1、2022-2023学年广东省深圳市六校联盟高三（上）质检数学试卷（10月份）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（5分）已知集合Mx|x29，N1，2，3，4，5，则MN（）A1，2B3，4，5C1，2，3D4，52（5分）已知函数f（x）sinx，f（x）是函数f（x）的导函数，则f(2)=（）A0B1C1D23（5分）设复数z=1-ii（i为虚数单位），则|z|（）A2B3C2D14（5分）命题“x0，x3+x0”的否定是（）Ax0，x3+x0Bx0，x3+x0Cx0，x3+x0Dx0，x3+x05（5分）如图，在ABC中，
2、AN=12AC，P是BN的中点，若AP=mAB+nAC，则m+n（）A12B1C32D346（5分）我们知道，人们对声音有不同的感觉，这与声音的强度有关系声音的强度常用I（单位：瓦/米2，即W/m2）表示，但在实际测量时，声音的强度水平常用L（单位：分贝）表示，它们满足换算公式：L10lgII0（L0，其中I011012W/m2是人们平均能听到的声音的最小强度）若使某小区内公共场所声音的强度水平降低10分贝，则声音的强度应变为原来的（）A15B1100C110D1207（5分）已知alog52，blog0.50.4，c0.50.2，则a，b，c的大小关系为（）AacbBabcCbcaDcab8
3、（5分）已知x0，y0，若x+y+xy3，则xy的最大值为（）A1B2C2D22二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。（多选）9（5分）若ab，则下列结论正确的有（）Aab0Ba2b2Ca3b3D1a1b（多选）10（5分）有以下说法，其中正确的有（）A“m是有理数”是“m是实数”的充分不必要条件B“xAB”是“xA”的必要不充分条件C“x22x30”是“x3”的必要不充分条件D“x3”是“x24”的充分不必要条件（多选）11（5分）给出下列四个命题，其中正确的命题有（）A函数ytanx
4、的图象关于点（k2，0）（kZ）对称B函数ysin|x|是最小正周期为的周期函数C为第二象限的角，且|cos|tan|，则|sin|cos|D函数ycos2x+sinx的最小值为1（多选）12（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数且满足f（x+1）为偶函数，当x1，2时，f（x）ax+b（a0且a1）若f（1）+f（4）12，则（）Aa4，b16Ba3，b9Cf（2022）0Df(20212)=8三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）若向量a，b满足|a|b|a+b|1，则ab的值为 14（5分）若函数f（x）ax+cosx在（，+）上是单调增函数，则实数a的取值范围是
5、 15（5分）若sin(7+)=13，则sin(314-2)= 16（5分）如图，设圆M的半径为2，点C是圆M上的定点，A，B是圆M上的两个动点，则CACB的最小值是 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（10分）已知函数f（x）xalnx在点（2，f（2）处的切线斜率为12（1）求a；（2）求函数g(x)=f(x)x的极值18（12分）（1）已知函数f（x）2sinx+cosx，求函数f（x）的值域；（2）当tanx2时，求2sin2xsin2x-cos2x+1的值19（12分）已知定义在R上的函数f（x）2x2x（）判断函数f（x）的奇偶性和单调
6、性；（）若22x+22xaf（x）在区间（0，+）上恒成立，求实数a的取值范围20（12分）如图，在ABC中，D为边BC上一点，AD3，且sinADB=3sinB（1）求AB的长；（2）若ADAC，BC3BD，求ABC的面积21（12分）某市为推动美丽乡村建设，发展农业经济，鼓励某食品企业生产一种饮料，该饮料每瓶成本为10元，售价为15元，月销售8万瓶（1）据市场调查，若每瓶售价每提高1元，月销售量将减少8000瓶，要使月总利润不低于原来的月总利润，该饮料每瓶售价最多为多少元？（2）为提高月总利润，企业决定下月调整营销策略，计划每瓶售价x（x16）元，并投入334（x16）万元作为调整营销策略
7、的费用据市场调查，每瓶售价每提高1元，月销售量将相应减少0.8(x-15)2万瓶，则当每瓶售价x为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月的最大总利润（提示：月总利润月销售总收入月总成本）22（12分）已知函数f（x）ax1+lnx（）讨论函数f（x）的单调性；（）若a1，证明：xf（x）-1ex2022-2023学年广东省深圳市六校联盟高三（上）质检数学试卷（10月份）参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（5分）已知集合Mx|x29，N1，2，3，4，5，则MN（）A1，2B3，4，5C1，2，3D4，5【解答
8、】解：因为Mx|x29x|x3或x3，N1，2，3，4，5，则MN4，5故选：D2（5分）已知函数f（x）sinx，f（x）是函数f（x）的导函数，则f(2)=（）A0B1C1D2【解答】解：f（x）sinx，f（x）cosx，f(2)=cos2=0，故选：A3（5分）设复数z=1-ii（i为虚数单位），则|z|（）A2B3C2D1【解答】解：复数z=1-ii（i为虚数单位），z1i，|z|=1+1=2，故选：C4（5分）命题“x0，x3+x0”的否定是（）Ax0，x3+x0Bx0，x3+x0Cx0，x3+x0Dx0，x3+x0【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定为x0，x3+x0，故选：
9、C5（5分）如图，在ABC中，AN=12AC，P是BN的中点，若AP=mAB+nAC，则m+n（）A12B1C32D34【解答】解：在ABC中，AN=12AC，P是BN的中点，AP=12AB+12AN=12AB+14AC，m=12，n=14，m+n=34，故选：D6（5分）我们知道，人们对声音有不同的感觉，这与声音的强度有关系声音的强度常用I（单位：瓦/米2，即W/m2）表示，但在实际测量时，声音的强度水平常用L（单位：分贝）表示，它们满足换算公式：L10lgII0（L0，其中I011012W/m2是人们平均能听到的声音的最小强度）若使某小区内公共场所声音的强度水平降低10分贝，则声音的强度应
10、变为原来的（）A15B1100C110D120【解答】解：设该小区内公共场所声音的强度水平为L1，L2，相应声音的强度为l1，l2，由题意，得L1L210，即10lgI1I0-10lgI2I0=10，解得：I2=110I1故选：C7（5分）已知alog52，blog0.50.4，c0.50.2，则a，b，c的大小关系为（）AacbBabcCbcaDcab【解答】解：因为alog52（0，12），blog0.50.41，c0.50.2（12，1）故bca故选：A8（5分）已知x0，y0，若x+y+xy3，则xy的最大值为（）A1B2C2D22【解答】解：因为x0，y0，若x+y+xy3，则3xy
11、x+y2xy，当且仅当xy1时取等号，解得xy1，故xy的最大值为1故选：A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。（多选）9（5分）若ab，则下列结论正确的有（）Aab0Ba2b2Ca3b3D1a1b【解答】解：若ab，则ab0，A正确；当a1，b1时，B，D显然不成立；由于yx3在R上单调递增，故当ab时，a3b3，C正确故选：AC（多选）10（5分）有以下说法，其中正确的有（）A“m是有理数”是“m是实数”的充分不必要条件B“xAB”是“xA”的必要不充分条件C“x22x30”是“x
12、3”的必要不充分条件D“x3”是“x24”的充分不必要条件【解答】解：A，m是有理数则m是实数，反之，若m是实数，则m不一定是有理数，m是有理数是m是实数的充分不必要条件，故A正确，B，若xAB，则xA，反之，若xA，则xAB不一定成立，xAB是xA的充分不必要条件，B错误，C，x22x30x3或x1，x22x30是x3的必要不充分条件，故C正确，D，当x3时，则x24成立，反之，当x24时，则x2或x2，x3不一定成立，x3是x24的充分不必要条件，故D正确，故选：ACD（多选）11（5分）给出下列四个命题，其中正确的命题有（）A函数ytanx的图象关于点（k2，0）（kZ）对称B函数ysi
13、n|x|是最小正周期为的周期函数C为第二象限的角，且|cos|tan|，则|sin|cos|D函数ycos2x+sinx的最小值为1【解答】解：对于A选项，函数ytanx的图象关于点（k2，0）（kZ）对称，A对；对于B选项，根据图象翻折可知，函数ysin|x|是偶函数，不是周期函数，B错；对于C选项，为第二象限的角，则0|cos|1，由|cos|tan|，即|cos|sin|cos|，所以，|sin|cos2|cos|，C错；对于D选项，1sinx1，ycos2x+sinx（sinx-12）2+541，54，D对，故选：AD（多选）12（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数且满足f（x+1
14、）为偶函数，当x1，2时，f（x）ax+b（a0且a1）若f（1）+f（4）12，则（）Aa4，b16Ba3，b9Cf（2022）0Df(20212)=8【解答】解：f（x）为奇函数，f（x）的图象关于点（0，0）中心对称，f（x+1）为偶函数，f（x）的图象关于直线x1对称，则f（x+2）f（x）f（x），则f（x+4）f（x+2）f（x），f（x）的一个周期为4，则f（4）f（2）f（0）0，又f（1）f（1）（a+b），f（1）+f（4）12，-(a+b)=12a2+b=0，a=4b=-16或a=-3b=-9（舍去），A正确，B错误，当x1，2时，f（x）4x16，f（2022）f（2）
15、0，C正确，f（20212）f（52）f（-32）f（32）8，D正确，故选：ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）若向量a，b满足|a|b|a+b|1，则ab的值为-12【解答】解：向量a，b满足|a|b|a+b|1，(a+b)2=1，化为a2+2ab+b2=1，即1+2ab+1=1，解得ab=-12故答案为-1214（5分）若函数f（x）ax+cosx在（，+）上是单调增函数，则实数a的取值范围是a1【解答】解：f（x）ax+cosx，f（x）asinx，f（x）ax+cosx在（，+）上是单调增函数，asinx0在（，+）上恒成立，a1故答案为：a115（5分
16、）若sin(7+)=13，则sin(314-2)=79【解答】解：设t=7+，则=t-7，则314-2=314-2(t-7)=2-2t，则sin(314-2)=sin(2-2t)=cos2t=1-2sin2t=1-2(13)2=79，故答案为：7916（5分）如图，设圆M的半径为2，点C是圆M上的定点，A，B是圆M上的两个动点，则CACB的最小值是2【解答】解：如图，延长BC，作圆M的切线，设切点为A1，切线与BD的交点为D，其中A1DB90，由数量积的几何意义，CACB 等于 CA 在 CB 上的投影与 |CB| 之积，当点A运动到A1时，CA 在 CB 上的投影最小，于是有CACBCA1C
17、B，设BC中点P，连接MP，MA1，则四边形MPDA1为矩形设CPx，则CD2x，CB2x，于是CA1CB=-(2-x)2x=2x2-4x=2(x-1)2-2，x0，2，所以当x1时，CACB 最小，最小值为2故答案为：2四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（10分）已知函数f（x）xalnx在点（2，f（2）处的切线斜率为12（1）求a；（2）求函数g(x)=f(x)x的极值【解答】解：（1）函数f（x）xalnx，定义域为(0，+)，f(x)=1-ax，因为函数f（x）xalnx在点（2，f（2）处的切线斜率为12，所以f(2)=1-a2=12，
18、解得a1（2）因为g(x)=f(x)x=1-lnxx，函数定义域为（0，+），由g(x)=lnx-1x2，令g（x）0，即lnx10，即xe，易得，当xe时，g（x）0，g（x）单调递增，当0xe时，g（x）0，g（x）单调递减，故当xe时，函数g（x）取得极小值g(e)=1-1e，没有极大值所以函数极小值为1-1e，无极大值18（12分）（1）已知函数f（x）2sinx+cosx，求函数f（x）的值域；（2）当tanx2时，求2sin2xsin2x-cos2x+1的值【解答】解：（1）f（x）2sinx+cosx=5sin（x+），其中tan=12，所以f（x）的值域为-5，5（2）2sin
19、2xsin2x-cos2x+1=2sin2x2sinxcosx+2sin2x=tanx1+tanx=21+2=2319（12分）已知定义在R上的函数f（x）2x2x（）判断函数f（x）的奇偶性和单调性；（）若22x+22xaf（x）在区间（0，+）上恒成立，求实数a的取值范围【解答】解：（）定义在R上的函数f（x）2x2x，可得f（x）2x2xf（x），则f（x）为奇函数；由y2x在R上递增，y2x在R上递减，可得f（x）在R上为增函数；（）当x0时，f（x）2x2x0，若22x+22xaf（x）在区间（0，+）上恒成立，即为a22x+2-2x2x-2-x在区间（0，+）上恒成立，设2x2xt
20、（t0），则22x+2-2x2x-2-x=t2+2t=t+2t2t2t=22，当且仅当t=2时上式取得等号，则a22，即a的取值范围是（，2220（12分）如图，在ABC中，D为边BC上一点，AD3，且sinADB=3sinB（1）求AB的长；（2）若ADAC，BC3BD，求ABC的面积【解答】解：（1）在ABD中，由正弦定理可得ABsinADB=ADsinB，则AB=ADsinADBsinB，因为sinADB=3sinB，AD3，代入可得AB=33；（2）如图，设BDm，则BC3BD3m，DC2m，在RtADC中，cosADCADDC=32m，在ABD中，由余弦定理ABAD+BD2ADBDc
21、osADB，即279+m+6mcosADC9+m+6m32m，解得m9，即m3，所以DC6，ADC=3，则SABC=32SADC=3212ADDCsin3=32123632=274321（12分）某市为推动美丽乡村建设，发展农业经济，鼓励某食品企业生产一种饮料，该饮料每瓶成本为10元，售价为15元，月销售8万瓶（1）据市场调查，若每瓶售价每提高1元，月销售量将减少8000瓶，要使月总利润不低于原来的月总利润，该饮料每瓶售价最多为多少元？（2）为提高月总利润，企业决定下月调整营销策略，计划每瓶售价x（x16）元，并投入334（x16）万元作为调整营销策略的费用据市场调查，每瓶售价每提高1元，月销
22、售量将相应减少0.8(x-15)2万瓶，则当每瓶售价x为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月的最大总利润（提示：月总利润月销售总收入月总成本）【解答】解：（1）设饮料每瓶售价为a元，由题意得80.8（a15）（a10）（1510）8，即a235a+3000，解得15a20，故饮料每瓶售价最多为20元；（2）每瓶售价x（x16）元，设下月总利润为W，则每瓶利润为（x10）元，月销售量为8-0.8(x-15)2（x15）（8-0.8x-15）万瓶，由题意得W（x10）（8-0.8x-15）-334（x16）=-14x-4x-15+51.2=-14（x15）+16x-15+47.45（x16），x
23、16，则x151，（x15）+16x-152(x-15)16x-15=8，当且仅当x15=16x-15，即x19时，等号成立，W=-14（x15）+16x-15+47.45-148+47.4545.45，故当每瓶售价x为19元时，下月的月总利润最大，且下月的最大总利润为45.45万元22（12分）已知函数f（x）ax1+lnx（）讨论函数f（x）的单调性；（）若a1，证明：xf（x）-1ex【解答】解：（） 解：由题意 x0，f(x)=a+1x=ax+1x，当 a0 时 ，f(x)=ax+1x0，函数 f（x） 在（ 0，+ ） 上单调递增，当 a0 时，由 f（x）0 得 x=-1a，当 x
24、(0，-1a) 时，f（x）0； 当 x(-1a，+) 时，f（x）0，所以函数 f（x） 在 (0，-1a) 上单调递增，在 (-1a，+) 上单调递减综上所述：当 a0 时，函数 f（x） 在（ 0，+） 上单调递增；当 a0 时，函数 f（x） 在 (0，-1a) 上单调递增，在 (-1a，+) 上单调递减（）证明：要证 xf(x)-1ex，只需证 ex+x（x1+lnx）0，即证 ex+x2x+xlnx0 即可，设 h（x）ex+x2x+xlnx，x0，则h（x）ex+2x+lnx，h(x)=e-x+2+1x0，所以函数 h（x）ex+2x+lnx 在 （0，+） 上单调递增又h(1e
25、)=-e-1e+2e-10，h(1)=-1e+20，故 h（x）ex+2x+lnx 在 (1e，1) 上存在唯一的零点 x0，即-e-x0+2x0+lnx0=0，所以当 x（0，x0） 时，h（x）0； 当 x（x0+） 时，h（x）0，所以函数 h（x） 在 （0，x0） 上单调递减，在 （x0，+） 上单调递增，故 h(x)h(x0)=e-x0+x02-x0+x0lnx0，所以只需证 h(x0)=e-x0+x02-x0+x0lnx00 即可，由 -e-x0+2x0+lnx0=0，得 e-x0=2x0+lnx0，所以 h（x0）（x0+1）（x0+lnx0），又 x0+10，所以只要 x0+lnx00 即可，当 x0+lnx00 时，lnx0-x0x0e-x0-e-x0+x00，所以 -e-x0+x0+x0+lnx00 与 -e-x0+2x0+lnx0=0 矛盾故 x0+lnx00，故 h（x）0，即 xf(x)-1ex 得证第14页（共14页）
