1、上海长宁高一数学下册期末考试试卷（含解析） - 1 - / 13 上海市长宁区-2019 学年高一数学下学期期末考试试题（含解析） 一、填空题（本大题共一、填空题（本大题共 1010 小题，每小题小题，每小题 3 3 分，共分，共 3030 分）分） 1.函数的值域是_. 【答案】 【解析】 【分析】 根据反正弦函数定义得结果 【详解】由反正弦函数定义得函数的值域是 【点睛】本题考查反正弦函数定义，考查基本分析求解能力，属基础题 2.在等差数列中，当最大时，的值是_. 【答案】6 或 7 【解析】 分析】 利用等差数列的前项和公式，由，可以得到和公差的关系，利用二次函数的性 质可以求出最大时，
2、的值. 【详解】设等差数列的公差为， ， ， 所以 ， 因为，所以当或时，有最大值， 因此当的值是 6 或 7. 【点睛】本题考查了等差数列前项和公式，考查了等差数列的前项和最大值问题，运用 上海长宁高一数学下册期末考试试卷（含解析） - 2 - / 13 二次函数的性质是解题的关键. 3.若，则_. 【答案】， 【解析】 【分析】 根据特殊角的三角函数值求解三角方程 【详解】因为 【点睛】本题考查解简单三角方程，考查基本分析求解能力，属基础题 4.在扇形中，如果圆心角所对弧长等于半径，那么这个圆心角的弧度数为_. 【答案】1 【解析】 【分析】 根据弧长公式求解 【详解】因为圆心角所对弧长等
3、于半径，所以 【点睛】本题考查弧长公式，考查基本求解能力，属基础题 5.由于坚持经济改革，我国国民经济继续保持了较稳定的增长.某厂 2019 年的产值是 100 万 元，计划每年产值都比上一年增加，从 2019 年到 2022 年的总产值为_万元（精确 到万元）. 【答案】464 【解析】 【分析】 根据等比数列求和公式求解 【详解】由题意得从 2019 年到 2022 年各年产值构成以 100 为首项，1.1 为公比的等比数列， 其和为 上海长宁高一数学下册期末考试试卷（含解析） - 3 - / 13 【点睛】本题考查等比数列应用以及等比数列求和公式，考查基本分析求解能力，属基础题 6.设数
4、列是等差数列，则此数列前 20 项和等于 _. 【答案】180 【解析】 【分析】 根据条件解得公差与首项，再代入等差数列求和公式得结果 【详解】因为，所以 ， 【点睛】本题考查等差数列通项公式以及求和公式，考查基本分析求解能力，属基础题 7.在中， 角， ，所对的边分别为， ， ， 若， 则角最大值为_. 【答案】 【解析】 【分析】 根据余弦定理列式，再根据基本不等式求最值 【详解】因为 所以角最大值为 【点睛】本题考查余弦定理以及利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属中档题 8.（理）已知函数，若对恒成立，则 的 取值范围为 【答案】 【解析】 上海长宁高一数学下册期末考试试卷（
5、含解析） - 4 - / 13 试题分析：函数要使对 恒成立，只要小于或等于的最小值即可，的最小值是 0，即只需满足 ，解得. 考点：恒成立问题. 9.若数列满足（，为常数） ，则称数列为“调和数列”，已 知正项数列为“调和数列”，且，则的最大值是_ 【答案】100 【解析】 因为数列是“调和数列”，所以，即数列是等差数列，所以 ，所以， 当且仅当时等号成立，因此的最大值为 100 点睛： 本题考查创新意识， 关键是对新定义的理解与转化， 由“调和数列”的定义及已知 是“调和数列”，得数列是等差数列，从而利用等差数列的性质可化简已知数列的和， 结合基本不等式求得最值本题难度不大，但考查的知识较
6、多，要熟练掌握各方面的知识与 方法，才能正确求解 10.在直角坐标系中，已知任意角以坐标原点为顶点，以轴的非负半轴为始边，若 其终边经过点， 且， 定义：， 称“”为“ 的正余弦函数”，若，则_ 【答案】 上海长宁高一数学下册期末考试试卷（含解析） - 5 - / 13 【解析】 试题分析：根据正余弦函数定义，令，则可以得出， 即. 可 以 得 出， 解 得，. 那 么 ， ，所以故本题正确答案 为. 考点：三角函数的概念. 二、选择题（本大题共二、选择题（本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 3 3 分，共分，共 1212 分分. .在毎小题给出的四个选项中，只有一在毎小题给出的四个选
7、项中，只有一 项是符合题目要求的）项是符合题目要求的） 11.“”是“”成立的（） A. 充分非必要条件. B. 必要非充分条件. C. 充要条件. D. 既非充分又非必要条件. 【答案】A 【解析】 【分析】 依次分析充分性与必要性是否成立. 【详解】时，而时不一定成立，所以“”是 “”成立的充分非必要条件，选 A. 【点睛】本题考查充要关系判定，考查基本分析判断能力，属基础题 12.公比为 2 的等比数列的各项都是正数，且，则（） A. 8 B. 2 C. 4 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】 上海长宁高一数学下册期末考试试卷（含解析） - 6 - / 13 根据条件解得首项，再求
8、 【详解】因为，所以，选 D. 【点睛】本题考查等比数列通项公式中基本量，考查基本分析求解能力，属基础题 13.用数学归纳法证明的过程中，设 ，从递推到时，不等式左边为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 比较与时不等式左边的项，即可得到结果 【详解】 因此不等式左边为，选 C. 【点睛】本题考查数学归纳法，考查基本分析判断能力，属基础题 14.如图，函数的图像是（） A. B. 上海长宁高一数学下册期末考试试卷（含解析） - 7 - / 13 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 取特殊值，即可进行比较判断选择 【详解】因为，所以舍去 D; 因为，所以舍去 A;
9、 因为 ，所以舍去 B;选 C. 【点睛】本题考查图象识别，考查基本分析判断能力，属基础题 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 6 个题，满分个题，满分 5858 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.如图，某人在离地面高度为的地方，测得电视塔底的俯角为，塔顶的仰角为， 求电视塔的高.（精确到） 【答案】 【解析】 【分析】 过作的垂线，垂足为，再利用直角三角形与正弦定理求解 【详解】解：设人的位置为，塔底为，塔顶为， 过作的垂线，垂足为， 则， 上海长宁高一数学下册期末考试试卷（含解析） - 8 - / 13 ， 所以，
10、答：电视塔的高为约. 【点睛】本题考查利用正弦定理测量高度，考查基本分析求解能力，属基础题 16.已知数列的通项公式为. （1）求这个数列的第 10 项； （2）在区间内是否存在数列中的项？若有，有几项？若没有，请说明理由. 【答案】 （1）（2）只有一项 【解析】 【分析】 （1）根据通项公式直接求解（2）根据条件列不等式，解得结果 【详解】解： （1）； （2）解不等式得， 因为为正整数，所以，因此在区间内只有一项. 【点睛】本题考查数列通项公式及其应用，考查基本分析求解能力，属基础题 17.已知函数（其中，）的最小正周期为. （1）求的值； （2）如果，且，求的值. 上海长宁高一数学下册
11、期末考试试卷（含解析） - 9 - / 13 【答案】 （1）（2） 【解析】 分析】 （1）先根据二倍角余弦公式化简，再根据余弦函数性质求解（2）先求得， 再根据两角差余弦公式求解 【详解】解： （1）因为. 所以， 因为，所以. （2）由（1）可知， 所以，因为， 所以，所以. 因为 . 所以. 【点睛】本题考查二倍角余弦公式、两角差余弦公式以及余弦函数性质，考查基本分析求解 能力，属基础题 上海长宁高一数学下册期末考试试卷（含解析） - 10 - / 13 18.已知数列满足关系式，. （1）用表示，； （2）根据上面的结果猜想用和表示的表达式，并用数学归纳法证之. 【答案】 （1），（
12、2）猜想：，证明 见解析 【解析】 【分析】 （1）根据递推关系依次代入求解， （2）根据规律猜想，再利用数学归纳法证明 【详解】解： （1），； （2）猜想：. 证明：当时，结论显然成立； 假设时结论成立，即， 则时，即时结论成立. 综上，对时结论成立. 【点睛】本题考查归纳猜想与数学归纳法证明，考查基本分析论证能力，属基础题 19.在锐角中，角所对的边分别为，已知， （1）求角的大小； （2）求的面积 上海长宁高一数学下册期末考试试卷（含解析） - 11 - / 13 【答案】 （1）； （2） 【解析】 试题分析： （1）先由正弦定理求得与的关系，然后结合已知等式求得的值， 从而求得的值
13、； （2）先由余弦定理求得的值，从而由的范围取舍的值，进而由面 积公式求解 试题解析： （1）在中，由正弦定理，得，即 . 又因为，所以. 因为为锐角三角形，所以. （2）在中，由余弦定理，得，即. 解得或. 当时，因为，所以角为钝角，不符合题意，舍去.当 时， 因为， 又， 所以 为锐角三角形，符合题意.所以的面积. 考点：1、正余弦定理；2、三角形面积公式 20.已知数列前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）已知，记（且） ，是否存在这样的常 数，使得数列是常数列，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； 上海长宁高一数学下册期末考试试卷（含解析） - 12 - / 13 （3
14、） 若数列， 对于任意的正整数， 均有 成立，求证：数列是等差数列. 【答案】 （1）（2）（3）见解析 【解析】 【分析】 （1）根据和项与通项关系得，再根据等比数列定义与通项公式求解（2）先化简， 再根据恒成立思想求的值（3）根据和项得 ，再作差得，最后根据等差数 列定义证明. 【详解】 （1），所以， 由得时， 两式相减得， 数列是以 2 为首项，公比为的等比数列，所以. （2）若数列是常数列， 为常数. 只有，解得， 此时. （3） ，其中，所以， 上海长宁高一数学下册期末考试试卷（含解析） - 13 - / 13 当时， 式两边同时乘以得， 式减去得，所以， 因为， 所以数列是以为首项，公差为的等差数列. 【点睛】本题考查利用和项求通项、等差数列定义以及利用恒成立思想求参数，考查基本分 析论证与求解能力，属中档题
