1、2022-2023学年北京109中学高三（上）模拟考试数学试卷（10月份）一、单选题（每题4分，共40分）1（4分）已知21+i=1-ai，其中aR，i为虚数单位，则a（）A1B1C2D22（4分）(x2-2x)5的展开式中x4的系数为（）A10B20C40D803（4分）设xR，则“cosx0”是“sinx1”的（）条件A充分不必要B必要不充分C充分必要D既不充分也不必要4（4分）cos2712-cos212=（）A-12B-32C1D325（4分）已知双曲线的一个顶点是（0，2），其渐近线方程为y2x，则双曲线的标准方程是（）Ax2-y24=1Bx24-y2=1Cy24-x2=1Dy24-
2、x24=16（4分）将函数y=sin(2x+2)的图象向左平移2个单位长度后，所得图象对应的函数为（）Aysin2xBysin2xCycos2xDycos2x7（4分）下列函数中，既是偶函数又在（0，3）上单调递减的是（）Ay2|x|Byx3Cy=cosx2Dy=ln2-x2+x8（4分）中国古代十进位制的算筹计数法在世界数学史上是一个伟大的创造据史料推测，算筹最晚出现在春秋晚期战国初年算筹计数的方法是：个位、百位、万位的数按纵式的数码摆出；十位、千位、十万位的数按横式的数码摆出如7738可用算筹表示为19这9个数字的纵式与横式的表示数码如图所示，则3log264的运算结果可用算筹表示为（）A
3、BCD9（4分）f（x）log0.5x，0ab，若p=f(ab)，q=f(a+b2)，r=12(f(a)+f(b)，则下列关系式中正确的是（）AqrpBqrpCprqDprq10（4分）设函数f（x）sin（x+3）在区间（0，）恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（）A53，136）B53，196）C（136，83D（136，196二、填空题（每题5分，共25分）11（5分）函数y=ln(3-4x)+1x的定义域是 12（5分）能说明“在ABC中，若sin2Asin2B，则AB”为假命题的一组A，B的值是 13（5分）如图所示，角的终边与单位圆交于点P，已知点P的坐标为(-35，45)，
4、则tan2 14（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数当x0时，f（x）x23x，则不等式f（x）x的解集用区间表示为 15（5分）已知函数f（x）=x3，xax2，xa若存在实数b，使函数g（x）f（x）b有两个零点，则a的取值范围是 三、解答题（共85分）16设f（x）alnx+12x+32x+1，其中aR，曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线垂直于y轴（1）求a的值；（2）求函数f（x）的极值17如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别是ABBB1的中点，已知AB=2，AA1=AC=CB=2（）证明：BC1平面A1CD；（）求CD与平面A1CE所成角的正弦值；（）求D到平面
5、A1CE的距离18已知函数f(x)=Asin(x+)(A0，0，|2)，且f（x）图像的相邻两条对称轴之间的距离为2，再从条件、条件、条件中选择两个作为一组已知条件（）确定f（x）的解析式；（）若g(x)=f(x)+2cos(2x+6)，求函数g（x）的单调减区间条件：f（x）的最小值为2；条件：f（x）图像的一个对称中心为(512，0)；条件：f（x）的图像经过点(56，-1)19北京市某区针对高三年级的一次测试做调研分析，随机抽取同时选考物理、化学的学生330名，如表是物理、化学成绩等级和人数的数据分布情况：物理成绩等级ABC化学成绩等级ABCABCABC人数（名）110532557015
6、31210（1）从该区高三年级同时选考物理、化学的学生中随机抽取1人，已知该生的物理成绩等级为A，估计该生的化学成绩等级为A的概率；（2）从该区高三年级同时选考物理、化学的学生中随机抽取2人，以X表示这2人中物理、化学成绩等级均为A的人数，求X的分布列和数学期望（以上表中物理、化学成绩等级均为A的频率作为每名学生物理、化学成绩等级均为A的概率）；（3）记抽取的330名学生在这次考试中数学成绩（满分150分）的方差为s2，排名前50%的成绩方差为s12，排名后50%的成绩方差为s22，则s2不可能同时大于s12和s22，这种判断是否正确（直接写出结论）20已知函数f（x）xsinx（1）判断函数
7、f（x）在区间(0，2)上的单调性，并说明理由；（2）求证：函数f（x）在(2，)内有且只有一个极值点；（3）求函数g(x)=f(x)+2lnx在区间（1，上的最小值21集合Mk（k0）是满足下列条件的函数f（x）全体：如果对于任意的x1，x2（k，+），都有f（x1）+f（x2）f（x1+x2）（1）函数f（x）x2是否为集合M0的元素，说明理由；（2）求证：当0a1时，函数f（x）ax是集合M1的元素；（3）对数函数f（x）lgxMk，求k的取值范围2022-2023学年北京109中学高三（上）考试数学试卷（10月份）参考答案与试题解析一、单选题（每题4分，共40分）1（4分）已知21+i
8、=1-ai，其中aR，i为虚数单位，则a（）A1B1C2D2【解答】解：21+i=2(1-i)(1+i)(1-i)=1-i=1-ai，则a1故选：B2（4分）(x2-2x)5的展开式中x4的系数为（）A10B20C40D80【解答】解：(x2-2x)5的展开式的通项公式为Tk+1=C5k（x2）5k(-2x)k=C5k（2）kx103k，令103k4，则k2，展开式中x4的系数为C52（2）240，故选：C3（4分）设xR，则“cosx0”是“sinx1”的（）条件A充分不必要B必要不充分C充分必要D既不充分也不必要【解答】解：sin2x+cos2x1，当cosx0时，则sinx1，充分性不成
9、立，当sinx1时，则cosx0，必要性成立，“cosx0”是“sinx1”的必要不充分条件故选：B4（4分）cos2712-cos212=（）A-12B-32C1D32【解答】解：cos2712-cos212=cos2（2+12）cos212=sin212-cos212=-cos6=-32故选：B5（4分）已知双曲线的一个顶点是（0，2），其渐近线方程为y2x，则双曲线的标准方程是（）Ax2-y24=1Bx24-y2=1Cy24-x2=1Dy24-x24=1【解答】解：双曲线的一个顶点是（0，2），开始双曲线方程为：y24-x2b2=1，其渐近线方程为y2x，所以b1，所求双曲线方程为：y2
10、4-x2=1故选：C6（4分）将函数y=sin(2x+2)的图象向左平移2个单位长度后，所得图象对应的函数为（）Aysin2xBysin2xCycos2xDycos2x【解答】解：将函数y=sin(2x+2)的图象向左平移2个单位长度后，所得图象对应的函数为ysin（2x+2）cos2x的图象，故选：D7（4分）下列函数中，既是偶函数又在（0，3）上单调递减的是（）Ay2|x|Byx3Cy=cosx2Dy=ln2-x2+x【解答】解：A，f（x）2|x|2|x|f（x），y2|x|为偶函数，又当x0时，y2x单调递增，A错误，B，yx3为奇函数，B错误，C，f（x）cos（-x2）cosx2=
11、f（x），ycosx2为偶函数，0x3，0x2322，ycosx2在（0，3）上单调递减，C正确，D，2-x2+x0，2x2，f（x）的定义域为（2，2），f（x）ln2+x2-x=ln(2-x2+x)-1=-ln2-x2+x=-f（x），f（x）为奇函数，D错误，故选：C8（4分）中国古代十进位制的算筹计数法在世界数学史上是一个伟大的创造据史料推测，算筹最晚出现在春秋晚期战国初年算筹计数的方法是：个位、百位、万位的数按纵式的数码摆出；十位、千位、十万位的数按横式的数码摆出如7738可用算筹表示为19这9个数字的纵式与横式的表示数码如图所示，则3log264的运算结果可用算筹表示为（）ABCD
12、【解答】解：根据题意，3log264=36729，用算筹计数表示为；故选：D9（4分）f（x）log0.5x，0ab，若p=f(ab)，q=f(a+b2)，r=12(f(a)+f(b)，则下列关系式中正确的是（）AqrpBqrpCprqDprq【解答】解：f（x）log0.5x，0ab，p=f(ab)=log0.5（ab）=12（log0.5a+log0.5b），q=f(a+b2)=log0.5（a+b2）log0.5（ab）p，r=12(f(a)+f(b)=12（log0.5a+log0.5b），prq故选：D10（4分）设函数f（x）sin（x+3）在区间（0，）恰有三个极值点、两个零点，
13、则的取值范围是（）A53，136）B53，196）C（136，83D（136，196【解答】解：当0时，不能满足在区间（0，）极值点比零点多，所以0；函数f（x）sin（x+3）在区间（0，）恰有三个极值点、两个零点，x+3（3，+3），52+33，求得13683，故选：C二、填空题（每题5分，共25分）11（5分）函数y=ln(3-4x)+1x的定义域是 (-，0)(0，34)【解答】解：由题意可知3-4x0x0，所以x(-，0)(0，34)，所以函数的定义域为(-，0)(0，34)，故答案为：(-，0)(0，34)12（5分）能说明“在ABC中，若sin2Asin2B，则AB”为假命题的一
14、组A，B的值是A60，B30【解答】解：当A60，B30时，sin2Asin120=32，sin2Bsin60=32，此时sin2Asin2B/故答案为：A60，B3013（5分）如图所示，角的终边与单位圆交于点P，已知点P的坐标为(-35，45)，则tan2247【解答】解：角的终边与单位圆交于点P（-35，45），tan=45-35=-43，则tan2=2tan1-tan2=247，故答案为：24714（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数当x0时，f（x）x23x，则不等式f（x）x的解集用区间表示为（4，0）（4，+）【解答】解：当x0时，不等式f（x）x化为x23xx，解得x4；当
15、x0时，x0，f（x）f（x）x23x，不等式f（x）x化为x23xx，解得4x0而f（0）0不满足不等式f（x）x综上可得：不等式f（x）x的解集用区间表示为（4，0）（4，+）15（5分）已知函数f（x）=x3，xax2，xa若存在实数b，使函数g（x）f（x）b有两个零点，则a的取值范围是 a|a0或a1【解答】解：g（x）f（x）b有两个零点，f（x）b有两个零点，即yf（x）与yb的图象有两个交点，由x3x2可得，x0或x1当a1时，函数f（x）的图象如图所示，此时存在b，满足题意，故a1满足题意当a1时，由于函数f（x）在定义域R上单调递增，故不符合题意当0a1时，函数f（x）单调
16、递增，故不符合题意a0时，f（x）单调递增，故不符合题意当a0时，函数yf（x）的图象如图所示，此时存在b使得，yf（x）与yb有两个交点综上可得，a0或a1故答案为：a|a0或a1三、解答题（共85分）16设f（x）alnx+12x+32x+1，其中aR，曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线垂直于y轴（1）求a的值；（2）求函数f（x）的极值【解答】解：（1）求导函数可得f（x）=ax-12x2+32，曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线垂直于y轴，f（1）0，a-12+32=0，a1；（2）由（1）知，f（x）lnx+12x+32x+1（x0）f（x）=-1x-12x2+32=(3
17、x+1)(x-1)2x2，令f（x）0，可得x1或x=-13（舍去）0x1时，f（x）0，函数递减；x1时，f（x）0，函数递增x1时，函数f（x）取得极小值为317如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别是ABBB1的中点，已知AB=2，AA1=AC=CB=2（）证明：BC1平面A1CD；（）求CD与平面A1CE所成角的正弦值；（）求D到平面A1CE的距离【解答】证明：（I）连接AC1交A1C于点F，则F为AC1中点，连接DF，又D是AB中点，则BC1DF，DF平面A1CD，BC1平面A1CD，BC1平面A1CD（II）AB2，BCAC=2，可得ACB90，即ACBC，以C为坐标原点
18、，CA，CB，CC1为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A（2，0，2），C（0，0，0），E（0，2，22），D（22，22，0），则CA1=（2，0，2），CE=（0，2，22），设平面A1CE的一个法向量为n=（x，y，z），则nCA1=2x+2z=0nCE=2y+22z=0，令z2，则y1，x2，平面A1CE的一个法向量为n=（2，1，2），又CD=（22，22，0），设CD与平面A1CE所成角为，sin=|CDn|CD|n|=3224+1+412+12=22（III）D到平面A1CE的距离d=|CDn|n|=3224+1+4=2218已知函数f(x)=Asin(x+)(A0，0，
19、|2)，且f（x）图像的相邻两条对称轴之间的距离为2，再从条件、条件、条件中选择两个作为一组已知条件（）确定f（x）的解析式；（）若g(x)=f(x)+2cos(2x+6)，求函数g（x）的单调减区间条件：f（x）的最小值为2；条件：f（x）图像的一个对称中心为(512，0)；条件：f（x）的图像经过点(56，-1)【解答】解：（）由于函数f（x）图像上两相邻对称轴之间的距离为2，所以函数f（x）的最小正周期T=22=，所以=2T=2，此时f（x）Asin（2x+）；选条件，因为f（x）的最小值为A，所以A2，因为函数f（x）的一个对称中心为(512，0)，所以2512+=k(kZ)，解得=k
20、-56，(kZ)，因为|2，所以=6，所以f(x)=2sin(2x+6)；选条件，因为f（x）的最小值为A，所以A2，因为函数f（x）的图像过(56，-1)，则f(56)=-1，即2sin(53+)=-1，sin(53+)=-12，因为|2，所以76+53136，所以+53=116，=6，所以f(x)=2sin(2x+6)；选择条件，因为函数f（x）的一个对称中心为(512，0)，所以2512+=k(kZ)，解得=k-56，(kZ)，因为|2，所以=6，此时f(x)=Asin(2x+6)，因为函数f（x）的图像过(56，-1)，则f(56)=-1，即Asin(53+)=-1，所以Asin116
21、=-1，所以A2，所以f(x)=2sin(2x+6)；综上，不论选哪两个条件，f(x)=2sin(2x+6)；（）由（）知，f(x)=2sin(2x+6)，所以g（x）f（x）+2cos（2x+6）2sin（2x+6）+2cos（2x+6）22sin（2x+512），由2+2k2x+51232+2k，kZ，得24+kx1324+k，kZ，所以g（x）的单调递减区间为24+k，1324+k，kZ19北京市某区针对高三年级的一次测试做调研分析，随机抽取同时选考物理、化学的学生330名，如表是物理、化学成绩等级和人数的数据分布情况：物理成绩等级ABC化学成绩等级ABCABCABC人数（名）11053
22、255701531210（1）从该区高三年级同时选考物理、化学的学生中随机抽取1人，已知该生的物理成绩等级为A，估计该生的化学成绩等级为A的概率；（2）从该区高三年级同时选考物理、化学的学生中随机抽取2人，以X表示这2人中物理、化学成绩等级均为A的人数，求X的分布列和数学期望（以上表中物理、化学成绩等级均为A的频率作为每名学生物理、化学成绩等级均为A的概率）；（3）记抽取的330名学生在这次考试中数学成绩（满分150分）的方差为s2，排名前50%的成绩方差为s12，排名后50%的成绩方差为s22，则s2不可能同时大于s12和s22，这种判断是否正确（直接写出结论）【解答】解：（1）设事件 A为
23、该生物理成绩等级为 A的情况下，化学成绩等级为 A，样本中物理成绩等级为 A的人数为110+53+2165，在该群体中化学成绩等级为 A的人数为110，所以频率为110165=23，由样本估计总体可得P(A)=23，故该生物理成绩等级为 A，估计该生化学成绩等级为 A的概率为23（2）从该区高三年级同时选考物理、化学的学生随机选取一名，物理、化学成绩等级均为 A的概率估计为110330=13由题意随机变量X的取值范围是0，1，2，P(X=0)=(23)2=49，P(X=1)=C211323=49，P(X=2)=(13)2=19，则X的分布列：X012P49 49 19 E(X)=049+149
24、+219=23（3）不正确；举例：排名前50%的成绩均为150分，方差为s12=0，排名后50%的成绩均为0分，方差为s22=0，显然s20，所以s2s12，s2s22，故s2同时大于s12和s2220已知函数f（x）xsinx（1）判断函数f（x）在区间(0，2)上的单调性，并说明理由；（2）求证：函数f（x）在(2，)内有且只有一个极值点；（3）求函数g(x)=f(x)+2lnx在区间（1，上的最小值【解答】解：（1）函数f（x）在区间(0，2)上单调递增，理由如下：f（x）sinx+xcosx，当x(0，2)时，sinx0，cosx0，f（x）0，函数f（x）在区间(0，2)上单调递增；
25、（2）证明：记h（x）f（x），则h（x）2cosxxsinx，当x(2，)时，h（x）0，h（x）单调递减，又f(2)=10，f()=-0，存在唯一x0(2，)，使得f（x0）0，且当x(2，x0)时，f（x）0，f（x）单调递增，当x（x0，）时，f（x）0，f（x）单调递减，f（x）在(2，)内有且只有一个极值点；（3）由（1）（2）可知，f（x）在（1，x0）单调递增，在（x0，）单调递减，又f（1）sin10，f（）0，故当x（1，时，f（x）+22，又当x（1，时，0lnxln，g(x)=f(x)+2lnx2ln，当且仅当x时取等号，函数g(x)=f(x)+2lnx在区间（1，上的
26、最小值为2ln21集合Mk（k0）是满足下列条件的函数f（x）全体：如果对于任意的x1，x2（k，+），都有f（x1）+f（x2）f（x1+x2）（1）函数f（x）x2是否为集合M0的元素，说明理由；（2）求证：当0a1时，函数f（x）ax是集合M1的元素；（3）对数函数f（x）lgxMk，求k的取值范围【解答】解：（1）取x12，x23（0，+），1分f（x1）224，f（x2）329，f（x1+x2）5225f（x1）+f（x2），1分函数f（x）x2不是集合M0的元素1分（2）证明：任取x1，x2（1，+），f（x1）+f（x2）f（x1+x2）=ax1+ax2-ax1+x21分=1-(
27、1-ax1)(1-ax2)，1分0a1，x11，根据指数函数的性质，得0ax11，01-ax11，同理，01-ax21，0(1-ax1)(1-ax2)1，1-(1-ax1)(1-ax2)0f（x1）+f（x2）f（x1+x2），函数f（x）ax是集合M1的元素2分（3）对数函数f（x）lgxMk，任取x1，x2（k，+），f（x1）+f（x2）f（x1+x2）成立，即lgx1+lgx2lg（x1x2）lg（x1+x2）成立，x1x2x1+x2对一切x1，x2（k，+）成立，1分11x1+1x2对一切x1，x2（k，+）成立，x1，x2（k，+），1x1+1x2（0，2k），2k1，k22分第17页（共17页）
