1、n第一节第一节 集中趋势集中趋势数值平均数数值平均数n第二节第二节 集中趋势集中趋势位置平均数位置平均数n第三节第三节 离中趋势的测度离中趋势的测度n第四节第四节 偏度与峰度的偏度与峰度的 测度测度第三章第三章 2022-11-111n重点重点:n 了解和掌握算术平均数、众数、中位了解和掌握算术平均数、众数、中位数、方差、标准差、标准分数的含义及数、方差、标准差、标准分数的含义及其计算方法；正确使用离散系数比较不其计算方法；正确使用离散系数比较不同均值的代表性。同均值的代表性。n难点难点:n 是偏度和峰度的含义及其计算方法。是偏度和峰度的含义及其计算方法。2022-11-112n 正确理解平均
2、指标与变异指标的概念的、正确理解平均指标与变异指标的概念的、意义与作用，明确其种类和区别；掌握平意义与作用，明确其种类和区别；掌握平均指标和变异指标的计算方法，以及应用均指标和变异指标的计算方法，以及应用的原则和条件；掌握偏度和峰度的含义及的原则和条件；掌握偏度和峰度的含义及其计算方法；了解各种分位数的概念与意其计算方法；了解各种分位数的概念与意义。义。2022-11-113数据特征的测度数据特征的测度分布的形状分布的形状集中趋势集中趋势离散程度离散程度2022-11-116第一节 n一、算术平均数一、算术平均数n二、调和平均数二、调和平均数n三、几何平均数三、几何平均数数数值值型型数数据据的
3、的平平均均数数2022-11-117集集 中中 趋趋 势势(central tendency)1.一一组数据向其中心值靠拢的倾向和程度组数据向其中心值靠拢的倾向和程度2.测度集中趋势就是寻找数据水平的代表值或中心值测度集中趋势就是寻找数据水平的代表值或中心值3.不同类型的数据用不同的集中趋势测度值不同类型的数据用不同的集中趋势测度值4.注意注意：低层次数据的测度方法也适用于高层次的数低层次数据的测度方法也适用于高层次的数据，但高层次数据的测度方法往往不适用于低层次据，但高层次数据的测度方法往往不适用于低层次的数据。的数据。2022-11-118n 均值（算术平均数）定义：均值（算术平均数）定义
4、：将一组数据相加后除将一组数据相加后除以数据的个数所得到的一个数值，称为算术平均数以数据的个数所得到的一个数值，称为算术平均数（average）或均值或均值（mean)。n 算数平均数，算数平均数，又有简单算数平均数和加权平均数又有简单算数平均数和加权平均数之分之分2022-11-119 一、算术平均数一、算术平均数组距分组数据）组距分组数据）nxnxxxxniin121ki ik kinkiix fx fx fx fxffff1 12 211212022-11-1110【例【例3.13.1】根据表】根据表3.13.1中的数据，中的数据，计算职工通信费用支出计算职工通信费用支出额平均水平额平均
5、水平。p72解：解：2022-11-1111 身高身高 组中值组中值 人数人数 比重比重 （cm）xi（cm)fi（人）（人）（%）150-155 152.5 3 3.61 155-160 157.5 11 13.25 160-165 162.5 34 40.96 165-170 167.5 24 28.92 170以上以上 172.5 11 13.25 总计总计 -83 100.00 例例3.2 分组资料均值的计算分组资料均值的计算：某年级某年级83名女生身高资料名女生身高资料组距数据组距数据次数次数f频率频率f/f变量值变量值xffxx加权算加权算术平均术平均数数25.164x25.164
6、xfxfx2022-11-1112【例【例3.33.3】依据整理所得表】依据整理所得表3-53-5中的数据，中的数据，计算职工通信计算职工通信费用支出额平均水平费用支出额平均水平。p74解：解：或或2022-11-1113 计算算数平均数，计算算数平均数，注意：注意：n用各组的组中值代表其实际数据计算算术平均数用各组的组中值代表其实际数据计算算术平均数时，通常时，通常假定各组数据在组内是均匀分布的假定各组数据在组内是均匀分布的，相，相应的组中值近似等于各组的平均数。应的组中值近似等于各组的平均数。n权数权数：衡量变量值相对重要性的数值。：衡量变量值相对重要性的数值。n各个变量值的权数要起作用必
7、须具备两个条件：各个变量值的权数要起作用必须具备两个条件：一是各个变量值之间有差异；一是各个变量值之间有差异；二是各个变量值的权数有差异。二是各个变量值的权数有差异。n简单算术平均数是加权算术平均数在权数相等时简单算术平均数是加权算术平均数在权数相等时的特例。的特例。2022-11-1114 算术平均数的性质算术平均数的性质 p75-76n 1各变量值与其算术平均数的离差之各变量值与其算术平均数的离差之和等于零和等于零，即，即。2022-11-11152022-11-11161.集中趋势的最常用测度值；集中趋势的最常用测度值；2.一组数据的均衡点所在；一组数据的均衡点所在；3.易受极端值的影响
8、；易受极端值的影响；4.各变量值与其均值的离差之和等于零；各变量值与其均值的离差之和等于零；5.5、6.6.由组距分组资料计算的均值有近似值性由组距分组资料计算的均值有近似值性质；质；7.7、用于数值型数据，不能用于分类数据和、用于数值型数据，不能用于分类数据和顺序数据顺序数据min12)(nixxi2022-11-1117 二、调和平均数二、调和平均数 n 调和平均数也称调和平均数也称“倒数平均数倒数平均数”，它是对变，它是对变量的倒数求平均，然后再取倒数而得到的平均量的倒数求平均，然后再取倒数而得到的平均数，以数，以 表示。表示。n 根据掌握的资料不同，调和平均数也有简单根据掌握的资料不同
9、，调和平均数也有简单调和平均数和加权平均数两种形式。调和平均数和加权平均数两种形式。其计其计算公算公式为：式为：mHmH2022-11-1118 例题分析例题分析【例【例3.4 3.4 假设甲、乙、丙三种苹果的价格分别为每斤假设甲、乙、丙三种苹果的价格分别为每斤2.42.4元、元、1.81.8元及元及1.51.5元（元（1 1）若三种苹果各买）若三种苹果各买1 1元，试问元，试问所购苹果的平均价格又为多少？（所购苹果的平均价格又为多少？（2 2）如果甲、乙、丙）如果甲、乙、丙三种苹果分别购买三种苹果分别购买5 5元、元、8 8元和元和1010元，试问其平均价格为元，试问其平均价格为多少？多少？
10、解：计算解：计算2022-11-1119 计算调和平均数计算调和平均数，注意：，注意：1.从数学定义角度看算术平均数与调和平均数是不一从数学定义角度看算术平均数与调和平均数是不一样的，但在社会经济应用领域，样的，但在社会经济应用领域，二者本质上是二者本质上是一致的，惟一的区别是计算时使用了不同的数据。一致的，惟一的区别是计算时使用了不同的数据。n2.计算比率的平均数时，如果已知比率及其基本计计算比率的平均数时，如果已知比率及其基本计算式的分母资料，则采用加权算术平均法；如果已算式的分母资料，则采用加权算术平均法；如果已知比率及其基本计算式的分子资料，则采用加权调知比率及其基本计算式的分子资料，
11、则采用加权调和平均法。和平均法。2022-11-1120三、几何平均数三、几何平均数(geometric mean)p78n几何平均数也称几何均值，它是几何平均数也称几何均值，它是n个变量值乘积个变量值乘积的的n次方根。次方根。n几何平均法是计算平均比率或平均发展速度最几何平均法是计算平均比率或平均发展速度最适用的一种方法。适用的一种方法。n如果分布数列中各变量值呈几何级数变化或频如果分布数列中各变量值呈几何级数变化或频率分布极不对称，也常采用几何平均法来计算率分布极不对称，也常采用几何平均法来计算平均数。平均数。n根据统计资料的不同，几何平均数也有简单几根据统计资料的不同，几何平均数也有简单
12、几何平均数和加权几何平均数之分。何平均数和加权几何平均数之分。2022-11-1121几何平均数的计算公式几何平均数的计算公式：适用于对比率数据的平均。主要用于计算适用于对比率数据的平均。主要用于计算平均发展速度、平均增长率、平均比率平均发展速度、平均增长率、平均比率n对于未分组的资料，几何平均数的计算公式为对于未分组的资料，几何平均数的计算公式为2022-11-1122补充：发展速度、增长速度概念及关系补充：发展速度、增长速度概念及关系n环比发展速度 y1/y0 y2/y1 y3/y2 yn/yn-1 n定基发展速度 y1/y0 y2/y0 y3/y0 yn/y0：环比发展速度的连乘积=相应
13、的定基发展速度n 增长速度=发展速度-1n 环比增长速度环比增长速度=环比发展速度环比发展速度-1n 定基增长速度定基增长速度=定基发展速度定基发展速度-1 y y y y y 2002 2001 2000 1999n3210产产量量：时时间间：tn2022-11-1123平均增长率(average rate of increase)序列中各逐期环比值序列中各逐期环比值(也称环比发展速度也称环比发展速度)的几何平的几何平均数减均数减1后的结果后的结果描述现象在整个观察期内平均增长变化的程度描述现象在整个观察期内平均增长变化的程度通常用几何平均法求得。计算公式为通常用几何平均法求得。计算公式为)
14、,2,1(1110111201niYYYYYYYYYYGnnniinnn2022-11-1124例题分析例题分析n【例【例3.8】已知某市已知某市20012005年国内生产总值的发展速度年国内生产总值的发展速度（以上年为（以上年为100）依次分别为）依次分别为112%、108%、114%、116%和和113%。试计算这。试计算这5年国内生产总值的平均发展速度。年国内生产总值的平均发展速度。如果已知的是各年的增长速度，要计算若干年的平均如果已知的是各年的增长速度，要计算若干年的平均增长速度，则需要先将增长率加上增长速度，则需要先将增长率加上100%得到发展速度，得到发展速度，再根据上述方法计算平
15、均发展速度，最后用平均发展速再根据上述方法计算平均发展速度，最后用平均发展速度减度减100%则得到平均增长速度。则得到平均增长速度。2022-11-1125例题分析例题分析【例【例3.9】甲投资银行某项投资的年利率是按复利甲投资银行某项投资的年利率是按复利计算的，若将过去计算的，若将过去20年的年利率资料如表年的年利率资料如表3.9所示所示.要求：试计算要求：试计算20年的平均年利率。年的平均年利率。解解:2022-11-1126应用几何平均数时注意应用几何平均数时注意n几何平均数在实际应用中受到很多限制；几何平均数在实际应用中受到很多限制；n如果被平均的变量值中有一个为零，则不能如果被平均的
16、变量值中有一个为零，则不能计算几何平均数；计算几何平均数；n如果变量值为负数，开偶次根会形成虚根，如果变量值为负数，开偶次根会形成虚根，失去意义；失去意义；n几何平均数在实际应用中的范围比算术平均几何平均数在实际应用中的范围比算术平均数要窄。数要窄。2022-11-1127几何平均数的特点几何平均数的特点 n 1几何平均数受极端值的影响较算术平几何平均数受极端值的影响较算术平均数小。均数小。n2如果变量值有负值，计算出的几何平均如果变量值有负值，计算出的几何平均数就会成为负数或虚数。数就会成为负数或虚数。n3它仅适用于具有等比或近似等比关系的它仅适用于具有等比或近似等比关系的数据。数据。n4几
17、何平均数的对数是各变量值对数的算几何平均数的对数是各变量值对数的算术平均数。术平均数。2022-11-1128第二节第二节 集中趋势集中趋势位置平均数位置平均数 p80n一、众数一、众数 Mon二、中位数二、中位数Men三、四分位数三、四分位数QU、QL2022-11-1129集中趋势集中趋势位置平均数位置平均数n位置平均数位置平均数，就是根据总体中处于特殊，就是根据总体中处于特殊位置上的个别单位或部分单位的标志值位置上的个别单位或部分单位的标志值来确定的代表值；来确定的代表值；n对于整个总体来说，具有非常直观的代对于整个总体来说，具有非常直观的代表性，常用来反映分布的集中趋势；表性，常用来反
18、映分布的集中趋势；n常用的位置平均数有常用的位置平均数有众数和中位数众数和中位数。2022-11-1130一、众数一、众数 p80n（一）（一）众数的含义众数的含义n众数众数是指一组数据中出现次数是指一组数据中出现次数最多的变量最多的变量值值，用，用 表示。表示。n众数直观地说明分布的集中趋势，并用它众数直观地说明分布的集中趋势，并用它作为反映变量值一般水平的代表值。作为反映变量值一般水平的代表值。n在某些场合只有众数才适合作为总体的代在某些场合只有众数才适合作为总体的代表值。表值。oM2022-11-1131（二）（二）众数的计算方法众数的计算方法n1观察法求众数观察法求众数n如果数据已按单
19、个变量值整理成频率分布如果数据已按单个变量值整理成频率分布表或者是分类数据表，则表或者是分类数据表，则次数出现最多或次数出现最多或频率最大的那个变量值即为众数频率最大的那个变量值即为众数。n【例【例3.11】某制鞋厂要了解消费者最需要某制鞋厂要了解消费者最需要哪种型号的男皮鞋，调查了某百货商场哪种型号的男皮鞋，调查了某百货商场2005年年10月男皮鞋的销售情况，得到资料如表月男皮鞋的销售情况，得到资料如表3.10所示。所示。2022-11-1132众数的计算众数的计算-例题分析例题分析要求：试根据上表资料计算男皮鞋销售量的众数。要求：试根据上表资料计算男皮鞋销售量的众数。解：销售量最多的是规格
20、为解：销售量最多的是规格为25.5厘米的鞋号，销售量厘米的鞋号，销售量320双，占双，占32%，故，故众数为众数为25.5公分公分。2022-11-1133众数的计算众数的计算-例题分析例题分析 p81【例【例3.10】某高校电影院在安排某高校电影院在安排2010年影片放映计划时，分别年影片放映计划时，分别按性别随机抽取按性别随机抽取200名男女学生，登记其对影片类型的取向。统名男女学生，登记其对影片类型的取向。统计结果如表计结果如表3.10所示。所示。要求：要求：试分析学生对影片取向的集中趋势试分析学生对影片取向的集中趋势。n解解：7种类型的影片中，男生最喜欢看动作片，人数为种类型的影片中，
21、男生最喜欢看动作片，人数为48人，占人，占24%，众数即为动作片这种影片类型众数即为动作片这种影片类型；女生最喜欢看言情片，人；女生最喜欢看言情片，人数为数为46人，占人，占23%，众数即为言情片众数即为言情片这种影片类型；男女生对影这种影片类型；男女生对影片类型的取向，综合而言是动作片，片类型的取向，综合而言是动作片，众数为动作片这种影片类型众数为动作片这种影片类型。2022-11-1134数值型数据众数的确定方法数值型数据众数的确定方法 单变量值分组资料单变量值分组资料某年级某年级83名女生身高资料名女生身高资料 身高身高 人数人数（CM）（人）（人）152 1 154 2 155 2 1
22、56 4 157 1 158 2 159 2 160 12 161 7 162 8 163 4 身高身高 人数人数（CM）（人）（人）164 3 165 8 166 5 167 3 168 7 169 1 170 5 171 2 172 3 174 1 STATSTAT众数2022-11-1135 注意：注意：n 众数不仅适用于测度顺序数据和众数不仅适用于测度顺序数据和数值型数据的集中趋势，而且适用数值型数据的集中趋势，而且适用于测度不能计算平均数的分类数据于测度不能计算平均数的分类数据的集中趋势。的集中趋势。2022-11-1136众数的计算方法众数的计算方法n2插值法求众数插值法求众数n
23、对于对于形成的分布数列，当频率形成的分布数列，当频率分布属于分布属于完全对称分布完全对称分布，而众数所在组的，而众数所在组的变量值分布比较均匀时，可用观察法求众变量值分布比较均匀时，可用观察法求众数，即以众数组的组中值作为所求的众数。数，即以众数组的组中值作为所求的众数。n完全对称分布不存在完全对称分布不存在，众数组前后各组的，众数组前后各组的次数不一定相等，众数就不等于组中值，次数不一定相等，众数就不等于组中值，因此需要采用插值法求众数。因此需要采用插值法求众数。2022-11-1137组距分组数据，众数的计算步骤组距分组数据，众数的计算步骤n1、先找到众数所在的组；、先找到众数所在的组；n
24、2、按该组次数与前后相邻两组分布次数之差所、按该组次数与前后相邻两组分布次数之差所占的比重来推算众数值。占的比重来推算众数值。n如果众数组前一组的次数大于后一组的次数，则如果众数组前一组的次数大于后一组的次数，则众数值小于其所在组的组中值；反之，众数值则众数值小于其所在组的组中值；反之，众数值则大于其所在组的组中值；大于其所在组的组中值；n若众数组前后相邻组的次数相等，则众数值等于若众数组前后相邻组的次数相等，则众数值等于其所在组的组中值。其所在组的组中值。n3、计算众数有上限和下限公式之分。、计算众数有上限和下限公式之分。2022-11-1138众数的计算方法众数的计算方法2022-11-1
25、139 身高身高 人数人数 比重比重 （CM）（人）（人）（%）150-155 3 3.61 155-160 11 13.25 160-165 34 40.96 165-170 24 28.92 170以上以上 11 13.25 总计总计 83 100某年级某年级83名女生身高资料名女生身高资料数值型数据众数的确定方法数值型数据众数的确定方法 组距分组资料组距分组资料dLMo21148.1635102323160oMSTATSTAT众数组众数组2022-11-1140 众数的特点众数的特点n1众数不受分布数列的极大或极小值的众数不受分布数列的极大或极小值的影响，众数对分布数列有好的代表性。影响
26、，众数对分布数列有好的代表性。n2数据的分布没有明显的集中趋势或最数据的分布没有明显的集中趋势或最高峰点，众数可能不存在；高峰点，众数可能不存在；n3.有两个或多个高峰点，可以有两个或多有两个或多个高峰点，可以有两个或多个众数。个众数。众数不具有唯一性。众数不具有唯一性。n3众数缺乏敏感性。众数缺乏敏感性。2022-11-1141二、中位数二、中位数 Me p83n（一）（一）中位数的含义中位数的含义n中位数中位数是将数据按大小顺序排列起来，形成一是将数据按大小顺序排列起来，形成一个数列，居于个数列，居于数列中间位置的那个变量值数列中间位置的那个变量值称为称为中位数。中位数用中位数。中位数用M
27、e表示。表示。n特点：特点：n 在一个等差数列或一个正态分布数列中，中在一个等差数列或一个正态分布数列中，中位数就等于算术平均数。位数就等于算术平均数。n中位数不受极端变量值的影响中位数不受极端变量值的影响。2022-11-1142中位数的计算中位数的计算中位数概念：中位数概念：排序后排序后处于中间位置上的值处于中间位置上的值1根据未分组数据计算中位数。根据未分组数据计算中位数。Me2022-11-1143例题分析例题分析【例【例3.12】某班第一、二两个小组统计学期末考试成绩排序某班第一、二两个小组统计学期末考试成绩排序结果如表结果如表3.13所示。所示。要求：分别计算两小组成绩的中位数要求
28、：分别计算两小组成绩的中位数解：解：两个学习小组的考试成绩已经分别按由低到高排列。两个学习小组的考试成绩已经分别按由低到高排列。第一小组有第一小组有7个学生，第个学生，第4位为中位数的位置，位为中位数的位置，Me=75.第二小组有第二小组有8个学生，中位数的位置处于第四和第五个学生之间。个学生，中位数的位置处于第四和第五个学生之间。2022-11-1144中位数的计算中位数的计算n2由分组资料确定中位数由分组资料确定中位数 n如果由组距数列确定中位数，应先按的公式求出如果由组距数列确定中位数，应先按的公式求出中位数所在组的位置，然后再按下限公式或上限中位数所在组的位置，然后再按下限公式或上限公
29、式确定中位数。公式确定中位数。2022-11-1145组距分组数据中位组距分组数据中位数的确定方法数的确定方法 身高身高 fi人数人数 累计累计 （CM）（人）（人）人数人数 150-155 3 3 155-160 11 14 160-165 34 48 165-170 24 72 170以上以上 11 83 总计总计 83 某年级某年级83名女生身高资料名女生身高资料dfSfLMmme1204.16453414283160eMSTATSTAT中位数组中位数组2022-11-1146 中位数的特点中位数的特点n1不受分布数列的极大或极小值影响。不受分布数列的极大或极小值影响。n2有些离散型变量
30、的单项式数列，当次数有些离散型变量的单项式数列，当次数分布偏态时，中位数的代表性会受到影响。分布偏态时，中位数的代表性会受到影响。n3中位数缺乏敏感性。中位数缺乏敏感性。2022-11-1147三、三、四分位数四分位数 p85n 中位数是根据其在数列中所处的位置来中位数是根据其在数列中所处的位置来确定的一个平均数，作为各变量值的一个代确定的一个平均数，作为各变量值的一个代表值，以反映分布数列的集中趋势。表值，以反映分布数列的集中趋势。n 为了进一步了解一组数据分布的内部结为了进一步了解一组数据分布的内部结构，观察变量值在各个区间的一般水平，还构，观察变量值在各个区间的一般水平，还可以计算可以计
31、算四分位数、十分位数和百分位数。四分位数、十分位数和百分位数。2022-11-1148 四分位数四分位数n四分位数是通过四分位数是通过3个点将全部数据等分为个点将全部数据等分为四个部分，其中每部分包含四个部分，其中每部分包含25%的数据。的数据。n 2022-11-1149四分位数的计算四分位数的计算n1.根据未分组数据计算四分位数时，先对数据进根据未分组数据计算四分位数时，先对数据进行排序，然后再确定四分位数所在的位置行排序，然后再确定四分位数所在的位置n当四分位数的位置不是整数时，可根据四分位数的位当四分位数的位置不是整数时，可根据四分位数的位置，置，按比例分摊四分位数按比例分摊四分位数所
32、在位置两侧变量值之差的所在位置两侧变量值之差的数值。数值。2022-11-1150四分位数的计算四分位数的计算例题分析例题分析n【例【例3.14】将例将例3.13中两个学习小组的统计学考试中两个学习小组的统计学考试成绩合并如下：成绩合并如下：要求：要求：(1）计算前）计算前15个学生统计学考试成绩的四分位数；个学生统计学考试成绩的四分位数；（2）如果增加一个学生的成绩）如果增加一个学生的成绩95分，试计算分，试计算16个学生个学生统计学考试成绩的四分位数。统计学考试成绩的四分位数。2022-11-1151四分位数的计算四分位数的计算例题分析例题分析2022-11-1152四分位数的计算四分位数
33、的计算n2.根据组距数列计算四分位数根据组距数列计算四分位数 2022-11-1153四分位数的计算四分位数的计算2022-11-1154（二）（二）十分位数十分位数 n 十分位数十分位数是指将按大小顺序排列的一组数据是指将按大小顺序排列的一组数据划分为划分为10等分的等分的9个变量值，用以反映一组数个变量值，用以反映一组数据在各个区间的一般水平。据在各个区间的一般水平。2022-11-1155十分位数的计算十分位数的计算n 十分位数的具体计算方法与计算四分十分位数的具体计算方法与计算四分位数类似，即位数类似，即 先计算出各个十分位数所先计算出各个十分位数所处的位置。处的位置。n 如果为整数，
34、与计算的位置相对应的如果为整数，与计算的位置相对应的变量值就是所求的十分位数；变量值就是所求的十分位数；n 如果不是整数，每个位置的值出现小如果不是整数，每个位置的值出现小数，此时，所求的十分位数等于整数位数，此时，所求的十分位数等于整数位的变量值加上小数乘以前后两项变量值的变量值加上小数乘以前后两项变量值之差的数值。之差的数值。2022-11-1156（三）（三）百分位数百分位数2022-11-1157百分位数的计算百分位数的计算n 求出各个百分位数所处的位置后，具求出各个百分位数所处的位置后，具体计算每个百分位数的方法与四分位数体计算每个百分位数的方法与四分位数类似，故不再详细介绍。类似，
35、故不再详细介绍。n 如果数据比较多，计算百分位数可以如果数据比较多，计算百分位数可以更详细地反映数据分布中每个小区间的更详细地反映数据分布中每个小区间的一般水平，用以补充说明平均数所反映一般水平，用以补充说明平均数所反映的集中趋势。的集中趋势。2022-11-1158 算术平均数算术平均数 简评简评n算术平均数：算术平均数：n 算术平均数符合上述六个条件，算术平均数符合上述六个条件，应用范围最广。应用范围最广。n 易受极端值的影响。易受极端值的影响。n 当分布数列中存在开口组时，会当分布数列中存在开口组时，会影响平均数的准确性。影响平均数的准确性。n 算术平均数适用于算术平均数适用于数值型数据
36、数值型数据。2022-11-1159（三）（三）众数、中位数和算术平均数的关系众数、中位数和算术平均数的关系 在数据分布呈完全对称的正态分布时，算术在数据分布呈完全对称的正态分布时，算术平均数、众数和中位数三者相等。平均数、众数和中位数三者相等。n 在次数分布非对称时，算术平均数、众数和在次数分布非对称时，算术平均数、众数和中位数三者不相等，但具有相对固定的关系。中位数三者不相等，但具有相对固定的关系。n 在尾巴拖在右边的正偏态（或右偏态）分布在尾巴拖在右边的正偏态（或右偏态）分布中，众数最小，中位数适中，算术平均数最大。中，众数最小，中位数适中，算术平均数最大。2022-11-1160 众数
37、、中位数和平均数的关系众数、中位数和平均数的关系 对何种数据而言的？对何种数据而言的？2022-11-1161众数、中位数和算术平均数的关系众数、中位数和算术平均数的关系 p84n偏斜适度时，三者的关系：偏斜适度时，三者的关系：2022-11-1162第三节第三节 离中趋势的测度离中趋势的测度 p851.数据分布的另一个重要特征数据分布的另一个重要特征2.反映各变量值远离其中心值的程度（离散程度反映各变量值远离其中心值的程度（离散程度)3.从另一个侧面说明了集中趋势测度值的代表性从另一个侧面说明了集中趋势测度值的代表性：5.数据的离散程度越大，集中趋势的测度对该数据的离散程度越大，集中趋势的测
38、度对该组数据的代表性越差；数据的离散程度越小，组数据的代表性越差；数据的离散程度越小，集中趋势的测度值对该组数据的代表性越好。集中趋势的测度值对该组数据的代表性越好。6.不同类型的数据有不同的离散程度测度值不同类型的数据有不同的离散程度测度值2022-11-1163下面是两个总体关于下面是两个总体关于年龄分布年龄分布的数据的数据,相对而言相对而言,那个总体那个总体的年龄分布分散的年龄分布分散,差异大些差异大些?n46、47、48、49、50、n51、52、53、54n8、15、20、30、50n70、80、85、92501nxx502nxx总体1总体22022-11-11642022-11-1
39、165n数值型数据数值型数据：全距全距(或称极差或称极差)（range）平均差（平均差（mean deviation）方差和标准差（方差和标准差（Variance and standard deviation）相对离散程度：离散系数（相对离散程度：离散系数（Coefficient of Variation）n分类数据分类数据：异众比率（：异众比率（variation ratio）n顺序数据顺序数据：四分位差（：四分位差（quartile range）2022-11-1166一、全距（一、全距（RangeRange）全距全距也称为极差，是指一组数据的最大值也称为极差，是指一组数据的最大值与最小值
40、之差，用与最小值之差，用R表示。表示。n即：即：R最大变量值最小变量值最大变量值最小变量值n 没有开口组的没有开口组的组距分布数列计算全距组距分布数列计算全距，可以用最，可以用最大组的上限值减去最小组的下限值，得到全距的近大组的上限值减去最小组的下限值，得到全距的近似值。似值。n全距可以反映一组数据的差异范围。全距可以反映一组数据的差异范围。2022-11-1167全距的计算全距的计算【例【例3.16】表】表3-14是两组人口关于年龄分布的数据是两组人口关于年龄分布的数据,要求计算全距。要求计算全距。解：第一组全距解：第一组全距 第二组全距第二组全距 ：如果组距分布数列中有开口组，则不能计算全
41、距。：如果组距分布数列中有开口组，则不能计算全距。n全距计算简单，易理解，易受极端值的影响全距计算简单，易理解，易受极端值的影响;不能反映中间数据不能反映中间数据分散状况，不能准确描述数据的分散程度。分散状况，不能准确描述数据的分散程度。154468R（岁）2851570R （岁）2022-11-1168（variation ratio）非众数组的频数占总频数的比率非众数组的频数占总频数的比率 用于用于 对分类数据离散程度的测度对分类数据离散程度的测度 用于衡量众数的代表性用于衡量众数的代表性imimirfffffv12022-11-1169异众比率异众比率n 异众比率主要用于衡量众数对一组数
42、据的代表程异众比率主要用于衡量众数对一组数据的代表程度。度。n 异众比率越大，说明非众数组的频数占总频数的异众比率越大，说明非众数组的频数占总频数的比重越大，众数的代表性就越差；比重越大，众数的代表性就越差；n 异众比率越小，说明非众数组的频数占总频数的异众比率越小，说明非众数组的频数占总频数的比重越小，众数的代表性越好。比重越小，众数的代表性越好。n 异众比率适合测度分类数据、测度顺序数据和数异众比率适合测度分类数据、测度顺序数据和数值型数据的离散程度。值型数据的离散程度。2022-11-1170异众比率的应用异众比率的应用 p89n【例【例3.17】根据例根据例3.10(第第34张张)的数
43、据计算学生对影的数据计算学生对影片取向的异众比率。片取向的异众比率。n【解】【解】根据公式得根据公式得n说明：说明：比较上面的三个异众比率，全部样本学生的异众比率最比较上面的三个异众比率，全部样本学生的异众比率最大，说明其众数的代表性最差；男生的异众比率略小于女生的大，说明其众数的代表性最差；男生的异众比率略小于女生的异众比率，说明异众比率，说明男生对影片取向的众数的代表性略好于女生男生对影片取向的众数的代表性略好于女生对对影片取向的众数的代表性影片取向的众数的代表性。2022-11-1171 上四分位数与下四分位数之差上四分位数与下四分位数之差n Qd=QU QL反映了中间反映了中间50%数
44、据的离散程度数据的离散程度对顺序数据离散程度的测度对顺序数据离散程度的测度不受极端值的影响不受极端值的影响用于衡量中位数的代表性用于衡量中位数的代表性2022-11-1172四分位差的应用四分位差的应用注意：注意：四分位差不易受极端值的影响，可以测量含有四分位差不易受极端值的影响，可以测量含有开口组的数据分布的差异程度，但不能反映所有变开口组的数据分布的差异程度，但不能反映所有变量值的差异程度。量值的差异程度。【例】依据前面例3.16中两组人口年龄的四分位差：第一、第二组的中位数均为50岁，但其代表性不同。第一小组的中位数代表性相对高些，因为相对而言，四分位差小，数据分布集中。第二组年龄中位数
45、代表性低些，因为该组年龄差异大，年龄分布相对分散。2022-11-1173四、平均差（四、平均差（Average Deviation）n平均差平均差就是各个变量值与其算术平均数离差的绝对就是各个变量值与其算术平均数离差的绝对值的平均数，以值的平均数，以AD表示。表示。n它综合反映了各变量值的变动程度，是各个离差的它综合反映了各变量值的变动程度，是各个离差的代表值。代表值。n平均差越大，则表示变量值的离散程度越大，说明平均差越大，则表示变量值的离散程度越大，说明平均数的代表性越小；平均差越小，则表示变量值平均数的代表性越小；平均差越小，则表示变量值的离散程度越小，说明平均数的代表性越大。的离散程
46、度越小，说明平均数的代表性越大。2022-11-1174 平均差的计算各变量值与其均值离差绝对值的平均数各变量值与其均值离差绝对值的平均数dnii 1xxMNkiii 1xx fADN能全面反映一组数据的离散程度能全面反映一组数据的离散程度数学性质较差，实际中应用较少数学性质较差，实际中应用较少2022-11-1175 平均差的计算平均差的计算【例【例3.18】要求：根据例要求：根据例3.16所给的资料分别计算所给的资料分别计算第一、第二组人口年龄的平均差，并比较其平均年第一、第二组人口年龄的平均差，并比较其平均年龄的代表性。龄的代表性。解：解：比较两个平均差可知，两组人口年龄平均数均为比较两
47、个平均差可知，两组人口年龄平均数均为5050岁，第一组平均差小，人口年龄分布的差异小，平岁，第一组平均差小，人口年龄分布的差异小，平均年龄的代表性好；第二组平均差大，年龄分布的均年龄的代表性好；第二组平均差大，年龄分布的离散水平大，平均年龄的代表性差些。离散水平大，平均年龄的代表性差些。2022-11-1176 平均差的计算平均差的计算【例【例3.19】根据表的资料计算】根据表的资料计算120名职工通信费用支出额的平均差。名职工通信费用支出额的平均差。解：解：2022-11-11772022-11-1178n方差方差是各个数据与其算术平均数的离差平方的平均是各个数据与其算术平均数的离差平方的平
48、均数，通常以表示总体方差，数，通常以表示总体方差，s2表示样本方差。表示样本方差。n标准差标准差又称均方差，是方差的平方根，一般用表又称均方差，是方差的平方根，一般用表示总体标准差，以示总体标准差，以S表示样本标准差。表示样本标准差。n方差和标准差的计算也分为简单平均法和加权平均方差和标准差的计算也分为简单平均法和加权平均法。法。n对于总体数据和样本数据，公式略有不同。对于总体数据和样本数据，公式略有不同。2022-11-1179方差与标准差方差与标准差n方差和标准差是根据全部数据计算的，它反方差和标准差是根据全部数据计算的，它反映了每个数据与其均值相比平均相差的数值；映了每个数据与其均值相比
49、平均相差的数值；n它能准确地反映出数据的离散程度；它能准确地反映出数据的离散程度；n方差和标准差是应用最广泛的离散程度测度方差和标准差是应用最广泛的离散程度测度值。值。2022-11-1180222 ()()iiiNiXfXf2总体方差总体方差 n2ii 1(X)N总体标准差总体标准差k2iii 1i(X)ff2022-11-1181样本方差和标准差（记住）样本方差和标准差（记住）p92(simple variance and standard deviation)n未分组数据：注意：注意：样本方差用自样本方差用自由度由度n-1去除去除!1)(122nxxsniik2ii2i 1(xx)fsn
50、11)(12nxxsniik2iii 1i(xx)fs1f2022-11-1182方差与标准差的应用方差与标准差的应用n【例【例3.20】要求：根据表中的数据计算要求：根据表中的数据计算120名职工通信名职工通信费用支出额的方差和标准差。费用支出额的方差和标准差。2022-11-1183方差与标准差的计算方差与标准差的计算【解】【解】已知平均数为已知平均数为165元，因是随机抽取的样本元，因是随机抽取的样本资料，故依据样本方差及标准差的公式计算。资料，故依据样本方差及标准差的公式计算。，样本中每名职工月通信费用支出额与，样本中每名职工月通信费用支出额与月平均通信费用支出额月平均通信费用支出额1
