中 底面 是边长为 的正方形 侧棱 的长为 且 与 的夹 图 角都等于.若 是 的中点 则.直线 与圆()的位置关系是.相离.相交.相切.与 取值有关.已知三棱锥 的所有顶点都在球 的球面上 且 平面 则球 的表面积为.阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家 他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率 等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆()的右焦点为()过 作直线 交椭圆于 两点 若弦 中点坐标为()则椭圆的面积为.二、多项选择题(本大题共 小题 每小题 分 共 分.在每小题给出的
3、选项中 有多项是符合题目要求的.全部选对的得 分 部分选对的得 分 有选错的得 分).下列说法正确的是.直线()恒过定点.直线 在 轴上的截距为.直线 的倾斜角为.已知直线 过点()且在 轴上截距相等 则直线 的方程为.某企业为了了解职工对某部门的服务情况 随机访问 名职工 根据这 名职工对该部门的评分 绘制 图 频率分布直方图(如图 所示)下列说法正确的是.求频率分布直方图中 的值为 .估计该企业的职工对该部门评分的中位数为.估计该企业的职工对该部门评分的平均值为 .从评分在)的受访职工中 随机抽取 人 求此 人评分都在)的概率为.已知 为坐标原点()是抛物线:()上的一点 为其焦点 若 与
4、双曲线的右焦点重合 则下列说法正确的有.若 则点 的横坐标为.该抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度为.若 外接圆与抛物线 的准线相切 则该圆面积为.周长的最小值为 .已知椭圆 的上、下焦点分别为 左、右顶点分别为 是该椭圆上的动点 则下列结论正确的是.该椭圆的长轴长为.使为直角三角形的点 共有 个.若点 的纵坐标为 则 的长度为.若点 是异于 的点 则直线 与 的斜率之积为数学 (卷)第 页(共 页)数学 (卷)第 页(共 页)第卷(非选择题 共 分)注意事项:第卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答 在试题卷上作答无效.三、填空题(本大题共 小题 每小题 分 共 分).抛物线 的焦点
5、到准线的距离是 .若直线()与()()互相垂直 则 等于 .已知双曲线:()的渐近线方程为 且其右焦点为()则双曲线 的标准方程为 .已知圆:点 为直线 上一动点 过点 向圆 引两条切线、为切点 则直线 经过定点 .四、解答题(共 分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤).(本小题满分 分)甲、乙两人独立地对某一目标射击 已知甲、乙能击中的概率分别为 求:()甲、乙恰好有一人击中的概率()目标被击中的概率.(本小题满分 分)一条直线经过点().分别求出满足下列条件的直线方程.()与直线 垂直()交 轴、轴的正半轴于 两点 且 取得最小值.(本小题满分 分)在 中 分别为内角 的对边.()求
6、角 的大小()若 求 的面积.(本小题满分 分)如图 四棱锥 为等边三角形 平面 平面 为 中点.图()求证:平面()求平面 与平面 夹角的余弦值.(本小题满分 分)已知圆:()是 轴上的动点 分别与圆 相切于 两点.()若()求切线方程()求四边形 面积的最小值.(本小题满分 分)已知椭圆:()的左、右焦点分别为()()且经过点().()求椭圆 的标准方程()若斜率为 的直线与椭圆 交于 两点 求 面积的最大值(为坐标原点).数学 XG（A 卷）参考答案第 1 页（共 8 页）下关一中教育集团20222023学年高二年级上学期期中考 数学（A 卷）参考答案 第卷（选择题，共 60 分）一、单
7、项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D B B A B D C【解析】1由题意得|4Ax x或2|4xABx x，故选 A 2 由题意可知(1 0)F，所以直线 l 的方程为1yx，联立直线方程和抛物线方程214yxyx，可得2610 xx，设1122()()A xyB xy，则121261xxx x，所以|ABAF 12|628BFxxp，故选 D 3由已知224i(24i)(1i)22i4i4i13i1i(1i)(1i)2z ，所以|13i|z 22(1)310，故选B 4法一：设1|PFm，2|PFn，则2mna，2
8、2222(2)2cos()3cmnmnmnmn，24bmn又12sin9 323mn，2329 32b，解得3b，故选B法二：由焦点三角形面积公式得122tantan9 3323F PFSbbb，故选B 5因为M是PC的中点，所以1111111()2222222BMBCBPADAPABADAPAB ，所以222221111111122244422BMADAPABADAPABAD APAD AB 12AB AP ，因为PA的长为2，且PA与AB，AD的夹角都等于60所以21144BM 数学 XG（A 卷）参考答案第 2 页（共 8 页）11113114|cos60|cos90|cos602422
9、2222ADAPADABABAP 11302222，所以2|6BM ，故选A 6直线ykxk恒过定点(1 0)，且该点在圆内，直线与圆相交，故选B 7 由AB 平面BCD，得90ABCABD，而2 3AB，4ACAD，故2BCBD，而2 3CD，在等腰BCD中，由几何关系得120CBD，则其外接圆半径2 32sin120r，得2r，故三棱锥ABCD的外接球2272ABRr，球O的表面积为24SR28，故选D 8 设1122()()A xyB xy，则 有22112222222211xyabxyab，两 式 作 差 得：2222121222xxyyab，即2121221212yyxxbkxxyy
10、a，弦AB中点坐标为(21)，则2212221221xxbbkyyaa ，又0(1)132k，22211ba，222ab，又223cab，可解得3 2a，3b，故椭圆的面积为9 2ab，故选C 二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）题号 9 10 11 12 答案 AC ABD CD BCD【解析】9直线24()yaxaaR即直线(2)4()ya xaR，当2x 时，4y，即直线24()yaxaaR恒过定点(2 4)，A正确；直线13yx，即31yx在y轴上的截距为1，B错误；直线31
11、0 xy 的斜率为1333，则倾斜角为150，C正确；因为直线l过点(2 4)P，且在xy，轴上截距相等，当截距都为0时，直线l方程为2yx，当截距不为0时，可设直线方程为1xyaa，则2416aaa，则直线方程为60 xy，故D错误，故选AC 数学 XG（A 卷）参考答案第 3 页（共 8 页）10由直方图可得(0.0040.0180.02220.028)101a，故0.006a 由直方图可得平均数为(0.004450.006550.018 950.022650.022 850.02875)1076.2.前3组的频率和为(0.0040.0060.022)100.32，前4组的频率和为(0.0
12、040.006 0.0220.028)100.6，故中位数在70 80)，设中位数为x，则700.320.280.510 x，故5357x 故 中 位 数 为5357 评 分 在40 60)，的 受 访 职 工 的 人 数 为(0.0040.006)10505，其中评分在40 50)，的受访职工的人数为2，记为a b，在50 60)，的受访职工人数为3，记为A B C，从5人任取2人，所有的基本事件如下：a baAa Ba C，bAb Bb CA BA CB C，基本事件的总数为10，而2人评分都在40 50)，的基本事件为a b，故2人评分都在40 50)，的概率为110，故选ABD 11
13、由双曲线方程知：(2 0)F，抛物线28Cyx：，对于A，设00()P xy，则0|26PFx，解得：04x，A错误；对于B，抛物线准线方程为2x ，由22132xyx，得：33y ，准线被双曲线截得的线段长度为2 33，B错误；对于C，POF外接圆圆心在线段OF的中垂线上，则其横坐标为1，又该圆与抛物线准线相切，该圆的半径123r ，该圆的面积29Sr，C正确；对于D，如图1，设P和M在准线上的投影分别为PM，由抛物线定义知：|PFPP，则|PFPMPPPMMM（当且仅当MP P，三 点 共 线 时 取 等 号，此 时PM，重 合），又|123MM ，22|(12)(20)5MF，PMF周长
14、的最小值为35，D正确，故选CD 12A由椭圆方程知211abc，则椭圆的长轴长为2 2，故选项A不正确；B当1PFy轴时，满足12PFF为直角三角形，此时点P有2个；当2PFy轴时，满足12PFF图 1 数学 XG（A 卷）参考答案第 4 页（共 8 页）为直角三角形，此时点P有2个；又因为1122FFA，满足12PFF为直角三角形，此时点 P 可以为左右顶点12AA，所以使12PFF为直角三角形的点 P 共有 6 个，故选项 B正确；C 若点P 的纵坐标为1，则212P，则2PF 的长度为3 22，故选项C 正确；D 设点()P xy，则2212yx，则直线1PA 与2PA 的斜率之积12
15、2200111PAPAyyykkxxx 222221xx，故选项 D 正确，故选 BCD 第卷（非选择题，共 90 分）三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）题号 13 14 15 16 答案 116 31 或 221169xy 4899，【解析】13抛物线28yx化为标准方程为抛物线218xy，则其焦准距为116p，即焦点到准线的距离是116 14直线(1)3axa y与(1)(23)2axay互相垂直，(1)(1)(23)0a aaa，解得3a 或1a 15双曲线C：22221(00)xyabab，的渐近线方程为34yx，可得34ba，其右焦点为(5 0)，可得5c
16、，又222cab，解得4a，3b，则双曲线C的方程为221169xy 16 设(92)Pt t，圆O：224xy的两条切线分别为PA，PB，切点分别为A，B，OAPA，OBPB，则点A，B在以OP为直径的圆上，设这个圆为圆C，即AB是圆O与圆C的公共弦，则圆心C的坐标是9222tt，且半径的平方是222(92)4ttr，圆C的数学 XG（A 卷）参考答案第 5 页（共 8 页）方 程 是222292(92)224ttttxy，则 公 共 弦AB所 在 的 直 线 方 程 为(29)40txty，即(2)(94)0txyx，则20940 xyx，得49x，89y，直线AB经过定点4899，四、解
17、答题（共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（本小题满分10分）解：（）设甲、乙分别击中目标为事件A，B，易知A，B相互独立且2()3P A，3()4P B，甲、乙恰好有一人击中的概率为2335()11343 412P ABAB（）目标被击中的概率为3211()1()1114312P ABP A B 18（本小题满分12分）解：（）由于直线250 xy的斜率12k，所以所求直线的斜率2k 故过点(3 4)P，斜率2k 的直线方程为42(3)yx，即2100 xy（）设过点(3 4)P，的直线方程为4(3)(0)yk xk，令0 x，得43yk；令0y，得43xk从而有430Ak，
18、(0 43)Bk，所以2222161|169912212 424PAPBkkkk 当1kk，即1k （1k 舍去）时，|PAPB 取得最小值 所求的直线方程为70 xy 19（本小题满分12分）解：（）由sinsin2ACcbC及正弦定理得sinsinsinsin2ACCBC，数学 XG（A 卷）参考答案第 6 页（共 8 页）因为(0)B C，则sin0C 且022B，所以sinsinsincos222ACBBB，即2sincoscos222BBB，则1sin22B，可得26B，所以3B （）11coscoscossincossinsin()sintantansinsinsinsinsins
19、insinsinACACCAACBACACACACAC，22cos1tansinsinBBBB，所以2sinsinsinACB，所以24acb，故1sin32ABCSacB 20（本小题满分12分）（）证明：因为ABCD，90BCD，所以ABBC，又平面PAB 平面ABCD，且平面PAB平面ABCDAB，所以BC 平面PAB，又AQ 平面PAB，所以BCAQ，因为Q为PB的中点，且PAB为等边三角形，所以PBAQ，又PBBCB，所以AQ 平面PBC.（）解：取AB中点为O，连接PO，如图2，因为PAB为等边三角形，所以POAB，由平面PAB 平面ABCD，因为PO 平面PAB，所以PO 平面A
20、BCD，所以POOD，由224ABBCCD，90ABC，可知ODBC，所以ODAB 以AB中点O为坐标原点，分别以OD，OB，OP所在直线为xy z，轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz 图 2 数学 XG（A 卷）参考答案第 7 页（共 8 页）所以(02 0)(2 0 0)(2 2 0)(0 0 2 3)(0 2 0)ADCPB，则0(2)(0)2 32 0DPCD ，因为Q为PB中点，所以(0)13Q，由（）知，平面PBC的一个法向量为(0 33)AQ，设平面PCD的法向量为()nxy z，由2022 30n CDyn DPxz ，取1z ，得(3 0 1)n，由31cos4|933
21、1AQ nAQ nAQn ，所以平面 PBC 与平面 PCD 夹角的余弦值为14 21（本小题满分 12 分）解：（）由题意，过点(1 0)Q，且与x轴垂直的直线显然与圆M相切，此时，切线方程为1x；当过点(1 0)Q，的直线不与x轴垂直时，设其方程为(1)yk x，即0kxyk，由2|2|11kk，解得34k ，此时切线方程为3430 xy（）连接QM，如图 3，因为圆的方程为22(2)1xy，所以(0 2)M，1r，设(0)Q m，所以2|4QMm，根据勾股定理得2|3QAm，所以221223 132QAMBQAMSSmm，所以当0m 时，四边形QAMB的面积最小，min3S 22（本小题
22、满分12分）解：（）由椭圆的定义，可知2122|(2 3)42426aPFPF，解得3a，又222(3)6ba 椭圆C的标准方程为22196xy 图 3 数学 XG（A 卷）参考答案第 8 页（共 8 页）（）设直线l的方程为yxm，联立椭圆方程，得22563180 xmxm，2236603600mm，得1515m，设1122()()A xyB xy，则21212631855mmxxxx，21212|2()4ABxxxx 2223612724 32152555mmm ，点(0 0)O，到直线0lxym：的距离|2md，222114 3|6|15(15)22552AOBmSABdmmm 2226156153 652522mm，当且仅当2215(1515)mmm，即2153022mm，时取等号，AOB面积的最大值为3 62
