1、2022-2023学年广东省广州市番禺区象贤中学高三（上）模拟考试数学试卷（10月份）一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）（2+2i）（12i）（）A2+4iB24iC6+2iD62i2（5分）已知ae1n2，blog34，c21.1，则（）AabcBcabCacbDcba3（5分）若椭圆x2a2+y2=1（a0）的离心率为22，则a的值为（）A2B12C2或22D2或124（5分）如图，在棱长为2的正方体中，以其各面中心为顶点构成的多面体为正八面体，则该正八面体的体积为（）A223B43C423D835（5分）设sin32k，
2、则tan16+1tan16=（）A2kB1kC2kDk6（5分）已知圆（x1）2+（y2）22022关于直线ax+by10（ab0）对称，则1a+1b的最小值为（）A3+22B3-22C6D97（5分）二十四节气歌是为了方便记忆我国古时立法中的二十四个节气而编成的小诗歌，体现着我国古代劳动人民的智慧四句诗歌“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连；秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒”中，每一句诗歌的开头一字代表着季节，每一句诗歌包含了这个季节中的6个节气若从24个节气中任选2个节气，这2个节气恰好在一个季节的概率为（）A146B123C523D168（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）f（x）
3、2，则下列是周期函数的是（）Ayf（x）xByf（x）+xCyf（x）2xDyf（x）+2x二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分（多选）9（5分）已知集合A1，4，a，B1，2，3，若AB1，2，3，4，则a的取值可以是（）A2B3C4D5（多选）10（5分）在研究某种产品的零售价x（单位：元）与销售量y（单位：万件）之间的关系时，根据所得数据得到如表所示的对应表：x1214161820y1716141311利用最小二乘法计算数据，得到的回归直线方程为y=bx+26.2，则下列说法中正确的是（
4、）Ax与y的样本相关系数r0B回归直线必过点（16，14.2）Cb0D若该产品的零售价定为22元，可预测销售量是9.7万件（多选）11（5分）已知函数f（x）lgx，则（）Af（2），f(10)，f（5）成等差数列Bf（2），f（4），f（8）成等差数列Cf（2），f（4），f（16）成等比数列Df（2），f（12），f（72）成等比数列（多选）12（5分）函数f（x）sinx+acosx（a0）在一个周期内的图象可以是（）ABCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）若平面向量a=（1，1），b=（2，m）满足a（a-b），则m 14（5分）若一个偶函数的值域为（0，1，
5、则这个函数的解析式可以是f（x） 15（5分）已知双曲线C1：x2a12-y2b12=1（a10，b10）与C2：y2a22-x2b22=1（a20，b20）有相同的渐近线，若C1的离心率为2，则C2的离心率为 16（5分）已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为35，SA与圆锥底面所成角为60，若SAB的面积为85，则该圆锥的全面积为 四、解答题：共6小题，第17题10分，第18至第22题各12分，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）公差不为零的等差数列an满足a3a5a8，a61（1）求an的通项公式；（2）记an的前n项和为Sn，求使Snan成立的最大正
6、整数n18（12分）某公司采购部需要采购一箱电子元件，供货商对该电子元件整箱出售，每箱10个在采购时，随机选择一箱并从中随机抽取3个逐个进行检验若其中没有次品，则直接购买该箱电子元件；否则，不购买该箱电子元件（1）若某箱电子元件中恰有一个次品，求该箱电子元件能被直接购买的概率；（2）若某箱电子元件中恰有两个次品，记对随机抽取的3个电子元件进行检测的次数为X，求X的分布列及期望19（12分）如图，四棱锥PABCD的底面是矩形，PD底面ABCD，PDDC1，M为BC中点，且PBAM（1）求BC；（2）求二面角APMB的正弦值20（12分）如图，ABC内一点P满足PBPC，ACBP2（1）若AB=6
7、，PC=2，求sinACP的值；（2）若AB=5，sinACP=110，求AP的长21（12分）已知抛物线E：y22px（p0），点Q（14，m）为E上一点，且Q到E的准线的距离等于到坐标原点O的距离（1）求E的方程；（2）设AB为圆（x+2）2+y24的一条不垂直于y轴的直径，分别延长AO，BO交E于C，D两点，求四边形ABCD面积的最小值22（12分）定义在(-2，+)上的函数f（x）（xk）sinx（1）当k=6时，求曲线yf（x）在点(6，0)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积；（2）将f（x）的所有极值点按照从小到大的顺序排列构成数列xn，若f（x1）+f（x2）0，求k的值20
8、22-2023学年广东省广州市番禺区象贤中学高三（上）模拟考试数学试卷（10月份）参考答案与试题解析一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）（2+2i）（12i）（）A2+4iB24iC6+2iD62i【解答】解：（2+2i）（12i）24i+2i4i262i故选：D2（5分）已知ae1n2，blog34，c21.1，则（）AabcBcabCacbDcba【解答】解：ae1n22，blog342，c21.12，cab，故选：B3（5分）若椭圆x2a2+y2=1（a0）的离心率为22，则a的值为（）A2B12C2或22D2或12【解答
9、】解：因为椭圆x2a2+y2=1（a0）的离心率为22，当焦点在x轴上，则b21，则e=ca=1-b2a2=22，可得a22，a0，可得a=2；当焦点在y轴上，则长半轴长为1，短半轴长a，则e=1-a21=22，可得a=22，故选：C4（5分）如图，在棱长为2的正方体中，以其各面中心为顶点构成的多面体为正八面体，则该正八面体的体积为（）A223B43C423D83【解答】解：由图可知该几何体为两个全等的正四棱锥构成，四棱锥底面四边形的边长为2，面积为2，高为正方体棱长一半为1，V21321=43故选：B5（5分）设sin32k，则tan16+1tan16=（）A2kB1kC2kDk【解答】解：
10、因为tan16+1tan16=sin16cos16+cos16sin16=1sin16cos16=2sin32，当sin32k，则tan16+1tan16=2k，故选：A6（5分）已知圆（x1）2+（y2）22022关于直线ax+by10（ab0）对称，则1a+1b的最小值为（）A3+22B3-22C6D9【解答】解：圆（x1）2+（y2）22022关于直线ax+by10（ab0）对称，圆心（1，2）在直线ax+by10（ab0）上，即a+2b1（ab0），a=1-2b0b=1-a20，解得0a1，0b12，1a+1b=（1a+1b）（a+2b）3+2ba+ab3+22baab=3+22，当且
11、仅当2ba=ab，即a=2-1，b=2-22时等号成立，1a+1b的最小值为3+22，故选：A7（5分）二十四节气歌是为了方便记忆我国古时立法中的二十四个节气而编成的小诗歌，体现着我国古代劳动人民的智慧四句诗歌“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连；秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒”中，每一句诗歌的开头一字代表着季节，每一句诗歌包含了这个季节中的6个节气若从24个节气中任选2个节气，这2个节气恰好在一个季节的概率为（）A146B123C523D16【解答】解：从24个节气中任选2个节气，这2个节气恰好在一个季节的事件总数为：4C 62=60，从24个节气中选取两个节气的事件总数有：C 242=276，
12、P=60276=523，故选：C8（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）f（x）2，则下列是周期函数的是（）Ayf（x）xByf（x）+xCyf（x）2xDyf（x）+2x【解答】解：对于A，令g（x）f（x）x，可得f（x）g（x）+x，由f（x+1）f（x）2，即g（x+1）+x+1g（x）+x2，即g（x+1）g（x）3，得不出函数具有周期性，A错误；对于B，令g（x）f（x）+x，可得f（x）g（x）x，由f（x+1）f（x）2，即g（x+1）x1g（x）x2，即g（x+1）g（x）1，得不出函数具有周期性，B错误；对于C，令g（x）f（x）2x，可得f（x）g（x）+2x，
13、由f（x+1）f（x）2，即g（x+1）+2（x+1）g（x）+2x2，即g（x+1）g（x）4，得不出函数具有周期性，C错误；对于D，令g（x）f（x）+2x，可得f（x）g（x）2x，由f（x+1）f（x）2，即g（x+1）2（x+1）g（x）2x2，即g（x+1）g（x），得出函数具有周期性，周期为1，D正确；故选：D二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分（多选）9（5分）已知集合A1，4，a，B1，2，3，若AB1，2，3，4，则a的取值可以是（）A2B3C4D5【解答】解：集合A1，4
14、，a，B1，2，3，AB1，2，3，4，a的取值可以是2或3故选：AB（多选）10（5分）在研究某种产品的零售价x（单位：元）与销售量y（单位：万件）之间的关系时，根据所得数据得到如表所示的对应表：x1214161820y1716141311利用最小二乘法计算数据，得到的回归直线方程为y=bx+26.2，则下列说法中正确的是（）Ax与y的样本相关系数r0B回归直线必过点（16，14.2）Cb0D若该产品的零售价定为22元，可预测销售量是9.7万件【解答】解：对于A，由表中数据可得，随着x增大，y逐渐减小，故x与y的相关系数r0，故A错误，对于B，x=15(12+14+16+18+20)=16，
15、y=15（17+16+14+13+11）14.2，由线性回归方程的性质可知，线性回归方程必过样本中心，故B正确，对于C，14.216b+26.2，解得b0.75，故C正确，对于D，线性回归方程为y=-0.75x+26.2，当x22时，y=-0.7522+26.29.7，故D正确故选：BCD（多选）11（5分）已知函数f（x）lgx，则（）Af（2），f(10)，f（5）成等差数列Bf（2），f（4），f（8）成等差数列Cf（2），f（4），f（16）成等比数列Df（2），f（12），f（72）成等比数列【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，f（2）lg2，f（10）lg10=12，f（5
16、）lg5，则有f（2）+f（5）2f（10），A正确；对于B，f（2）lg2，f（4）lg42lg2，f（8）lg83lg2，则有f（2）+f（8）2lg4，B正确；对于C，f（2）lg2，f（4）lg42lg2，f（16）lg164lg2，则f（2），f（4），f（16）成等比数列，C正确；对于D，f（2）lg2，f（12）lg432lg2+lg3，f（72）lg723lg2+2lg3，f（2），f（12），f（72）不成等比数列，D错误；故选：ABC（多选）12（5分）函数f（x）sinx+acosx（a0）在一个周期内的图象可以是（）ABCD【解答】解：f（x）sinx+acosx=a2
17、+1sin（x+），（其中tana），因为a0，所以（-2，0）（0，2），因为正弦函数的周期为2，将y=a2+1sinx的图象向左或者向右平移|（|T4）个单位，可得f（x）的图象，结合选项可知，A，C符合题意，故选：AC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）若平面向量a=（1，1），b=（2，m）满足a（a-b），则m0【解答】解：根据题意，向量a=（1，1），b=（2，m），则a-b=（1，1m），若a（a-b），则a（a-b）1+（1m）m0，解可得m0，故答案为：014（5分）若一个偶函数的值域为（0，1，则这个函数的解析式可以是f（x）1x2，x（1，1）（答案
18、不唯一）【解答】解：取f（x）1x2，x（1，1），函数的定义域关于坐标原点对称，且f（x）1（x）21x2f（x），函数为偶函数，当x（1，1）时，x20，1），1x2（0，1，满足题意故答案为：1x2，x（1，1）（答案不唯一）15（5分）已知双曲线C1：x2a12-y2b12=1（a10，b10）与C2：y2a22-x2b22=1（a20，b20）有相同的渐近线，若C1的离心率为2，则C2的离心率为 233【解答】解：双曲线C1与C2有相同的渐近线，实轴所在轴不相同，C1的离心率为2，c1a1=2=1+b12a12，所以a2b2=b1a1=3，可得则C2的离心率为e=c2a2=1+b22
19、a22=1+13=233故答案为：23316（5分）已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为35，SA与圆锥底面所成角为60，若SAB的面积为85，则该圆锥的全面积为 3【解答】解：设圆锥底面圆的半径为r，又母线SA与圆锥底面所成角为60，圆锥高h=3r，SASB2r，又母线SA，SB所成角的余弦值为35，母线SA，SB所成角的正弦值为45，SAB的面积为122r2r45=85，r1，h=3，SASB2，该圆锥的全面积为12+12212=3，故答案为：3四、解答题：共6小题，第17题10分，第18至第22题各12分，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）公差不为
20、零的等差数列an满足a3a5a8，a61（1）求an的通项公式；（2）记an的前n项和为Sn，求使Snan成立的最大正整数n【解答】解：（1）设等差数列an的公差为d（d0），由a3a5a8，a61，得13d（1d）（1+2d），即2d24d0，解得d2，或d0（舍去），则a1a65d1109，所以an9+2（n1）2n11（nN*）；（2）由（1）可知Sn=n2（a1+an）=n2（9+2n11）n210n，令Snan，得n210n2n11，即n212n+110，解得1n11，又nN*，故使Snan成立的最大正整数n为1018（12分）某公司采购部需要采购一箱电子元件，供货商对该电子元件整箱
21、出售，每箱10个在采购时，随机选择一箱并从中随机抽取3个逐个进行检验若其中没有次品，则直接购买该箱电子元件；否则，不购买该箱电子元件（1）若某箱电子元件中恰有一个次品，求该箱电子元件能被直接购买的概率；（2）若某箱电子元件中恰有两个次品，记对随机抽取的3个电子元件进行检测的次数为X，求X的分布列及期望【解答】解：（1）由已知有10个元件中有1个次品，9个正品，则从中选3个没有次品的概率P1=C93C103=710，（2）由已知有10个元件中有2个次品，8个正品，随机抽取3个电子元件进行检测时，检测次数为X，X可取1，2，3P(X=1)=C21C101=15，P(X=2)=C81C101C21C
22、91=845，P(X=3)=C83C103+C82C21C102C81=2845， X 1 2 3 P15 845 2845 故E(X)=115+2845+32845=10945，19（12分）如图，四棱锥PABCD的底面是矩形，PD底面ABCD，PDDC1，M为BC中点，且PBAM（1）求BC；（2）求二面角APMB的正弦值【解答】解：（1）连结BD，因为PD底面ABCD，且AM平面ABCD，则AMPD，又AMPB，PBPDP，PB，PD平面PBD，所以AM平面PBD，又BD平面PBD，则AMBD，所以ABD+MAB90，又ABD+ADB90，则有ADBMAB，所以RtDABRtABM，则A
23、DAB=BABM，所以12BC2=1，解得BC=2；（2）因为DA，DC，DP两两垂直，故以点D位坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，则A(2，0，0)，B(2，1，0)，M(22，1，0)，P（0，0，1），所以AP=(-2，0，1)，AM=(-22，1，0)，BM=(-22，0，0)，BP=(-2，-1，1)，设平面AMP的法向量为n=(x，y，z)，则有nAP=0nAM=0，即-2x+z=0-22x+y=0，令x=2，则y1，z2，故n=(2，1，2)，设平面BMP的法向量为m=(p，q，r)，则有mBM=0mBP=0，即-22p=0-2p-q+r=0，令q1，则r1，故m=(0，1，1
24、)，所以|cosn，m|=|nm|n|m|=372=31414，设二面角APMB的平面角为，则sin=1-cos2=1-cos2n，m=1-(31414)2=7014，所以二面角APMB的正弦值为701420（12分）如图，ABC内一点P满足PBPC，ACBP2（1）若AB=6，PC=2，求sinACP的值；（2）若AB=5，sinACP=110，求AP的长【解答】解：（1）PBPC，BP2PC=2，BC=4+2=6，在RtPBC中，sinPCB=26=63，cosPCB=26=33，在ABC中，cosACB=6+4-6226=66，sinACB=1-636=306，sinACPsin（ACB
25、PCB）sinACBcosPCBcosACBsinPCB=30633-6663=10-26（2）在APC中，由正弦定理APsinACP=ACsinAPC，得sinAPC=ACsinACPAP=15AP，在APB中，由余弦定理得cosAPB=AP2+BP2-AB22APBP=AP2+4-54AP=AP2-14AP，PBPC，APC+APB270，sinAPCcosAPB，15AP=-AP2-14AP，AP=5521（12分）已知抛物线E：y22px（p0），点Q（14，m）为E上一点，且Q到E的准线的距离等于到坐标原点O的距离（1）求E的方程；（2）设AB为圆（x+2）2+y24的一条不垂直于y
26、轴的直径，分别延长AO，BO交E于C，D两点，求四边形ABCD面积的最小值【解答】解：（1）设抛物线E：y22px的焦点为F(p2，0)，且Q到E的准线的距离等于|QF|所以|OQ|QF|，则p2=214，则p1，所以抛物线E的方程：y22x；（2）由题意可知，直线AC的斜率存在且不为0，设直线AC的方程：ykx，设A（x1，y1），C（x2，y2），联立y=kx(x+2)2+y2=4，消去y，整理得（k2+1）x2+4x0，解得x1=-4k2+1，联立y=kxy2=2x，消去y，整理得k2x22x0，由x20，得x2=2k2，所以|AC|=1+k2|x2-x1|=2(3k2+1)k21+k2
27、，因为ACBD，用-1k代替k，则|BD|=2(3k2+1)1k21+1k2=2(k2+3)|k|k2+1，所以，四边形ABCD的面积S=12|AC|BD|=2(3k2+1)(k2+3)|k|(k2+1)=6k2+6k2+20|k|+1|k|，令|k|+1|k|=t，t2，所以S=6t2+8t=6(t+43t)，t2，所以S在2，+）上单调递增，所以当t2时，即|k|1时，S取得最小值，最小值为16，所以四边形ABCD面积的最小值为1622（12分）定义在(-2，+)上的函数f（x）（xk）sinx（1）当k=6时，求曲线yf（x）在点(6，0)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积；（2）将
28、f（x）的所有极值点按照从小到大的顺序排列构成数列xn，若f（x1）+f（x2）0，求k的值【解答】解：（1）当k=6，f（x）（x-6）sinx，f(x)=sinx+(x-6)cosx，f（6）sin6=12，曲线yf（x）在点（6，0）处的切线的斜率为k=f(6)=12，曲线yf（x）在点（6，0）处的切线方程为y=12（x-6），令x0，y=-12，切线与y轴交点为（0，-12），此时所求三角形的面积为S=12|-12|6=2144（2）f（x）sinx+（xk）cosx，当-2x2时，f（x）cosx（tanx+xk），由函数ytanx+x在区间（-2，2）上递增，且值域为R，存在唯一
29、x0（-2，2），使得tanx0+x0k，此时当-2xx0时，f（x）0，f（x）单调递减，当x0x2时，f（x）0，f（x）单调递增，x1x0，同理，存在唯一x0（2，32），使得tanx0+x0k，此时，当2xx0时，f（x）0，f（x）单调递增，当x0x32时，f（x）0，f（x）单调递减，x2x0，f(x1)=0，x1-k=-tanx1，f(x1)=-sin2x1cosx1=cosx1-1cosx1，同理，f（x2）=-sin2x2cosx2=cosx2-1cosx2，由f（x1）+f（x2）0，整理得（cosx1+cosx2）（1-1cosx1cosx2）0，又-2x12x232，cosx1cosx21，则有cosx1cosx2cos（x2），由-2x2-2，x1x2或x1（x2），又kx1+tanx1x2+tanx2，当x1x2或x1x2时，不满足，舍去，x1（x2），x1+x2，k=x1+tanx1+x2+tanx22=2，综上，k=2第18页（共18页）
