1、第 1 页 共 4 页20222023 学年上学期五校联考期中测试卷高二数学命题人：审题人：（考查范围：第 1 章第 3 章椭圆考试时间：120 分钟试卷满分：150 分）一一、单单项项选选择择题题：本本题题共共 8 8 小小题题，每每小小题题5 5 分分，共共 4 40 0 分分.在在每每个个小小题题绐绐岀岀的的四四个个选选项项中中，只只有有一一项项是是符符合合题题目目要要求求的的.1如图，在平行六面体1111ABCDABC D中，设1,ABa ADb AAc，则1BD （）AabcB+a b cC+ab cD+a bc2向量2,1,3ax，1,2,9by，若/a b，则（）A1xyB1=2
2、x，12y C16x，32y D16x ，23y 3直线1:70lxmy和直线2:2320lmxym互相垂直，则实数m的值为（）A3m B1=2mC=1m或=3mD1m 或=3m4若方程2260 xyxm表示一个圆，则 m 的取值范围是（）A,9B,9 C9,D9,5已知直线2ykx与圆C：222xy交于A，B两点，且2AB，则k的值为（）A33B3C3D26已知1F，2F是椭圆C：22194xy的两个焦点，点M在C上，则12MFMF的最大值为（）A13B12C9D67若点m n,在直线:34130lxy上，则221mn的最小值为（）A3B4C2D68向量的运算包含点乘和叉乘，其中点乘就是大家
3、熟悉的向量的数量积现定义向量的叉乘：给定两个不共线的空间向量a与b，a b规定：a b为同时与a，b垂直的向量；a，b，a b三个向量构成右手系（如图 1）；sin,aba ba b；若111,ax y z，222,bxy z，则第 2 页 共 4 页111111222222,y zx zx ya by zx zxy rr，其中,a badbcc d 如图 2，在长方体中1111ABCDABC D，2ABAD，13AA，则下列结论正确的是（）A1ABADAA BABADADAB C111ABADAAABAAADAAuuu ruuuruuuruuu ruuuruuuruuurD长方体1111AB
4、CDABC D的体积1VABADC Cuuu ruuuruuuu r二二、多项选择题多项选择题（本题共本题共 4 4 小题小题，每小题每小题 5 5 分分，共共 2020 分分在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求有多项符合题目要求，全部选对的得全部选对的得 5 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 0 分）分）9“方程22122xymm表示椭圆”的一个充分条件是（）A1m B0m C1m D0m 10下列说法中，正确的有（）A过点(1,2)P且在x轴，y轴截距相等的直线方程为30 xyB直线2ykx在y轴的截距是 2C直线310
5、 xy 的倾斜角为 30D过点(5,4)且倾斜角为 90的直线方程为50 x 11已知空间中三点0,1,0A，2,2,0B，1,3,1C，则下列结论正确的有（）AABAC B与AB 共线的单位向量是1,1,0CAB 与BC 夹角的余弦值是5511D平面ABC的一个法向量是1,2,512圆 M：222430 xyxy关于直线260axby对称，记点,P a b，下列结论正确的是（）A点 P 的轨迹方程为30 xyB以 PM 为直径的圆过定点2,1QCPM的最小值为 6D若直线 PA 与圆 M 切于点 A，则4PA 三、填空题（本题共三、填空题（本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分
6、，共计分，共计 2020 分）分）13以点(1,1),(3,3)AB为直径的圆的一般式方程为_第 3 页 共 4 页14若焦点在 x 轴上的椭圆221102xymm的焦距为 4，则=m_15已知两直线1:240lxy，2:4350lxy若直线3:260laxy与1l，2l不能构成三角形，则满足条件的实数=a_（写出一个即可）16三个“臭皮匠”在阅读一本材料时发现原来空间直线与平面也有方程即过点000,P xyz且一个法向量为=,na b c的平面的方程为0000a xxb yyc zz，过点000,P xyz且方向向量为=,0vm n tmnt的直线 l 的方程为000=xxyyzzmnt三个
7、“臭皮匠”利用这一结论编了一道题：“已知平面的方程为+1=0 xy z，直线 l 是两个平面20 xy与2+1=0 xz的交线，则直线 l 与平面所成的角的正弦值是多少？”想着这次可以难住“诸葛亮”了谁知“诸葛亮”很快就算出了答案请问答案是_四、四、解答题：本题共解答题：本题共6 6 小题，共计小题，共计 7070 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，Q 为PC的中点.(1)用AB，AD，AP 表示BQ；(2)若底面ABCD是正方形，且1PAAB，3PABPAD，求AQ.18已知ABC的
8、顶点(5,1)B，AB边上的高所在的直线方程为250 xy.(1)求直线AB的一般式方程；(2)在下列两个条件中任选一个，求直线AC的一般式方程.角 A 的平分线所在直线方程为2130 xy；BC边上的中线所在的直线方程为250 xy.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）第 4 页 共 4 页19已知ABC的三顶点坐标为101232ABC，求(1)ABC的外接圆C的方程;(2)过点3 2P，作圆C的切线，求切线方程.20已知椭圆C的长轴长为10，两焦点12,F F的坐标分别为3,0和3,0（1）求椭圆的标准方程；（2）若P为椭圆C上一点，2PFx轴，求12FPF的面积21 如图
9、，在三棱台111ABCABC中，90,4BACABAC，111112A AABAC，侧棱1A A 平面 ABC，点 D 是棱1CC的中点.(1)证明：1BB 平面 AB1C；(2)求平面 BCD 与平面 ABD 的夹角的余弦值.22在平面直角坐标系 xOy 中，动圆 P 与圆1C：2245204xyx内切，且与圆2C：223204xyx外切，记动圆 P 的圆心的轨迹为 E(1)求轨迹 E 的方程；(2)过圆心2C的直线交轨迹 E 于 A，B 两个不同的点，过圆心1C的直线交轨迹 E 于 D，G 两个不同的点，且ABDG，求四边形 ADBG 面积的最小值答案第 1页，共 12页20222023
10、学年上学期五校联考期中测试卷参考答案：1B【分析】根据空间向量线性运算求解即可.【详解】连接1AD，如图所示：111BDADABAAADABcba .故选：B2C【分析】根据题意，设bka，即2,1,31,2,9xky，即可求得x、y的值【详解】因为向量2,1,3ax，1,2,9by，且/a b，则设bka，即2,1,31,2,9xky，则有13k，则123x，1123y，解得16x，32y ，故选：C3B【分析】由两直线互相垂直，直接列方程求解即可.【详解】因为直线1:70lxmy和直线2:2320lmxym互相垂直，所以230mm，解得1=2m，故选：B4A【分析】运用配方法，结合圆的标准
11、方程的特征进行求解即可.【详解】由2260 xyxm，得22390 xym，则9m.故选：A5B【分析】利用圆的弦长、弦心距、半径关系，以及点线距离公式列方程求 k 值.【详解】由题设(0,0)C且半径2r，弦长2AB，所以C到2ykx的距离22|()12ABdr，答案第 2页，共 12页即2211k，可得3k .故选：B6C【分析】本题通过利用椭圆定义得到1226MFMFa，借助基本不等式212122MFMFMFMF即可得到答案【详解】由题，229,4ab，则1226MFMFa，所以2121292MFMFMFMF（当且仅当123MFMF时，等号成立）故选：C【点睛】7C【分析】将221mn转
12、化为两点距离，即可求解【详解】解：22(1)mn表示点(1,0)与点(,)m n的距离，且点(1,0)在直线外则22(1)mn的最小值为点(1,0)到直线34130 xy的距离，即22|313|234，故22(1)mn的最小值为 2故选：C8C【分析】利用向量的叉乘的定义逐项分析即得.【详解】解法一：1AA同时与AB，AD垂直；1AA，AB，AD三个向量构成右手系，且1sin,2 2 sin9043ABADAB ADAB ADAA uuu r uuuruuu r uuuruuu r uuuruuur，所以选项 A 错误；根据右手系知：ABAD 与ADAB 反向，所以ABADADAB ，故选项
13、B 错误；因为112 23 sin906 2ABADAADBBB uuu ruuuruuuruuu ruuur，且11DBBBBDBB uuu ruuuruuu ruuur与CA 同向共线；又因为12 3 sin906ABAA uuu ruuur，且1ABAA 与DA 同向共线，答案第 3页，共 12页12 3 sin906ADAA uuuruuur，1ADAA与DC同向共线，所以116 2ABAAADAAuuu ruuuruuuruuur，且11ABAAADAAuuu ruuuruuuruuur与CA 同向共线，11ABADAAABAAADAAuuu ruuuruuuruuu ruuuruu
14、ur，故选项 C 正确；因为长方体1111ABCDABC D的体积为22 312 又因为由右手系知向量ABAD 方向垂直底面向上，与1C C 反向，所以10ABADC Cuuu ruuuruuuu r，故选项 D 错误；故选：C解法二：如图建立空间直角坐标系：0,2,0AB ，2,0,0AD ，10,0,3AA，则0,0,4ABADuuu ruuur，所以选项 A 错误；10,0,3C C uuuu r，则112ABADC C uuu ruuuruuuu r，故选项 D 错误；0,0,4ADABuuuruuu r，故选项 B 错误；2,2,0ABADDBuuu ruuuruuur，则16,6,
15、0ABADAAuuu ruuuruuur，16,0,0ABAAuuu ruuur，10,6,0ADAAuuuruuur，则116,6,0ABAAADAAuuu ruuuruuuruuur所以111ABADAAABAAADAAuuu ruuuruuuruuu ruuuruuuruuur，故选项 C 正确；故选：C9AC【分析】求出22122xymm表示椭圆时m的取值范围，进而选出答案.【详解】若方程22122xymm表示椭圆，则20,20,22,mmmm，解得：20m 或02m.故1m 与1m 是20m 或02m的充分条件，故选：AC.10CD【分析】根据直线的截距、倾斜角、直线方程等知识确定正
16、确答案.答案第 4页，共 12页【详解】A 选项，直线2yx过点(1,2)P且在x轴，y轴截距相等，所以 A 选项错误.B 选项，直线2ykx在y轴上的截距是2，B 选项错误.C 选项，直线310 xy 的斜率为33，倾斜角为30，C 选项正确.D 选项，过点(5,4)且倾斜角为 90的直线方程为50 x，D 选项正确.故选：CD11AD【分析】A 选项，数量积为 0，则两向量垂直；B 选项，判断出1,1,0不是单位向量，且与AB 不共线；C 选项，利用向量夹角坐标公式进行求解；D 选项，利用数量积为 0，证明出,mAB mBC ，从而得到结论.【详解】2,1,01,2,1220AB AC ，
17、故ABAC，A 正确；1,1,0不是单位向量，且1,1,0与2,1,0AB 不共线，B 错误；2,1,03,1,1555cos,1151155AB BCAB BCABBC ，C 错误；设1,2,5m，则 1,2,52,1,0220m AB ，1,2,53,1,13250m BC ，所以,mAB mBC ，又ABBCB，所以平面ABC的一个法向量是1,2,5，D 正确.故选：AD12ABD【分析】由题意可知260axby过圆心，代入即可得30,ab 作出图象,利用直线与圆的关系依次判断各选项即可求得结果.【详解】圆 M：222430 xyxy配方得：22(1)(2)2xy，圆 M 关于直线260
18、axby对称，直线260axby过圆心1,2M.2260ab,即30,ab 点 P 的轨迹方程为30 xy，A 正确.由2 111 2MQk ，则1MQpQkk，则以 PM 为直径的圆过定点2,1Q，B 正确.答案第 5页，共 12页PM的最小值即为1,2M 到直线30 xy的距离，由于12363 21 12d,则min3 2PMPQ，C 错误.由于2222PAPMAMPM，要使PA取最小，即PM取最小值，min3 2PMPQ,221824PAPQ，则 D 正确.故选：ABD1322240 xyxy【分析】根据AB为直径，得到直径和圆心坐标，然后写方程即可.【详解】因为1,1A，3,3，所以2
19、21 31 32 5AB ，AB中点坐标为1,2，所以以AB为直径的圆的标准方程为22125xy，展开得一般式方程为22240 xyxy.故答案为：22240 xyxy.144【分析】根据椭圆中基本量的关系得到关于 m 的方程，解方程得到 m 的值.【详解】因为椭圆22+=1102xymm的焦点在 x 轴上且焦距为 4，所以24102=2mm，解得=4m.故答案为：4.151或83或2【分析】分别讨论31ll或32ll或3l过1l与2l的交点时，即可求解.【详解】由题意可得，当31ll时，不能构成三角形，此时：21 2a ，解得：1a；当32ll时，不能构成三角形，此时：342a，解得：83a
20、；当3l过1l与2l的交点时，不能构成三角形，此时：联立1l与2l，得2+4=04+3+5=0 xyxy，解得=2=1xy，答案第 6页，共 12页所以1l与2l过点2,1，将2,1代入3l得：(2)2 160a ，解得2a ；综上：当1a 或83或2时，不能构成三角形.故答案为：1或83或2.1623【分析】求出已知的三个平面的法向量，由直线 l 是两个平面20 xy与2+1=0 xz的交线，求出直线的方向向量，再根据线面角的向量求法，可得答案.【详解】因为平面的方程为+1=0 xy z，故其法向量可取为(1,1,1)p ，平面20 xy的法向量可取为(1,1,0)m，平面2+1=0 xz的
21、法向量可取为(2,0,1)n，直线 l 是两个平面20 xy与2+1=0 xz的交线，设其方向向量为(,)s t q，则=0=2=0mstnsq ，令1s，则(1,1,2)，故设直线 l 与平面所成的角为,0,2，则22sin|cos,|3|36ppp ，故答案为：2317(1)111222ADAPAB ；(2)52【分析】（1）根据空间向量基本定理结合空间向量的线性运算即可得解；（2）将AQ用AB，AD，AP 表示，再根据向量数量积的运算律计算即可得解.解：（1）1122BQBCCQADCPADCDDP 11112222ADABAPADADAPAB ；（2）1122AQAPPQAPPCAPP
22、DDC 11112222APADAPABADAPAB ，答案第 7页，共 12页所以2111222AQADAPAB 22212222ADAPABAD APAD ABAB AP 11151 1 12 1 102 1 12222 .18(1)2110 xy(2)答案详见解析【分析】（1）求得直线AB的斜率，进而求得直线AB的一般式方程.（2）若选，先求得A点的坐标，求得B关于直线2130 xy对称点1B的坐标，从而求得直线AC的一般式方程.若选，先求得A点的坐标，根据线段BC的中点在直线250 xy以及C在直线250 xy上求得C点的坐标，从而求得直线AC的一般式方程.解：（1）AB边上的高所在的
23、直线方程为250 xy，斜率为12，所以直线AB的斜率为2，所以直线AB的方程为125yx ，整理得2110 xy.（2）若选，角 A 的平分线所在直线方程为2130 xy，2+11=0=3+213=0=5x yxxyy，故3,5A.设1,B a b是点B关于直线2130 xy的对称点，则11=152+5+1+213=022baab，解得3729,55ab，即137 29,55B，由于137 29,55B是直线AC上的点，所以29525371135ACk，所以直线AC的方程为25311yx，整理得直线AC的一般式方程为211490 xy.若选，BC边上的中线所在的直线方程为250 xy，答案第
24、 8页，共 12页25=0=42+11=0=3xyxx yy，故4,3A.设,C m n，则BC的中点51,22mn在直线250 xy上，即5125022mn，整理得210mn，,C m n在直线250 xy，即250mn，25=0=121=0=3mnmmnn，即1,3C ，所以336415ACk ，所以直线AC的方程为6345yx，整理得直线AC的一般式方程为6590 xy.19(1)222410 xyxy；(2)30 x或3410 xy【分析】（1）设外接圆的一般方程为220 xyDxEyF，代入点坐标，待定系数即得解；（2）分k不存在，存在两种情况讨论，利用圆心到直线距离等于半径，求解即
25、可.解：（1）不妨设外接圆的一般方程为2222+=040 xyDx Ey FDEF，故1+=01+42+=09+4+32+=0D FDE FDE F，解得：=2,=4,=1DEF即ABC的外接圆的方程为：22+2+4+1=0 xyxy（2）由题意，2222+2+4+1=0(1)+(+2)=4xyxyxy故圆心为(1,2)，半径=2r，若切线的斜率不存在，则3=0 x，此时圆心到直线的距离|13|=2=1dr，成立，故3=0 x为圆 C 的切线；若切线的斜率存在，不妨设切线为：2=(3)3+2=0yk xkxyk，圆心到直线的距离：2|+23+2|=2+1kkdk，解得3=4k答案第 9页，共
26、12页故切线方程为：3410 xy 综上，过点3 2P，的圆C的切线方程为：3=0 x或3410 xy 20（1）2212516xy（2）485【解析】（1）根据椭圆的长轴即焦点坐标,可得,a c.由椭圆中满足222abc,即可求得2b,进而得椭圆的标准方程.（2）根据2PFx,可得P点坐标,即可求得12FPF的面积【详解】（1）椭圆C的长轴长为10,两焦点12,F F的坐标分别为3,0和3,0则210,3ac,且222abc，解得25,16ab所以椭圆的标准方程为2212516xy（2）P为椭圆C上一点,2PFx轴所以点P的横坐标为3x,代入椭圆方程可求得点P的纵坐标为165y 不妨设点P在
27、x轴上方,则163,5P所以1 21212F PFPSFFy161485562【点睛】本题考查了椭圆标准方程的求法,椭圆的几何性质简单应用,焦点三角形面积求法,属于基础题.21(1)证明见解析(2)3015【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，可得，根据线面垂直的性质定理以及判定定理，可得，再结合线面垂直判定定理，可得答案.（2）利用等体积法，由三棱锥的体积等于三棱锥，可得答案；（3）建立空间直线坐标系，求两个平面的法向量，利用向量叫夹角公式，根据面面角与法向量夹角的关系，可得答案.解：（1）在平面内，过作，且，答案第 10页，共 12页则，在中，易知，即，平面，平面，且，平面，平面，平面，
28、平面，平面.（2）以点为原点，分别以所在的直线为轴，建立空间直线坐标系，则，由点为的中点，则，在平面中，取，设该平面的法向量，则，即，令，解得，故平面的一个法向量，在平面中，取，设该平面的法向量，答案第 11页，共 12页则，即，令，解得，故平面的一个法向量，则，故平面 BCD 与平面 ABD 的夹角的余弦值为.22(1)22143xy；(2)28849【分析】（1）根据两圆内切和外切列出圆心距与半径的关系，即可发现圆心 P 的轨迹满足椭圆的定义，进而可求出方程；（2）当直线 AB 的斜率不存在，或为 0 时，可直接由已知得出四边形 ADBG 面积；当直线 AB 的斜斜率存在且不为 0 时，设
29、出直线 AB 的方程，与联立椭圆联立，通过韦达定理与弦长公式得出AB与直线 AB 的斜率的关系，再由ABDG，得出直线 DG 的斜率与直线 AB 的斜率的关系，设出直线 DG 的方程，同理得出DG与直线 AB 的斜率的关系，即可列出四边形 ADBG 面积的式子，再通过基本不等式的应用得出最小值.解：（1）设动圆 P 的半径为 R，圆心 P 的坐标为,x y，由题意可知：圆1C的圆心为11,0C，半径为72；圆2C的圆心为21,0C，半径为12，动圆 P 与圆1C内切，且与圆2C外切，127=21=+2PCRPCR，则1212+=4=2PCPCC C动圆 P 的圆心的轨迹 E 是以1C，2C为焦
30、点的椭圆，设其方程为：222210 xyabab，其中24a，22c，2=2a，23b，即轨迹 E 的方程为：22143xy.答案第 12页，共 12页（2）当直线 AB 的斜率不存在，或为 0 时，四边形 ADBG 面积12S 长轴长通径长212262baa，当斜率存在且不为 0 时，设直线 AB 的方程为10yk xk，11,A x y，22,B xy，由22=1+=143y k xxy可得：22224384120kxk xk，2122843kxxk，21 2241243kx xk，22221211 1114ABkxxkxxx x，22222222121841214434343kkkkkkk ABDG，1DGkk，同理可得：2212134kDGk，ABDG，四边形 ADBG 面积22222222121121721112243344334kkkSABDGkkkk，则222222222721721288649433443342kkSkkkk 等号当且仅当224334kk时取，即1k 时，min28849S.
