1、江苏省南京市秦淮区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）1.已知x=2是关于x的一元二次方程x2x2a=0的一个解，则a的值为（）A. 0B. 1C. 1D. 2【答案】C【解析】试题分析：把方程的解代入方程，可以求出字母系数a的值x=2是方程的解，422a=0,a=1故本题选C【考点】一元二次方程的解；一元二次方程的定义2.连续二次抛掷一枚硬币，二次正面朝上的概率是（）A. 1B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】运用列举法，把所有的可能都列举出来，注意按顺序列举出所有可能，即可得出答案【详解】如图所示，正反正正正正反反反正反反所有的可能为：正正，正
2、反，反正，反反；第一次正面朝上，第二次也正面朝上的概率是：，故选B【点睛】此题主要考查了用列举法求概率，只要按顺序，依次列举出所有可能是解决问题的关键3.抛物线y=2x2+1向右平移1个单位，再向下平移1个单位，所得到的抛物线是（）A. y=2（x1）2+3B. y=2（x+1）23C. y=2（x1）21D. y=3（x1）2+1【答案】C【解析】【分析】根据“上加下减，左加右减”的法则进行解答即可【详解】根据“上加下减，左加右减”的法则可知，抛物线y=2x2+1向右平移1个单位，再向下平移1个单位，所得到的抛物线是y=2（x-1）2-1故选C【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟
3、知函数图象平移的法则是解答此题的关键4.如图，O中，直径CD=10cm，弦ABCD于点M，OM：MD=3：2，则AB的长是（）A. 4cmB. 5cmC. 6cmD. 8cm【答案】D【解析】【分析】连接OA，由垂径定理得出AM=BM=AB，由已知条件得出OA=OD=5cm，OM=3cm，由勾股定理求出AM，即可得出结果【详解】连接OA，如图所示：ABCD，OMA=90，AM=BM=AB，CD=10cm，OM：MD=3：2，OA=OD=5cm，OM=3cm，AM=4（cm），AB=2AM=8cm故选D【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理；熟练掌握垂径定理，由勾股定理求出AM是解决问题的突破口5
4、.已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，有下列结论：a、b同号；当x=1和x=3时，函数值相等；4a+b=0；当1x5时，y0其中正确的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】由图象可知：a0，b0，c0，错误；直线x=1和x=3关于对称轴x=2对称，所以当x=1和x=3时，函数值相等，正确；根据图象可知：，即可得4a+b=0，正确；根据图象可知：抛物线与x轴的一个交点坐标为（-1，0），对称轴为x=2，根据二次函数的对称性可得抛物线与x轴的另一个交点坐标为（5，0），当-1x5时，抛物线位于x轴的下方，即y0，正确所以正确的有3个，故选C.点睛：本题
5、考查二次函数=ax2+bx+c（a0）图象与二次函数系数之间的关系： 二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小当a0时，抛物线向上开口；当a0时，抛物线向下开口一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置 当a与b同号时（即ab0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab0），对称轴在y轴右（简称：左同右异）常数项c决定抛物线与y轴交点 抛物线与y轴交于（0，c）抛物线与x轴交点个数=b2-4ac0时，抛物线与x轴有2个交点；=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；=b2-4ac0时，抛物线与x轴没有交点6.如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点P、Q同时从点A出发，以1cm/s的速
6、度分别沿ABC和ADC的路径向点C运动，设运动时间为x（单位：s），四边形PBDQ的面积为y（单位：cm2），则y与x（0x8）之间函数关系可以用图象表示为A. B. C. D. 【答案】B【解析】0x4时，y=SABDSAPQ=44xx=x2+8，4x8时，y=SBCDSCPQ=44（8x）（8x）=（8x）2+8，y与x之间的函数关系可以用两段开口向下的二次函数图象表示，纵观各选项，只有B选项图象符合故选B二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）7.已知，则=_.【答案】4【解析】【分析】根据比例的性质，可用y表示x，根据等式的性质，可得答案【详解】x=y=4，故答案为4【点睛
7、】本题考查了比例的性质，利用比例的性质是解题关键8.已知方程x2+mx3=0一个根是1，则它的另一个根是_【答案】-3【解析】设另一根为，则1= -3 ，解得，=3，故答案为39.实验中学规定学生学期的数学成绩满分为120分，其中平时成绩占20%，期中考试成绩占30%，期末考试成绩占50%，王玲的三项成绩依次是100分，90分，106分，那么王玲这学期的数学成绩为_分【答案】100【解析】【分析】利用加权平均数的公式直接计算用95分，90分，85分别乘以它们的百分比，再求和即可【详解】小惠这学期的体育成绩=9520%+9030%+8550%=88.5（分）故答案为88.5【点睛】此题考查了加权
8、平均数，掌握加权平均数计算公式是本题的关键，是一道常考题10.据有关测定，当气温处于人体正常体温的黄金比值时人体感到最舒适因此夏天使用空调时，如果人的体温按36.5度算，那么室内温度约调到_最适合（结果保留到个位数字）【答案】23【解析】【分析】利用黄金分割的定义用36.5C乘以0.618即可【详解】36.5C0.61823C所以如果人的体温按36.5度算，那么室内温度约调到23最适合故答案为23【点睛】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（ACBC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点其中AC=AB
9、0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个11.如图，AB是O的直径，C、D是O上的两点，若ABD62，则BCD_【答案】28【解析】AB是O的直径，ACB=90，ABD=62，ACD=ABD=62，BCD=ACB-ACD=28故答案为28点睛：本题考查圆周角定理的推论：同弧或等弧所对的圆周角相等；半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径12.用一张半径为24cm的扇形纸片做一个如图所示的圆锥形小丑帽子侧面（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形小丑帽子的底面半径为10cm，那么这张扇形纸片的面积是_ cm2【答案】120C【解析】试题分析：圆锥的底面周长为20，扇形纸片的面
10、积=2024=240cm2故答案为240考点：圆锥的计算13.抛物线的部分图象如图所示，则当y0时，x的取值范围是_【答案】或【解析】试题分析：根据二次函数的对称性可得：函数与x轴的交点坐标为(1，0)和(3，0)，则当x3时，y0.考点：二次函数的性质14.如表是二次函数y=ax2+bx+c（a0）的自变量x与函数值y的对应关系，一元二次方程ax2+bx+c=（a0）的一个解x的取值范围是_ x6.16.26.36.4y=ax2+bx+c0.30.10.20.4【答案】6.3x6.4【解析】【详解】由表格中的数据看出0.2和0.4更接近于0.3，故一元二次方程ax2+bx+c=（a0）的一个
11、解x的取值范围是6.3x6.4故答案为6.3x6.415.如图是一座抛物形拱桥，当水面的宽为12m时，拱顶离水面4m，当水面下降3m时，水面的宽为_m【答案】6 【解析】【分析】根据题意可以建立相应的平面直角坐标系，从而可以求得抛物线的解析式，进而求得当水面下降3m时，水面的宽【详解】如图：根据题意建以现有水面为x轴，拱桥顶点为为抛物线顶点建立直角坐标系， 所以顶点C（0，4），B（6，0），设抛物线方程为y=ax2+4,把B（6，0）代入得：36a+4=0，解得：a=- ，抛物线方程为：y=-x2+4，水面下降3米为-3，代入方程得：-3=x2+4，解得：x= （负值舍去）， 2=6.故答案
12、为6【点睛】本题考查二次函数的应用，建立合适的平面直角坐标系，求出相应的函数解析式，利用二次函数的性质解答是解题关键16.如图，在正方形ABCD内有一折线段，其中AE丄EF，EF丄FC，并且AE=3，EF=4，FC=5，则正方形ABCD外接圆的半径是_【答案】【解析】分析：本题利用三角形相似的判定和性质、勾股定理求出直径，近而求出半径即可.解析：连接AC交EF与点O，AE丄EF，EF丄FC， 由勾股定理得，AO= ,OC= ,AC=半径为.故答案为.点睛：本题的关键是辅助线的做法，连接对角线构造的相似三角形和直角三角形，问题得以解决.三、解答题（本大题共11小题，共88分）17.解下列方程：（
13、1）x24x1=0（2）x（2x3）=32x【答案】（1）x1=2+，x2=2；（2）x1=1.5，x2=1【解析】【分析】（1）方程利用配方法求出解即可；（2）方程整理后，利用因式分解法求出解即可【详解】（1）方程整理得：x24x=1，配方得：x24x+4=5，即（x2）2=5，开方得：x2=，解得：x1=2+，x2=2；（2）方程整理得：x（2x3）+（2x3）=0，分解因式得：（2x3）（x+1）=0，解得：x1=1.5，x2=1【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，以及因式分解法，熟练掌握各种解法是解本题的关键18.中国经济的快速发展让众多国家感受到了威胁，随着钓鱼岛事件、南海危机
14、、萨德入韩等一系列事件的发生，国家安全一再受到威胁，所谓“国家兴亡，匹夫有责”，某校积极开展国防知识教育，九年级甲、乙两班分别选5名同学参加“国防知识”比赛，其预赛成绩如图所示：（1）根据上图填写下表： 平均数 中位数 众数 方差 甲班 8.5 8.5 乙班 8.5 10 1.6（2）根据上表数据，分别从平均数、中位数、众数、方差的角度分析哪个班的成绩较好【答案】 (1). 8.5 (2). 0.7 (3). 8【解析】分析：（1）根据“中位数”、“众数”的定义及“方差”的计算公式结合统计图中的数据进行分析计算即可；（2）按照题中要求，分别根据平均数、中位数、众数、方差的意义进行说明即可.详解
15、：甲的众数为：，方差为： ，乙的中位数是：8；故答案为；从平均数看，两班平均数相同，则甲、乙两班的成绩一样好；从中位数看，甲班的中位数大，所以甲班的成绩较好；从众数看，乙班的众数大，所以乙班的成绩较好；从方差看，甲班的方差小，所以甲班的成绩更稳定点睛：理解“平均数、中位数、众数、方差的意义和计算方法”是正确解答本题的关键.19.不透明布袋内装有形状、大小、质地完全相同的4个小球，分别标有数字1，2，3，4(1)从布袋中随机地取出一个小球，求小球上所标的数字不为2的概率；(2)从布袋中随机地取出一个小球，记录小球上所标的数字为x，不将取出的小球放回布袋，再随机地取出一个小球，记录小球上所标的数字
16、为y，这样就确定点E的一个坐标为（x，y），求点E落在直线y=x+1上的概率【答案】(1)；(2). 【解析】【分析】（1）让不是2的情况数除以总情况数即为小球上所标的数字不为2的概率；（2）列举出所有情况，看点E落在直线y=x+1上的情况数占所有情况数的多少即可【详解】(1)P= (2)如图，满足条件的点有：（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），共12个， 其中落在直线y=x+1上的有（1，2），（2，3），（3，4）三个， P=【点睛】考查用列树状图的方法解决概率问题；得到点E落在直线
17、y=x+1上的情况数是解决本题的关键；用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比.20.如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点间连线为边的三角形称为“格点三角形”，图中的ABC就是格点三角形，建立如图所示的平面直角坐标系，点C的坐标为（0，1）（1）在如图的方格纸中把ABC以点O为位似中心扩大，使放大前后的位似比为1：2，画出A1B1C1（ABC与A1B1C1在位似中心O点的两侧，A，B，C的对应点分别是A1，B1，C1）（2）利用方格纸标出A1B1C1外接圆的圆心P，P点坐标是 ，P的半径= （保留根号）【答案】（1）作图见解析；（2）（3，1）， 【解析】【详解
18、】（1）如图，A1B1C1为所作；（2）点P的坐标为（3，1），PA1= ，即P的半径为 故答案为（3，1）；21.已知二次函数y=ax2bx3的图象经过点A（2，3），B（1，0） （1）求二次函数的解析式；（2）填空：要使该二次函数的图象与x轴只有一个交点，应把图象沿y轴向上平移 个单位【答案】（1）（2）4【解析】解：(1)由已知，有，即，解得所求的二次函数的解析式为. 6分(2) 4 2分22.如图，在等边ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且APD=60，BP=1，CD=（1）求证：ABPPCD；（2）求ABC的边长【答案】（1)证明见解析；（2）3.【解析】【分析】（1）根据
19、等边三角形性质求出AB=BC=AC，B=C=60，推出BAP=DPC，即可得出结论；（2）与相似三角形的性质得出比例式，代入求出AB即可【详解】（1）ABC是等边三角形，AB=BC=AC，B=C=60，BAP+APB=18060=120，APD=60，APB+DPC=18060=120，BAP=DPC，即B=C，BAP=DPC，ABPPCD；（2）解：ABPPCD，,CD=，CP=BCBP=x1，BP=1，即，解得：AB=3即ABC的边长为3【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，关键是推出ABPPCD，主要考查了学生的推理能力和计算能力23.某学
20、习小组在研究函数y=x32x的图象与性质时，已列表、描点并画出了图象的一部分x43.532101233.54y0（1）请补全函数图象；（2）方程x32x=2实数根的个数为 ；（3）观察图象，写出该函数的两条性质【答案】（1）作图见解析；（2）3；（3）性质见解析【解析】试题分析：（1）用光滑的曲线连接即可得出结论；（2）根据函数y=x3-2x和直线y=-2的交点的个数即可得出结论；（3）根据函数图象即可得出结论试题解析：（1）补全函数图象如图所示，（2）如图1，作出直线y=-2的图象，由图象知，函数y=x3-2x的图象和直线y=-2有三个交点，方程x3-2x=-2实数根的个数为3，（3）由图象
21、知，1、此函数在实数范围内既没有最大值，也没有最小值，2、此函数在x-2和x2，y随x的增大而增大，3、此函数图象过原点，4、此函数图象关于原点对称【点睛】本题考查了二次函数性质、二次函数的图象、图象法求一元二次方程的近似根等，根据题意正确作出函数的图象是解题的关键24.如图，身高1.6米的小明站在距路灯底部O点10米的点A处，他的身高（线段AB）在路灯下的影子为线段AM，已知路灯灯杆OQ垂直于路面（1）在OQ上画出表示路灯灯泡位置的点P；（2）小明沿AO方向前进到点C，请画出此时表示小明影子的线段CN；（3）若AM=2.5米，求路灯灯泡P到地面的距离【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
22、8米【解析】【试题分析】（1）点B在地面上的投影为M故连接MB，并延长交OP于点P.点P即为所求；（2）连接PD，并延长交OM于点N.CN即为所求；（3）根据相似三角形的性质，易得：，即，解得从而得求.【试题解析】如图： 如图： ，即，解得即路灯灯泡P到地面的距离是8米【方法点睛】本题目是一道关于中心投影的问题，涉及到如何确定点光源，相似三角形的判定，相似三角形的性质，难度中等.25.某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个20元，市场调查发现，该种健身球每天的销售量y（个）与销售单价x（元）有如下关系：y=2x+80（20x40），设这种健身球每天的销售利润为w元（1）求w与x之间
23、的函数关系式；（2）该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？（3）如果物价部门规定这种健身球的销售单价不高于28元，该商店销售这种健身球每天要获得150元的销售利润，销售单价应定为多少元？【答案】（1）w与x的函数关系式为w=-2x2+120x-1600.（2）销售单价定为30元时,每天销售利润最大,最大销售利润200元.（3）该商店销售这种健身球每天想要获得150元的销售利润,销售单价定为25元.【解析】试题分析：（1）用每件的利润乘以销售量即可得到每天的销售利润，即然后化为一般式即可；（2）把（1）中的解析式进行配方得到顶点式 然后根据二次函数的最值问题求解；
24、（3）求函数值为150所对应的自变量的值，即解方程然后利用销售价不高于每件28元确定的值试题解析：（1）根据题意可得：,，与之间的函数关系为：； （2）根据题意可得：，当时，有最大值，最大值为200.答：销售单价定为30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元. （3）当时，可得方程.解得，不符合题意，应舍去.答：该商店销售这种健身球每天想要获得150元的销售利润，销售单价定为25元.26.如图，AB为O的直径，PD切O于点C，与BA的延长线交于点D，DEPO交PO延长线于点E，连接PB，EDB=EPB（1）求证：PB是O的切线（2）若PB=3，DB=4，求DE的长【答案】（1）证明见解析
25、；（2）.【解析】【分析】（1）由已知角相等，及对顶角相等得到三角形DOE与三角形POB相似，利用相似三角形对应角相等得到OBP为直角，即可得证；（2）在直角三角形PBD中，由PB与DB的长，利用勾股定理求出PD的长，由切线长定理得到PC=PB，由PD-PC求出CD的长，在直角三角形OCD中，设OC=r，则有OD=8-r，利用勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解得到r的值，然后通过相似三角形的性质即可得到结论【详解】（1）在DEO和PBO中，EDB=EPB，DOE=POB，OBP=E=90，OB为圆的半径，PB为圆O的切线；（2）解：在RtPBD中，PB=3，DB=4，根据勾股定理得：PD=
26、5，PD与PB都为圆的切线，PC=PB=3，DC=PDPC=53=2，在RtCDO中，设OC=r，则有DO=4r，根据勾股定理得：（4r）2=r2+22，解得：r=，OP=，E=PBO，DPE=OPB，DEPOBP，DE=【点睛】此题考查了切线的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键27.如图，已知抛物线y=x2+bx+c与坐标轴交于A，B，C三点，点A的横坐标为1，过点C（0，3）的直线y=x+3与x轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，PHOB于点H若PB=5t，且0t1（1）确定b，c的值；（2）写出点B，Q，P的坐标（其中Q，P用含t的式
27、子表示）；（3）依点P的变化，是否存在t的值，使PQB为等腰三角形？若存在，求出所有t的值；若不存在，说明理由【答案】(1)b=,c=3;(2)B（4,0）,P（44t,3t）,Q（4t,0）;(3)当t=或或时,PQB为等腰三角形【解析】试题分析：（1）将A、C的坐标代入抛物线中即可求得待定系数的值（2）根据抛物线的解析式可求得B点的坐标,即可求出OB,BC的长,在直角三角形BPH中,可根据BP的长和CBO三角函数求出PH,BH的长,进而可求出OH的长,也就求出了P点的坐标Q点的坐标,可直接由直线CQ的解析式求得（3）本题要分情况讨论：PQ=PB,此时BH=QH=BQ,在（2）中已经求得了B
28、H的长,BQ的长可根据B、Q点的坐标求得,据此可求出t的值PB=BQ,那么BQ=BP=5t,由此可求出t的值PQ=BQ,已经求得了BH的长,可表示出QH的长,然后在直角三角形PQH中,用BQ的表达式表示出PQ,即可用勾股定理求出t的值试题解析：（1）已知抛物线过A（1,0）、C（0,3）,则有：,解得,因此b=,c=3;（2）令抛物线的解析式中y=0,则有x2+x+3=0,解得x=1x=4;B（4,0）,OB=4,因此BC=5,在直角三角形OBC中,OB=4,OC=3,BC=5,sinCBO=,cosCBO=,在直角三角形BHP中,BP=5t,因此PH=3t,BH=4t;OH=OBBH=44t,因此P（44t,3t）令直线的解析式中y=0,则有0=x+3,x=4t,Q（4t,0）;（3）存在t的值,有以下三种情况如图1,当PQ=PB时,PHOB,则QH=HB,44t4t=4t,t=,当PB=QB得44t=5t,t=,当PQ=QB时,在RtPHQ中有QH2+PH2=PQ2,（8t4）2+（3t）2=（44t）2,57t232t=0,t=,t=0（舍去）,又0t1,当t=或或时,PQB为等腰三角形考点：二次函数综合题
