1、数据拟合的非线性模型数据拟合的非线性模型多项式拟合的正交化方法多项式拟合的正交化方法超定方程组最小二乘超定方程组最小二乘解解温度数据的平滑处理温度数据的平滑处理数值分析 18数据拟合的非线性模型数据拟合的非线性模型求拟求拟合合函数函数 f(x,c0,c1,cn)满足满足观测数据观测数据min),(1210 miiniycccxf2/16例例1 1.已知人口统计数据已知人口统计数据利用最小二乘法求指数拟合利用最小二乘法求指数拟合 y=c e a xmin)exp(),(612 jjjyaxccaS x x1 x2 xm f y1 y2 ym 年年 1991 1992 1993 1994 1995
2、 1996数量数量 11.58 11.72 11.85 11.98 12.11 12.24指数函数拟合人口统计数据指数函数拟合人口统计数据(单位：亿单位：亿)(1)计算对数值计算对数值 yk=ln Nk (k=1,2,6)(2)列出未知数列出未知数a、b的超定方程组的超定方程组 a+b t k=y k (k=1，2，6)(3)求超定方程组的最小二乘解求超定方程组的最小二乘解,得得 N=ea+bx,并并预测预测 N(2000),N(2008)N2000=12.7971,N2008=13.9783 设设 N=ea+bt lnN=a+bt 令令 y=lnN,有有 y(t)=a+bt t 1991 1
3、992 1993 1994 1995 1996 ln N 2.45 2.46 2.47 2.48 2.49 2.503/16例例2.利用极坐标观察值确定慧星轨道利用极坐标观察值确定慧星轨道 90 270 180 0 cos1epr 其中其中，p 为参数为参数，e为偏心率为偏心率 令令k=1/r r 2.70 2.00 1.61 1.20 1.02 48 67 83 108 126 k 0.3704 0.5000 0.6211 0.8333 0.9804 0.8378 1.1694 1.4486 1.8850 2.1991 cos1epr rpe cos1kpe cos11cos epkjj 线
4、性方程组线性方程组(j=1,2,3,4,5)p=?,e=?4/16r=2.70 2.00 1.61 1.20 1.02;fai=48 67 83 108 126*pi/180;n=length(r);b=ones(n,1);G=1./r cos(fai);X=Gb;p=X(1);e=X(2);90 270 180 0 p=1.4521,e=0.7027 cos7027.014521.1 r残差平方和残差平方和:0.00225/16fa=pi/4:.1:3.5*pi/2;ro=p./(1-e*cos(fa);polar(fai,r,ro),hold onpolar(fa,ro)R=r-p./(1
5、-e*cos(fai)R=sum(R.2)例例3.温度数据的拟合问题温度数据的拟合问题:中午中午1:00到第二天中午到第二天中午12:00温度记录数据如下温度记录数据如下66,66,65,64,63,63,62,6160,60,59,58,58,58,58,5857,57,57,58,60,64,67,68用最小二乘法求拟合函数用最小二乘法求拟合函数 f(x)=E+A cos(C x)+B sin(D x)E=?,A=？,B=?,C=?,D=?6/16051015202555606570定义定义 设设 j(x)(j=0,1,n)是多项式系列是多项式系列,是一点列是一点列,多项式多项式 i(x)
6、,j(x)在该在该点列上的值分别为点列上的值分别为则称则称 k(x)(k=0,1,n)为点列为点列 上的上的正交多项式系正交多项式系.mkkx1 mkkx1 01mkkjkijixx)()(),(j i)如果如果 i=i(x1),i(x2),i(xm)T j=j(x1),j(x2),j(xm)T7/16 nmmnnxxxxxx1112211 p0(x)=1,pj(x)=x pj-1(x)(j=1,2,n )(j=2,3,n),10n ,10nppp1)(0 x mkkxmxx111)()()()()(21xxxxjjjjj ),(),(1111 jjjjjx 8/16),(),(2211 jj
7、jjj 给定数据表给定数据表 x x1 x2 xmf(x)y1 y2 ym)()()()(1100 xaxaxaxnn 超定方程组超定方程组:mnmnmmnnyyyaaaxxxxxxxxx2110102212011110)()()()()()()()()(正交多项式系正交多项式系:,组成拟合函数组成拟合函数)(0 x)(xn 9/16),(),(kkkkya nkkkkkxyx0)(),(),()(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(2010101110101000yyyaaannnnnnnn 正规方程正规方程:),(),(yakkkk 由由正交性得正交性得
8、10/16 623531142yxyxyx超定方程组最小二乘解超定方程组最小二乘解 X*的几何意义的几何意义11/16 6311 22*|min|GXGXRX 215342G例例,21 G向量组向量组21 yxGX 平面平面 *GX*minGXr 0),(min*rGX TTGGXG*正规方程正规方程0)(*GXGT 0min rGTQ列正交矩阵列正交矩阵;R单位上三角矩阵单位上三角矩阵矩阵的正交三角分解矩阵的正交三角分解:G=QR12/16矩阵的矩阵的LDLT 分分解解DLTX=L-1bA=LDLT超定超定方程组方程组 GX TTGGXG AX=b TTGbGGA ,记记LTX=D-1 L-
9、1bX=(LT)-1D-1 L-1b GX QRX TQDRX TQDRX1 TQDRX11 矩阵矩阵G的的QR(正交三角正交三角)分解算法分解算法 G=(gij)mn m n将矩阵按列分块，记为将矩阵按列分块，记为 G=g1,g2,gn 分解算法分解算法 q1=g1 q2=g2 r12q1,其中其中 r12=(g2，q1)/(q1，q1)n)(1,12211 nnnnnnnqrqrqrgq其中其中),(),(1111qqqgrnn),(),(111,1 nnnnnnqqqgr13/16G=g1 g2 gn =q1(r12q1+q2)()(r1nq1+rn-1,nqn-1+qn)G=q1,q2
10、,qn R G=QR g1=q1 g2=r12q1+q2nnnnnnnqqrqrqrg 1,12211记记 Q=q1,q2,qn 1111,122311312nnnnrrrrrrR其中其中14/16多项式拟合用于数据平滑处理多项式拟合用于数据平滑处理五点抛物线拟合公式五点抛物线拟合公式设拟合设拟合函数为函数为:P(t)=a0+a1t+a2t2 2112210421111001111421kkkkkyyyyyaaaa0=yk 3(yk-2 4yk-1+6yk 4yk+1+yk+2)/35 yk=a015/16温度数据的平滑处理温度数据的平滑处理66,66,65,64,63,63,62,61,60,60,59,58,58,58,58,58,57,57,57,58,60,64,67,68原始数据原始数据 数据平滑后数据平滑后 五点抛物线拟合公式五点抛物线拟合公式处理数据处理数据16/16
