1、2022-2023学年上海海洋大学附属大团高级中学高三（上）一模考试数学试卷一填空1不等式xx-10的解集为 2抛物线y24x的焦点坐标是 3若复数z满足iz1+2i，其中i是虚数单位，则z的实部为 4二项式(x+1x)6的展开式中的常数项为 5等差数列an的前10项和为30，则a1+a4+a7+a10 6设函数yf（x）2x+c的图象经过点（2，5），则yf（x）的反函数f1（x） 7如果无穷等比数列an所有奇数项的和等于所有项和的3倍，则公比q 8圆x2+y22x+4y0的圆心到直线3x+4y50的距离等于 9在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，且4S（a+b）2c2
2、，则cosC 10在120的二面角内放置一个半径为6的小球，它与二面角的两个半平面相切于A、B两点，则这两个点在球面上的距离是 11已知点A（2，0），设B、C是圆O：x2+y21上的两个不同的动点，且向量OB=tOA+（1t）OC（其中t为实数），则ABAC= 12已知平面向量a，b，c，满足|a|1，|b|2，|c|2，01若bc=0，则|a-b-（1）c|的取值范围是 二.选择题13下列函数中既是奇函数，又在区间1，1上单调递减的是（）Af（x）arcsin xBylg|x|Cf（x）xDf（x）cosx14电视台在电视剧开播前连续播放6个不同的广告，其中4个商业广告2个公益广告，现要求
3、2个公益广告不能连续播放，则不同的播放方式共有（）AA 44A 52BC 44C 52CA 64A 72DC 64C 7215已知向量a，b，c满足a+b+c=0，且a2b2c2，则ab、bc、ac中最小的值是（）AabBbcCacD不能确定的16函数f（x）x，g（x）x2x+2若存在x1，x2，xn0，92，使得f（x1）+f（x2）+f（xn1）+g（xn）g（x1）+g（x2）+g（xn1）+f（xn），则n的最大值是（）A11B13C14D18三.解答题17如图，三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABAC，D是BC的中点（1）求证：BC平面A1AD；（2）若BAC90，B
4、C4，三棱柱ABCA1B1C1的体积是83，求异面直线A1D和AB1所成的角的大小18已知向量a=（3sinx，1），b=（cosx，1）（1）若ab，求tan2x的值；（2）若f（x）（a+b）b，求函数f（x）的最小正周期及当x0，2时的最大值19已知函数f（x）=ax-2x+2，其中aR（1）解关于x的不等式f（x）1；（2）求a的取值范围，使f（x）在区间（0，+）上是单调减函数20椭圆：x29+y24=1（1）若抛物线C的焦点与的焦点重合，求C的标准方程；（2）若的上顶点A、右焦点F及x轴上一点M构成直角三角形，求点M的坐标；（3）若O为的中心，P为上一点（非的顶点），过的左顶点B，
5、作BQOP，BQ交y轴于点Q，交于点N，求证：BNBQ=2OP221已知数列an的前n项和为Sn，且a11，a2a（1）若数列an是等差数列，且a815，求实数a的值；（2）若数列an满足an+2an2（nN*），且S1919a10，求证：数列an是等差数列；（3）设数列an是等比数列，试探究当正实数a满足什么条件时，数列an具有如下性质M：对于任意的n2（nN*），都存在mN*使得（Sman）（Sman+1）0，写出你的探求过程，并求出满足条件的正实数a的集合2022-2023学年上海海洋大学附属大团高级中学高三（上）一模考试数学试卷参考答案与试题解析一填空1不等式xx-10的解集为（0，1
6、）【解答】解：由不等式xx-10可得 x（x1）0，解得 0x1，故答案为：（0，1）2抛物线y24x的焦点坐标是（1，0）【解答】解：根据题意，抛物线y24x的开口向右，其焦点在x轴正半轴上，且p2，则抛物线的焦点坐标为（1，0），故答案为：（1，0）3若复数z满足iz1+2i，其中i是虚数单位，则z的实部为2【解答】解：由iz1+2i，得z=1+2ii=(1+2i)(-i)-i2=2-i，z的实部为2故答案为：24二项式(x+1x)6的展开式中的常数项为15【解答】解：展开式的通项为Tr+1=C6rx6-r(1x)r=C6rx6-32r令6-32r0得r4，所以展开式的常数项为C6415，
7、故答案为：155等差数列an的前10项和为30，则a1+a4+a7+a1012【解答】解：等差数列an的前10项和为30，10(a1+a10)2=30，解得a1+a106由等差数列的性质可得a1+a10a4+a7，a1+a4+a7+a102（a1+a10）2612a1+a4+a7+a1012故答案为126设函数yf（x）2x+c的图象经过点（2，5），则yf（x）的反函数f1（x）log2（x1）【解答】解：依题意有：f（2）22+c5，解得：c1，所以f（x）2x+1，2xf（x）1，xlog2 （f（x）1），f1（x）log2（x1）故答案为：log2 （x1）7如果无穷等比数列an所有
8、奇数项的和等于所有项和的3倍，则公比q-23【解答】解：由题意可知，所有项和S=a11-q，奇数项的和S奇=a11-q2，3a11-q=a11-q2，解可得，q=-23故答案为：-238圆x2+y22x+4y0的圆心到直线3x+4y50的距离等于 2【解答】解：根据题意，圆x2+y22x+4y0的圆心为（1，2），则点（1，2）到直线3x+4y50的距离d=|3-8-5|9+16=2，故答案为：29在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，且4S（a+b）2c2，则cosC0【解答】解：4S（a+b）2c2，412absinCa2+b2c2+2ab，由余弦定理得：2absinC
9、2abcosC+2ab，sinCcosC1，又sin2C+cos2C1，sinCcosC0，又在ABC中，sinC0，cosC0故答案为：010在120的二面角内放置一个半径为6的小球，它与二面角的两个半平面相切于A、B两点，则这两个点在球面上的距离是2【解答】解：由球的性质知，OA，OB分别垂直于二面角的两个面，又120的二面角内，故AOB60半径为6的球切两半平面于A，B两点两切点在球面上的最短距离是63=2故答案为：211已知点A（2，0），设B、C是圆O：x2+y21上的两个不同的动点，且向量OB=tOA+（1t）OC（其中t为实数），则ABAC=3【解答】解：由向量OB=tOA+（1
10、t）OC（其中t为实数），可得：A，B，C三点共线，且AB，AC同向，设圆O与x轴正半轴交于点E，与x轴负半轴交于点D，由圆的割线定理可得，|AB|AC|AD|AE|，ABAC=|AB|AC|cos0|AB|AC|AD|AE|133故答案为：312已知平面向量a，b，c，满足|a|1，|b|2，|c|2，01若bc=0，则|a-b-（1）c|的取值范围是 2-1，3【解答】解：设n=b+（1）c，则|a-b-（1）c|a-n|，因为|n|a|a-n|n|+|a|，所以|n|1|a-n|n|+1，因为|n|b+（1）c|=2b2+（1）c2+2(1-)bc=42+4（1）2828+48（-12）
11、2+2，又因为01，所以，2|n|4，故2|n|2，得2-1|a-b-（1）c|3故答案为：2-1，3二.选择题13下列函数中既是奇函数，又在区间1，1上单调递减的是（）Af（x）arcsin xBylg|x|Cf（x）xDf（x）cosx【解答】Af（x）arcsinx在区间1，1上单调递增；该选项错误；Bylg|x|为偶函数，该选项错误；Cf（x）x是奇函数，且在1，1上单调递减；该选项正确；Df（x）cosx是偶函数，该选项错误故选：C14电视台在电视剧开播前连续播放6个不同的广告，其中4个商业广告2个公益广告，现要求2个公益广告不能连续播放，则不同的播放方式共有（）AA 44A 52B
12、C 44C 52CA 64A 72DC 64C 72【解答】解：先把4个商业广告排好顺序，共有A44种方法，再把2个公益广告插入5个空（包括两头）中，根据分步计数原理，共有A44A52 种方法，故选：A15已知向量a，b，c满足a+b+c=0，且a2b2c2，则ab、bc、ac中最小的值是（）AabBbcCacD不能确定的【解答】解：向量a，b，c满足a+b+c=0，可得：ac+bc+c2=0，c2=-ac-bc，同理，b2=-ab-cb，a2=-ab-ac，a2b2c2，bcacab故选：B16函数f（x）x，g（x）x2x+2若存在x1，x2，xn0，92，使得f（x1）+f（x2）+f（
13、xn1）+g（xn）g（x1）+g（x2）+g（xn1）+f（xn），则n的最大值是（）A11B13C14D18【解答】解：f（x1）+f（x2）+f（xn1）+g（xn）x1+x2+xn1+xn2xn+2，g（x1）+g（x2）+g（xn1）+f（xn）x12+x22+xn12（x1+x2+xn1）+2（n1）+xn，（x11）2+（x21）2+（xn11）2+（n2）（xn1）2，n2（xn1）2（x11）2+（x21）2+（xn11）2当x1x2xn11，xn=92时，（n2）max（92-1）2=494，n2494，又nN，nmax14故选：C三.解答题17如图，三棱柱ABCA1B1C
14、1中，AA1底面ABC，ABAC，D是BC的中点（1）求证：BC平面A1AD；（2）若BAC90，BC4，三棱柱ABCA1B1C1的体积是83，求异面直线A1D和AB1所成的角的大小【解答】证明：（1）AA1底面ABC，AA1BC，又ABAC，D是BC的中点，BCAD，AA1ADA，BC平面A1AD解：（2）BAC90，ABAC，BC4，ABAC22，SABC=12ABAC=122222=4，三棱柱ABCA1B1C1的体积是83，SABCAA14AA183，解得AA123，以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，则D（2，2，0），A（0，0，0），B1（22，0
15、，23），A1D=（2，2，23），AB1=（22，0，23），设异面直线A1D，AB1所成角为，则cos=|AB1A1D|AB1|A1D|=81620=55异面直线A1D和AB1所成的角的大小为arccos5518已知向量a=（3sinx，1），b=（cosx，1）（1）若ab，求tan2x的值；（2）若f（x）（a+b）b，求函数f（x）的最小正周期及当x0，2时的最大值【解答】解：（1）向量a=（3sinx，1），b=（cosx，1）又ab，1cosx1（3sinx），tanx=-33，tan2x=2tanx1-tan2x=-3，（2）f（x）（a+b）b，f（x）=3sinxcosx+
16、cos2x=32sin2x+12cos2x+12，sin（2x+6）+12，函数f（x）的最小正周期T=22=，x0，2，2x+66，76，即2x+6=2即x=6时，函数取最大值32，故函数的周期为：，当x0，2时的最大值3219已知函数f（x）=ax-2x+2，其中aR（1）解关于x的不等式f（x）1；（2）求a的取值范围，使f（x）在区间（0，+）上是单调减函数【解答】解：（1）x的不等式f（x）1，即为ax-2x+2-1，即为(a+1)xx+20，当a1时，解集为x|x2；当a1时，解集为（2，0；当a1时，解集为（，2）0，+）；（2）f（x）=ax-2x+2=a+-2-2ax+2，由
17、f（x）在区间（0，+）上是单调减函数，可得22a0，解得a1即a的范围是（，1）20椭圆：x29+y24=1（1）若抛物线C的焦点与的焦点重合，求C的标准方程；（2）若的上顶点A、右焦点F及x轴上一点M构成直角三角形，求点M的坐标；（3）若O为的中心，P为上一点（非的顶点），过的左顶点B，作BQOP，BQ交y轴于点Q，交于点N，求证：BNBQ=2OP2【解答】解：（1）椭圆：x29+y24=1中a29，b24，c2a2b25，c=5，的焦点坐标为（5，0），（-5，0），抛物线C的焦点与的焦点重合，p25，且抛物线的焦点在x轴上，C的标准方程y245；（2）的上顶点A、右焦点F及x轴上一点M
18、构成直角三角形，A（0，2），F（5，0），设M（t，0），显然t0，|MA|2+|AF|2|MF|2，t2+4+5+4（5-t）2，解得t=-455，M（-455，0），当M（0，0）时，此时三角形为直角三角形综上所述M（0，0）或（-455，0）证明（3）由B（3，0），BQOP，设直线BQ的方程为xmy3，直线OP的方程为xmy，由x29+y24=1x=my-3，消x可得（4m2+9）y224my0，解得y0，或y=24m4m2+9，则xN=24m24m2+9-3=12m2-274m2+9则N点的坐标为（12m2-274m2+9，24m4m2+9），对于直线方程xmy3，令x0，可得y=
19、3mQ（0，3m），BNBQ=（12m2-274m2+9+3，24m4m2+9）（3，3m）=72m24m2+9+724m2+9=72(m2+1)4m2+9由x29+y24=1x=my，解得yp2=364m2+9，xp2=36m24m2+9解得x=6m4m2+9y=64m2+9或x=-6m4m2+9y=-64m2+9，2OP22（xp2+yp2）2（364m2+9+36m24m2+9）=72(m2+1)4m2+9，BNBQ=2OP221已知数列an的前n项和为Sn，且a11，a2a（1）若数列an是等差数列，且a815，求实数a的值；（2）若数列an满足an+2an2（nN*），且S1919a
20、10，求证：数列an是等差数列；（3）设数列an是等比数列，试探究当正实数a满足什么条件时，数列an具有如下性质M：对于任意的n2（nN*），都存在mN*使得（Sman）（Sman+1）0，写出你的探求过程，并求出满足条件的正实数a的集合【解答】（1）解：设等差数列an的公差为d，由a11，a815，得1+7d15，解得d2，则a2a1+d1+23，a3；（2）证明：由S1919a10，得101+10922+9a+9822=19(a+8)，解得a2，由an+2an2，且a11，a22，得当n为奇数时，an=a1+n-122=n；当n为偶数时，an=a2+n-222=n对任意nN*，都有ann，
21、当n2时，anan11，即数列an是等差数列；（3）解：由题意，an=an-1，当0a1时，a3a2a1Sm，对任意mN*，都有（Sma2）（Sma3）0，因此数列an不具有性质M当a1时，an1，Snn，对任意mN*，都有（Sma2）（Sma3）（m1）20，因此数列an不具有性质M当1a2时，（a1）20a（2a）112-aaloga12-a1nloga12-aan-1a-1anSnan+1，nloga12-aan-1a-1anSnan+1取loga12-an0（x表示不小于x的最小整数），则Sn0an0+1，Sn0-1an0对于任意mN*，(Sm-an0)(Sm-an0+1)0即对于任意mN*，Sm都不在区间（an0，an0+1）内，数列an不具有性质M当a2时，Sn-an+1=an-1a-1-an=(2-a)an-1a-10，且Snan，即对任意n2（nN*），都有（Sman）（Sman+1）0，当a2时，数列an具有性质M综上，使得数列an具有性质M的正实数a的集合为2，+）第13页（共13页）
