1、4 二重积分的变量交换二重积分的变量交换教学重点：教学重点：二重积分的变量变换（主要为线性变换，二重积分的变量变换（主要为线性变换，（广义）极坐标变换）（广义）极坐标变换）教学内容教学内容：1.二重积分的变量替换公式二重积分的变量替换公式 2.二重积分的一般变量变换二重积分的一般变量变换 3.二重积分的极坐标变换二重积分的极坐标变换教学难点：教学难点：变量变换后积分限的确定变量变换后积分限的确定 一、二重积分的变量交换公式一、二重积分的变量交换公式1.引理：引理：.),()(;0),(),(),()2(),(),()1(),(),(:dudvvuJDDvuyxvuJvuyvuxDxoyuovv
2、uyyvuxxT的面积则区域上雅可比式在；上具有一阶连续偏导数在，且满足闭区域平面上的映成，一对一地围的闭区域由按段光滑封闭曲线所平面上将变换.),(),(),(),(;0),(),(),()2(),(),()1(),(),(:),(13.21dudvvuJvuyvuxfdxdyyxfvuyxvuJvuyvuxDxoyuovvuyyvuxxTDxoyyxfD则有上雅可比式在；上具有一阶连续偏导数在，且满足平面上的闭区域地映成一一曲线所围成的闭区域平面上由按段光滑封闭将上可积，变换平面上的有界闭区域在设定理2.二重积分的变量替换公式：二重积分的变量替换公式：x,y的范围的范围u,v的范围的范围要
3、加绝对值要加绝对值3.利用一般变量替换求二重积分利用一般变量替换求二重积分步骤：步骤：根据题目的特点(区域及被积函数)确定变换;),(),(vuyyvuxx习惯上：设),(),(),()2(vuyxvuJ求出有两种办法求若是设Jyxvvyxuu),(),(Jvuyyvuxxi，再求先求出),(),()(),(),(1,),(),()(yxvuJyxvuii再求先求出(3)在变换下确定u,v的范围;的边界曲线的边界曲线中，求出把变换代入D作图(4)代入变换替换公式，化为关于u,v的二重积分;(5)用2求二重积分的方法求出其值。题型一：引入变量替换后，化为累次积分题型一：引入变量替换后，化为累次积
4、分例例1：P242习题习题3（2）.cossin4)sin,cos(3344vdudvvuvuvuf原式20,0:vau例例2 2所围成的闭区域和直线、由是其中计算100,yxyxDdxdyeDyxyxDxyo1 yxuvovu vu 1v题型二：作适当的变量替换，计算二重积分题型二：作适当的变量替换，计算二重积分11例例3 3)0,0)(,22nmDDxyxynxymxy的面积所围区域和直线求抛物线Oxymxy 2nxy 2xyxy二、用极坐标计算二重积分二、用极坐标计算二重积分1.变换变换sin,cos:ryrxT变换20,0 rxOPr轴正向的夹角与为为极径，其中.OxyP(x,y)rr
5、rJ),(此时2.适用范围适用范围(1)D为圆域或圆域的一部分；形式。被积函数含22)2(yx iiiiiirrr 2221)(21iiiirrr )2(21iiiiirrrr 2)(,iiirr .)sin,cos(),(DDdrdrrrfdxdyyxfiAoDirr iirrriii3.变换公式变换公式二重积分化为二次积分的公式二重积分化为二次积分的公式.)sin,cos()()(21 rdrrrfd Drdrdrrf )sin,cos(区域特征如图区域特征如图,).()(21 r ADo)(1 r)(2 r二重积分化为二次积分的公式（）二重积分化为二次积分的公式（）3.D的确定的确定把极
6、坐标代入边界得出把极坐标代入边界得出D的边界的边界.)sin,cos()(0 rdrrrfd二重积分化为二次积分的公式（）二重积分化为二次积分的公式（）区域特征如图区域特征如图,).(0 r Drdrdrrf )sin,cos(AoD)(r常见区域常见区域D的确定的确定)(2:)1(22如图RxyxDxOy2RRcos22Rrr cos20,22:RrD)(2:)2(22如图RyyxDsin22Rrr sin20,0:RrDOxy2RR Drdrdrrf )sin,cos(.)sin,cos()(020 rdrrrfd极坐标系下区域的面积极坐标系下区域的面积.Drdrd 二重积分化为二次积分的
7、公式（）二重积分化为二次积分的公式（）区域特征如图区域特征如图).(0 rDoA)(r,2 0常见区域常见区域D的确定的确定)(:)3(222如图RyxDxyORR22Rr RrD0,20:题型一：引入极坐标变量替换后，化为累次积分题型一：引入极坐标变量替换后，化为累次积分例例4：P242习题习题1（2）xO1sin0,20:rD2arcsin,10:rrDy例例 5 5 写写出出积积分分 Ddxdyyxf),(的的极极坐坐标标二二次次积积分分形形式式，其其中中积积分分区区域域,11|),(2xyxyxD 10 x.1 yx122 yx练习：练习：P242习题习题1（1）。为圆域：其中1,12222yxDyxdID例例6 6例例7 7。为维维安尼体）所割下部分的体积（称被圆柱面求球面下RxyxRzyx222222drrrdyxdID102202211DdyxRV2224drrrRdRcos022204cos0,20:RrD例例 8 8 计算计算dxdyeDyx 22，其中，其中 D 是由中心是由中心在原点，半径为在原点，半径为a的圆周所围成的闭区域的圆周所围成的闭区域.例例 9 9 求求广广义义积积分分 02dxex.S1D2D)1(222aDyxedxdyedxdyeDyx122dxdyeSyx22dxdyeDyx22220)(2dxeax)1(4122ae)1(412ae2
